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苏岐芳 著

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• 高等教育
• 工程数学
• 计算数学
• 数值模拟
• 优化算法

出版社： 中国铁道出版社

ISBN：9787113228002

版次：2

商品编码：12179634

包装：平装

开本：16开

出版时间：2017-02-01

用纸：胶版纸

页数：344

字数：431

编辑推荐

本书采用中、英两种语言编写，各章都配有大量的习题及上机实验题目，并附有部分习题的参考答案及数学专业软件Mathematica和Matlab的简介。

内容简介

本书介绍了科学计算中常用数值分析的基础理论及计算机实现方法。主要内容包括：误差分析、插值、函数逼近、数值积分和数值微分、非线性方程的数值解法、线性方程组的直接解法、线性方程组的迭代解法、常微分方程的数值解法及相应的上机实验内容等。各章都配有大量的习题及上机实验题目，并附有部分习题的参考答案及数学专业软件Mathematica和Matlab的简介。
本书采用中、英两种语言编写，适合作为数学、计算机和其他理工类各专业本科“数值分析（计算方法）”双语课程的教材或参考书，也可供从事科学计算的相关技术人员参考。

作者简介

苏岐芳，副教授，台州学院数学与信息工程学院副院长

目录

1 Error Analysis ......1
1.1 Introduction ............ 1
1.2 Sources of Errors .... 2
1.3 Errors and Significant Digits .......... 4
1.4 Error Propagation ... 8
1.5 Qualitative Analysis and Control of Errors ............ 9
1.5.1 Ill-condition Problem and Condition Number....................... 9
1.5.2 The Stability of Algorithm .. 10
1.5.3 The Control of Errors .......... 11
1.6 Computer Experiments................. 14
1.6.1 Functions Needed in the Experiments by Mathematica ...... 14
1.6.2 Experiments by Mathematica...................... 14
1.6.3 Functions Needed in the Experiments by Matlab................ 16
1.6.4 Experiments by Matlab ....... 16
Exercises 1..................... 17
2 Interpolating.......19
2.1 Introduction .......... 20
2.2 Basic Concepts ..... 21
2.3 Lagrange Interpolation ................. 22
2.3.1 Linear and Parabolic Interpolation .............. 22
2.3.2 Lagrange Interpolation Polynomial............. 24
2.3.3 Interpolation Remainder and Error Estimate....................... 25
2.4 Divided-differences and Newton Interpolation .... 29
2.5 Differences and Newton Difference Formulae..... 33
2.5.1 Differences .. 33
2.5.2 Newton Difference Formulae ...................... 35
2.6 Hermite Interpolation ................... 38
2.7 Piecewise Low Degree Interpolation.................... 42
2.7.1 Ill-posed Properties of High Degree Interpolation .............. 42
2.7.2 Piecewise Linear Interpolation .................... 43
2.7.3 Piecewise Cubic Hermite Interpolation....... 44
2.8 Cubic Spline Interpolation............ 45
2.8.1 Definition of Cubic Spline... 45
2.8.2 The Construction of Cubic Spline ............... 46
2.9 Computer Experiments................. 49
2.9.1 Functions Needed in the Experiments by Mathematica ...... 49
2.9.2 Experiments by Mathematica...................... 50
2.9.3 Experiments by Matlab ....... 56
Exercises 2................... 64
3 Best Approximation ...................68
3.1 Introduction .......... 68
3.2 Norms ................... 69
3.2.1 Vector Norms ...................... 69
3.2.2 Matrix Norms ...................... 74
3.3 Spectral Radius..... 76
3.4 Best Linear Approximation .......... 79
3.4.1 Basic Concepts and Theories....................... 79
3.4.2 Best Linear Approximation . 81
3.5 Discrete Least Squares Approximation ................ 82
3.6 Least Squares Approximation and Orthogonal Polynomials........ 87
3.7 Rational Function Approximation 94
3.7.1 Continued Fractions ............ 94
3.7.2 Padé Approximation............ 97
3.8 Computer Experiments................. 99
3.8.1 Functions Needed in The Experiments by Mathematica..... 99
3.8.2 Experiments by Mathematica.................... 100
3.8.3 Functions Needed in The Experiments by Matlab ............ 106
3.8.4 Experiments by Matlab ..... 106
Exercises 3................. 111
4 Numerical Integration and Differentiation ........114
4.1 Introduction ........ 115
4.2 Interpolatory Quadratures........... 116
4.2.1 Interpolatory Quadratures.. 116
4.2.2 Degree of Accuracy........... 117
4.3 Newton-Cotes Quadrature Formula.................... 118
4.4 Composite Quadrature Formula . 123
4.4.1 Composite Trapezoidal Rule ..................... 123
4.4.2 Composite Simpson’s Rule ....................... 124
4.5 Romberg Integration................... 125
4.5.1 Recursive Trapezoidal Rule ...................... 125
4.5.2 Romberg Algorithm .......... 126
4.5.3 Richardson’s Extrapolation ....................... 128
4.6 Gaussian Quadrature Formula .... 129
4.7 Multiple Integrals ....................... 134
4.8 Numerical Differentiation........... 135
4.8.1 Numerical Differentiation . 135
4.8.2 Differentiation Polynomial Interpolation .. 137
