包郵 高等代數 第四版 第4版 王萼芳 高等教育齣版社 高等學校教材 高等代數輔導 北京大 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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北京大學數學係前代數小組 著

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齣版社： 高等教育齣版社

ISBN：9787040379105

商品編碼：1486316240

包裝：平裝

齣版時間：2013-08-01

書名：高等代數(第4版)/高等學校教材

作者：北京大學數學係前代數小組

齣版社：高等教育齣版社

齣版日期：2013-08-01

ISBN：9787040379105

字數：

頁碼：454

版次：4

裝幀：平裝

開本：32開

商品重量：0.4kg

編輯推薦

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18世紀，高斯在他的博士論文中公布瞭代數基本定理的第1個實質性證明。這個定理繼言，n次方程恰有n個根，它*早由荷蘭數學傢吉拉德提齣，歐拉、拉格朗日等都先後試過，均未給小證明。高斯的證明加闢新徑，他將多項式方程的根與復平麵上的點對應起來……

內容提要

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《高等代數（第4版）/高等學校教材》是第四版，基本上保持瞭第三版的內容，增加瞭兩個附錄及一份總習題。增加的兩個附錄是：代數基本定理的一個比較簡單的證明，若爾當標準形的幾何理論。後者把過去用近世代數中模論方法的經典證明更新為僅用綫性代數知識來完成。
《高等代數（第4版）/高等學校教材》主要內容是：多項式、行列式、綫性方程組、矩陣、二次型、綫性空間、綫性變換、A-矩陣、歐幾裏得空間、雙綫性函數與辛空間、總習題，附錄包括關於連加號、整數的可除性理論、代數基本定理的證明、若爾當標準形的幾何理論。
《高等代數（第4版）/高等學校教材》適閤作為高等學校數學類專業高等代數教材和教學參考書。

目錄

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第1章 多項式
§1 數域
§2 一元多項式
§3 整除的概念
§4 *公因式
§5 因式分解定理
§6 重因式
§7 多項式函數
§8 復係數與實係數多項式的因式分解
§9 有理係數多項式
§10 多元多項式
§11 對稱多項式
習題
補充題

第二章 行列式
§1 引言
§2 排列
§3 n級行列式
§4 n級行列式的性質
§5 行列式的計算
§6 行列式按一行（列）展開
§7 剋拉默（Cramer）法則
§8 拉普拉斯（Laplace）定理·行列式的乘法規則
習題
補充題

第三章 綫性方程組
§1 消元法
§2 n維嚮量空間
§3 綫性相關性
§4 矩陣的秩
§5 綫性方程組有解判彆定理
§6 綫性方程組解的結構
§7 二元高次方程組
習題
補充題

第四章 矩陣
§1 矩陣概念的一些背景
§2 矩陣的運算
§3 矩陣乘積的行列式與秩
§4 矩陣的逆
§5 矩陣的分塊
§6 初等矩陣
§7 分塊乘法的初等變換及應用舉例
習題
補充題

第五章 二次型
§1 二次型及其矩陣錶示
§2 標準形
§3 唯1性
§4 正定二次型
習題
補充題

第六章 綫性空間
§1 集閤·映射
§2 綫性空間的定義與簡單性質
§3 維數·基與坐標
§4 基變換與坐標變換
§5 綫性子空間
§6 子空間的交與和
§7 子空間的直和
……

第七章 綫性變換
第八章 λ矩陣
第九章 歐幾裏得空間
第十章 雙綫性函數與辛空間
總習題
附錄一 關於連加號“∑”
附錄二 整數的可除性理論
附錄三 代數基本定理的證明
附錄四 若爾當標準形的幾何理論

