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北京大学数学系前代数小组 著

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出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040379105

商品编码：1486316240

包装：平装

出版时间：2013-08-01

书名：高等代数(第4版)/高等学校教材

作者：北京大学数学系前代数小组

出版社：高等教育出版社

出版日期：2013-08-01

ISBN：9787040379105

字数：

页码：454

版次：4

装帧：平装

开本：32开

商品重量：0.4kg

编辑推荐

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18世纪，高斯在他的博士论文中公布了代数基本定理的第1个实质性证明。这个定理继言，n次方程恰有n个根，它*早由荷兰数学家吉拉德提出，欧拉、拉格朗日等都先后试过，均未给小证明。高斯的证明加辟新径，他将多项式方程的根与复平面上的点对应起来……

内容提要

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《高等代数（第4版）/高等学校教材》是第四版，基本上保持了第三版的内容，增加了两个附录及一份总习题。增加的两个附录是：代数基本定理的一个比较简单的证明，若尔当标准形的几何理论。后者把过去用近世代数中模论方法的经典证明更新为仅用线性代数知识来完成。
《高等代数（第4版）/高等学校教材》主要内容是：多项式、行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、A-矩阵、欧几里得空间、双线性函数与辛空间、总习题，附录包括关于连加号、整数的可除性理论、代数基本定理的证明、若尔当标准形的几何理论。
《高等代数（第4版）/高等学校教材》适合作为高等学校数学类专业高等代数教材和教学参考书。

目录

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第1章 多项式
§1 数域
§2 一元多项式
§3 整除的概念
§4 *公因式
§5 因式分解定理
§6 重因式
§7 多项式函数
§8 复系数与实系数多项式的因式分解
§9 有理系数多项式
§10 多元多项式
§11 对称多项式
习题
补充题

第二章 行列式
§1 引言
§2 排列
§3 n级行列式
§4 n级行列式的性质
§5 行列式的计算
§6 行列式按一行（列）展开
§7 克拉默（Cramer）法则
§8 拉普拉斯（Laplace）定理·行列式的乘法规则
习题
补充题

第三章 线性方程组
§1 消元法
§2 n维向量空间
§3 线性相关性
§4 矩阵的秩
§5 线性方程组有解判别定理
§6 线性方程组解的结构
§7 二元高次方程组
习题
补充题

第四章 矩阵
§1 矩阵概念的一些背景
§2 矩阵的运算
§3 矩阵乘积的行列式与秩
§4 矩阵的逆
§5 矩阵的分块
§6 初等矩阵
§7 分块乘法的初等变换及应用举例
习题
补充题

第五章 二次型
§1 二次型及其矩阵表示
§2 标准形
§3 唯1性
§4 正定二次型
习题
补充题

第六章 线性空间
§1 集合·映射
§2 线性空间的定义与简单性质
§3 维数·基与坐标
§4 基变换与坐标变换
§5 线性子空间
§6 子空间的交与和
§7 子空间的直和
……

第七章 线性变换
第八章 λ矩阵
第九章 欧几里得空间
第十章 双线性函数与辛空间
总习题
附录一 关于连加号“∑”
附录二 整数的可除性理论
附录三 代数基本定理的证明
附录四 若尔当标准形的几何理论