4.8.3 Richardson’s Extrapolation ....................... 141
4.9 Computer Experiments............... 144
4.9.1 Functions Needed in the Experiments by Mathematica .... 144
4.9.2 Experiments by Mathematica.................... 144
4.9.3 Experiments by Matlab ..... 149
Exercises 4................... 153
5 Solution of Nonlinear Equations ......................156
5.1 Introduction ........ 156
5.2 Basic Theories .... 158
5.3 Bisection Method 159
5.4 Iterative Method and Its Convergence................ 162
5.4.1 Fixed Point and Iteration ... 162
5.4.2 Global Convergence.......... 163
5.4.3 Local Convergence............ 165
5.4.4 Order of Convergence ....... 167
5.5 Accelerating Convergence.......... 168
5.6 Newton’s Method ....................... 170
5.6.1 Newton’s Method and Its Convergence .... 170
5.6.2 Reduced Newton Method and Newton’s Descent Method ....................... 172
5.6.3 The Case of Multiple Roots....................... 173
5.7 Secant Method and Muller Method .................... 174
5.7.1 Secant Method................... 174
5.7.2 Muller Method................... 175
5.8 Systems of Nonlinear Equations. 176
5.9 Computer Experiments............... 179
5.9.1 Functions Needed in the Experiments by Mathematica .... 179
5.9.2 Experiments by Mathematica.................... 180
5.9.3 Experiments by Matlab ..... 185
Exercises 5................. 188
6 Direct Methods for Solving Linear Systems ....191
6.1 Introduction ........ 192
6.2 Gaussian Elimination.................. 193
6.2.1 Basic Gaussian Elimination....................... 193
6.2.2 Triangular Decomposition. 197
6.3 Gaussian Elimination with Column Pivoting ..... 200
6.4 Methods of the Triangular Decomposition......... 202
6.4.1 The Direct Methods of The Triangular Decomposition .... 202
6.4.2 The Square Root Method .. 203
6.4.3 The Speedup Method......... 206
6.5 Analysis of Round-off Errors ..... 210
6.5.1 Condition Number............. 210
6.5.2 Iterative Refinement .......... 214
6.6 Computer Experiments............... 215
6.6.1 Functions Needed in the Experiments by Mathematica .... 215
6.6.2 Experiments by Mathematica.................... 215
6.6.3 Functions Needed in the Experiments by Matlab.............. 222
6.6.4 Experiments by Matlab ..... 222
Exercises 6................... 227
7 Iterative Techniques for Solving Linear Systems ....................230
7.1 Introduction ........ 231
7.2 Basic Iterative Methods .............. 233
7.2.1 Jacobi Method ................... 234
7.2.2 Gauss-Seidel Method ........ 236
7.2.3 SOR Method...................... 237
7.3 Iterative Method Convergence ... 238
7.3.1 Basic Theorems ................. 238
7.3.2 Some Special Systems of Equations.......... 243
7.4 Computer Experiments............... 247
7.4.1 Functions Needed in The Experiments by Mathematica... 247
7.4.2 Experiments by Mathematica.................... 247
7.4.3 Experiments by Matlab ..... 251
Exercises 7................... 255
8 Numerical Solution of Ordinary Differential Equations ............258
8.1 Introduction ........ 258
8.2 The Existence and Uniqueness of Solutions....... 260
8.3 Taylor-Series Method................. 262
8.4 Euler’s Method ... 263
8.5 Single-step Methods ................... 267
8.5.1 Single-step Methods.......... 267
8.5.2 Local Truncation Error ...... 267
8.6 Runge-Kutta Methods ................ 268
8.6.1 Second-Order Runge-Kutta Method.......... 268
8.6.2 Fourth-Order Runge-Kutta Method........... 270
8.7 Multistep Methods...................... 271
8.7.1 General Formulas of Multistep Methods... 272
8.7.2 Adams Explicit and Implicit Formulas...... 273
8.8 Systems and Higher-Order Differential Equations..................... 275
8.8.1 Vector Notation ................. 276
8.8.2 Taylor-Series Method for Systems............ 278
8.8.3 Fourth-Order Runge-Kutta Formula for Systems.............. 279
8.9 Computer Experiments............... 281
8.9.1 Functions Needed in the Experiments by Mathematica .... 281
8.9.2 Experiments by Mathematica.................... 281
8.9.3 Experiments by Matlab ..... 286
Exercises 8................... 290
Appendix ...............293
Appendix A Mathematica Basic Operations ............ 293
Appendix B Matlab Basic Operations ...................... 309
Appendix C Answers to Selected Question.............. 327
Reference..............332

