常微分方程定性與穩定性方法(第二版) 馬知恩,周義倉,李承治 科學齣版社 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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馬知恩 著

圖書標籤:

• 常微分方程
• 定性分析
• 穩定性
• 動力係統
• 數學
• 高等教育
• 科學齣版社
• 馬知恩
• 周義倉
• 李承治

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齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030443557

版次：2

商品編碼：1740281746

包裝：平裝

齣版時間：2015-06-01

基本信息

書名：常微分方程定性與穩定性方法(第二版)

作者：馬知恩,周義倉,李承治

齣版社：科學齣版社

齣版日期：2015-06-01

ISBN：9787030443557

字數：473000

頁碼：364

版次：2

裝幀：平裝

開本：16開

商品重量：0.4kg

編輯推薦

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《常微分方程定性與穩定性方法》可作為理工類專業研究生的教材和高年級本科生的選修課教材，也可供相關的科學技術人員參考.

內容提要

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《常微分方程定性與穩定性方法》是為理工類專業的碩士研究生和高年級本科生的需要所編寫的一《常微分方程定性與穩定性方法》.《常微分方程定性與穩定性方法》為第二版.主要包括定性理論、穩定性理論和分支理論三個部分.內容著眼於應用的需要取材精練,注意概念實質的揭示、定理思路的闡述、應用方法的介紹和實際例子的分析,並配閤內容引入計算機軟件.每章後附有習題供讀者練習.

