线性代数习题及综合测试/大学数学教学辅导丛书 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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王跃恒，王晓梅，师丽雅 编

图书标签:

• 线性代数
• 高等数学
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出版社： 湖南大学出版社

ISBN：9787566712974

版次：1

商品编码：12324215

包装：平装

丛书名： 大学数学教学辅导丛书

开本：16开

出版时间：2017-10-01

用纸：胶版纸

页数：124

字数：206000

正文语种：中文

内容简介

　　《线性代数习题及综合测试/大学数学教学辅导丛书》是万勇、李兵主编的普通高等学校“十二五”精品规划教材《线性代数》的配套练习册，《线性代数习题及综合测试/大学数学教学辅导丛书》编写的章节顺序与教材顺序大致相同，每章配有自测题，后附综合测试和参考答案，并采用活页塑封的装订形式，方便学生使用。内容包括：线性方程组与高斯消元法、行列式、克拉默法则、矩阵概念、矩阵运算、矩阵的初等行变换，逆矩阵、线性相关和线性无关、线性方程组、特征值与特征向量、相似矩阵、二次型。
　　《线性代数习题及综合测试/大学数学教学辅导丛书》可作为大学生学习辅导，考试复习和考研练习的学习参考书。

内页插图

目录

第一章 高斯消元法
习题1．1 线性方程组与高斯消元法
习题1．2 矩阵的初等变换与矩阵的秩
习题1．3 线性方程组解的存在性和唯一性
习题1．4 矩阵的标准形
自测题（第一章）

第二章 行列式
习题2．1 n阶行列式的定义
习题2．2 行列式的性质
习题2．3 行列式的计算
习题2．4 行列式的应用
自测题（第二章）

第三章 矩阵
习题3．1 矩阵的运算
习题3．2 逆矩阵
习题3．3 分块矩阵
自测题（第三章）

第四章 向量
习题4．1 n维向量
习题4．2 向量组的线性相关性
习题4．3 向量组的秩
自测题（第四章）

第五章 线性方程组解的结构与向量空间
习题5．1 齐次线性方程组的解的结构
习题5．2 非齐线性方程组
习题5．3 向量空间

第六章 矩阵的特征值与特征向量
习题6．1 矩阵的特征值与特征向量
习题6．2 相似矩阵
习题6．3 实对称矩阵的对角化

第七章 二次型
习题7．1 用正交变换化二次型为标准形
习题7．2 用配方法化二次型为标准形
习题7．3 正定二次型
习题7．4 用合同变换化二次型成规范形
自测题（第五、六、七章）

综合测试试卷一
综合测试试卷二
综合测试试卷三

参考答案

前言/序言

　　大学数学系列课程是理工类、经济类和管理类等专业的基础课、必修课。该系列课程在传授数学知识的同时，还担负着培养学生数学思维能力、抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力等各种能力的任务。
　　熟练掌握大学数学的基本概念、基本理论和基本方法，不仅为学生后续的课程的学习打下了坚实的基础，而且对他们今后的学习和工作也具有重要的影响和作用。
　　学好数学类课程的一个必要环节就是练习，只有多做练习，才能锻炼学生的计算能力与逻辑思维能力。为了提高本校公共数学类课程的教学质量，经过学院老师的充分调研和共同努力，编写了大学数学教学辅导丛书，其中包括《高等数学（上）习题及综合测试》《高等数学（下）习题及综合测试》《概率论与数理统计习题及综合测试》以及《线性代数习题及综合测试》，一方面能为教师任课提供教学参考材料，另一方面能对学生们的课程学习提供辅导和帮助。
　　在章节的编排上，该丛书与我们现在所用的大学数学系列课程教材基本吻合，以便与课堂教学的需求保持同步。此系列丛书可作为大学数学系列课程的学习辅导和教学参考用书，同是也适合考研学生在基础阶段的巩固练习使用。
　　为了编好这套丛书，我们组织了一批具有丰富教学经验的教师组成编写团队，并就本书的内容体系和结构进行了反复讨论，湖南大学出版社的领导和编辑也提出了许多宝贵的建议。尽管如此，由于我们编写此类书的经验不足，书中疏漏不当之处在所难免，还望读者们批评指正。