作者介绍

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文摘

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序言

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《高等代数：理论与应用》 内容简介 本书是一部深入探讨高等代数核心概念与精妙理论的专著，旨在为数学专业本科生、研究生以及相关领域的研究人员提供一个严谨、系统且富含洞察的学习平台。高等代数作为现代数学的重要基石，其思想与方法渗透于代数几何、数论、拓扑学、表示论乃至理论物理等诸多前沿学科。本书在传承经典高等代数理论体系的基础上，力求展现数学发展的最新动态，并强调理论与实际应用的紧密联系。 第一部分：线性代数基础回顾与深化 本部分首先对线性代数中的基本概念进行系统性回顾与巩固，为后续更复杂的代数结构打下坚实基础。我们将重温向量空间、子空间、线性映射、基与维数等核心概念，并在此基础上深入探讨线性映射的核、像及其维数公式。 向量空间的性质与构造：本书将详细阐述向量空间的定义、性质以及构造方法，包括有限维与无限维向量空间，并介绍一些重要的构造，如直积空间、商空间等。我们还将探讨向量空间的同构问题，以及如何利用基来刻画向量空间。 线性映射的深入分析：线性映射是连接不同向量空间的桥梁。我们将深入分析线性映射的核与像，理解其几何意义和代数性质。进一步，我们将讨论线性映射的矩阵表示，以及如何通过改变基来改变矩阵表示，引入相似矩阵的概念。 特征值、特征向量与对角化：特征值与特征向量是理解线性变换作用规律的关键。本书将详细介绍特征值和特征向量的计算方法，并深入探讨矩阵的对角化问题。我们将分析可对角化的充要条件，以及其在求解线性常微分方程组、动力系统等问题中的应用。 内积空间与度量：在引入范数和内积后，向量空间将具备度量和角度的概念。本书将探讨内积空间的定义、性质，如正交性、投影等。我们将详细介绍正交基，特别是Gram-Schmidt正交化过程，并讨论最佳平方逼近问题。此外，还将介绍自伴随算子（Hermitian算子）的谱定理，该定理在量子力学等领域具有重要地位。 第二部分：多项式环与域扩张 本部分将视线从向量空间转向更一般的代数结构——多项式环，并以此为切入点，构建域扩张的理论框架。 多项式环的性质：我们将详细研究一元多项式环的性质，包括其作为唯一因子分解整环（UFD）的性质，以及不可约多项式的概念。我们将介绍多项式根的性质，并深入探讨环上的模，特别是PID（主理想整环）和UFD。 域的定义与基本概念：本书将严格定义域，并介绍域的基本性质，如域上的向量空间、域的扩张等。我们将区分有限域和无限域，并介绍一些重要的域，如实数域 $mathbb{R}$、复数域 $mathbb{C}$、有理数域 $mathbb{Q}$ 等。 域扩张的结构：域扩张是研究域之间关系的有力工具。我们将系统地介绍域扩张的定义，并深入探讨代数扩张和超越扩张。本书将详细讲解扩张次数的概念，以及复合域、分裂域等重要构造。 伽罗瓦理论基础：伽罗瓦理论是高等代数中最具深度和美感的理论之一。我们将从域扩张的自同构群出发，引入伽罗瓦群的概念，并陈述基本定理。本書將重點闡述伽羅瓦理論在解方程根式可解性問題上的應用，揭示五次及以上方程無萬能根式解的深刻原因。 第三部分：群论及其应用 群是研究对称性的基本代数结构，本书将系统介绍群论的理论与应用。 群的定义与基本性质：我们将从群的公理化定义出发，介绍各种类型的群，如阿贝尔群、循环群、对称群等。