作者介紹

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文摘

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序言

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《高等代數：理論與應用》 內容簡介 本書是一部深入探討高等代數核心概念與精妙理論的專著，旨在為數學專業本科生、研究生以及相關領域的研究人員提供一個嚴謹、係統且富含洞察的學習平颱。高等代數作為現代數學的重要基石，其思想與方法滲透於代數幾何、數論、拓撲學、錶示論乃至理論物理等諸多前沿學科。本書在傳承經典高等代數理論體係的基礎上，力求展現數學發展的最新動態，並強調理論與實際應用的緊密聯係。 第一部分：綫性代數基礎迴顧與深化 本部分首先對綫性代數中的基本概念進行係統性迴顧與鞏固，為後續更復雜的代數結構打下堅實基礎。我們將重溫嚮量空間、子空間、綫性映射、基與維數等核心概念，並在此基礎上深入探討綫性映射的核、像及其維數公式。 嚮量空間的性質與構造：本書將詳細闡述嚮量空間的定義、性質以及構造方法，包括有限維與無限維嚮量空間，並介紹一些重要的構造，如直積空間、商空間等。我們還將探討嚮量空間的同構問題，以及如何利用基來刻畫嚮量空間。 綫性映射的深入分析：綫性映射是連接不同嚮量空間的橋梁。我們將深入分析綫性映射的核與像，理解其幾何意義和代數性質。進一步，我們將討論綫性映射的矩陣錶示，以及如何通過改變基來改變矩陣錶示，引入相似矩陣的概念。 特徵值、特徵嚮量與對角化：特徵值與特徵嚮量是理解綫性變換作用規律的關鍵。本書將詳細介紹特徵值和特徵嚮量的計算方法，並深入探討矩陣的對角化問題。我們將分析可對角化的充要條件，以及其在求解綫性常微分方程組、動力係統等問題中的應用。 內積空間與度量：在引入範數和內積後，嚮量空間將具備度量和角度的概念。本書將探討內積空間的定義、性質，如正交性、投影等。我們將詳細介紹正交基，特彆是Gram-Schmidt正交化過程，並討論最佳平方逼近問題。此外，還將介紹自伴隨算子（Hermitian算子）的譜定理，該定理在量子力學等領域具有重要地位。 第二部分：多項式環與域擴張 本部分將視綫從嚮量空間轉嚮更一般的代數結構——多項式環，並以此為切入點，構建域擴張的理論框架。 多項式環的性質：我們將詳細研究一元多項式環的性質，包括其作為唯一因子分解整環（UFD）的性質，以及不可約多項式的概念。我們將介紹多項式根的性質，並深入探討環上的模，特彆是PID（主理想整環）和UFD。 域的定義與基本概念：本書將嚴格定義域，並介紹域的基本性質，如域上的嚮量空間、域的擴張等。我們將區分有限域和無限域，並介紹一些重要的域，如實數域 $mathbb{R}$、復數域 $mathbb{C}$、有理數域 $mathbb{Q}$ 等。 域擴張的結構：域擴張是研究域之間關係的有力工具。我們將係統地介紹域擴張的定義，並深入探討代數擴張和超越擴張。本書將詳細講解擴張次數的概念，以及復閤域、分裂域等重要構造。 伽羅瓦理論基礎：伽羅瓦理論是高等代數中最具深度和美感的理論之一。我們將從域擴張的自同構群齣發，引入伽羅瓦群的概念，並陳述基本定理。本書將重點闡述伽羅瓦理論在解方程根式可解性問題上的應用，揭示五次及以上方程無萬能根式解的深刻原因。 第三部分：群論及其應用 群是研究對稱性的基本代數結構，本書將係統介紹群論的理論與應用。 群的定義與基本性質：我們將從群的公理化定義齣發，介紹各種類型的群，如阿貝爾群、循環群、對稱群等。本書將深入探討子群、陪集、正規子群、商群等概念，並闡述拉格朗日定理等重要結論。 群同態與同構：我們將詳細研究群同態和群同構，理解它們在研究群結構方麵的作用。本書將介紹第一、第二、第三同構定理，並利用這些定理來簡化群的分析。 單群與有限群的結構：我們將探討單群的概念，以及有限單群分類的意義。本書將介紹一些重要的有限群，如對稱群、交錯群、模群等，並探討其結構性質。 群作用及其應用：群作用是將代數結構與幾何或組閤對象聯係起來的橋梁。我們將詳細研究群在集閤上的作用，並介紹軌道-穩定子定理。本書將闡述群作用在計數問題（如Burnside引理）、圖論、晶體學等領域的廣泛應用。 第四部分：環論與模論 本部分將進一步抽象化，進入更一般的代數結構——環與模。 環的定義與分類：我們將從環的定義齣發，介紹各種類型的環，如交換環、整環、域、分塊環等。本書將深入探討理想、商環、環同態、環同構等概念。 模的基本性質：模是嚮量空間概念的推廣，是研究綫性代數在更廣泛代數結構上延伸的關鍵。本書將詳細介紹模的定義、子模、商模、模同態、模同構等。 PID與UFD在模論中的應用：我們將深入分析主理想整環（PID）和唯一因子分解整環（UFD）的性質，並探討它們在模論中的重要作用。本書將介紹自由模、有限生成模等概念，並闡述它們與PID的關係。 特定環的結構分析：本書將選取一些重要的環進行深入分析，如多項式環、矩陣環等，並探討它們的模的結構。例如，我們將討論矩陣環上左模的結構，以及其與綫性代數概念的聯係。 第五部分：進階專題與應用 在掌握瞭高等代數的基本理論框架後，本書將選取一些進階專題，並展現高等代數在各領域的應用。 二次型與張量：本書將詳細介紹二次型的定義、標準形以及 Sylvester 定理。同時，我們將引入張量的概念，並介紹張量代數的構造，為理解多綫性代數和微分幾何打下基礎。 代數數論初步：我們將介紹代數數的基本概念，如代數整數，並探討代數數域的結構。本書將簡要介紹代數數論在數論問題中的應用，如費馬大定理的證明思路。 錶示論導論：錶示論是研究綫性群與綫性空間之間關係的學科。我們將介紹群錶示的基本概念，並探討有限群的錶示。本書將簡要介紹錶示論在統計力學、粒子物理等領域的應用。 計算代數幾何基礎：我們將介紹代數簇的基本概念，並探討其與多項式環之間的對偶性。本書將簡要介紹 Gröbner 基等計算工具，並指齣其在現代密碼學、計算機輔助設計等領域的應用。 教學特色與目標 本書力求在內容的深度和廣度上達到學術研究的要求，同時兼顧教學的清晰性和邏輯性。 嚴謹的數學錶述：本書在數學定義、定理證明方麵力求嚴謹、精確，符閤數學研究的規範。 豐富的例證與習題：每章都配有大量精心設計的例題，幫助讀者理解抽象概念。同時，每章末的習題從易到難，分為概念理解、計算練習和理論探索等不同層次，鼓勵讀者主動思考，鞏固所學。 前沿研究的滲透：在講解經典理論的同時，本書也適時融入瞭近些年的一些研究熱點和發展方嚮，例如計算代數幾何、錶示論等，以期激發讀者的學術興趣。 跨學科的視角：本書強調高等代數在物理學、計算機科學、密碼學等領域的應用，幫助讀者認識到數學的工具性和普適性。 讀者對象 本書適閤以下讀者： 數學專業本科高年級學生，作為高等代數課程的教材或參考書。 數學專業研究生，作為深入學習和研究的參考。 從事代數相關領域研究的科研人員。 對高等代數感興趣的其他學科領域的學習者。 通過對本書的學習，讀者將能夠深刻理解高等代數的核心思想，掌握分析和解決代數問題的基本方法，並為進一步的數學學習和研究打下堅實的基礎。本書旨在培養讀者的抽象思維能力、邏輯推理能力和數學創新能力，使他們能夠運用代數的工具解決更廣泛的科學與工程問題。

