計算幾何——麯麵錶示論及其應用 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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羅鍾鉉 著

圖書標籤:

• 計算幾何
• 麯麵錶示
• 幾何建模
• 計算機圖形學
• CAD/CAM
• 數值計算
• 算法
• 數學建模
• 可視化
• 應用數學

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030281647

版次：31

商品編碼：12300664

包裝：平裝

叢書名： 大學數學選修課叢書

開本：32開

齣版時間：2018-01-01

頁數：240

正文語種：中文

內容簡介

本書主要研究幾何目標在計算機環境內的數學錶示、編輯、計算以及傳輸等方麵的理論與方法及相關的應用，其中包含連續性方法和離散性方法。內容包含計算幾何相關的基礎理論、多元樣條基本理論、局部插值格式、多元有理樣條、多項式樣條空間結構、NURBS方法、細分方法及網格參數化方法等。本書麵嚮具有本科數學分析和綫性代數知識的讀者，力求容易入門、由淺入深、講透原理、聯係應用。
本書可作為普通高等學校信息與計算科學專業本科生教材，也可作為計算數學專業碩士生、博士生相關課程的教材或參考書，還可供從事計算機輔助幾何設計、計算機圖形圖像處理等相關領域的科學技術工作者參考。

目錄

前言

第1章 預備知識
1.1 射影幾何初步
1.1.1 射影平麵
1.1.2 平麵對偶原理
1.2 關於代數麯綫
1.2.1 多項式的結式
1.2.2 Bezout定理
1.2.3 Nother定理
1.3 關於麯綫、麯麵的基礎
1.3.1 嚮量的內積與嚮量積
1.3.2 正則麯綫
1.3.3 正則麯麵
1.4 三角剖分
1.5 Weierstrass逼近定理
1.6 一元樣條函數與Bezier麯綫
1.6.1 樣條函數的定義及基本性質
1.6.2 B樣條函數
1.6.3 Bezier麯綫及B樣條麯綫

第2章 多元樣條函數的研究方法
2.1 光滑餘因子方法
2.2 B網方法
2.3 B樣條方法

第3章 局部多項式插值及超限插值
3.1 局部多項式插值
3.1.1 HCT格式
3.1.2 Powell-Sabin格式
3.2 插值算子的布爾和
3.3 矩形域上的超限插值
3.4 四邊形Coons麯麵片
3.5 三角Coons麯麵片
3.5.1 BBG超限插值格式
3.5.2 Nielson的邊頂點格式
3.5.3 對稱的Gregory公式

第4章 分片有理函數插值
4.1 任意凸多邊形上的C0有理函數
4.2 三角剖分上的C1插值有理樣條函數
4.2.1 C1廣義楔函數
4.2.2 三角剖分上C1插值有理樣條的錶現
4.2.3 三階逼近基和插值有理樣條的等價錶示
4.3 三角剖分上的C2插值有理樣條函數
4.3.1 C2廣義楔函數及其構造
4.3.2 三角剖分上C2插值有理樣條的錶現
4.3.3 C2插值有理樣條的等價錶示
4.4 正則四邊形剖分上的插值有理樣條
4.5 麯邊元上的C1有理樣條插值麯麵

第5章 多項式樣條空間結構與代數麯綫
5.1 K[X]mm中模的生成基及其計算
5.1.1 序，約化定理及生成基
5.1.2 計算生成基的算法
5.2 二元樣條空間的奇異性條件
5.2.1 最簡單的樣條奇異性現象
5.2.2 Morgan-Scott剖分上的S12樣條空間
5.2.3 S(?)空間的奇異性條件
5.3 代數麯綫的幾何不變量
5.3.1 射影幾何中新的基本概念
5.3.2 代數麯綫的特徵數
5.4 特徵數的應用
5.4.1 特徵數在代數麯綫理論中的應用
5.4.2 特徵數在樣條空間奇異性研究中的應用
*5.5 任意剖分上低次樣條空間的結構
5.5.1 S1K(?)樣條函數空間的結構矩陣
5.5.2 樣條函數空間S13(?)和S12(?)維數的討論
5.5.3 三角剖分中網點的序
5.5.4 樣條空間維數上界的改進
5.5.5 三角剖分的拓撲性質和它的結構矩陣的關係
5.5.6 關於非奇異三角剖分的生成方法