本书将深入探讨子群、陪集、正规子群、商群等概念，并阐述拉格朗日定理等重要结论。 群同态与同构：我们将详细研究群同态和群同构，理解它们在研究群结构方面的作用。本书将介绍第一、第二、第三同构定理，并利用这些定理来简化群的分析。 单群与有限群的结构：我们将探讨单群的概念，以及有限单群分类的意义。本書將介紹一些重要的有限群，如对称群、交错群、模群等，並探討其結構性質。 群作用及其应用：群作用是将代数结构与几何或组合对象联系起来的桥梁。我们将详细研究群在集合上的作用，并介绍轨道-稳定子定理。本書將闡述群作用在計數問題（如Burnside引理）、圖論、晶體學等領域的廣泛應用。 第四部分：环论与模论 本部分将进一步抽象化，进入更一般的代数结构——环与模。 环的定义与分类：我们将从环的定义出发，介绍各种类型的环，如交换环、整环、域、分块环等。本书将深入探讨理想、商环、环同态、环同构等概念。 模的基本性质：模是向量空间概念的推广，是研究线性代数在更广泛代数结构上延伸的关键。本书将详细介绍模的定义、子模、商模、模同态、模同构等。 PID与UFD在模论中的应用：我们将深入分析主理想整环（PID）和唯一因子分解整环（UFD）的性质，并探讨它们在模论中的重要作用。本书将介绍自由模、有限生成模等概念，并阐述它们与PID的关系。 特定环的结构分析：本书将选取一些重要的环进行深入分析，如多项式环、矩阵环等，并探讨它们的模的结构。例如，我们将讨论矩阵环上左模的结构，以及其与线性代数概念的联系。 第五部分：进阶专题与应用 在掌握了高等代数的基本理论框架后，本书将选取一些进阶专题，并展现高等代数在各领域的应用。 二次型与张量：本书将详细介绍二次型的定义、标准形以及 Sylvester 定理。同时，我们将引入张量的概念，并介绍张量代数的构造，为理解多线性代数和微分几何打下基础。 代数数论初步：我们将介绍代数数的基本概念，如代数整数，并探讨代数数域的结构。本书将简要介绍代数数论在数论问题中的应用，如费马大定理的证明思路。 表示论导论：表示论是研究线性群与线性空间之间关系的学科。我们将介绍群表示的基本概念，并探讨有限群的表示。本书将简要介绍表示论在统计力学、粒子物理等领域的应用。 计算代数几何基础：我们将介绍代数簇的基本概念，并探讨其与多项式环之间的对偶性。本書將簡要介紹 Gröbner 基等計算工具，並指出其在現代密碼學、計算機輔助設計等領域的應用。 教学特色与目标 本书力求在内容的深度和广度上达到学术研究的要求，同时兼顾教学的清晰性和逻辑性。 严谨的数学表述：本书在数学定义、定理证明方面力求严谨、精确，符合数学研究的规范。 丰富的例证与习题：每章都配有大量精心设计的例题，帮助读者理解抽象概念。同时，每章末的习题从易到难，分为概念理解、计算练习和理论探索等不同层次，鼓励读者主动思考，巩固所学。 前沿研究的渗透：在讲解经典理论的同时，本书也适时融入了近些年的一些研究热点和发展方向，例如计算代数几何、表示论等，以期激发读者的学术兴趣。 跨学科的视角：本书强调高等代数在物理学、计算机科学、密码学等领域的应用，帮助读者认识到数学的工具性和普适性。 读者对象 本书适合以下读者： 数学专业本科高年级学生，作为高等代数课程的教材或参考书。 数学专业研究生，作为深入学习和研究的参考。 从事代数相关领域研究的科研人员。 对高等代数感兴趣的其他学科领域的学习者。 通过对本书的学习，读者将能够深刻理解高等代数的核心思想，掌握分析和解决代数问题的基本方法，并为进一步的数学学习和研究打下坚实的基础。本书旨在培养读者的抽象思维能力、逻辑推理能力和数学创新能力，使他们能够运用代数的工具解决更广泛的科学与工程问题。

