具体描述
编辑推荐
适读人群 ：本书可作为高等学校信息与计算科学、数学等专业的基础教材，也可供相关领域的工程技术人员学习和参考.本书提供配套电子课件、例题程序代码、课后习题参考运行结果及程序代码，并提供网络下载和二维码扫描两种免费获取方式。
内容简介
本书从理论和实践出发，全面介绍求解微分方程的数值方法――有限差分法，并简单地介绍有限元法. 全书共6章，主要内容包括：预备知识、常微分方程的数值解法、抛物型偏微分方程的有限差分法、双曲型偏微分方程的有限差分法、椭圆型偏微分方程的有限差分法、有限元法简介等. 本书提供配套电子课件、例题程序代码、课后习题参考运行结果及程序代码等。
作者简介
华冬英，博士，北京信息科技大学理学院副教授，长期从事高等学校数学领域基础课程教学，教学经验丰富。北京市教委精品课程《高等数学》主要参与人，***《高等数学》优秀教学团队骨干教师。
目录
第一章 预备知识 1
第一节 微分方程的相关概念与分类 1
一、微分方程的相关概念 1
二、微分方程的分类 2
第二节 数值分析的工具 3
本章要求及小结 6
习题一 6
第二章 常微分方程的数值解法 7
第一节 欧拉（Euler）方法 8
一、欧拉方法 8
二、梯形方法 9
三、改进的欧拉方法 11
第二节 误差分析的相关概念 12
一、局部截断误差与相容性 12
二、稳定性 13
三、收敛性 14
四、收敛阶的数值意义 15
第三节 龙格-库塔（Runge-Kutta）
方法 15
一、泰勒级数方法 16
二、龙格-库塔方法? 17
第四节 线性多步法 20
一、线性多步法 21
二、阿当姆斯方法 24
三、预估―校正方法 26
第五节 一阶方程组及高阶方程初值问题
的解法 27
一、一阶方程组初值问题的解法 27
二、高阶方程初值问题的解法 29
第六节 两点边值问题的解法 30
一、打靶法求解两点狄利克莱边值
问题 30
二、打靶法求解两点混合边值问题 32
三、差分法求解两点狄利克莱边值
问题 33
四、差分法求解两点混合边值问题 36
第七节 高精度算法 39
一、理查德森（Richardson）外推法 39
二、紧差分方法 42
本章参考文献 43
本章要求及小结 43
习题二 44
第三章 抛物型偏微分方程的有限差分法 46
第一节 向前欧拉方法 46
一、向前欧拉格式 46
二、向前欧拉格式解的存在唯一性、
稳定性和收敛性分析 48
三、数值算例 52
第二节 向后欧拉方法 55
一、向后欧拉格式 55
二、向后欧拉格式解的存在唯一性、
稳定性和收敛性分析 57
三、数值算例 57
第三节 Crank-Nicolson方法 60
一、理查德森差分格式 61
二、Crank-Nicolson差分格式 65
三、Crank-Nicolson格式解的存在唯一性、
稳定性和收敛性分析 67
四、数值算例 68
第四节 高精度算法 69
一、理查德森外推法 70
二、紧差分方法 76
第五节 混合边界条件下的差分方法 80
一、几种差分格式的建立 81
二、差分格式稳定性的讨论 84
三、数值算例 87
第六节 二维抛物型方程的交替方向隐
格式 89
一、向前欧拉格式 90
二、Crank-Nicolson格式 91
三、交替方向隐（ADI）格式 94
四、关于添加辅助项的说明 97
五、数值算例 100
第七节 二维抛物型方程的紧交替方向
隐式方法 101
一、二维紧差分格式 101
二、紧交替方向隐格式 103
三、紧ADI格式的收敛性分析 105
四、数值算例 105
本章参考文献 106
本章要求及小结 107
习题三 107
第四章 双曲型偏微分方程的有限差分法 110
第一节 一阶双曲型方程的若干差分
方法 110
一、精确解所具有的波的传播性质及
对初值的局部依赖性 110
二、迎风格式 111
三、一个完全不稳定的差分格式 113
四、蛙跳（Leapfrog）格式 113
五、Lax-Friedrichs 格式 115
六、Lax-Wendroff格式 116