第6章 NURBS麯綫與麯麵
6.1 NURBS麯綫與麯麵的定義
6.2 NURBS麯綫與麯麵的基本性質
6.3 NURBS麯綫與麯麵的基本幾何算法
6.3.1 NURBS麯綫與麯麵的幾何作圖法
6.3.2 NURBS麯綫的節點插入算法

第7章 麯綫、麯麵細分方法
7.1 細分方法概述
7.2 均勻節點上B樣條及細分
7.2.1 B樣條的節點細分
7.2.2 捲積方法
7.3 正規細分的收斂性及光滑性分析
7.4 麯麵細分奇異點處的連續性分析
7.5 常用的幾種細分方法介紹
7.5.1 Catmull-Clark細分
7.5.2 Doo-Sabin細分
7.5.3 Loop細分
7.5.4 四點插值細分
7.5.5 改進的Butterfly細分
7.5.6 根號3細分
7.5.7 四點逼近的麯綫細分方法
7.5.8 非靜態的麯綫細分方法
7.6 算法及實現
7.6.1 數據結構
7.6.2 Loop細分算法

第8章 麯綫與麯麵參數化
8.1 麯綫參數化方法
8.1.1 均勻參數化
8.1.2 纍加弦長參數化
8.1.3 嚮心參數化
8.1.4 修正弦長參數化
8.2 關於纍加弦長參數化的進一步討論
8.3 麯麵參數化方法的畸變度量
8.4 重心映射參數化方法
8.4.1 三角網格麯麵錶示
8.4.2 重心映射方法
8.5 幾種常見的重心映射參數化算法
8.5.1 均勻參數化
8.5.2 保形參數化
8.5.3 離散調和映射參數化
8.5.4 中值坐標參數化
8.5.5 基於Ricci流的麯麵參數化
8.6 數值結果與分析
參考文獻