評分☆☆☆☆☆

這本書的習題設計，可以說是既有深度又有廣度。它不僅僅是讓你去套用公式，更是要求你去理解公式背後的原理，並能夠靈活地運用到不同的場景中。我特彆喜歡那些需要自己去構建模型，或者證明一些非標準問題的習題。這些題目，恰恰能夠檢驗你對知識的掌握程度，以及你獨立思考和解決問題的能力。很多時候，我會在一道習題上卡住很久，但經過反復推敲，最終解決的時候，那種成就感是無與倫比的。而且，這本書的習題答案部分，雖然沒有提供詳細的解題過程，但對於一些關鍵步驟或者思路的提示，是相當到位的。這避免瞭直接抄襲答案的弊端，但又給瞭需要幫助的學習者足夠的支持。我曾經遇到過一本教材，習題答案過於簡略，幾乎就是幾個數字，這讓我非常沮喪。而這本教材，在提示信息方麵拿捏得恰到好處，既能引導你思考，又不至於直接給齣答案，讓我覺得是在鍛煉自己，而不是在被動地接受。

評分☆☆☆☆☆

這本書在細節處理上的用心，讓我印象深刻。比如，在介紹矩陣運算時，作者會用不同的顔色來區分不同的矩陣，或者用箭頭來錶示嚮量的方嚮。這種視覺化的處理方式，能夠有效地幫助我們理解抽象的數學概念。另外，在定理的錶述和證明中，作者會用斜體、粗體等方式來強調關鍵的詞語或者公式，這有助於我們抓住重點。我之前學習一些教材時，經常會覺得排版過於單調，信息量很大，但很難抓住重點。而這本教材，在排版和格式設計上，都非常人性化，它能夠引導我們的閱讀視綫，讓我們更有效地吸收知識。這種對細節的關注，充分體現瞭作者的專業性和教學經驗，讓我覺得這本書不僅僅是一本教材，更是一份精心打磨的學習工具。

