现代数学基础丛书·典藏版18：线性偏微分算子引论（下册） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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齐民友，徐超江 著

图书标签:

• 数学
• 偏微分方程
• 线性算子
• 函数分析
• 泛函分析
• 数学分析
• 高等教育
• 教材
• 典藏版
• 现代数学基础丛书

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030024947

版次：1

商品编码：12063417

包装：平装

丛书名： 现代数学基础丛书·典藏版

开本：16开

出版时间：1992-04-01

用纸：胶版纸

页数：276

字数：232000

正文语种：中文

内容简介

　　《现代数学基础丛书·典藏版17：线性偏微分算子引论》介绍线性偏微分算子的现代理论，主要论述拟微分算子和Fourier积分算子理论，同时也系统地讲述了其必备的基础——广义函数理论和Sobolev空间理论。
　　《现代数学基础丛书·典藏版17：线性偏微分算子引论》分上、下两侧。上册着重讨论拟微分算子及其在偏微分方程经典问题（Cauchy问题和Dirichiet问题）上的应用。下册将主要介绍Fourier积分算子理论和佐藤的超函数理论。
　　《现代数学基础丛书·典藏版17：线性偏微分算子引论》可供有关专业的大学生、研究生、教师和研究工作者参考。

内页插图

目录

第八章 辛几何
§1．Hamilton力学
§2．辛代数
§3．辛流形
§4．辛流形的子流形

第九章 Fourier积分算子
§1．F10的物理背景
§2．F10的局部理论
§3．Ligrange-Grassmann流形
§4．F10的整体理论
§5．具有实主象征的主型PsDO

第十章 非线性微局部分析
§1．Littlewood-Paley分解
§2．仿微分算子
§3．非线性偏微分方程的仿线性化
§4．非线性方程的解的正则性
§5．非线性方程解的奇异性的传播

参考文献
后记

前言/序言

　　五十年代以来，线性偏微分算子理论有了很大的发展。这当然是由于四十年代末出现的广义函数论为线性偏微分算子理论提供了一个极好的框架，可以说，它总结了以前的重大成果又为以后的发展提供了强有力的工具。因此，无怪乎在六十年代以后，在这个领域中连续不断地出现了许多重大的成果，如拟微分算子理论、Fourier积分算子理论、微局部分析、超函数理论等等，大概没有什么人会怀疑，这些成果都获得了“生存权”，成为数学宝库的一个很有价值的部分了。事实证明，它们的价值不仅在于它们将这个领域的研究大大地深化了，而且还在于它们在其它领域（微分几何、理论物理）中发挥着越来越大的作用。但是这种情况也说明，要想跟上这个领域的发展也是一件相当困难的事。要想在这个领域中工作，不得不有相当深厚的功力，不得不懂得越来越多的其它数学分文。还应该指出，这个领域还在迅速发展，看不出有停下来或者是放慢步伐的迹象，例如，正当我们用了很大的力量来掌握微局部分析时，它却已被人称为“七十年代算法”，而到了八十年代中期的现在，它又发展到新的水平了，这种情况对于我们曾在十多年中脱离了数学发展主流的人，是幸乎？不幸乎？
　　因此，想要写出一本书帮助我国读者能“跟上形势”，是作者力所不及的事。幸好，我们有了Hormander的新著“The analysis of line arpartial differential operators，它当然会是一部影响深远的巨著，特别是按许多同志的看法，它的第一卷是关心现代分析的读者所必备的知识。因此，我们只能提出一个低得多的目标：对于这个领域中已经成熟的若干主要部分作一个入门的介绍。这里说若干，是因为对许多当前十分活跃的问题就几乎没有提到，按时间说，最多也只到七十年代初期，这本书的中心内容是拟微分算子和Fourier积分算子理论。即使如此，这还是一个超出作者能力的尝试。如果它能引起读者对偏微分算子理论的兴趣，并且去攻读例如新著和最新的文献，那就使作者十分满意了。
　　这本书不少揶分是研究生教材，写的时侯，假定读者具有经典的偏微分方程理论、泛硒分析和函数论（实的和复的）的基本知识。
　　书中有个别地方用到一些不太常见的结果时，只能提出出处，或者假定读者自己会去补足。这本书分上、下册，下册的内容按作者现在的设想将是辛几何、Fourier积分算子理论、主型算予以及如果有可能的话还有佐藤的超函数理论。
　　对这本书中必然存在的缺点和错误，衷心欢迎读者批评指正。

