计算几何——曲面表示论及其应用 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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罗钟铉 著

图书标签:

• 计算几何
• 曲面表示
• 几何建模
• 计算机图形学
• CAD/CAM
• 数值计算
• 算法
• 数学建模
• 可视化
• 应用数学

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030281647

版次：31

商品编码：12300664

包装：平装

丛书名： 大学数学选修课丛书

开本：32开

出版时间：2018-01-01

页数：240

正文语种：中文

内容简介

本书主要研究几何目标在计算机环境内的数学表示、编辑、计算以及传输等方面的理论与方法及相关的应用，其中包含连续性方法和离散性方法。内容包含计算几何相关的基础理论、多元样条基本理论、局部插值格式、多元有理样条、多项式样条空间结构、NURBS方法、细分方法及网格参数化方法等。本书面向具有本科数学分析和线性代数知识的读者，力求容易入门、由浅入深、讲透原理、联系应用。
本书可作为普通高等学校信息与计算科学专业本科生教材，也可作为计算数学专业硕士生、博士生相关课程的教材或参考书，还可供从事计算机辅助几何设计、计算机图形图像处理等相关领域的科学技术工作者参考。

目录

前言

第1章 预备知识
1.1 射影几何初步
1.1.1 射影平面
1.1.2 平面对偶原理
1.2 关于代数曲线
1.2.1 多项式的结式
1.2.2 Bezout定理
1.2.3 Nother定理
1.3 关于曲线、曲面的基础
1.3.1 向量的内积与向量积
1.3.2 正则曲线
1.3.3 正则曲面
1.4 三角剖分
1.5 Weierstrass逼近定理
1.6 一元样条函数与Bezier曲线
1.6.1 样条函数的定义及基本性质
1.6.2 B样条函数
1.6.3 Bezier曲线及B样条曲线

第2章 多元样条函数的研究方法
2.1 光滑余因子方法
2.2 B网方法
2.3 B样条方法

第3章 局部多项式插值及超限插值
3.1 局部多项式插值
3.1.1 HCT格式
3.1.2 Powell-Sabin格式
3.2 插值算子的布尔和
3.3 矩形域上的超限插值
3.4 四边形Coons曲面片
3.5 三角Coons曲面片
3.5.1 BBG超限插值格式
3.5.2 Nielson的边顶点格式
3.5.3 对称的Gregory公式

第4章 分片有理函数插值
4.1 任意凸多边形上的C0有理函数
4.2 三角剖分上的C1插值有理样条函数
4.2.1 C1广义楔函数
4.2.2 三角剖分上C1插值有理样条的表现
4.2.3 三阶逼近基和插值有理样条的等价表示
4.3 三角剖分上的C2插值有理样条函数
4.3.1 C2广义楔函数及其构造
4.3.2 三角剖分上C2插值有理样条的表现
4.3.3 C2插值有理样条的等价表示
4.4 正则四边形剖分上的插值有理样条
4.5 曲边元上的C1有理样条插值曲面

第5章 多项式样条空间结构与代数曲线
5.1 K[X]mm中模的生成基及其计算
5.1.1 序，约化定理及生成基
5.1.2 计算生成基的算法
5.2 二元样条空间的奇异性条件
5.2.1 最简单的样条奇异性现象
5.2.2 Morgan-Scott剖分上的S12样条空间
5.2.3 S(?)空间的奇异性条件
5.3 代数曲线的几何不变量
5.3.1 射影几何中新的基本概念
5.3.2 代数曲线的特征数
5.4 特征数的应用
5.4.1 特征数在代数曲线理论中的应用
5.4.2 特征数在样条空间奇异性研究中的应用
*5.5 任意剖分上低次样条空间的结构
5.5.1 S1K(?)样条函数空间的结构矩阵
5.5.2 样条函数空间S13(?)和S12(?)维数的讨论
5.5.3 三角剖分中网点的序
5.5.4 样条空间维数上界的改进
5.5.5 三角剖分的拓扑性质和它的结构矩阵的关系
5.5.6 关于非奇异三角剖分的生成方法