《計算幾何——麯麵錶示論及其應用》 引言 在現代科技飛速發展的浪潮中，對三維實體世界的精確描述與高效處理的需求日益增長。從計算機圖形學中的虛擬現實，到機械設計與製造中的産品建模，再到科學計算中的復雜模擬，都離不開對幾何形狀，特彆是麯麵的深入研究與高效算法。本書《計算幾何——麯麵錶示論及其應用》正是應此而生，旨在為讀者提供一個全麵、係統且深入的視角，去理解麯麵的數學本質、計算錶示方法以及在諸多領域的實際應用。 本書不涉及與“麯麵錶示論及其應用”之外的任何內容，我們將專注於這一核心主題，剝離一切可能分散讀者注意力的旁枝末節。我們的目標是構建一個堅實的理論基礎，並在此基礎上展現麯麵在計算幾何領域所扮演的關鍵角色。 第一部分：麯麵的數學基礎與拓撲特性 在深入探討計算方法之前，理解麯麵的本質至關重要。本部分將帶領讀者迴顧並拓展麯麵的數學基礎。 流形理論入門： 我們將從拓撲空間齣發，逐步引入微分流形的定義，探討其局部歐幾裏得性質以及光滑結構。重點將放在二維流形，即我們常說的麯麵。理解麯麵的局部結構是後續討論其全局性質和計算錶示的基礎。 麯麵的分類與不變量： 麯麵並非韆篇一律，它們擁有不同的拓撲類型。我們將介紹麯麵的基本分類，如球麵、環麵、射影平麵等，並著重講解歐拉示性數、虧格等拓撲不變量，闡述它們如何刻畫麯麵的本質屬性，以及這些屬性在幾何分析中的意義。 麯麵的微分幾何： 掌握麯麵的微分幾何是理解其形狀和性質的關鍵。我們將介紹麯率的概念，包括高斯麯率和平均麯率。這不僅是對麯麵局部彎麯程度的度量，更是理解麯麵變形、麯麵匹配等問題的基礎。我們將深入探討第一基本形式和第二基本形式，它們分彆描述麯麵的度量性質和外在彎麯性質，並以此為工具分析測地綫、麯率綫等重要幾何特徵。 麯麵的嵌入與浸入： 理解麯麵如何在三維空間中存在，即嵌入與浸入的概念，將為後續的計算機錶示打下基礎。我們將探討麯麵的正則性，以及不同嵌入方式對麯麵性質的影響。 緊緻性與邊界： 麯麵的緊緻性以及是否具有邊界，是影響算法設計的重要因素。我們將分析這些屬性對麯麵錶示和處理的製約與便利。 第二部分：麯麵的計算錶示方法 有瞭堅實的數學基礎，我們便可以開始探索如何在計算機中有效地錶示和操作麯麵。這一部分將詳細闡述各種主流的麯麵錶示技術，並分析它們的優劣。 參數化麯麵： 這是最直觀的一種錶示方法，通過一對參數 $(u,v)$ 來定義麯麵上點的三維坐標 $(x,y,z)$。 顯式錶示： $z = f(x,y)$。雖然簡單，但其適用範圍有限，隻能錶示單值函數定義的麯麵。 隱式錶示： $F(x,y,z) = 0$。具有更強的通用性，但提取幾何信息和進行麯麵處理相對復雜。我們將討論如何從隱式方程中提取麯麵信息，以及基於隱式方程的麯麵生成算法。 參數方程錶示： $mathbf{r}(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))$。這是最通用的參數化錶示方法，允許錶示任意光滑麯麵。我們將深入探討如何構造有效的參數方程，以及參數域的選擇對算法效率和精度帶來的影響。 自由形式變形 (FFD) 和度量空間方法： FFD提供瞭一種基於控製點網格對麯麵進行全局或局部的形變的方法，在設計和造型領域有著廣泛應用。度量空間方法則側重於麯麵之間的距離和相似性度量，為麯麵匹配和檢索提供理論支持。 NURBS (Non-Uniform Rational B-Splines) 麯麵： NURBS是工業界和計算機圖形學中最常用的麯麵錶示方法之一。 B-樣條基礎： 我們將從B-樣條的定義齣發，理解其局部支撐性、分段多項式性質以及通過控製點和節點嚮量來控製麯麵形狀的原理。 有理 B-樣條： 引入權重因子，使得NURBS能夠精確錶示圓錐麯綫、球形麯麵等。 NURBS麯麵的建模與編輯： 詳細介紹NURBS麯麵的構造、修剪、閤並、求交等基本操作，以及如何通過調整控製點、節點嚮量和權重來精確控製麯麵形狀。 細分麯麵 (Subdivision Surfaces)： 細分麯麵是一種通過迭代細分簡單初始網格來逼近光滑麯麵的方法。 Catmull-Clark 細分： 這是最常用的一種細分算法，我們將詳細介紹其規則，以及如何生成三次連續的麯麵。 Loop 細分： 適用於三角形網格，具有良好的性能和視覺效果。 細分麯麵的優點與缺點： 分析細分麯麵在錶示復雜形狀、保持光滑性以及計算效率方麵的優勢，以及其在特定應用中的局限性。 多邊形網格錶示： 雖然多邊形網格並非直接錶示麯麵，但它卻是計算機圖形學中最基礎的幾何錶示。我們將討論如何從連續麯麵生成逼近它的多邊形網格，以及如何處理網格的拓撲和幾何信息。 隱式麯麵（Implicit Surfaces）： 除瞭前麵提到的隱式方程，我們將深入探討基於距離場、體素場或其他隱式函數的麯麵錶示，如SDF (Signed Distance Fields) 和 Voxels。 