前言/序言

本书第1 版出版以来，得到了许多专家、同仁及读者的关心、支持和帮助，并提出了许多宝贵意见和建议。借再版之机，首先向关心本书的广大读者、专家、同行和本书的各位责任编辑表示由衷的谢意！
在修订中，为了更适合当前双语教学的需求，我们保留了原教材的系统和编写风格（理论部分以中文为主，软件实现部分以英文为主），注意吸收当前国内外教材改革中一些成功的经验，努力体现创新教学理念，以利于激发学生自主学习，提高实践应用能力，培养综合素质和创新能力。
本次再版修订的内容主要包括以下几方面：
1．订正了语言文字表达方面的不足之处，力求用词规范，表达确切。
2．剔除了个别内容重复和烦琐之处，使理论部分更好地体现“够用为度”的编写原则。
3．恰当地处理有关定理的证明和有关例题的求解方法，使其更加通俗易懂。
4．增补了多重积分、有理逼近、Padé逼近等内容，进一步体现教材的先进性。
5．结合增补内容，对习题配置作了进一步充实、完善。
6．在实验部分，大量增加了算法的Matlab 实现程序及相应的算例，以便于指导学生实践应用。
本书由浙江台州学院苏岐芳副教授主编，浙江台州学院郑学良教授、李希文副教授和应玮婷老师参与修订。具体写作分工为：第1 章、第2 章及附录由李希文修订；第3章由郑学良修订；第4章~第8章由苏岐芳修订；全书的计算机实验由应玮婷修订。
在本书修订过程中，浙江师范大学徐秀斌教授为本书提出了许多宝贵意见，浙江海洋学院郝彦教授、朱玉辉老师及厦门理工学院陈淑萍老师，对本书的编写都做了大量工作，在此一并表示衷心感谢！
编 者
2016年10月