第6章 NURBS曲线与曲面
6.1 NURBS曲线与曲面的定义
6.2 NURBS曲线与曲面的基本性质
6.3 NURBS曲线与曲面的基本几何算法
6.3.1 NURBS曲线与曲面的几何作图法
6.3.2 NURBS曲线的节点插入算法

第7章 曲线、曲面细分方法
7.1 细分方法概述
7.2 均匀节点上B样条及细分
7.2.1 B样条的节点细分
7.2.2 卷积方法
7.3 正规细分的收敛性及光滑性分析
7.4 曲面细分奇异点处的连续性分析
7.5 常用的几种细分方法介绍
7.5.1 Catmull-Clark细分
7.5.2 Doo-Sabin细分
7.5.3 Loop细分
7.5.4 四点插值细分
7.5.5 改进的Butterfly细分
7.5.6 根号3细分
7.5.7 四点逼近的曲线细分方法
7.5.8 非静态的曲线细分方法
7.6 算法及实现
7.6.1 数据结构
7.6.2 Loop细分算法

第8章 曲线与曲面参数化
8.1 曲线参数化方法
8.1.1 均匀参数化
8.1.2 累加弦长参数化
8.1.3 向心参数化
8.1.4 修正弦长参数化
8.2 关于累加弦长参数化的进一步讨论
8.3 曲面参数化方法的畸变度量
8.4 重心映射参数化方法
8.4.1 三角网格曲面表示
8.4.2 重心映射方法
8.5 几种常见的重心映射参数化算法
8.5.1 均匀参数化
8.5.2 保形参数化
8.5.3 离散调和映射参数化
8.5.4 中值坐标参数化
8.5.5 基于Ricci流的曲面参数化
8.6 数值结果与分析
参考文献