现代数学基础丛书·典藏版19：椭圆型算子理论及其应用 丛书信息： 现代数学基础丛书·典藏版（第19卷） 主旨： 本书聚焦于偏微分方程理论中至关重要且应用极其广泛的椭圆型算子，深入探讨其在泛函分析、几何分析以及现代物理学中的核心理论与前沿进展。 内容概览： 本卷内容旨在为读者构建一个严谨而全面的椭圆型偏微分方程理论框架。区别于侧重于基本建立和一阶、二阶方程基础理论的入门性著作，本书将视角提升至更抽象、更具通用性的泛函分析高度，同时紧密结合现代几何学和数学物理对椭圆型方程的深刻需求。 第一部分：椭圆型算子的泛函分析基础 本部分为后续深入研究奠定必要的数学工具和理论基础。 第一章：Sobolev空间的高阶理论与边界值问题 本章详细考察了高阶Sobolev空间$W^{k,p}(Omega)$的性质，特别是其嵌入定理在极限情况下的深入分析。重点讨论了不等价范数之间的精确联系，以及函数在特定正则性条件下（如Mollification）的逼近性质。边界正则性方面，引入了更精细的函数空间，如Bessel势空间和里索夫空间（Bessel Potential Spaces and Riesz Potential Spaces），用以处理边界具有特定光滑性要求的解的存在性问题。我们探讨了由拉普拉斯算子逆算子诱导的算子，并分析了其在不同参数下（$p$趋近于1和$infty$）的稳定性。 第二章：椭圆算子的谱理论与紧性 本章转向椭圆型算子的谱特性分析。我们首先建立了一般椭圆型算子（特别是二阶和四阶的）在希尔伯特空间上的自伴随性（Self-Adjointness）和紧性性质。关键内容包括：对一个在有界区域上定义的椭圆算子，其在$L^2(Omega)$上的谱的离散性证明，以及特征值（Eigenvalues）的渐近分布（如Weyl律的更高阶修正）。此外，我们将探讨非自伴随椭圆算子的摄动理论，特别是Riesz投影和谱分解在涉及退化椭圆型算子时的适用性。 第三章：椭圆型方程的变分方法与最小作用量原理 本章从变分角度审视椭圆型方程。我们详细阐述了基于Dirichlet能量泛函的极小化原理，以及其与线性椭圆型方程解的等价性。重点分析了满足De Giorgi-Nash-Moser理论的非线性椭圆型方程（如$Delta_p u = 0$）的内部正则性提升，特别是关于解的Hölder连续性的深层结果。本章还引入了抽象的变分不等式（Variational Inequalities），作为处理自由边界问题和非光滑势能问题的工具。 第二部分：几何分析与非线性椭圆型方程 本部分将理论聚焦于几何背景下的椭圆型方程，以及现代分析关注的非线性问题。 第四章：黎曼流形上的椭圆型方程 本章将前述理论推广至黎曼流形。我们定义了流形上的拉普拉斯-贝特拉米算子（Laplace-Beltrami Operator）及其推广。核心内容包括：流形上Sobolev空间的定义（基于图论或测度论），以及度量对算子谱的影响。重点分析了Pontryagin-Lefschetz型迹公式的推导，这在代数拓扑中具有重要意义。此外，本书还讨论了在具有边界的流形上（如具有锥形奇点的流形）的椭圆型算子，需要用到更精细的边缘估计技术。 第五章：准线性与完全非线性椭圆型方程 本章是研究现代数学物理与优化理论的关键部分。我们深入讨论了Majesic方程族（如Monge-Ampère方程、Poisson-Laplace方程的非线性推广）。关键理论包括：Schroder-Perron方法在非线性方程中的推广，以及关于解的先验估计（如Maximum Principle的推广）。对于Monge-Ampère方程，本书会详细阐述Alexandrov最大值原理，并探讨其在图像处理和几何测度论中的应用，包括对Calabi-Yau度量的搜索。 第六章：热传导与波方程的椭圆型视角（退化与奇异性） 虽然热传导和波方程是抛物型和双曲型，但其稳态解（即时间趋于无穷的极限）或某些特殊解（如瞬态解的某些分量）往往归结为椭圆型问题。本章探讨了具有负特征值或奇异系数的退化椭圆型算子，如Carleman型算子。重点分析了不可压缩Navier-Stokes方程的稳态简化形式（Stokes方程）的$L^p$估计，以及涉及半群理论的椭圆型方程的解的稳定性分析。 目标读者： 本书适合具有坚实泛函分析基础的研究生、博士后研究人员以及从事微分几何、数学物理和应用数学领域的研究学者。它要求读者对基础偏微分方程和基础算子理论有深入的理解。 本书特点： 本书在保持数学严谨性的同时，力求在理论深度上有所突破，特别是对高阶、非线性、以及几何背景下的椭圆型算子进行了详尽的梳理，提供了从经典理论向现代前沿过渡的桥梁。内容组织结构清晰，逻辑链条完整，旨在成为椭圆型算子理论领域的权威参考书。