《矩阵与向量空间：理论、方法与应用》 内容简介 本书旨在为学习线性代数的高年级本科生、研究生以及相关领域的科研人员提供一套全面且深入的理论体系和实践指导。我们不仅仅局限于线性代数的基本概念，更着重于揭示其内在逻辑、发展脉络以及在各个学科中的广泛应用，力求在夯实基础的同时，拓展读者的视野，培养其解决复杂问题的能力。 第一部分：理论基石——向量空间与线性变换 本部分将循序渐进地构建线性代数的理论框架。 第一章：向量及其运算。 我们将从欧几里得空间入手，详细介绍向量的定义、几何意义以及加法、数乘、内积等基本运算。在此基础上，我们将探讨向量组的线性相关与线性无关，线性组合与向量组的张成空间。通过丰富的实例，帮助读者建立直观的几何理解，为后续抽象概念的引入奠定基础。本章还将涉及向量的范数与距离，为度量向量间相似性提供工具。 第二章：矩阵的初步认识。 矩阵作为描述线性系统的重要工具，我们将从其基本概念、运算（加法、减法、数乘、乘法）入手，深入探讨矩阵的性质。特别地，我们将重点讲解矩阵的转置、迹、行列式及其计算方法和性质。通过矩阵运算，读者将初步体验到线性代数在解决方程组问题中的潜力。本章将通过矩阵的行阶梯形和简化行阶梯形，为求解线性方程组和判断矩阵性质提供系统性的方法。 第三章：线性空间与子空间。 在向量的基础上，我们引入更抽象的线性空间概念。本书将严格定义线性空间的公理化体系，并列举多类典型的线性空间，如多项式空间、函数空间等，帮助读者理解其普遍性。在此基础上，我们深入探讨子空间的定义、性质以及子空间和的性质。本章的关键在于理解子空间的基与维数，以及它们如何刻画线性空间的“大小”与“自由度”。我们将详细介绍基的选取方法，并阐述维数不变性定理。 第四章：基、维数与坐标。 本章将深入挖掘基与维数在刻画线性空间结构中的核心作用。我们将讨论不同基下向量的坐标表示，并详细介绍坐标变换公式，帮助读者理解坐标系的相对性以及如何在不同坐标系之间进行转换。本章还将涉及维数定理，这是理解线性映射性质的关键。 第五章：线性映射（变换）。 线性映射是线性代数中最核心的概念之一，它描述了线性空间之间的结构保持映射。本书将严格定义线性映射，并探讨其核（零空间）与像（值域）的概念。核与像的维度关系（秩-零度定理）将是本章的重点，它深刻揭示了线性映射的“压缩”与“扩张”特性。我们将通过大量例子，展示线性映射在几何变换（如旋转、缩放、投影）中的作用。 第六章：矩阵与线性映射的对应关系。 本章将建立矩阵与线性映射之间的深刻联系。我们将详细介绍如何由一个线性映射构造其矩阵表示，以及如何由一个矩阵找到其对应的线性映射。通过矩阵乘法与线性映射复合的对应关系，读者将更清晰地理解矩阵运算的几何意义。本章还将讨论基变换如何影响矩阵表示，这是理解更高级概念（如相似矩阵）的基础。 第二部分：核心理论与高级概念 本部分将在理论基石之上，深入探讨线性代数中的核心理论和重要概念。 第七章：行列式的计算与性质。 在初步介绍行列式后，本章将系统地讲解行列式的计算方法，包括代数余子式展开法、行（列）变换法以及利用特殊矩阵（如三角矩阵）的性质。我们将深入剖析行列式的几何意义，如行列式的值与由基向量张成的平行体的体积（或带符号体积）的关系。本章还将详细阐述行列式的乘法性质，以及它在判断矩阵可逆性、方程组解的唯一性中的作用。 第八章：逆矩阵与伴随矩阵。 逆矩阵是线性代数中求解线性方程组、进行矩阵分解的重要工具。本书将介绍多种求逆矩阵的方法，如初等变换法、伴随矩阵法和按定义求解。我们将深入讨论逆矩阵存在的充要条件，以及逆矩阵在方程组求解中的直接应用。伴随矩阵的概念及其与逆矩阵的关系也将详细阐述。 第九章：向量组的秩与矩阵的秩。 秩是衡量向量组（或矩阵）“线性独立程度”的关键指标。本章将给出向量组秩和矩阵秩的多种定义，并证明它们之间的等价性。我们将详细介绍如何通过行阶梯形矩阵或初等变换来计算矩阵的秩。秩与矩阵的列空间、行空间以及零空间的关系将是本章的重点，它直接联系着线性方程组解的存在性与解空间的结构。 第十章：线性方程组的解法。 线性方程组是线性代数最直接的应用之一。本书将系统地介绍求解线性方程组的各种方法，包括高斯消元法、克拉默法则（适用于特定情况）以及利用矩阵求逆法。