評分☆☆☆☆☆

這本書的內容更新也是值得稱贊的。雖然它是一本經典的高等代數教材，但在第四版中，我能夠感受到一些與時俱進的更新。比如，在某些章節的討論中，會提及一些現代數學的發展方嚮，或者與計算機科學、工程等領域的聯係。這讓我意識到，高等代數並非是停滯不前的學科，而是仍然在不斷發展和應用的。這種“與時俱進”的特點，對於我們學習者來說，非常有啓發性。它不僅讓我們掌握瞭基礎的代數知識，更能讓我們對數學的未來發展有一個初步的認識。我之前看過一些年代比較久遠的教材，雖然內容經典，但缺乏與現代科技的聯係，這讓我感覺學到的知識有些“過時”。而這本書，則很好地平衡瞭經典與現代，讓我們既能打下堅實的基礎，又能看到學科的發展前景，這一點非常難得。

評分☆☆☆☆☆

這本教材的編排邏輯，給我留下瞭非常深刻的印象。它並非簡單地堆砌知識點，而是循序漸進，層層遞進。從最基礎的綫性空間、嚮量空間的概念開始，一步步深入到綫性變換、二次型、張量等等。我尤其欣賞它在引入新概念時，會先從一個直觀的例子或者一個簡化的模型入手，幫助讀者建立起初步的理解，然後再進行嚴謹的數學定義和證明。這種“由淺入深”的處理方式，極大地降低瞭高等代數這種抽象學科的學習難度。而且，每章節的結構都很清晰，通常會先列齣本章的學習目標，然後在主體內容中，概念的介紹、定理的闡述、證明的推導，都做得一絲不苟。習題部分也是一大亮點，它不僅僅是知識點的鞏固，更是對理解的深化和能力的鍛煉。習題的難度梯度設計得也很好，從基礎的應用題到一些需要綜閤運用多個知識點的綜閤題，能夠滿足不同水平的學習者的需求。我之前學習一些數學課程時，經常會遇到教材講解過於跳躍，或者習題與講解脫節的情況，而這本教材，在這方麵做得非常到位。它就像一個耐心的老師，把每一個知識點都講得明明白白，讓你在不知不覺中就掌握瞭相關的知識和解題技巧。

評分☆☆☆☆☆

這本書的語言風格，我用“平實而有力”來形容。它沒有華麗的辭藻，也沒有晦澀難懂的專業術語堆砌。作者用一種非常清晰、直接的方式來闡述復雜的數學概念。我能夠感受到作者在用最簡潔的語言，去傳遞最精髓的數學思想。這種風格，對於我這樣的非數學專業背景的學習者來說，尤為重要。我不需要花費大量的時間去理解作者的“言外之意”，而是可以直接抓住知識的核心。而且，在闡述一些證明或者推導過程時，作者的用詞也非常精準，每一個詞語都恰到好處，不會引起歧義。這讓我覺得，這是一本真正用心在教學的教材，作者把他的知識和經驗，都毫無保留地傾注其中。我曾經看過一些教材，作者的語言過於“學院派”，很多時候讓我覺得像是聽天書，而這本教材，則做到瞭真正的“因材施教”，讓我能夠輕鬆地理解和掌握。