《线性代数基础与应用：方法、理论与实践》 内容概要： 本书旨在为读者提供一套全面而深入的线性代数知识体系，重点关注理论的严谨性与实际应用相结合。全书结构清晰，逻辑流畅，旨在帮助读者建立扎实的线性代数基础，并掌握其在现代科学、工程、数据科学以及经济学等诸多领域中的应用。 第一部分：基本概念与向量空间 本书从向量和向量空间的基本概念入手，系统地介绍了线性组合、线性相关性、基和维数的概念。着重分析了 $mathbb{R}^n$ 空间中的几何直观，并逐步推广到抽象的向量空间。 向量与线性组合： 详细阐述了向量的定义、加法和标量乘法，以及线性组合的概念。通过丰富的例子，展示了向量空间中基本运算的几何意义。 线性相关性、基与维数： 深入探讨了线性相关与线性无关的判定方法，引入了基的概念作为向量空间的基石。通过理解维数，读者可以量化空间的“大小”，这是后续理论发展的基础。 子空间： 系统介绍了向量子空间，特别是列空间（Column Space）、零空间（Null Space）和行空间（Row Space）这三个核心子空间。详细讲解了如何通过行简化形式（Row Echelon Form）来确定这些子空间的基和维数，为求解线性方程组提供了强大的工具。 第二部分：矩阵与线性变换 本部分将重点放在矩阵作为线性变换的载体，揭示矩阵代数的内在结构和变换性质。 矩阵运算与线性变换： 将矩阵视为从一个向量空间到另一个向量空间的线性映射。详细讨论了矩阵的乘法、逆矩阵以及转置运算，并从变换的角度重新审视这些运算的意义。 行简化与矩阵秩： 详述了高斯消元法在求解线性方程组 $Ax=b$ 中的核心作用，特别是矩阵的秩（Rank）如何决定解的存在性和唯一性。引入了 LU 分解，展示了矩阵分解在数值计算中的重要性。 行列式（Determinants）： 系统地推导了行列式的代数性质和几何意义（如体积和方向的缩放）。重点讲解了如何使用行列式来判断矩阵的可逆性，并介绍其在克拉默法则（Cramer's Rule）中的应用。 第三部分：特征值与特征向量 特征值与特征向量是理解线性系统动态行为的关键。本部分将深入剖析这些概念，并探讨它们在对角化中的应用。 特征值与特征向量的计算： 详细介绍了如何求解特征方程，求出特征值和对应的特征向量。探讨了代数重数和几何重数的概念。 对角化（Diagonalization）： 阐述了可对角化的条件，并演示了如何通过相似变换将矩阵对角化。对角化在简化矩阵幂运算和求解线性微分方程组中具有不可替代的作用。 对称矩阵与正交性： 重点分析了对称矩阵的特殊性质，包括实对称矩阵保证特征值是实数且特征向量可以正交化。引入了施密特正交化过程（Gram-Schmidt Process），用于构造正交基。 第四部分：内积空间与正交性 本部分将空间概念提升到更广阔的内积空间，使“长度”和“角度”的概念适用于更一般的向量集。 内积、长度与正交性： 推广了欧几里得空间中的点积，定义了一般内积空间，并基于此定义了向量的长度和两个向量之间的夹角。正交性作为一种重要的独立性度量被强调。 正交投影与最小二乘法： 详细讲解了向量在子空间上的正交投影，这是解决最小二乘问题的几何基础。通过最小二乘法，本书展示了如何处理超定系统（Overdetermined Systems），这是数据拟合和回归分析的核心。 奇异值分解（SVD）： SVD 作为线性代数中最强大的分解工具之一，被作为本部分的亮点进行介绍。详细阐述了 SVD 的构造、几何解释及其在数据压缩、主成分分析（PCA）中的广泛应用。 第五部分：应用与高级主题 最后一部分将理论知识与实际应用紧密结合，展示线性代数在现代计算科学中的核心地位。 马尔可夫链与动态系统： 应用特征值理论分析离散时间动态系统，特别是通过马尔可夫链模型来预测系统的长期行为和稳态分布。 二次型与主轴定理： 引入二次型的概念，并利用特征值分解来简化二次型，找到其主轴方向，这在优化问题和几何形状分析中至关重要。 迭代法简介： 鉴于大型稀疏矩阵在实际中非常普遍，本章简要介绍了求解大型线性系统 $Ax=b$ 的迭代方法（如雅可比法和高斯-赛德尔法）的基本思想，为读者进一步学习数值线性代数打下基础。 本书特色： 理论与直观并重： 每一个抽象概念都配有详尽的几何或代数解释，确保读者不仅“知道怎么做”，更“理解为什么”。 应用导向： 章节末尾设有“应用透视”部分，将所学知识与数据科学、工程建模中的实际问题连接起来。 清晰的证明结构： 重要的定理都提供了完整、易于理解的证明，培养读者的数学思维和严谨性。 本书适合作为高等院校理工科、经济学、计算机科学专业本科生的核心教材，同时也为研究生和工程技术人员提供了系统复习和深入理解线性代数的优质资源。