目錄

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目錄
第二版前言
第一版前言
第 1 章 基本定理 1
1.1 解的存在唯一性定理 1
1.2 解的延拓 3
1.3 解對初值和參數的連續依賴性和可微性 9
1.4 比較定理 13
習題 1 21
第 2 章 動力係統的基本知識 23
2.1 自治係統與非自治係統 23
2.1.1 相空間與軌綫 23
2.1.2 自治係統的基本性質 25
2.1.3 動力係統的概念 28
2.2 軌綫的極限集閤.29
2.2.1 常點與奇點 29 2.2.2 自治係統解的延拓性 30
2.2.3 極限集與 極限集及其基本性質 32
2.3 平麵上的極限集.35
2.3.1 平麵有界極限集的特性與結構35
2.3.2 Poincar.e-Bendixson 環域定理37
2.4 極限集的應用實例 39
2.4.1 Volterra 捕食{被捕食模型 39
2.4.2 三極管電路的 van der Pol 方程 42
習題 2 44
第 3 章 穩定性理論 46
3.1 穩定性的定義和例子 46
3.1.1 穩定性的幾個定義 46
3.1.2 穩定性的關係及例子 49
3.2 自治係統零解的穩定性 54
3.2.1 V 函數 54？
3.2.2 Liapunov 穩定性定理 55
3.2.3 不穩定性定理 57
3.3 非自治係統零解的穩定性 59
3.3.1 V 函數和 k 類函數 59
3.3.2 零解的穩定性 62
3.3.3 零解的不穩定性 65
3.4 全局穩定性 67
3.4.1 全局穩定的概念和判定定理 67
3.4.2 應用舉例.71
3.4.3 吸引域的估計 73
3.5 綫性係統及其擾動係統的穩定性 73
3.5.1 常係數綫性係統的穩定性 74
3.5.2 綫性係統的擾動 81
3.5.3 非自治綫性係統的穩定性 84
3.6 臨界情形下奇點的穩定性分析 87
3.6.1 中心流形.88
3.6.2 中心流形定理 92
3.6.3 臨界情況下奇點的穩定性分析舉例.95
3.7 Liapunov 函數的構造 102
3.7.1 Liapunov 函數的存在性 102
3.7.2 常係數綫性係統的巴爾巴欣公式 104
3.7.3 二次型方法的推廣 108
3.7.4 綫性類比法 110
3.7.5 能量函數法 112
3.7.6 分離變量法 113
3.7.7 變梯度法 114
3.8 判定穩定性時的比較方法 116
3.8.1 與數量方程的比較 116
3.8.2 與嚮量方程的比較 120
習題 3122
第 4 章 平麵係統的奇點 125
4.1 初等奇點.125
4.1.1 綫性係統的孤立奇點 125
4.1.2 非綫性係統的雙麯奇點 135
4.2 中心與焦點的判定 140
4.2.1 非雙麯初等奇點的類型與中心的判定定理 140
4.2.2 細焦點及其判定法 147
4.3 高階奇點.157
4.3.1 沿不變直綫方嚮的拉伸變換158
4.3.2 通過極坐標變換的吹脹' 技巧 160
4.3.3 沿 x 與 y 方嚮的吹脹'165
4.3.4 非齊次 吹脹' 169
4.4 鏇轉數與指數 171
4.4.1 鏇轉數及其基本性質 171
4.4.2 奇點的指數 173
習題 4177
第 5 章 極限環.179
5.1 基本概念與極限環的不存在性 179
5.1.1 基本概念 179
5.1.2 極限環不存在性的判定法 181
5.2 極限環的存在性.187
5.3 後繼函數與極限環的穩定性.198
5.3.1 Poinear.e 映射與後繼函數 198
5.3.2 麯綫坐標與極限環的穩定性200
5.4 極限環的唯一性.204
習題 5211
第 6 章 無窮遠奇點與全局結構 212
6.1 無窮遠奇點 212
6.1.1 Poincar.e 球麵與 Poincar.e 變換 212
6.1.2 無窮遠奇點與 Poincar.e 圓盤214
6.2 軌綫的全局結構分析舉例 224
習題 6228
第 7 章 分支理論 229
7.1 一個例子.229
7.2 結構穩定與分支現象230
7.2.1 結構穩定的定義 230
7.2.2 結構穩定的等價描述 232
7.2.3 結構不穩定:分支現象 233
7.3 奇點分支.234
7.3.1 一維係統的奇點分支 234
7.3.2 二維或更高維係統的奇點分支.238
7.3.3 給定擾動參數的奇點分支問題.242
7.4 Hopf 分支 243
7.4.1 平麵係統的 Hopf 分支 244
7.4.2 利用特徵根的共振性求正規形.255
7.4.3 三維或更高維係統的 Hopf 分支 257
7.5 閉軌分支.259
7.5.1 平麵係統的閉軌分支 259
7.5.2 三維或更高維係統的閉軌分支.263
7.6 奇異閉軌分支 268
7.6.1 平麵係統的同宿分支 269
7.6.2 鏇轉嚮量場 270
7.6.3 平麵係統同宿分支的例子 272
7.6.4 關於異宿分支和高維係統奇異閉軌分支的介紹 275
7.7 Poincar.e 分支||從平麵閉軌族分支極限環 276
7.7.1 平麵 Hamilton 係統的擾動問題 276
7.7.2 高階 Melnikov 函數.284
7.7.3 平麵可積係統的擾動問題 286
7.7.4 弱化的希爾伯特第 16 問題 287
7.8 從高維係統的閉軌族産生周期解的分支問題 289
7.9 Bogdanov-Takens 分支 296
7.9.1 利用變換求正規形 296
7.9.2 餘維 2 的 B-T 分支:普適開摺的推導 298
7.9.3 餘維 2 的 B-T 分支:分支圖與軌綫拓撲分類 302
習題 7303
第 8 章 常微分方程的應用舉例 308
8.1 一個三種群相互作用的 Volterra 模型研究 308
8.1.1 正平衡解的穩定性 308
8.1.2 模型平麵解的存在性及其漸近性態 311
8.1.3 一個 Volterra 模型的 Hopf 分支 314
8.2 傳染病模型 317
8.2.1 假設和記號 317
8.2.2 SIS 模型 317
8.2.3 SIR 模型 319
8.2.4 SEIR 模型 321
8.3 一個總人口變化的 SEIR 模型的全局性態分析 323
8.3.1 模型及其平衡解 323
8.3.2 無病平衡點的穩定性 325 8.3.3 地方病平衡點的穩定性 327
8.3.4 地方病平衡點的全局穩定性329
8.4 三分子反應模型.332
8.4.1 模型及其奇點分析 332
8.4.2 極限環的存在唯一性 334
8.5 一個具有非綫性傳染率的 SI 模型的穩定性與分支 336
8.5.1 具有非綫性傳染率的 SI 模型 336
8.5.2 平衡點的穩定性 338
8.5.3 模型 (8.5.3) 的 Bogdanov-Takens 分支 341
8.6 一個具有飽和恢復率的季節性傳染病模型 348
8.6.1 模型及其基本再生數 348
8.6.2 兩個正周期解的存在性 349
8.6.3 周期解的穩定性 354
習題 8 359
參考文獻362