评分☆☆☆☆☆

这本书在细节处理上的用心，让我印象深刻。比如，在介绍矩阵运算时，作者会用不同的颜色来区分不同的矩阵，或者用箭头来表示向量的方向。这种视觉化的处理方式，能够有效地帮助我们理解抽象的数学概念。另外，在定理的表述和证明中，作者会用斜体、粗体等方式来强调关键的词语或者公式，这有助于我们抓住重点。我之前学习一些教材时，经常会觉得排版过于单调，信息量很大，但很难抓住重点。而这本教材，在排版和格式设计上，都非常人性化，它能够引导我们的阅读视线，让我们更有效地吸收知识。这种对细节的关注，充分体现了作者的专业性和教学经验，让我觉得这本书不仅仅是一本教材，更是一份精心打磨的学习工具。

评分☆☆☆☆☆

在阅读这本书的过程中，我最惊喜的是它对数学史的融入。在某些章节的开头或者结尾，会穿插一些与该章节内容相关的数学家的故事，或者某个重要概念的演变过程。这些小插曲，非但不会打断学习的连贯性，反而像是在枯燥的数学推导中注入了一股清流，让学习过程变得更加生动有趣。我了解到，原来这些抽象的数学概念，背后都有着深刻的数学思想和历史渊源。比如，在介绍二次型的时候，提到了数学家们如何从几何的角度去理解和分类二次曲线，以及如何利用矩阵来简化二次型的研究。这种对数学文化背景的介绍，不仅增加了学习的趣味性，更能帮助我们从更宏观的视角去理解数学的本质，而不是仅仅把它当做一套孤立的符号和公式。这让我觉得，学习高等代数，不仅仅是在学习一门技术，更是在学习一种数学思维方式，一种解决问题的逻辑。很多时候，我会被这些历史故事所吸引，去进一步查找相关的资料，这无疑极大地拓展了我的知识面，也让我对数学产生了更浓厚的兴趣。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计简直是朴实无华，甚至有些年代感。封面上的字体排列、颜色选择，都透着一种“老派”的严谨，让人第一眼就能联想到大学课堂上老师们讲课的场景。当然，这种复古的设计风格，对于我这样的“老考生”来说，反而有一种莫名的亲切感，仿佛回到了当年埋头苦读的日子。翻开书页，纸张的触感也很有质感，不是那种过于光滑的，而是带点微微的涩，这样看久了眼睛也不会那么疲劳。印刷的字迹清晰工整，即使是那些复杂的数学符号，也毫不含糊，这一点对于学习高等代数这种需要精密推导的学科来说，至关重要。我特别喜欢它这种不花哨的风格，直接切入主题，没有多余的装饰，让你能够心无旁骛地投入到知识的学习中去。想想现在市面上很多教材，封面设计得花里胡哨，五颜六色的，反而让人觉得不够专业，甚至有些浮夸。而这本《高等代数》，它就如同一个沉默寡言但学识渊博的长者，静静地在那里，等待着有缘人的探索。我之前也看过一些其他的代数书，有的设计过于现代，有的排版过于紧凑，阅读起来总觉得不够舒展，而这本，恰恰满足了我对于一本“正统”代数教材的期待。它不是为了迎合市场而进行的“包装”，而是真正用心在内容本身。

评分☆☆☆☆☆

这本书的辅导性质，也体现在其内容的选择和组织上。虽然它是一本高等代数教材，但很多章节的讲解方式，都带有一定的辅导性质。作者在引入概念时，会预设读者可能遇到的困惑，并提前进行解答。在证明过程中，也会详细解释每一步的推理依据，这对于自学来说，非常有帮助。我曾经尝试过自学一些数学课程，但很多时候都会因为教材的晦涩难懂而半途而废。而这本教材，则让我感受到了“有人领路”的畅快。它就像一位经验丰富的导师，不仅传授知识，更教会我如何去学习，如何去思考。这对于希望通过自学来掌握高等代数知识的学习者来说，无疑是一个巨大的福音。它让我觉得，学习高等代数，并不是一件遥不可及的事情，而是一件可以努力就能实现的目标。

评分☆☆☆☆☆

这本书的内容更新也是值得称赞的。虽然它是一本经典的高等代数教材，但在第四版中，我能够感受到一些与时俱进的更新。比如，在某些章节的讨论中，会提及一些现代数学的发展方向，或者与计算机科学、工程等领域的联系。这让我意识到，高等代数并非是停滞不前的学科，而是仍然在不断发展和应用的。这种“与时俱进”的特点，对于我们学习者来说，非常有启发性。它不仅让我们掌握了基础的代数知识，更能让我们对数学的未来发展有一个初步的认识。我之前看过一些年代比较久远的教材，虽然内容经典，但缺乏与现代科技的联系，这让我感觉学到的知识有些“过时”。而这本书，则很好地平衡了经典与现代，让我们既能打下坚实的基础，又能看到学科的发展前景，这一点非常难得。

评分☆☆☆☆☆

在学习高等代数这样一个抽象的学科时，清晰的概念阐释和严谨的证明是至关重要的。这本书在这两方面都做得非常出色。每个新概念的引入，都伴随着详尽的定义和相关的性质。而定理的证明，更是层层剥茧，逻辑严密，没有丝毫的含糊之处。我尤其喜欢它在证明过程中，对于关键步骤的强调和解释，这能够帮助我理解为什么这样做，而不是仅仅停留在“知道”层面。有时候，我会发现自己对某个证明感到困惑，这时候就会回过头来仔细阅读教材的证明过程，往往能从中找到解答。这种严谨的数学风格，对于培养扎实的数学功底至关重要。我之前学习一些数学课程时，教材中的证明有时会显得比较简略，或者直接跳过一些关键步骤，这让我感到很吃力。而这本教材，就像一位尽职尽责的数学老师，把每一个细节都为你讲解清楚，让你能够真正理解数学的严谨和美妙。