七、Beam-Warming格式 116
八、隐格式的设计 117
九、Courant-Friedrichs-Lewy条件 118
十、数值算例 119
十一、推广 120
第二节 二阶双曲型方程的显式差分法 122
一、三层显差分格式的建立 122
二、显格式的稳定性、收敛性分析 123
三、改进的三层显格式 126
四、数值算例 127
第三节 二阶双曲型方程的隐式差
分法 128
一、隐差分格式的建立 128
二、隐格式的稳定性、收敛性分析 130
三、数值算例 131
第四节 二阶双曲型方程的紧差分
方法 131
一、紧差分格式的建立 131
二、紧差分格式的稳定性、收敛性
分析 133
三、数值算例 135
第五节 二维双曲型方程的交替方向
隐格式 135
一、显差分格式 135
二、交替方向隐格式 137
三、交替方向隐格式的稳定性、收敛性
分析 140
四、二维抛物型方程交替方向隐格式的
稳定性 142
五、数值算例 142
第六节 二维双曲型方程的紧交替方向
隐式方法 143
一、二维紧差分格式 143
二、紧交替方向隐格式 145
三、紧交替方向隐格式的稳定性、
收敛性分析 146
四、二维抛物型方程紧交替方向隐格式
的稳定性 148
五、数值算例 148
本章参考文献 149
本章要求及小结 150
习题四 150
第五章 椭圆型偏微分方程的有限差分法 155
第一节 五点菱形差分方法 155
一、五点菱形格式 155
二、五点菱形格式的收敛性分析 159
三、数值算例 162
第二节 九点紧差分方法 162
一、九点紧差分格式 163
二、九点紧差分格式的收敛性分析 165
三、数值算例 170
第三节 混合边界条件下的差分方法 170
一、二阶差分格式 171
二、差分格式的收敛性分析 176
三、数值算例 176
本章参考文献 177
本章要求及小结 177
习题五 177
第六章 有限元法简介 182
第一节 一个引例 182
一、常微分方程两点边值问题的等价
形式 182
二、模型问题的有限元法 184
三、有限元法的编程 185
四、有限元法的收敛性分析 188
五、数值算例 189
第二节 变分原理与弱解 190
一、原问题的等价变分形式 191
二、Lax-Milgram定理 192
第三节 有限元空间的构造 194
一、对区域 ? 的剖分 194
二、三角形一次元 194
三、一次元的基函数与面积坐标 195
四、三角形二次元及其基函数 196
第四节 有限元法的实现 198
一、单元刚度矩阵及单元荷载 198
二、总刚度矩阵和总荷载的合成 199
三、边界条件的处理 200
四、数值算例 200
第五节 抛物型方程初边值问题的有限
元方法 201
一、原方程的变分形式 201
二、用有限元法进行空间半离散 202
三、用差分法进行时间全离散 203
四、相关量的数值计算 203
五、编程时的一些说明 204
六、数值算例 204
本章参考文献 205
本章要求及小结 205
习题六 205
附录A 二阶线性偏微分方程的变换与分类 207
附录B 四阶龙格－库塔方法的推导 212
附录C 解线性方程组的迭代法 217
前言/序言
前 言
在自然科学、工程技术甚至经济管理领域中的很多数学模型，其表现形式通常为常微分方程或偏微分方程的定解问题，如何有效地进行求解是非常关键的. 这些微分方程定解问题的精确解通常是很难用解析的方法求得的，所以很大程度上要依靠数值求解. 现代计算技术软、硬件的发展为借助计算机的数值求解微分方程垫定了媒质基础，而真正高效地求解微分方程的定解问题则更需要坚实的数学理论和计算机编程实践基础，为此我们编写了这本教材.
该教材具有如下特色：
① 教材起点比较低，为了适应一般院校学生数学基础相对薄弱的特点，直到最后的两三章才使用变化较多的差分算子记号，使学生一开始就不被这些算子记号而束缚，而在经过前几章的学习、逐渐适应了常用的差商表示以后，再引入这些算子就显得很自然、也很有效了.