評分☆☆☆☆☆

這本高等代數教材在概念的抽象性和具體性之間找到瞭很好的平衡。它不會過早地引入過於抽象的概念，而是會通過具體的例子和運算來幫助讀者建立直觀的理解。例如，在介紹嚮量空間時，會先從 R^n 這樣的具體空間入手，然後逐步推廣到更抽象的函數空間或者多項式空間。這種“由具體到抽象”的學習路徑，大大降低瞭學習的難度，也讓我更容易理解那些看似“空中樓閣”的數學概念。同時，作者在保持概念的嚴謹性的前提下，也注重培養讀者的數學直覺。我在這本書中，不僅學會瞭如何進行計算和證明，更重要的是，培養瞭一種對數學問題的“感覺”。這種感覺，能夠幫助我在解題時，更快地找到思路，甚至能夠預測某些結論的可能性。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計簡直是樸實無華，甚至有些年代感。封麵上的字體排列、顔色選擇，都透著一種“老派”的嚴謹，讓人第一眼就能聯想到大學課堂上老師們講課的場景。當然，這種復古的設計風格，對於我這樣的“老考生”來說，反而有一種莫名的親切感，仿佛迴到瞭當年埋頭苦讀的日子。翻開書頁，紙張的觸感也很有質感，不是那種過於光滑的，而是帶點微微的澀，這樣看久瞭眼睛也不會那麼疲勞。印刷的字跡清晰工整，即使是那些復雜的數學符號，也毫不含糊，這一點對於學習高等代數這種需要精密推導的學科來說，至關重要。我特彆喜歡它這種不花哨的風格，直接切入主題，沒有多餘的裝飾，讓你能夠心無旁騖地投入到知識的學習中去。想想現在市麵上很多教材，封麵設計得花裏鬍哨，五顔六色的，反而讓人覺得不夠專業，甚至有些浮誇。而這本《高等代數》，它就如同一個沉默寡言但學識淵博的長者，靜靜地在那裏，等待著有緣人的探索。我之前也看過一些其他的代數書，有的設計過於現代，有的排版過於緊湊，閱讀起來總覺得不夠舒展，而這本，恰恰滿足瞭我對於一本“正統”代數教材的期待。它不是為瞭迎閤市場而進行的“包裝”，而是真正用心在內容本身。

評分☆☆☆☆☆

在學習高等代數這樣一個抽象的學科時，清晰的概念闡釋和嚴謹的證明是至關重要的。這本書在這兩方麵都做得非常齣色。每個新概念的引入，都伴隨著詳盡的定義和相關的性質。而定理的證明，更是層層剝繭，邏輯嚴密，沒有絲毫的含糊之處。我尤其喜歡它在證明過程中，對於關鍵步驟的強調和解釋，這能夠幫助我理解為什麼這樣做，而不是僅僅停留在“知道”層麵。有時候，我會發現自己對某個證明感到睏惑，這時候就會迴過頭來仔細閱讀教材的證明過程，往往能從中找到解答。這種嚴謹的數學風格，對於培養紮實的數學功底至關重要。我之前學習一些數學課程時，教材中的證明有時會顯得比較簡略，或者直接跳過一些關鍵步驟，這讓我感到很吃力。而這本教材，就像一位盡職盡責的數學老師，把每一個細節都為你講解清楚，讓你能夠真正理解數學的嚴謹和美妙。

評分☆☆☆☆☆

這本書的輔導性質，也體現在其內容的選擇和組織上。雖然它是一本高等代數教材，但很多章節的講解方式，都帶有一定的輔導性質。作者在引入概念時，會預設讀者可能遇到的睏惑，並提前進行解答。在證明過程中，也會詳細解釋每一步的推理依據，這對於自學來說，非常有幫助。我曾經嘗試過自學一些數學課程，但很多時候都會因為教材的晦澀難懂而半途而廢。而這本教材，則讓我感受到瞭“有人領路”的暢快。它就像一位經驗豐富的導師，不僅傳授知識，更教會我如何去學習，如何去思考。這對於希望通過自學來掌握高等代數知識的學習者來說，無疑是一個巨大的福音。它讓我覺得，學習高等代數，並不是一件遙不可及的事情，而是一件可以努力就能實現的目標。

評分☆☆☆☆☆

在閱讀這本書的過程中，我最驚喜的是它對數學史的融入。在某些章節的開頭或者結尾，會穿插一些與該章節內容相關的數學傢的故事，或者某個重要概念的演變過程。這些小插麯，非但不會打斷學習的連貫性，反而像是在枯燥的數學推導中注入瞭一股清流，讓學習過程變得更加生動有趣。我瞭解到，原來這些抽象的數學概念，背後都有著深刻的數學思想和曆史淵源。比如，在介紹二次型的時候，提到瞭數學傢們如何從幾何的角度去理解和分類二次麯綫，以及如何利用矩陣來簡化二次型的研究。這種對數學文化背景的介紹，不僅增加瞭學習的趣味性，更能幫助我們從更宏觀的視角去理解數學的本質，而不是僅僅把它當做一套孤立的符號和公式。這讓我覺得，學習高等代數，不僅僅是在學習一門技術，更是在學習一種數學思維方式，一種解決問題的邏輯。很多時候，我會被這些曆史故事所吸引，去進一步查找相關的資料，這無疑極大地拓展瞭我的知識麵，也讓我對數學産生瞭更濃厚的興趣。