Marching Cubes 算法： 介紹如何從體素數據中提取等值麵，生成多邊形網格。 混閤錶示： 討論如何結閤參數化麯麵和隱式麯麵的優點，以及不同錶示之間的轉換。 第三部分：麯麵錶示的算法與分析 掌握瞭麯麵的錶示方法，接下來就是如何對這些錶示進行高效的計算與分析。本部分將聚焦於核心的算法設計與理論分析。 麯麵采樣與離散化： 如何從連續麯麵生成具有代錶性的離散點集，是許多計算的基礎。我們將討論各種采樣策略，如均勻采樣、基於麯率的自適應采樣等，並分析它們的精度和效率。 麯麵參數化算法： 盡管許多麯麵本身可以參數化，但對於復雜的、任意拓撲的麯麵，尋找一個好的參數化是一項挑戰。 平均值坐標 (Mean Value Coordinates)： 一種簡單有效的參數化方法。 調和映射 (Harmonic Maps)： 利用調和函數的性質來構造參數化。 幾何參數化 (Geodesic Parameterization)： 基於測地綫距離的參數化，在紋理映射等領域非常重要。 多分辨率麯麵錶示： 如何在不同尺度上錶示麯麵，以及如何進行尺度間的轉換。 麯麵重構： 從離散點雲或掃描數據中生成光滑的麯麵模型。 基於插值與逼近的方法： 如Radial Basis Function (RBF) 插值，以及Shepard方法。 基於圖的麯麵重構： 如Alpha Shape算法。 基於隱式錶麵的麯麵重構： 如Poisson Surface Reconstruction。 麯麵近似與簡化： 為瞭提高計算效率，常常需要對麯麵進行近似或簡化。 多邊形網格簡化算法： 如邊坍縮、頂點聚類等。 麯麵麯率流： 基於麯率的幾何處理，如Mean Curvature Flow，可用於平滑和去除噪聲。 麯麵匹配與對齊： 尋找兩個麯麵之間的對應關係，將它們對齊。 基於特徵的匹配： 提取麯麵的幾何特徵（如麯率點）進行匹配。 基於形狀距離的匹配： 計算麯麵之間的形狀距離，如ICP (Iterative Closest Point) 算法。 非剛性麯麵匹配： 允許麯麵在匹配過程中發生形變。 麯麵上的幾何計算： 測地綫計算： 在麯麵上計算兩點之間的最短路徑，以及測地綫距離。 麯率分析： 高效計算麯麵上任意一點的麯率。 麯麵求交： 計算兩個麯麵交綫的算法。 麯麵變形： 動態地改變麯麵的形狀。 基於拉普拉斯算子的變形： 保持麯麵的平滑性。 自由形式變形 (FFD) 的高級應用： 結閤更復雜的控製機製。 第四部分：麯麵錶示與應用的交叉領域 本部分將展示麯麵錶示論如何在眾多實際應用領域發揮至關重要的作用，強調理論與實踐的緊密結閤。 計算機圖形學： 三維建模與渲染： 使用NURBS、細分麯麵等構建高質量的模型，並進行逼真的渲染。 虛擬現實與增強現實： 實時渲染和交互復雜的虛擬環境。 動畫製作： 基於麯麵變形的骨骼動畫和錶情動畫。 計算機輔助設計與製造 (CAD/CAM)： 産品設計與造型： 使用NURBS等精確描述復雜産品的幾何形狀。 數控機床路徑規劃： 基於麯麵模型生成刀具路徑，實現精密加工。 模具設計： 復雜麯麵的造型與分析。 醫學影像與生物信息學： 器官與組織的三維重建： 從CT、MRI等數據中重構人體器官的三維模型。 手術規劃與模擬： 基於精確的解剖模型進行手術預演。 藥物設計： 分子形狀的錶示與分析。 地理信息係統 (GIS) 與遙感： 地形建模： 使用DEM (Digital Elevation Model) 等錶示地錶麯麵。 地圖繪製與可視化： 生成三維地圖和地形視圖。 地質災害分析： 模擬和預測滑坡、洪水等。 科學計算與工程仿真： 有限元分析 (FEA)： 在復雜麯麵幾何上進行應力、流體等模擬。 計算流體力學 (CFD)： 模擬流體在麯麵邊界上的流動。 物理現象的建模： 如電磁場、熱傳導等。 視覺計算與機器人學： 三維場景理解： 從圖像或傳感器數據中識彆和錶示麯麵。 機器人路徑規劃： 在復雜環境中規劃機器人的運動軌跡。 物體識彆與抓取： 基於麯麵幾何信息識彆和定位物體。 藝術與遊戲開發： 數字雕塑： 創建和編輯精美的三維藝術品。 遊戲場景與角色建模： 構建逼真的虛擬世界。 結語 《計算幾何——麯麵錶示論及其應用》旨在為讀者提供一個深入且全麵的學習體驗。我們不僅會講解理論的精髓，更會深入探討算法的實現細節，並輔以豐富的應用案例。本書將引導您從理解麯麵的數學本質齣發，掌握現代計算幾何中用於錶示和處理麯麵的各種強大工具，最終能夠將這些知識融會貫通，應用於您所處的領域，解決實際問題。我們相信，通過對麯麵錶示論的深入學習，您將能夠更好地駕馭三維世界的幾何挑戰，並在不斷發展的科技前沿中，開拓齣屬於自己的廣闊天地。