评分☆☆☆☆☆

这本《数值分析》以其严谨的数学语言和清晰的逻辑结构，成功地吸引了我。我一直对数值代数，特别是特征值问题的数值计算方法非常感兴趣。我希望书中能够深入探讨如何求解大型稀疏线性系统的迭代方法，比如预条件共轭梯度法，以及如何有效地估计和计算矩阵的特征值和特征向量，比如幂法、反幂法、QR算法等。我特别期待书中能够详细阐述这些算法的收敛性分析，并提供相应的理论证明。此外，对于非线性方程组的求解，书中是否会涉及一些更通用的方法，如拟牛顿法，以及如何处理其局部收敛性和全局收敛性的问题，也是我非常好奇的地方。我希望这本书不仅仅是理论的堆砌，更能提供一些实际的算法实现技巧和注意事项，比如如何选择合适的初始值，如何处理病态问题等，这些对于实际应用来说至关重要。

评分☆☆☆☆☆

作为一个对数学分析和微积分有一定基础的读者，我一直渴望找到一本能够将这些理论知识与实际计算问题巧妙结合的书籍。这本书的出现，无疑点燃了我学习的热情。我非常好奇书中会如何引入误差分析这个至关重要的概念，比如截断误差和舍入误差的来源、量化以及如何控制。毕竟，在实际计算中，任何结果的精确度都离不开对误差的深刻理解。我特别希望能看到书中对数值积分和微分方法（如梯形法则、辛普森法则、欧拉方法、龙格-库塔方法等）的详细讲解，包括它们的原理、误差阶数以及在不同精度要求下的选择依据。同时，我也期待书中能够涉及一些更高级的主题，比如样条插值、最小二乘拟合等，这些都是在数据处理和模式识别中不可或缺的工具。如果书中还能包含一些关于算法稳定性的讨论，那就更完美了，因为算法的有效性不仅仅在于计算速度，更在于其结果的可靠性。

评分☆☆☆☆☆

我被这本书的设计风格深深吸引，它散发出一种既学术又不失亲和力的气息。我一直对函数的逼近和插值问题情有独钟，尤其关注如何用简单的函数去近似复杂的函数。我非常希望书中能够详细介绍多项式插值（如拉格朗日插值、牛顿插值）的原理，并深入分析其误差。更让我期待的是，书中是否会涉及更高级的函数逼近方法，比如切比雪夫逼近，以及如何实现最佳平方逼近。此外，对于数值微分和积分，我希望书中能有更细致的讲解，不仅仅是基本方法的介绍，更希望能够看到它们在解决微分方程初值问题和边值问题中的应用，以及如何分析和控制这些方法的精度和稳定性。我希望这本书能够帮助我建立起对数值分析的系统性认知，理解不同数值方法之间的联系与区别，并能够灵活地运用它们解决实际问题。

评分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计简洁大方，纸质触感也很好，拿到手里就觉得是本值得细细品读的书。我一直对数值计算和算法背后的数学原理很感兴趣，但又常常觉得很多教材要么过于理论化，让人望而却步，要么又过于工程化，缺乏深度。这本书的定价虽然不算低，但我相信它的内容一定能带来物超所值的体验。我特别期待书中能够讲解一些经典数值方法的推导过程，比如牛顿迭代法、二分法在求根问题上的应用，以及它们各自的收敛性分析。此外，对于线性方程组的求解，诸如高斯消元法、LU分解、雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法等，书中能否详细介绍它们的原理、步骤以及在不同类型问题上的适用性，也是我非常关注的。我希望这本书能像一位经验丰富的老师，循序渐进地引导我深入理解这些概念，而不是简单地罗列公式和算法。同时，我也希望书中能够提供一些实际的应用案例，让我能够将学到的理论知识与实际问题联系起来，更好地理解数值分析在科学计算、工程仿真等领域的价值。