我们将深入分析线性方程组解的存在性与解的结构（唯一解、无穷多解、无解），并详细阐述自由变量、基本变量的概念。本章将重点讲解增广矩阵的行阶梯形如何完全揭示方程组的解的性质。 第十一章：特征值与特征向量。 特征值与特征向量是揭示线性映射内在“不变方向”和“伸缩因子”的关键。本章将严格定义特征值与特征向量，并给出求解方法，即通过求解特征方程 $det(A - lambda I) = 0$ 来找到特征值，再代入求解对应的特征向量。我们将讨论对称矩阵、对角矩阵的特征值特征向量的特殊性质。本章还将初步介绍特征值与特征向量在动力系统、稳定性分析等领域的应用。 第十二章：对角化。 对角化是线性代数中的一个重要课题，它旨在将一个矩阵转化为一个对角矩阵。本书将深入讲解可对角化矩阵的充要条件，并详细介绍如何通过寻找特征向量构成过渡矩阵来完成对角化。对角化在简化矩阵运算、求解高次幂矩阵、分析差分方程等方面具有极其重要的作用。本章将重点讨论相似矩阵的概念及其与对角化的关系。 第十三章：内积空间与正交性。 在引入内积的概念后，我们构建了更丰富的内积空间。本章将详细介绍内积的性质，以及基于内积的长度、角度、正交等概念。我们将重点介绍施密特正交化方法，用于构造标准正交基。正交基在数据处理、信号分析、数值计算中具有不可替代的地位。本章还将探讨正交矩阵的性质及其在几何变换中的作用。 第十四章：线性变换的矩阵表示与合同变换。 本章将进一步深化矩阵与线性变换的联系，重点讨论在不同基下线性变换的矩阵表示如何变化。我们将详细介绍合同变换，以及它与相似变换的区别和联系。合同变换在研究二次型、对称矩阵的性质时扮演着重要角色。 第三部分：深入应用与综合拓展 本部分将带领读者走出理论课堂，将线性代数的知识应用于实际问题，并进行更深层次的拓展。 第十五章：二次型及其标准形。 二次型是多项式中的一类特殊形式，在物理、工程、经济等领域有着广泛应用。本章将介绍二次型的概念，并重点讲解如何利用矩阵和特征值理论将其化为标准形。通过正交变换，我们将揭示二次型的几何意义，如其代表的二次曲线或二次曲面的类型。 第十六章：张量分析初步。 张量是向量的自然推广，在广义相对论、连续介质力学等领域是描述物理量的基本工具。本章将从张量的定义、张量积、张量收缩等基本概念入手，为读者打开张量分析的大门。我们将重点介绍张量与矩阵的关系，以及如何利用张量来处理多线性关系。 第十七章：线性代数在数据分析与机器学习中的应用。 线性代数是现代数据分析和机器学习的基石。本章将重点介绍奇异值分解（SVD）及其在降维（如主成分分析 PCA）、推荐系统、图像压缩等方面的应用。我们还将讨论线性回归、最小二乘法等基本机器学习模型背后所蕴含的线性代数原理。 第十八章：数值线性代数基础。 在实际应用中，许多问题需要利用计算机求解，这就涉及到数值线性代数。本章将介绍一些基本的数值算法，如LU分解、QR分解，以及它们在求解线性方程组、计算特征值等方面的应用。我们将讨论算法的稳定性和效率问题，并简要介绍误差分析的基本概念。 第十九章：抽象代数与线性代数的关系。 本章将对线性代数进行更高层次的抽象，探讨其与抽象代数中群、环、域等概念的联系。我们将介绍域的概念，以及向量空间可以定义在任何域上。通过这种联系，读者将对数学的整体结构有更深刻的理解，并为进一步学习抽象代数打下基础。 全书特色： 1. 理论严谨与直观理解相结合。 我们在提供严格数学定义和证明的同时，辅以丰富的几何解释和直观的例子，力求让抽象的概念易于理解。 2. 贯穿始终的应用导向。 每一部分的内容都紧密联系实际应用，通过实例展示线性代数的强大力量。 3. 循序渐进的知识结构。 从基础概念到核心理论，再到高级应用，知识体系层层递进，逻辑清晰。 4. 丰富的习题与拓展。 每章都配有不同难度和侧重点的习题，帮助读者巩固所学，并鼓励进一步的探索。 5. 注重数学思维的培养。 鼓励读者独立思考，理解概念的本质，而非机械记忆公式。 本书希望能够成为读者在学习线性代数过程中的良师益友，帮助大家建立起坚实的理论基础，掌握解决问题的关键工具，并在未来的学习与研究中，充分发挥线性代数强大的支撑作用。