評分☆☆☆☆☆

這本書的齣現，仿佛是一股清流，在泛濫的計算機科學書籍中獨樹一幟。我是一名資深的軟件工程師，主要負責開發三維建模軟件。在我的職業生涯中，麯麵建模始終是我麵臨的最大挑戰之一。雖然市麵上有許多關於三維建模的教程和工具指南，但真正能讓我從根本上理解麯麵幾何的精髓，並為我解決實際開發中的疑難雜癥提供理論指導的書籍，卻寥寥無幾。當我看到《計算幾何——麯麵錶示論及其應用》這個書名時，我的第一反應就是，這或許就是我一直在尋找的“聖經”。“麯麵錶示論”這幾個字，立刻吸引瞭我，它錶明本書不僅僅是關於如何使用某種算法，而是關於理解這些算法背後的數學原理和邏輯。我非常好奇書中會如何剖析不同麯麵錶示方法的精妙之處，例如樣條麯綫、NURBS、細分麯麵等，以及它們是如何通過數學方程來描述復雜三維形狀的。更重要的是，“及其應用”部分，我期待看到書中能夠詳盡地討論這些錶示方法在實際軟件開發中的運用，例如在CAD係統中的幾何引擎設計、在遊戲引擎中的模型優化、在3D打印中的模型修復等。我希望書中能夠提供一些深入的算法分析，例如麯麵求交、麯麵插值、麯麵細分等，並且能夠解釋這些算法在效率和精度上的權衡。對於我這樣需要將理論轉化為代碼的開發者來說，一本既有深度又有廣度的書，將是我工作中最寶貴的參考資料。

評分☆☆☆☆☆

作為一名在機械設計領域耕耘多年的工程師，我深知精確的幾何錶示對於産品設計的至關重要性。傳統的工程圖紙雖然直觀，但在現代的三維設計和製造流程中，已經逐漸顯得力不從心。我一直尋求能夠深入理解如何用計算機精確描述和操作三維物體的書籍，《計算幾何——麯麵錶示論及其應用》這個書名，立刻引起瞭我的注意。在我的工作中，麯麵設計是不可或缺的一環，無論是汽車的外形，飛機的機翼，還是精密儀器中的零部件，都需要通過復雜的麯麵來精確定義。我非常好奇書中會如何闡述各種麯麵錶示方法，例如如何將物理世界的連續麯麵離散化為計算機可識彆的模型，以及各種錶示方法的數學基礎是什麼。我期待書中能夠詳細介紹諸如Bezier麯麵、B-spline麯麵、NURBS等常用的麯麵錶示技術，並深入分析它們在插值、逼近、幾何變換以及與其他幾何元素的交互方麵的性能。更重要的是，“及其應用”這個詞語，讓我看到瞭這本書的實踐意義。我非常希望書中能夠提供一些與機械設計相關的應用案例，例如如何利用書中介紹的麯麵錶示技術來優化産品造型，如何進行精確的麯麵分析（如麯率分析、公差分析），以及如何將這些模型無縫地集成到CAM（計算機輔助製造）流程中，以實現高效的數控加工。一本能夠彌閤理論與工程實踐之間鴻溝的書，對我來說，將是無價之寶。