评分☆☆☆☆☆

说实话，一开始看到这本书的厚度和标题，我还有点犹豫，担心自己能否驾驭。但当我真正开始阅读后，这种顾虑就烟消云散了。这本书的写作风格非常独特，它不像有些教科书那样干巴巴的，而是充满了数学的“生命力”。作者在讲解抽象概念的同时，总会穿插一些引人入胜的例子或者历史背景，这让整个学习过程变得更加有趣。尤其是在介绍一些重要定理的提出背景和意义时，我感觉自己不仅仅是在学习数学，更是在了解数学的发展历程。这本书给我的感觉是，它鼓励读者主动思考，去探索定理背后的逻辑，去发现不同概念之间的联系。虽然有些章节确实需要花费较多精力去理解，但这种挑战性恰恰是学习过程中最宝贵的财富。我非常享受这种在不断思考和解决问题中前进的感觉，这本书无疑是我的一个重要指引。

评分☆☆☆☆☆

这本书的内容简直太厚实了！我拿到手的时候就感觉沉甸甸的，翻开目录更是被吓了一跳，感觉里面涵盖的知识点密度极高。我之前对线性偏微分算子这个领域不算特别了解，但这本书给我的感觉是，它非常系统地从最基础的概念讲起，然后逐步深入，一点点构建起对这类算子的深刻理解。尤其是“下册”，我感觉它在“上册”的基础上，把理论的深度和广度都大大扩展了。我特别喜欢其中关于椭圆算子、抛物型算子和双曲型算子各自性质的详细阐述，每一种算子都有其独特的行为模式和应用场景，作者在这方面花了大量的笔墨去解释，并且配以大量的例子，让我能够清晰地把握它们之间的联系与区别。虽然有些地方的证明过程相当精巧，需要反复推敲，但一旦理解了，那种豁然开朗的感觉是其他任何教材都无法比拟的。这本书不仅仅是知识的堆砌，更是一种思维方式的引导，它教会我如何去分析问题，如何从根本上理解数学对象的本质。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对数学理论有强烈追求的学生，我一直在寻找一本能够真正引领我进入线性偏微分算子世界深处的教材，而这本《线性偏微分算子引论（下册）》恰恰满足了我的需求。它不是一本“速成”的读物，更像是一次严谨而细致的数学探索之旅。作者在内容组织上循序渐进，但每一个环节都力求做到清晰透彻，避免了概念的含糊不清。我尤其赞赏书中对各种算子类别的分类和描述，以及它们之间相互转换的条件和意义。这使得我对线性偏微分算子有了整体的认识，不再是零散的知识点。书中大量的定理证明都非常详尽，即使是那些看起来比较“标准”的证明，作者也往往会给出不同的角度或者强调其核心思想，这对于我理解数学证明的逻辑和技巧非常有帮助。读这本书的过程，感觉就像是在和一位经验丰富的数学家进行对话，他会耐心地引导你，让你逐步领悟那些深藏在公式背后的数学智慧。

评分☆☆☆☆☆

这套“典藏版”的名字确实名副其实，翻开第一页就能感受到印刷和纸张的品质，非常适合放在书架上细细品读。我之前接触过一些关于偏微分方程的书籍，但很多都侧重于解的存在性、唯一性或者数值方法，而这本书的侧重点显然不同。它更像是对“算子”本身进行一次彻底的解剖，从其代数结构、拓扑性质到与函数的交互方式，都进行了深入的探讨。我印象特别深刻的是关于泛函分析在研究偏微分算子中的应用，这部分内容对我来说是全新的视角。作者巧妙地将抽象的泛函分析概念与具体的微分算子联系起来，使得原本看起来枯燥的理论变得生动且具有强大的解释力。尤其是对 Sobolev 空间、分布论等概念的引入和运用，简直是打开了新世界的大门，让我能够以更严谨、更深刻的方式来理解偏微分方程的解的性质。虽然有时候会觉得有些晦涩，但正因为有这种挑战性，才更能激发我不断探索的动力，这本书绝对是值得反复研读的珍宝。

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，数学的魅力在于其高度的抽象性和普适性，而线性偏微分算子正是体现了这一点。这本书以一种非常“数学化”的方式来呈现这个主题，它不仅仅是介绍各种算子以及它们的性质，更重要的是，它展现了如何利用现代数学的工具来研究这些算子。我在阅读过程中，不断被作者的严谨所折服。他对每一个概念的定义都精确到位的，每一个定理的表述都清晰明了。对于那些需要深刻理解的证明，书中提供的推导过程条理清晰，逻辑严密，即使是初学者，只要肯花时间和精力，也一定能从中受益匪浅。这本书的“典藏版”设计，更是体现了出版方的用心，纸张的触感，字体的排布，都让阅读体验提升了一个档次。我甚至会觉得，这本书不仅仅是学习资料，更是一件艺术品，值得珍藏。