评分☆☆☆☆☆

这本书的价值，绝不仅仅在于它提供了大量的习题。在我看来，它更像是一份精雕细琢的学习指南，能够帮助我们更有效地掌握线性代数这门课程。它在知识点的梳理上做得非常到位，每一个概念的引入都伴随着清晰的定义和直观的解释。我曾经在学习线性变换的时候感到非常困惑，不知道它到底代表什么意义，直到我看到这本书中的图示和例题，才明白原来它描述的是向量在空间中的一种“变形”或“映射”。而且，它的习题设计非常巧妙，很多题目都不仅仅是简单的计算，而是涉及到对概念的深刻理解和逻辑推理。通过做这些题目，我能够更清晰地认识到不同知识点之间的联系，从而构建起一个更完整的知识体系。书后的综合测试更是点睛之笔，每一套测试都像是一次对症下药，能够精准地找出我在学习过程中的盲点和不足。我真心推荐这本书给所有正在学习线性代数的朋友们，它一定会让你事半功倍。

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，学习数学的关键在于“练”，而这本书恰恰抓住了这一点。它不仅仅是一本习题集，更像是一个全方位的学习伙伴。从内容编排上来看，它循序渐进，逻辑清晰，从最基础的矩阵和向量操作，到行列式、线性方程组，再到更高级的向量空间、线性变换、特征值和特征向量，每一个知识点都得到了充分的练习。我特别喜欢它在每个章节后面设置的“易错点分析”和“解题技巧提示”，这些往往是我们在自己埋头苦练时容易忽略或者感到困惑的地方，而这本书的出现，就像一盏明灯，指引我避开那些陷阱，找到更高效的学习路径。我曾在一个关于线性无关的题目上卡了好久，看了书里的讲解和解析，才恍然大悟，原来自己之前的理解方向有些偏差。更不用说那些综合测试了，难度适中，涵盖面广，每次做完一套，都感觉自己对知识点的理解又上了一个台阶。这本书让我觉得，学习线性代数并不是一件枯燥乏味的事情，而是一个充满挑战和乐趣的过程。