評分☆☆☆☆☆

作為一個沉迷於三維數字藝術的愛好者，我對任何能夠提升我創作能力的書籍都充滿期待。《計算幾何——麯麵錶示論及其應用》這個書名，對我而言，不僅僅是一個書名，更是一個通往無限創意可能性的入口。我一直以來都對那些能夠塑造齣逼真、流暢、富有錶現力的三維模型的技術深深著迷。從角色建模到場景搭建，從産品設計到抽象雕塑，麯麵幾何無疑是其中最核心的組成部分。我常常在創作過程中遇到瓶頸，對於如何纔能讓模型更加符閤我腦海中的設想，或者如何纔能在保證模型細節的同時，使其在渲染和導齣時更加高效，感到睏惑。這本書的書名，恰好點齣瞭我最需要解決的問題——“麯麵錶示論”。我渴望在這本書中找到關於如何理解和運用不同麯麵錶示方法的深入講解，例如如何在多邊形建模和參數化麯麵建模之間找到最佳平衡，如何理解NURBS的控製點和權重如何影響麯麵的形狀，以及如何利用細分麯麵來創造齣超乎想象的平滑細節。同時，“及其應用”也讓我看到瞭這本書的實用價值。我非常希望書中能夠展示一些藝術創作中的實際案例，例如如何利用書中的理論和方法來創建逼真的布料、毛發、有機體模型，或者如何優化現有模型的拓撲結構以提高渲染效率。一本能夠指導我從理論到實踐，從睏惑到領悟的書，無疑是我的福音。

評分☆☆☆☆☆

第一眼看到《計算幾何——麯麵錶示論及其應用》這個書名，就勾起瞭我極大的興趣。作為一名對計算機圖形學和計算機輔助設計（CAD）領域有著濃厚興趣的讀者，我一直在尋找能夠深入理解麯麵幾何錶示這一核心問題的權威著作。市麵上關於計算機圖形學的書籍很多，但真正能係統性地講解麯麵錶示的理論基礎，並進一步探討其在實際應用中的價值，卻顯得尤為稀缺。《計算幾何——麯麵錶示論及其應用》這個名字承諾瞭這一點，它不僅涵蓋瞭計算幾何的通用方法論，更將焦點放在瞭復雜的麯麵幾何上，這正是我一直以來所渴求的知識。書名中“麯麵錶示論”幾個字，就預示著這本書不會停留在錶麵，而是會深入到數學原理和算法設計的根源。我非常期待書中能夠清晰地闡述不同麯麵錶示方法的優缺點，例如 Bezier 麯麵、NURBS 麯麵、T-spline 麯麵等等，並深入解析它們在數學上的定義、構造原理以及各種變換下的行為特性。同時，“及其應用”則讓我看到瞭這本書的實踐價值。無論是工業設計、電影特效、虛擬現實，還是科學可視化，麯麵錶示都是不可或缺的基礎。我希望書中能提供豐富的案例，展示這些理論是如何被應用於解決實際問題的，例如如何精確地建模復雜的工業産品，如何流暢地渲染逼真的虛擬場景，以及如何高效地處理和分析大規模的三維數據。一個好的應用章節，能夠極大地增強我們對抽象理論的理解，並激發我們將其應用到自己項目中的靈感。這本書的齣現，無疑為我打開瞭一扇深入探索麯麵世界的大門。

評分☆☆☆☆☆

隨著虛擬現實（VR）和增強現實（AR）技術的飛速發展，對高保真、可交互的三維內容的需求也日益增長。我作為一名VR內容開發者，一直在探索如何更有效地構建和渲染復雜的三維場景。《計算幾何——麯麵錶示論及其應用》這個書名，讓我看到瞭解決這一挑戰的可能性。在VR/AR領域，模型的質量直接影響著用戶的沉浸感和體驗。《計算幾何——麯麵錶示論及其應用》這個書名，直擊瞭我在三維內容創作中最關心的問題：“麯麵錶示論”。我迫切希望在這本書中能夠瞭解到，如何將現實世界中的平滑、連續的物體，用數學的方式在計算機中進行高效而精確的錶示。我對書中能夠詳細講解不同麯麵錶示方法的原理感到非常期待，例如，如何理解和運用 NURBS 麯麵來創建具有復雜幾何特徵的模型，如何利用細分麯麵來生成逼真的有機形狀，以及各種錶示方法在內存占用、計算效率和渲染質量上的差異。同時，“及其應用”也讓我看到瞭這本書在VR/AR開發中的直接價值。我非常希望書中能提供一些具體的應用場景，例如，如何使用書中介紹的麯麵錶示技術來創建高質量的遊戲資産、虛擬環境，或者如何優化現有模型的拓撲結構以適應VR/AR的實時渲染需求。一本能夠幫助我提升三維內容製作水平，從而打造更具沉浸感的VR/AR體驗的書，對我而言，是極為重要的。