② 在内容和描述上，我们尽可能地把复杂、深奥的数学理论用简单、通俗的语言和例子进行描述，把一些问题最本质的特点反映出来，让学生看得见、摸得着，“知其然”还“知其所以然”. 通过一些思路的描述，让学生了解各种方法的实际演化，从而明白算法改进的实际意义其实本质上就是追求更好、更优，让学生切实体会到这些理论的实际意义.
③ 国内的很多基础教材在微分方程的求解方面都侧重于传授理论知识，而实际上，我们认为微分方程数值求解的理论固然重要，而相应的编程实践同样重要. 所以“两的都要抓，两手都要硬”，这就是我们既把理论知识又把编程算例写入教材的初衷. 让学生从一开始就实实在在地进行编程，从模仿到独立完成. 教材中的算例配上程序和结果是为了让学生能自己实践和对比，从而提高学生的实践操作能力.
④ 在配套的程序编写方面，我们采用C语言进行程序设计，主要是因为一般高等院校普遍开设过《C语言程序设计》这门课程，C语言也是程序设计的主流高级语言. 另外，C语言数组从0开始编号的特点也正好与微分方程的数值计算理论中从0开始设置下标相匹配.
⑤ 此外，我们的程序设计也从简到难，从开始十几行的代码到后来百来行的代码，从开始简单的数组到后来文件数据的存储、读取，以及与MATLAB软件结合来画图，都遵循循序渐进的原则，让学生最后能系统地学会独立编程.
⑥ 本书提供配套电子课件、例题程序代码、课后习题参考运行结果及程序代码，请登录华信教育资源网（http://www.hxedu.com.cn）免费注册下载，或扫描封底、章首和习题的二维码获取相关教学资源。
全书共分6章，主要内容包括：第一章预备知识，介绍常用的差商近似及泰勒公式等；第二章常微分方程的数值解法，主要介绍常微分方程初值问题的有限差分方法，包括最经典的欧拉方法、龙格－库塔方法等，还介绍了差分法的相容性、稳定性及收敛性的概念，然后推广到求解二阶常微分方程的边值问题，为后面介绍偏微分方程定解问题的有限差分法打下基础；第三章抛物型偏微分方程的有限差分法，第四章双曲型偏微分方程的有限差分法，第五章椭圆型偏微分方程的有限差分法，本着从易到难的原则，以上3章分别介绍偏微分方程的3种标准方程在带不同初、边值条件下的差分解法；最后第六章有限元法简介，主要介绍了有限元法的实际意义及简单的编程操作.
本书可作为一般高等院校信息与计算科学专业的基础教材，也可供相关领域的工程技术人员学习和参考.
教学中，可根据教学对象和学时等具体情况对书中的内容进行删减和组合，也可以进行适当扩展，参考学时为48～64学时.
本书第一章至第五章由华冬英编写，第六章由李祥贵编写，所有程序由李祥贵编写. 全书由华冬英统稿. 在本书的编写过程中，电子工业出版社的王羽佳编辑为本书的出版做了大量工作. 在此一并表示感谢！
由于时间紧促，作者学识有限，书中难免有疏漏及错误之处，恳请广大读者批评指正.