评分☆☆☆☆☆

对于我这种数学基础相对薄弱的学生来说，一本好的辅导书的重要性不言而喻。而这本《线性代数习题及综合测试/大学数学教学辅导丛书》简直就是为我量身定做的！它没有那些让人望而却步的艰深理论，而是从最基本的概念入手，层层递进，用通俗易懂的语言讲解每一个知识点。我尤其欣赏它在讲解例题时的细致程度，不仅仅给出答案，更重要的是分析了每一步的思路和推理过程，让我能够真正地理解“为什么”这样做，而不是仅仅停留在“怎么做”。我尝试着用这本书来复习线性方程组的部分，之前我对同解方程组的概念总是模棱两可，但看了书里的讲解和大量的配套习题，我终于彻底弄懂了。而且，书中的综合测试题设计得非常巧妙，往往能够将多个知识点融合在一起，考察学生的综合运用能力。做完一套测试，我感觉自己就像参加了一次小型的“头脑风暴”，不仅巩固了旧知，还发现了新的学习方向。这本书真的让我对线性代数产生了前所未有的信心。

评分☆☆☆☆☆

这本书真的是让我眼前一亮！我之前对线性代数一直有点畏惧，觉得它抽象又难懂，特别是那些矩阵运算和向量空间的概念，总是搞不清楚到底在讲什么。但拿到这本《线性代数习题及综合测试/大学数学教学辅导丛书》之后，我的看法彻底改变了。首先，它的排版设计就非常人性化，清晰明了，重点突出，一点都不会让人觉得眼花缭乱。而且，例题的选择非常贴合实际，涵盖了从最基础的行列式计算到稍微复杂的特征值和特征向量的求解，每一步都有详细的步骤解析，就像一位耐心细致的老师在手把手地教你一样。我特别喜欢它的习题部分，题目难度循序渐进，从简单的概念辨析到复杂的综合应用，应有尽有。做完题目之后，对照后面的详尽解答，我能清晰地了解到自己的薄弱环节在哪里，并且知道如何去改进。最令人惊喜的是，这本书在讲解概念的时候，并没有一味地堆砌公式，而是尝试用更形象的比喻和图示来帮助我们理解，比如在讲解向量空间的时候，作者就用了生活中的例子来类比，让我一下子就豁然开朗。总而言之，这本书是我在学习线性代数过程中遇到的最棒的辅导书，没有之一！

评分☆☆☆☆☆

说实话，拿到这本书之前，我抱着试试看的心态，因为市面上关于线性代数的教材和辅导书太多了，很难找到一本真正适合自己的。但这本书的出现，无疑给了我一个巨大的惊喜。它最大的亮点在于，不仅仅是简单的习题罗列，而是真正地做到了“教学辅导”。在每一个章节的开头，都会对核心概念进行精炼而准确的概括，然后迅速过渡到大量的例题分析。这些例题的选择非常讲究，既有巩固基础的，也有拓展思维的，甚至还包含了一些历年真题的改编，让我能够提前适应考试的节奏。我印象最深的是关于线性方程组的求解部分，书中不仅详细讲解了高斯消元法和克拉默法则，还深入分析了它们各自的优缺点以及适用场景，这让我对这些方法有了更深刻的理解，而不是死记硬背。而且，书后的综合测试题质量非常高，涵盖了整个线性代数的核心知识点，并且每道题的难度和类型都经过了精心设计，做完一套测试下来，我对自己对线性代数的掌握程度有了非常清晰的认识。这本书不仅教会了我解题的方法，更重要的是培养了我对线性代数的逻辑思维能力，让我不再感到迷茫。