《计算几何——曲面表示论及其应用》 引言 在现代科技飞速发展的浪潮中，对三维实体世界的精确描述与高效处理的需求日益增长。从计算机图形学中的虚拟现实，到机械设计与制造中的产品建模，再到科学计算中的复杂模拟，都离不开对几何形状，特别是曲面的深入研究与高效算法。本书《计算几何——曲面表示论及其应用》正是应此而生，旨在为读者提供一个全面、系统且深入的视角，去理解曲面的数学本质、计算表示方法以及在诸多领域的实际应用。 本书不涉及与“曲面表示论及其应用”之外的任何内容，我们将专注于这一核心主题，剥离一切可能分散读者注意力的旁枝末节。我们的目标是构建一个坚实的理论基础，并在此基础上展现曲面在计算几何领域所扮演的关键角色。 第一部分：曲面的数学基础与拓扑特性 在深入探讨计算方法之前，理解曲面的本质至关重要。本部分将带领读者回顾并拓展曲面的数学基础。 流形理论入门： 我们将从拓扑空间出发，逐步引入微分流形的定义，探讨其局部欧几里得性质以及光滑结构。重点将放在二维流形，即我们常说的曲面。理解曲面的局部结构是后续讨论其全局性质和计算表示的基础。 曲面的分类与不变量： 曲面并非千篇一律，它们拥有不同的拓扑类型。我们将介绍曲面的基本分类，如球面、环面、射影平面等，并着重讲解欧拉示性数、亏格等拓扑不变量，阐述它们如何刻画曲面的本质属性，以及这些属性在几何分析中的意义。 曲面的微分几何： 掌握曲面的微分几何是理解其形状和性质的关键。我们将介绍曲率的概念，包括高斯曲率和平均曲率。这不仅是对曲面局部弯曲程度的度量，更是理解曲面变形、曲面匹配等问题的基础。我们将深入探讨第一基本形式和第二基本形式，它们分别描述曲面的度量性质和外在弯曲性质，并以此为工具分析测地线、曲率线等重要几何特征。 曲面的嵌入与浸入： 理解曲面如何在三维空间中存在，即嵌入与浸入的概念，将为后续的计算机表示打下基础。我们将探讨曲面的正则性，以及不同嵌入方式对曲面性质的影响。 紧致性与边界： 曲面的紧致性以及是否具有边界，是影响算法设计的重要因素。我们将分析这些属性对曲面表示和处理的制约与便利。 第二部分：曲面的计算表示方法 有了坚实的数学基础，我们便可以开始探索如何在计算机中有效地表示和操作曲面。这一部分将详细阐述各种主流的曲面表示技术，并分析它们的优劣。 参数化曲面： 这是最直观的一种表示方法，通过一对参数 $(u,v)$ 来定义曲面上点的三维坐标 $(x,y,z)$。 显式表示： $z = f(x,y)$。虽然简单，但其适用范围有限，只能表示单值函数定义的曲面。 隐式表示： $F(x,y,z) = 0$。具有更强的通用性，但提取几何信息和进行曲面处理相对复杂。我们将讨论如何从隐式方程中提取曲面信息，以及基于隐式方程的曲面生成算法。 参数方程表示： $mathbf{r}(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))$。这是最通用的参数化表示方法，允许表示任意光滑曲面。我们将深入探讨如何构造有效的参数方程，以及参数域的选择对算法效率和精度带来的影响。 自由形式变形 (FFD) 和度量空间方法： FFD提供了一种基于控制点网格对曲面进行全局或局部的形变的方法，在设计和造型领域有着广泛应用。度量空间方法则侧重于曲面之间的距离和相似性度量，为曲面匹配和检索提供理论支持。 NURBS (Non-Uniform Rational B-Splines) 曲面： NURBS是工业界和计算机图形学中最常用的曲面表示方法之一。 B-样条基础： 我们将从B-样条的定义出发，理解其局部支撑性、分段多项式性质以及通过控制点和节点向量来控制曲面形状的原理。 有理 B-样条： 引入权重因子，使得NURBS能够精确表示圆锥曲线、球形曲面等。 NURBS曲面的建模与编辑： 详细介绍NURBS曲面的构造、修剪、合并、求交等基本操作，以及如何通过调整控制点、节点向量和权重来精确控制曲面形状。 细分曲面 (Subdivision Surfaces)： 细分曲面是一种通过迭代细分简单初始网格来逼近光滑曲面的方法。 Catmull-Clark 细分： 这是最常用的一种细分算法，我们将详细介绍其规则，以及如何生成三次连续的曲面。 Loop 细分： 适用于三角形网格，具有良好的性能和视觉效果。 细分曲面的优点与缺点： 分析细分曲面在表示复杂形状、保持光滑性以及计算效率方面的优势，以及其在特定应用中的局限性。 多边形网格表示： 虽然多边形网格并非直接表示曲面，但它却是计算机图形学中最基础的几何表示。我们将讨论如何从连续曲面生成逼近它的多边形网格，以及如何处理网格的拓扑和几何信息。 隐式曲面（Implicit Surfaces）： 除了前面提到的隐式方程，我们将深入探讨基于距离场、体素场或其他隐式函数的曲面表示，如SDF (Signed Distance Fields) 和 Voxels。 Marching Cubes 算法： 介绍如何从体素数据中提取等值面，生成多边形网格。 混合表示： 讨论如何结合参数化曲面和隐式曲面的优点，以及不同表示之间的转换。 第三部分：曲面表示的算法与分析 掌握了曲面的表示方法，接下来就是如何对这些表示进行高效的计算与分析。本部分将聚焦于核心的算法设计与理论分析。 曲面采样与离散化： 如何从连续曲面生成具有代表性的离散点集，是许多计算的基础。我们将讨论各种采样策略，如均匀采样、基于曲率的自适应采样等，并分析它们的精度和效率。 曲面参数化算法： 尽管许多曲面本身可以参数化，但对于复杂的、任意拓扑的曲面，寻找一个好的参数化是一项挑战。 平均值坐标 (Mean Value Coordinates)： 一种简单有效的参数化方法。 调和映射 (Harmonic Maps)： 利用调和函数的性质来构造参数化。 几何参数化 (Geodesic Parameterization)： 基于测地线距离的参数化，在纹理映射等领域非常重要。 多分辨率曲面表示： 如何在不同尺度上表示曲面，以及如何进行尺度间的转换。 曲面重构： 从离散点云或扫描数据中生成光滑的曲面模型。 基于插值与逼近的方法： 如Radial Basis Function (RBF) 插值，以及Shepard方法。 基于图的曲面重构： 如Alpha Shape算法。 基于隐式表面的曲面重构： 如Poisson Surface Reconstruction。 曲面近似与简化： 为了提高计算效率，常常需要对曲面进行近似或简化。 多边形网格简化算法： 如边坍缩、顶点聚类等。 曲面曲率流： 基于曲率的几何处理，如Mean Curvature Flow，可用于平滑和去除噪声。 曲面匹配与对齐： 寻找两个曲面之间的对应关系，将它们对齐。 基于特征的匹配： 提取曲面的几何特征（如曲率点）进行匹配。 基于形状距离的匹配： 计算曲面之间的形状距离，如ICP (Iterative Closest Point) 算法。 非刚性曲面匹配： 允许曲面在匹配过程中发生形变。 曲面上的几何计算： 测地线计算： 在曲面上计算两点之间的最短路径，以及测地线距离。 曲率分析： 高效计算曲面上任意一点的曲率。 曲面求交： 计算两个曲面交线的算法。 曲面变形： 动态地改变曲面的形状。 基于拉普拉斯算子的变形： 保持曲面的平滑性。 自由形式变形 (FFD) 的高级应用： 结合更复杂的控制机制。 第四部分：曲面表示与应用的交叉领域 本部分将展示曲面表示论如何在众多实际应用领域发挥至关重要的作用，强调理论与实践的紧密结合。 计算机图形学： 三维建模与渲染： 使用NURBS、细分曲面等构建高质量的模型，并进行逼真的渲染。 虚拟现实与增强现实： 实时渲染和交互复杂的虚拟环境。 动画制作： 基于曲面变形的骨骼动画和表情动画。 计算机辅助设计与制造 (CAD/CAM)： 产品设计与造型： 使用NURBS等精确描述复杂产品的几何形状。 数控机床路径规划： 基于曲面模型生成刀具路径，实现精密加工。 模具设计： 复杂曲面的造型与分析。 医学影像与生物信息学： 器官与组织的三维重建： 从CT、MRI等数据中重构人体器官的三维模型。 手术规划与模拟： 基于精确的解剖模型进行手术预演。 药物设计： 分子形状的表示与分析。 地理信息系统 (GIS) 与遥感： 地形建模： 使用DEM (Digital Elevation Model) 等表示地表曲面。 地图绘制与可视化： 生成三维地图和地形视图。 地质灾害分析： 模拟和预测滑坡、洪水等。 科学计算与工程仿真： 有限元分析 (FEA)： 在复杂曲面几何上进行应力、流体等模拟。 计算流体力学 (CFD)： 模拟流体在曲面边界上的流动。 物理现象的建模： 如电磁场、热传导等。 视觉计算与机器人学： 三维场景理解： 从图像或传感器数据中识别和表示曲面。 机器人路径规划： 在复杂环境中规划机器人的运动轨迹。 物体识别与抓取： 基于曲面几何信息识别和定位物体。 艺术与游戏开发： 数字雕塑： 创建和编辑精美的三维艺术品。 游戏场景与角色建模： 构建逼真的虚拟世界。 结语 《计算几何——曲面表示论及其应用》旨在为读者提供一个深入且全面的学习体验。我们不仅会讲解理论的精髓，更会深入探讨算法的实现细节，并辅以丰富的应用案例。本书将引导您从理解曲面的数学本质出发，掌握现代计算几何中用于表示和处理曲面的各种强大工具，最终能够将这些知识融会贯通，应用于您所处的领域，解决实际问题。我们相信，通过对曲面表示论的深入学习，您将能够更好地驾驭三维世界的几何挑战，并在不断发展的科技前沿中，开拓出属于自己的广阔天地。