作 者
20016年6月
2015年7月
用户评价
这本书给我带来了全新的视角和深刻的理解，让我对微分方程的数值解法不再感到畏惧，而是充满了探索的兴趣。在我过去的学习过程中，面对抽象的数学公式，总会感到有些力不从心，特别是在需要将这些理论转化为实际应用的时候。而《微分方程的数值解法与程序实现》这本书，恰恰弥补了这一遗憾。它不仅仅停留在理论的层面，更是将每一个数值算法都通过精心设计的程序代码得以具体化。我特别喜欢书中关于不同算法在精度、稳定性和计算效率方面的比较分析。这些分析不仅仅是简单的罗列，而是深入地探讨了为什么会出现这些差异，以及在不同的应用场景下，应该如何选择最合适的算法。例如，书中对于显式和隐式方法的比较，以及它们各自的优势和劣势的分析，让我对它们的应用有了更清晰的认识。此外，书中提供的程序代码，无论是MATLAB还是Python版本，都写得非常规范，而且注释非常详细，这对于我这样的初学者来说，无疑是极大的帮助。我尝试着将书中的代码稍作修改，应用到我正在学习的一个关于流体动力学的问题中，结果非常令人满意，数值模拟的结果与理论预测非常接近。这本书让我深切地体会到，数学理论与编程实践的结合，能够爆发出多么强大的力量。
评分这本《微分方程的数值解法与程序实现》简直是为我量身定做的！一直以来，我对求解复杂的微分方程都感到力不从心，特别是当解析解无处寻觅的时候，那种束手无策的感觉真是让人沮丧。传统的数值方法，比如欧拉法，虽然概念简单，但精度实在不敢恭维，稍稍复杂一点的问题就得不到令人满意的结果。而像龙格-库塔法，虽然精度有所提升，但其背后的数学推导过程又常常让人望而却步。这本书的出现，就像一盏明灯，照亮了我前进的道路。它不仅系统地介绍了各种主流的数值解法，从基础的向前欧拉法、向后欧拉法、梯形法，到更高级的四阶龙格-库塔法、多步法，讲解的都非常透彻，而且循序渐进，完全没有我曾经担心的那种“云里雾里”的感觉。更重要的是，书中不仅仅停留在理论层面，还花了大量的篇幅来讲解如何将这些算法用程序实现。我一直觉得，理论再好，如果不能付诸实践，那就如同空中楼阁。这本书恰恰弥补了这一遗憾，它提供了清晰的代码示例，无论是MATLAB、Python还是C++，书中都有涉及，而且代码的编写风格清晰易懂，注释也非常到位，让我这个编程初学者也能很快上手。我尝试着将书中的代码应用到我正在研究的一些物理模型中，结果非常惊艳，数值解的结果与实际情况吻合得非常好，而且计算效率也比我之前自己摸索的方法要高得多。这本书的价值，绝对远超我最初的期待，它不仅是一本教科书，更是一位优秀的编程伙伴，让我对微分方程的数值求解充满了信心，也激发了我进一步探索更高级算法的兴趣。
评分作为一名在物理学领域深耕多年的研究人员，我接触过大量的科学计算书籍，但《微分方程的数值解法与程序实现》这本书，仍然给我留下了极其深刻的印象。它所提供的内容，不仅仅是对现有知识的梳理，更是对科学计算方法的一次系统性革新。我尤其欣赏书中在讲解算法时所展现出的严谨性和全面性。无论是理论推导的逻辑性，还是对算法局限性的分析，都做到了极致。例如，书中对辛几何算法的介绍，为我理解一些守恒律的数值保持提供了新的思路，这在模拟一些长期演化的动力学系统时尤为关键。更重要的是，书中对于程序实现的指导，并没有停留在简单的代码堆砌，而是深入地探讨了如何提高代码的效率、鲁棒性以及可扩展性。书中提供的算法模板，可以轻松地被移植到不同的研究项目中，大大缩短了从模型构建到结果产出的周期。我尝试着将书中关于有限差分法求解偏微分方程的代码应用到我的一个模拟工作中，结果远超预期，计算速度和精度都得到了显著提升，让我能够进行更精细的参数扫描和模型验证。这本书不仅是一本技术手册，更是一位睿智的导师，引领我深入探索数值计算的奥秘。