评分☆☆☆☆☆

这本书的语言风格，我用“平实而有力”来形容。它没有华丽的辞藻，也没有晦涩难懂的专业术语堆砌。作者用一种非常清晰、直接的方式来阐述复杂的数学概念。我能够感受到作者在用最简洁的语言，去传递最精髓的数学思想。这种风格，对于我这样的非数学专业背景的学习者来说，尤为重要。我不需要花费大量的时间去理解作者的“言外之意”，而是可以直接抓住知识的核心。而且，在阐述一些证明或者推导过程时，作者的用词也非常精准，每一个词语都恰到好处，不会引起歧义。这让我觉得，这是一本真正用心在教学的教材，作者把他的知识和经验，都毫无保留地倾注其中。我曾经看过一些教材，作者的语言过于“学院派”，很多时候让我觉得像是听天书，而这本教材，则做到了真正的“因材施教”，让我能够轻松地理解和掌握。

评分☆☆☆☆☆

这本教材的编排逻辑，给我留下了非常深刻的印象。它并非简单地堆砌知识点，而是循序渐进，层层递进。从最基础的线性空间、向量空间的概念开始，一步步深入到线性变换、二次型、张量等等。我尤其欣赏它在引入新概念时，会先从一个直观的例子或者一个简化的模型入手，帮助读者建立起初步的理解，然后再进行严谨的数学定义和证明。这种“由浅入深”的处理方式，极大地降低了高等代数这种抽象学科的学习难度。而且，每章节的结构都很清晰，通常会先列出本章的学习目标，然后在主体内容中，概念的介绍、定理的阐述、证明的推导，都做得一丝不苟。习题部分也是一大亮点，它不仅仅是知识点的巩固，更是对理解的深化和能力的锻炼。习题的难度梯度设计得也很好，从基础的应用题到一些需要综合运用多个知识点的综合题，能够满足不同水平的学习者的需求。我之前学习一些数学课程时，经常会遇到教材讲解过于跳跃，或者习题与讲解脱节的情况，而这本教材，在这方面做得非常到位。它就像一个耐心的老师，把每一个知识点都讲得明明白白，让你在不知不觉中就掌握了相关的知识和解题技巧。

评分☆☆☆☆☆

这本书的习题设计，可以说是既有深度又有广度。它不仅仅是让你去套用公式，更是要求你去理解公式背后的原理，并能够灵活地运用到不同的场景中。我特别喜欢那些需要自己去构建模型，或者证明一些非标准问题的习题。这些题目，恰恰能够检验你对知识的掌握程度，以及你独立思考和解决问题的能力。很多时候，我会在一道习题上卡住很久，但经过反复推敲，最终解决的时候，那种成就感是无与伦比的。而且，这本书的习题答案部分，虽然没有提供详细的解题过程，但对于一些关键步骤或者思路的提示，是相当到位的。这避免了直接抄袭答案的弊端，但又给了需要帮助的学习者足够的支持。我曾经遇到过一本教材，习题答案过于简略，几乎就是几个数字，这让我非常沮丧。而这本教材，在提示信息方面拿捏得恰到好处，既能引导你思考，又不至于直接给出答案，让我觉得是在锻炼自己，而不是在被动地接受。

评分☆☆☆☆☆

这本高等代数教材在概念的抽象性和具体性之间找到了很好的平衡。它不会过早地引入过于抽象的概念，而是会通过具体的例子和运算来帮助读者建立直观的理解。例如，在介绍向量空间时，会先从 R^n 这样的具体空间入手，然后逐步推广到更抽象的函数空间或者多项式空间。这种“由具体到抽象”的学习路径，大大降低了学习的难度，也让我更容易理解那些看似“空中楼阁”的数学概念。同时，作者在保持概念的严谨性的前提下，也注重培养读者的数学直觉。我在这本书中，不仅学会了如何进行计算和证明，更重要的是，培养了一种对数学问题的“感觉”。这种感觉，能够帮助我在解题时，更快地找到思路，甚至能够预测某些结论的可能性。