作者介紹

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文摘

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序言

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《非綫性動力學導論：從混沌到復雜性》 作者： 史蒂芬·霍爾姆斯 (Stephen Holmes)，理查德·布朗 (Richard Brown) 齣版社： 劍橋大學齣版社 齣版年份： 2021年 --- 內容簡介 《非綫性動力學導論：從混沌到復雜性》是一部全麵而深入的著作，旨在為讀者提供理解和分析復雜非綫性係統的理論框架與實用工具。本書超越瞭傳統的綫性係統分析範疇，聚焦於自然界和工程領域中普遍存在的非綫性現象，如分岔、混沌、耗散結構以及復雜網絡中的湧現行為。 本書的結構設計旨在引導讀者逐步建立起對非綫性動力學的直覺認識，並最終掌握嚴謹的數學分析方法。全書共分為五大部分，涵蓋瞭從基礎理論到前沿應用的廣泛內容。 第一部分：非綫性動力學的基本構架 本部分首先迴顧瞭常微分方程的基本解法，並明確指齣瞭綫性理論在處理真實世界問題時的局限性。隨後，引入瞭相空間分析的概念，這是理解非綫性係統的基石。重點介紹瞭平衡點（不動點）、穩定性和不穩定性的幾何意義。 隨後，我們深入探討瞭“分岔理論”的初步概念。通過對一維和二維係統的分析，清晰展示瞭係統參數變化如何導緻定性行為的突變，例如鞍結分岔、超臨界和次臨界Hopf分岔。書中特彆強調瞭分岔點作為係統從簡單行為過渡到復雜行為的“臨界點”的重要性。我們使用具體的物理模型，如瑞利-比納德對流、洛倫茲吸引子（初步介紹），來說明這些數學概念在物理現實中的對應。 第二部分：振動、極限環與幾何方法 本部分側重於周期性解——極限環的研究。在二維自治係統中，極限環的齣現往往與Hopf分岔相關聯。本書詳細闡述瞭龐加萊截麵（Poincaré Sections）的方法，這是一種將高維連續時間係統轉化為低維離散映射的強大技術，是分析周期性和準周期性行為的關鍵工具。 我們詳細分析瞭極限環的穩定性，並引入瞭李雅普諾夫函數在證明穩定性的應用。此外，書中包含瞭對周期倍增（Period Doubling）序列的詳細討論，這是通往混沌的一個主要路徑。對於非自治係統（受迫振動），書中區分瞭穩態解和暫態解，並使用瞭範數增長分析來評估係統的長期響應。 第三部分：混沌的解析與數值探究 混沌是本書的核心議題之一。我們不再將混沌視為隨機性，而是將其定義為對初始條件高度敏感的確定性動力學行為。本部分首先介紹瞭著名的洛倫茲係統（Lorenz System），並從其結構齣發，推導齣混沌係統的關鍵特徵： 1. 敏感依賴性： 通過引入李雅普諾夫指數（Lyapunov Exponents）的計算方法，量化瞭係統對微小擾動的放大率。書中詳細演示瞭如何通過數值積分來估計最大李雅普諾夫指數，並將其作為區分混沌和周期行為的量化指標。 2. 拓撲混閤性與遍曆性： 解釋瞭吸引子內部軌跡的稠密性及其在長時間尺度上對相空間的覆蓋能力。 3. 分數維結構： 引入瞭“奇怪吸引子”（Strange Attractors）的概念，並對分形維數（如盒計數維數和關聯維數）進行瞭深入淺齣的介紹，說明混沌吸引子具有精細的、自相似的結構。 為瞭便於讀者實踐，本部分提供瞭基於MATLAB和Python的數值模擬指南，演示瞭Runge-Kutta方法在求解非綫性微分方程中的應用，以及如何通過參數掃描生成分岔圖和龐加萊截麵圖。 第四部分：更高級的分岔理論與滯後現象 在掌握瞭基礎分岔之後，本部分轉嚮更復雜的現象。我們深入研究瞭高階分岔，如滯後現象（Hysteresis）和周期性倍增的通往混沌的普適途徑（Feigenbaum常數）。 書中對滯後現象進行瞭深入的幾何和代數分析，特彆是在鞍結分岔和Hopf分岔的次臨界情況下，滯後現象的齣現預示著係統可能存在多個穩定的穩態解，這在電路設計和生物模型中具有實際意義。 此外，本書探討瞭脈衝效應和延遲微分方程（Delay Differential Equations, DDEs）中的動力學行為。延遲項的引入極大地增加瞭係統的自由度，可能導緻更復雜的振蕩模式和新的混沌機製。 第五部分：復雜係統中的湧現行為與應用 最後一部分將非綫性動力學的工具箱應用於更宏大的係統。我們探討瞭耦閤振子係統，這是理解同步現象（Synchronization）的基礎。通過Kuramoto模型等實例，分析瞭大量的相互作用單元如何自發地形成有序或準有序的宏觀狀態——這就是“湧現”（Emergence）。 書中還涵蓋瞭： 空間動力學： 行波（Traveling Waves）和空間結構的形成（例如反應-擴散係統中的圖靈模式）。 全局分析方法： 介紹龐加萊-霍普夫環流定理（Poincaré-Hopf Index Theorem）及其在拓撲分類中的應用。 本書的最終目標是培養讀者對復雜係統的洞察力，使其能夠識彆齣隱藏在看似隨機的數據背後的確定性結構，並將動力學理論應用於工程控製、生態建模、氣候科學以及神經科學等前沿領域。本書適閤作為高年級本科生、研究生以及希望從定量角度理解復雜現象的研究人員的教材或參考書。全書配備瞭大量的習題和案例分析，旨在鞏固理論理解並提升實際建模能力。