评分作为一名对数学建模领域颇感兴趣的研究生，我一直在寻找一本能够深入浅出地讲解微分方程数值解法，并且能够指导实际编程实现的权威著作，而《微分方程的数值解法与程序实现》正是我的不二之选。本书最大的亮点在于其内容的广度和深度都达到了一个相当高的水平。它不仅仅局限于介绍几种基本的数值算法，而是涵盖了从一阶常微分方程到高阶、甚至偏微分方程的多种数值求解技术。作者在介绍每一种方法时，都会详细阐述其数学原理、推导过程以及优缺点，这对于我们理解算法的内在逻辑至关重要。例如，对于常微分方程的求解，书中不仅讲解了显式和隐式方法，还深入探讨了收敛性和稳定性分析，这使得读者能够更好地理解不同算法的适用范围和局限性。更令我印象深刻的是，本书在程序实现方面的指导也非常到位。书中提供的代码示例并非是简单的“拿来主义”，而是经过精心设计，能够清晰地展示算法的每一个步骤，并且能够通过调整参数来观察不同方法的性能表现。作者特别强调了数值解的精度和效率之间的权衡，以及如何根据具体问题选择最合适的算法和参数。我利用书中提供的Python代码，成功地解决了我课题中的一个关键性问题，之前困扰我许久的计算难题迎刃而解。这本书不仅是理论的宝库，更是实践的指南，对于任何想要在科学计算领域有所建树的读者来说，都绝对值得拥有。
评分我是一位对数据科学和人工智能领域充满热情的从业者，在工作中，我常常需要处理各种复杂的建模和仿真问题，而微分方程的数值解法是解决这些问题的关键。《微分方程的数值解法与程序实现》这本书，为我提供了宝贵的指导和启示。书中对各种数值方法的讲解，既有深度又不失广度，从基础的显式和隐式方法，到更高级的自适应步长控制和高阶方法，我都能够清晰地理解。最让我称道的是，书中对程序实现的讲解，并不是简单地提供代码，而是深入探讨了算法的效率、稳定性和精度之间的权衡，以及如何根据具体问题进行优化。我利用书中提供的C++代码，成功地将一个复杂的动态系统建模问题，在有限的时间内得到了精确的数值解，这在之前是难以想象的。这本书不仅仅是传授知识，更是教会我如何思考，如何运用数学工具去解决实际问题，这对于我在快速发展的技术领域保持竞争力至关重要。
评分我是一名在工程领域工作的工程师，经常需要处理各种复杂的动态系统建模问题，而这些系统往往都离不开微分方程的描述。在工作中，我常常遇到一些无法通过解析方法求解的微分方程，这时就需要借助数值方法来获得近似解。《微分方程的数值解法与程序实现》这本书，彻底改变了我过去对数值计算的认识。过去，我总觉得数值计算是一门高深的学科，充满了各种复杂的公式和算法，而且编程实现起来也相当困难。但是，这本书的出现，让我对这一切有了全新的认知。作者以一种非常直观的方式，将抽象的数学概念转化为易于理解的语言，并且巧妙地将理论与实践相结合。书中对各种数值方法的讲解，都配有清晰的图示和详细的推导，让我能够一步步地理解算法的原理。更重要的是，本书提供了大量的程序代码示例，涵盖了常用的编程语言，这对于我这样的工程师来说，简直是雪中送炭。我可以直接将书中的代码应用到我的实际项目中，大大节省了开发时间，并且取得了非常精确的结果。例如，在模拟一个复杂的控制系统时，我使用了书中介绍的隐式Runge-Kutta方法，其精度和稳定性远远超出了我之前的预期。这本书不仅提升了我的理论知识，更重要的是，它赋予了我解决实际工程问题的能力，让我能够更自信地面对各种挑战。
评分这本书给我带来的不仅仅是知识的增长，更是思维方式的转变。在过去，我一直认为微分方程的数值解法是一门非常“硬核”的学科，充满了枯燥的公式和复杂的推导，而且编程实现起来更是遥不可及。然而，《微分方程的数值解法与程序实现》这本书，彻底颠覆了我的这种看法。作者以一种非常“接地气”的方式，将抽象的数学概念转化为易于理解的语言，并且将理论与实践巧妙地结合在一起。我尤其喜欢书中对每一种数值方法的讲解，都配有清晰的图示和详细的步骤分解，这让我能够一步步地理解算法的原理。更重要的是，书中提供的程序代码，无论是MATLAB还是Python，都写得非常规范，而且注释非常到位，这对于我这样的初学者来说，简直是雪中送炭。我尝试着将书中的代码应用到我正在进行的一个关于金融建模的项目中，结果非常令人满意，数值解的结果与实际情况吻合得非常好，而且计算效率也比我之前自己摸索的方法要高得多。这本书让我深切地体会到，掌握一套优秀的数值求解方法和编程技巧，能够极大地提升我在实际工作中的能力。