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第一眼看到《计算几何——曲面表示论及其应用》这个书名，就勾起了我极大的兴趣。作为一名对计算机图形学和计算机辅助设计（CAD）领域有着浓厚兴趣的读者，我一直在寻找能够深入理解曲面几何表示这一核心问题的权威著作。市面上关于计算机图形学的书籍很多，但真正能系统性地讲解曲面表示的理论基础，并进一步探讨其在实际应用中的价值，却显得尤为稀缺。《计算几何——曲面表示论及其应用》这个名字承诺了这一点，它不仅涵盖了计算几何的通用方法论，更将焦点放在了复杂的曲面几何上，这正是我一直以来所渴求的知识。书名中“曲面表示论”几个字，就预示着这本书不会停留在表面，而是会深入到数学原理和算法设计的根源。我非常期待书中能够清晰地阐述不同曲面表示方法的优缺点，例如 Bezier 曲面、NURBS 曲面、T-spline 曲面等等，并深入解析它们在数学上的定义、构造原理以及各种变换下的行为特性。同时，“及其应用”则让我看到了这本书的实践价值。无论是工业设计、电影特效、虚拟现实，还是科学可视化，曲面表示都是不可或缺的基础。我希望书中能提供丰富的案例，展示这些理论是如何被应用于解决实际问题的，例如如何精确地建模复杂的工业产品，如何流畅地渲染逼真的虚拟场景，以及如何高效地处理和分析大规模的三维数据。一个好的应用章节，能够极大地增强我们对抽象理论的理解，并激发我们将其应用到自己项目中的灵感。这本书的出现，无疑为我打开了一扇深入探索曲面世界的大门。