評分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀設計真是太有品位瞭，封麵那種深沉的藍色調，配上簡潔的字體，一看就是那種沉得下心來讀的專業書籍。拿到手裏，分量感十足，能感受到裏麵內容的紮實程度。我尤其欣賞它在細節上的處理，比如頁邊距的留白恰到好處，長時間閱讀也不會覺得眼睛很纍。這種對書籍本身的尊重，往往預示著對內容的精雕細琢。雖然我還沒深入研究每一個定理的推導，但光是翻閱目錄和前言，就能感受到作者們在梳理知識體係時所下的苦功。特彆是對於初學者來說，這樣的排版和設計，能極大地降低閱讀的門檻，讓人在麵對抽象的數學概念時，不至於産生過度的畏懼感。它更像是一件精心製作的工具，而不是一本冷冰冰的教科書，這點非常難得。

評分☆☆☆☆☆

從內容覆蓋的廣度和深度來看，這套書的價值遠超於一般意義上的教材。它似乎是作者多年教學和研究經驗的結晶，涵蓋瞭從基礎的綫性係統到高階的非綫性、甚至涉及一些前沿的邊界話題。我驚喜地發現，一些在其他專業著作中需要額外章節纔能詳述的穩定性理論的細微差彆，在這裏被巧妙地整閤到瞭主乾框架之內，處理得清晰明瞭。更重要的是，書中對一些經典例子（比如洛特卡-沃爾泰拉模型或者範德波爾振子）的分析，既保留瞭數學的嚴謹性，又融入瞭對模型背後的物理意義的深刻洞察，使得學習過程充滿瞭探索的樂趣，讓人感覺自己不是在機械地記憶公式，而是在與數學的邏輯進行一場富有成效的對話。

評分☆☆☆☆☆

說實話，市麵上關於這個領域的經典教材不少，但很多都過於強調普適性和理論的完備性，導緻在實際應用案例的呈現上顯得單薄。而這本教材的魅力恰恰在於它對“定性”方法的重視。它不僅僅是教你如何“解”微分方程，更重要的是教你如何“看透”微分方程的行為。書中對相圖分析、極限環的探討，處理得深入而又不失生動，仿佛作者就在你身邊，用清晰的語言為你描繪齣動態係統的軌跡變化。對於工程背景齣身的我來說，這種側重於定性理解的教學方法，比純粹的解析解推導更具指導意義，它教會我如何從本質上把握係統的長期演化趨勢，這在處理那些根本無法求齣解析解的復雜係統時，顯得尤為寶貴。

評分☆☆☆☆☆

這本書的習題設計水平，簡直是衡量一本優秀數學教材的試金石。它們的設計思路非常巧妙，絕不是那種單純的計算練習，而是真正具有啓發性的“迷你問題”。我注意到，很多練習題並不是直接套用書中的公式，而是要求讀者將學到的定性方法應用到全新的場景中去，甚至鼓勵你去探究某些定理成立的邊界條件。這種“以練促學、以學促思”的閉環設計，迫使讀者必須真正消化吸收瞭概念的精髓，纔能給齣閤理的解答。對於希望將理論知識轉化為實際分析能力的讀者來說，這些習題集的價值，不亞於正文本身，它真正檢驗瞭你是否掌握瞭“定性思維”這個核心技能。

評分☆☆☆☆☆

這本書的敘事邏輯簡直是教科書級彆的典範，結構安排得如同一個精密的瑞士鍾錶，每一個章節的銜接都像是經過深思熟慮的打磨。作者似乎非常擅長“引導式教學”，他們不會直接拋齣最復雜的結論，而是先從最直觀的幾何意義或者物理背景入手，讓你建立起對問題的感性認識，然後再逐步引入嚴謹的數學框架。我發現自己在閱讀某些看似晦澀的穩定性判據時，不再需要頻繁地迴頭查閱前幾章的定義，因為作者總能在關鍵時刻，巧妙地迴顧或者側麵印證瞭先前鋪墊的概念。這種流暢性極大地提升瞭閱讀的效率和興趣，讓人有一種“原來如此”的頓悟感，而不是被無數的符號和公式淹沒的挫敗感。