评分我是一名在生物医学工程领域进行科研工作的学生，我的研究中经常需要用到微分方程来描述生物系统的动态演化过程，例如细胞生长模型、药物动力学模型等。这些模型往往具有非线性、高阶等复杂特性，解析求解非常困难，因此数值方法成为了我的主要工具。《微分方程的数值解法与程序实现》这本书，无疑是我近期遇到的最实用、最有价值的一本参考书。书中对各种数值方法的讲解，都非常深入且清晰，从最基本的欧拉方法到更复杂的隐式多步法，我都能够轻松理解其原理。作者并没有将重点局限于算法的推导，而是更注重于算法的实际应用和程序实现。书中提供的代码示例，不仅涵盖了多种主流的编程语言，而且代码的结构清晰，易于理解和修改。我特别喜欢书中对于不同算法在处理特定类型问题时的效果分析，例如，书中对于刚性微分方程的求解方法，为我解决实际研究中的难题提供了重要的指导。我尝试着用书中的代码去模拟一个复杂的药物代谢模型，之前一直困扰我的计算效率问题得到了显著的改善，而且结果的精度也大大提高。这本书让我深刻认识到，掌握一套优秀的数值求解方法和编程技巧，对于进行前沿的科学研究是多么的重要。
评分在学习和研究的过程中，我一直对那些能够将抽象理论与实际应用完美结合的书籍情有独钟。《微分方程的数值解法与程序实现》恰恰就是这样一本令人赞叹的著作。它不仅仅是罗列了一堆算法公式，而是以一种极其清晰、易于理解的方式，为读者呈现了如何将复杂的微分方程转化为可计算的数值解。我个人非常喜欢书中在讲解每一个算法时，都会配以直观的图形和生动的例子。这种方式极大地降低了学习的门槛，让我这个对数学理论基础相对薄弱的读者，也能迅速掌握核心概念。更让我惊喜的是，书中对程序实现的讲解，并不是简单地提供几行代码，而是深入到算法的细节，并且对不同编程语言下的实现进行了细致的对比和分析。我尝试着将书中提供的Python代码，应用到我正在开发的机器学习模型中，用来求解一些涉及到微分方程的优化问题。结果令人欣喜，算法的收敛速度和精度都得到了显著的提升。这本书不仅仅是提供了一种解决问题的方法，更是激发了我对数值计算的浓厚兴趣，让我看到了理论知识在实际应用中巨大的潜力。
评分作为一名对仿真技术和工程计算有浓厚兴趣的学生，我一直在寻找一本能够深入浅出地讲解微分方程数值解法，并且能够指导实际编程实现的权威著作。《微分方程的数值解法与程序实现》这本书，无疑是我近年来最满意的一次购书体验。本书最大的亮点在于其内容的完整性和实践性。它不仅仅覆盖了各种主流的数值算法，从基本的欧拉法到复杂的龙格-库塔法，还深入探讨了这些算法的收敛性和稳定性问题。更重要的是，书中提供了大量详细的程序代码示例，涵盖了多种常用的编程语言，并且对代码的编写、调试和优化进行了深入的讲解。我特别喜欢书中关于如何选择合适的数值方法以及如何进行参数调优的指导。我利用书中提供的MATLAB代码，成功地模拟了一个复杂的航空动力学问题，结果的精度和效率都得到了显著的提升，让我能够更有效地进行方案设计和验证。这本书不仅是理论知识的宝库，更是实践操作的指南，对于任何想要在科学计算领域有所建树的读者来说，都绝对是不可多得的良师益友。
评分这本书很好～我很喜欢，有一定的深度，我会给身边的朋友推荐的！
评分嗯，可以，不错……值得买…………
评分《解析几何》突出几何思想的教育，强调形与数的结合；方法上强调解析法和综合法并重；内容编排上采用"实例－理论－应用"的方式，具体易懂；内容选取上兼顾各类高校的教学情况，具有广泛的适用性。《解析几何》表达通顺，说理严谨，阐述深入浅出。
评分作者很认真。书中代码多，初学者入门经典
评分算法是c语言，买的人请注意。
评分装帧设计很好，快递很快。
评分为什么没有购物明细？！
评分写得很详细到位，适合初学者
评分作者很认真。书中代码多，初学者入门经典
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