评分☆☆☆☆☆

这本书的出现，仿佛是一股清流，在泛滥的计算机科学书籍中独树一帜。我是一名资深的软件工程师，主要负责开发三维建模软件。在我的职业生涯中，曲面建模始终是我面临的最大挑战之一。虽然市面上有许多关于三维建模的教程和工具指南，但真正能让我从根本上理解曲面几何的精髓，并为我解决实际开发中的疑难杂症提供理论指导的书籍，却寥寥无几。当我看到《计算几何——曲面表示论及其应用》这个书名时，我的第一反应就是，这或许就是我一直在寻找的“圣经”。“曲面表示论”这几个字，立刻吸引了我，它表明本书不仅仅是关于如何使用某种算法，而是关于理解这些算法背后的数学原理和逻辑。我非常好奇书中会如何剖析不同曲面表示方法的精妙之处，例如样条曲线、NURBS、细分曲面等，以及它们是如何通过数学方程来描述复杂三维形状的。更重要的是，“及其应用”部分，我期待看到书中能够详尽地讨论这些表示方法在实际软件开发中的运用，例如在CAD系统中的几何引擎设计、在游戏引擎中的模型优化、在3D打印中的模型修复等。我希望书中能够提供一些深入的算法分析，例如曲面求交、曲面插值、曲面细分等，并且能够解释这些算法在效率和精度上的权衡。对于我这样需要将理论转化为代码的开发者来说，一本既有深度又有广度的书，将是我工作中最宝贵的参考资料。

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随着虚拟现实（VR）和增强现实（AR）技术的飞速发展，对高保真、可交互的三维内容的需求也日益增长。我作为一名VR内容开发者，一直在探索如何更有效地构建和渲染复杂的三维场景。《计算几何——曲面表示论及其应用》这个书名，让我看到了解决这一挑战的可能性。在VR/AR领域，模型的质量直接影响着用户的沉浸感和体验。《计算几何——曲面表示论及其应用》这个书名，直击了我在三维内容创作中最关心的问题：“曲面表示论”。我迫切希望在这本书中能够了解到，如何将现实世界中的平滑、连续的物体，用数学的方式在计算机中进行高效而精确的表示。我对书中能够详细讲解不同曲面表示方法的原理感到非常期待，例如，如何理解和运用 NURBS 曲面来创建具有复杂几何特征的模型，如何利用细分曲面来生成逼真的有机形状，以及各种表示方法在内存占用、计算效率和渲染质量上的差异。同时，“及其应用”也让我看到了这本书在VR/AR开发中的直接价值。我非常希望书中能提供一些具体的应用场景，例如，如何使用书中介绍的曲面表示技术来创建高质量的游戏资产、虚拟环境，或者如何优化现有模型的拓扑结构以适应VR/AR的实时渲染需求。一本能够帮助我提升三维内容制作水平，从而打造更具沉浸感的VR/AR体验的书，对我而言，是极为重要的。

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作为一名在机械设计领域耕耘多年的工程师，我深知精确的几何表示对于产品设计的至关重要性。传统的工程图纸虽然直观，但在现代的三维设计和制造流程中，已经逐渐显得力不从心。我一直寻求能够深入理解如何用计算机精确描述和操作三维物体的书籍，《计算几何——曲面表示论及其应用》这个书名，立刻引起了我的注意。在我的工作中，曲面设计是不可或缺的一环，无论是汽车的外形，飞机的机翼，还是精密仪器中的零部件，都需要通过复杂的曲面来精确定义。我非常好奇书中会如何阐述各种曲面表示方法，例如如何将物理世界的连续曲面离散化为计算机可识别的模型，以及各种表示方法的数学基础是什么。我期待书中能够详细介绍诸如Bezier曲面、B-spline曲面、NURBS等常用的曲面表示技术，并深入分析它们在插值、逼近、几何变换以及与其他几何元素的交互方面的性能。更重要的是，“及其应用”这个词语，让我看到了这本书的实践意义。我非常希望书中能够提供一些与机械设计相关的应用案例，例如如何利用书中介绍的曲面表示技术来优化产品造型，如何进行精确的曲面分析（如曲率分析、公差分析），以及如何将这些模型无缝地集成到CAM（计算机辅助制造）流程中，以实现高效的数控加工。一本能够弥合理论与工程实践之间鸿沟的书，对我来说，将是无价之宝。

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作为一个沉迷于三维数字艺术的爱好者，我对任何能够提升我创作能力的书籍都充满期待。《计算几何——曲面表示论及其应用》这个书名，对我而言，不仅仅是一个书名，更是一个通往无限创意可能性的入口。我一直以来都对那些能够塑造出逼真、流畅、富有表现力的三维模型的技术深深着迷。从角色建模到场景搭建，从产品设计到抽象雕塑，曲面几何无疑是其中最核心的组成部分。我常常在创作过程中遇到瓶颈，对于如何才能让模型更加符合我脑海中的设想，或者如何才能在保证模型细节的同时，使其在渲染和导出时更加高效，感到困惑。这本书的书名，恰好点出了我最需要解决的问题——“曲面表示论”。我渴望在这本书中找到关于如何理解和运用不同曲面表示方法的深入讲解，例如如何在多边形建模和参数化曲面建模之间找到最佳平衡，如何理解NURBS的控制点和权重如何影响曲面的形状，以及如何利用细分曲面来创造出超乎想象的平滑细节。同时，“及其应用”也让我看到了这本书的实用价值。我非常希望书中能够展示一些艺术创作中的实际案例，例如如何利用书中的理论和方法来创建逼真的布料、毛发、有机体模型，或者如何优化现有模型的拓扑结构以提高渲染效率。一本能够指导我从理论到实践，从困惑到领悟的书，无疑是我的福音。