常微分方程定性与稳定性方法(第二版) 马知恩,周义仓,李承治 科学出版社 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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马知恩 著

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• 李承治

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出版社： 科学出版社

ISBN：9787030443557

版次：2

商品编码：1740281746

包装：平装

出版时间：2015-06-01

基本信息

书名：常微分方程定性与稳定性方法(第二版)

作者：马知恩,周义仓,李承治

出版社：科学出版社

出版日期：2015-06-01

ISBN：9787030443557

字数：473000

页码：364

版次：2

装帧：平装

开本：16开

商品重量：0.4kg

编辑推荐

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《常微分方程定性与稳定性方法》可作为理工类专业研究生的教材和高年级本科生的选修课教材，也可供相关的科学技术人员参考.

内容提要

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《常微分方程定性与稳定性方法》是为理工类专业的硕士研究生和高年级本科生的需要所编写的一《常微分方程定性与稳定性方法》.《常微分方程定性与稳定性方法》为第二版.主要包括定性理论、稳定性理论和分支理论三个部分.内容着眼于应用的需要取材精练,注意概念实质的揭示、定理思路的阐述、应用方法的介绍和实际例子的分析,并配合内容引入计算机软件.每章后附有习题供读者练习.

目录

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目录
第二版前言
第一版前言
第 1 章 基本定理 1
1.1 解的存在唯一性定理 1
1.2 解的延拓 3
1.3 解对初值和参数的连续依赖性和可微性 9
1.4 比较定理 13
习题 1 21
第 2 章 动力系统的基本知识 23
2.1 自治系统与非自治系统 23
2.1.1 相空间与轨线 23
2.1.2 自治系统的基本性质 25
2.1.3 动力系统的概念 28
2.2 轨线的极限集合.29
2.2.1 常点与奇点 29 2.2.2 自治系统解的延拓性 30
2.2.3 极限集与 极限集及其基本性质 32
2.3 平面上的极限集.35
2.3.1 平面有界极限集的特性与结构35
2.3.2 Poincar.e-Bendixson 环域定理37
2.4 极限集的应用实例 39
2.4.1 Volterra 捕食{被捕食模型 39
2.4.2 三极管电路的 van der Pol 方程 42
习题 2 44
第 3 章 稳定性理论 46
3.1 稳定性的定义和例子 46
3.1.1 稳定性的几个定义 46
3.1.2 稳定性的关系及例子 49
3.2 自治系统零解的稳定性 54
3.2.1 V 函数 54？
3.2.2 Liapunov 稳定性定理 55
3.2.3 不稳定性定理 57
3.3 非自治系统零解的稳定性 59
3.3.1 V 函数和 k 类函数 59
3.3.2 零解的稳定性 62
3.3.3 零解的不稳定性 65
3.4 全局稳定性 67
3.4.1 全局稳定的概念和判定定理 67
3.4.2 应用举例.71
3.4.3 吸引域的估计 73
3.5 线性系统及其扰动系统的稳定性 73
3.5.1 常系数线性系统的稳定性 74
3.5.2 线性系统的扰动 81
3.5.3 非自治线性系统的稳定性 84
3.6 临界情形下奇点的稳定性分析 87
3.6.1 中心流形.88
3.6.2 中心流形定理 92
3.6.3 临界情况下奇点的稳定性分析举例.95
3.7 Liapunov 函数的构造 102
3.7.1 Liapunov 函数的存在性 102
3.7.2 常系数线性系统的巴尔巴欣公式 104
3.7.3 二次型方法的推广 108
3.7.4 线性类比法 110
3.7.5 能量函数法 112
3.7.6 分离变量法 113
3.7.7 变梯度法 114
3.8 判定稳定性时的比较方法 116
3.8.1 与数量方程的比较 116
3.8.2 与向量方程的比较 120
习题 3122
第 4 章 平面系统的奇点 125
4.1 初等奇点.125
4.1.1 线性系统的孤立奇点 125
4.1.2 非线性系统的双曲奇点 135
4.2 中心与焦点的判定 140
4.2.1 非双曲初等奇点的类型与中心的判定定理 140
4.2.2 细焦点及其判定法 147
4.3 高阶奇点.157
4.3.1 沿不变直线方向的拉伸变换158
4.3.2 通过极坐标变换的吹胀' 技巧 160
4.3.3 沿 x 与 y 方向的吹胀'165
4.3.4 非齐次 吹胀' 169
4.4 旋转数与指数 171
4.4.1 旋转数及其基本性质 171
4.4.2 奇点的指数 173
习题 4177
第 5 章 极限环.179
5.1 基本概念与极限环的不存在性 179
5.1.1 基本概念 179
5.1.2 极限环不存在性的判定法 181
5.2 极限环的存在性.187
5.3 后继函数与极限环的稳定性.198
5.3.1 Poinear.e 映射与后继函数 198
5.3.2 曲线坐标与极限环的稳定性200
5.4 极限环的唯一性.204
习题 5211
第 6 章 无穷远奇点与全局结构 212
6.1 无穷远奇点 212
6.1.1 Poincar.e 球面与 Poincar.e 变换 212
6.1.2 无穷远奇点与 Poincar.e 圆盘214
6.2 轨线的全局结构分析举例 224
习题 6228
第 7 章 分支理论 229
7.1 一个例子.229
7.2 结构稳定与分支现象230
7.2.1 结构稳定的定义 230
7.2.2 结构稳定的等价描述 232
7.2.3 结构不稳定:分支现象 233
7.3 奇点分支.234
7.3.1 一维系统的奇点分支 234
7.3.2 二维或更高维系统的奇点分支.238
7.3.3 给定扰动参数的奇点分支问题.242
7.4 Hopf 分支 243
7.4.1 平面系统的 Hopf 分支 244
7.4.2 利用特征根的共振性求正规形.255
7.4.3 三维或更高维系统的 Hopf 分支 257
7.5 闭轨分支.259
7.5.1 平面系统的闭轨分支 259
7.5.2 三维或更高维系统的闭轨分支.263
7.6 奇异闭轨分支 268
7.6.1 平面系统的同宿分支 269
7.6.2 旋转向量场 270
7.6.3 平面系统同宿分支的例子 272
7.6.4 关于异宿分支和高维系统奇异闭轨分支的介绍 275
7.7 Poincar.e 分支||从平面闭轨族分支极限环 276
7.7.1 平面 Hamilton 系统的扰动问题 276
7.7.2 高阶 Melnikov 函数.284
7.7.3 平面可积系统的扰动问题 286
7.7.4 弱化的希尔伯特第 16 问题 287
7.8 从高维系统的闭轨族产生周期解的分支问题 289
7.9 Bogdanov-Takens 分支 296
7.9.1 利用变换求正规形 296
7.9.2 余维 2 的 B-T 分支:普适开折的推导 298
7.9.3 余维 2 的 B-T 分支:分支图与轨线拓扑分类 302
习题 7303
第 8 章 常微分方程的应用举例 308
8.1 一个三种群相互作用的 Volterra 模型研究 308
8.1.1 正平衡解的稳定性 308
8.1.2 模型平面解的存在性及其渐近性态 311
8.1.3 一个 Volterra 模型的 Hopf 分支 314
8.2 传染病模型 317
8.2.1 假设和记号 317
8.2.2 SIS 模型 317
8.2.3 SIR 模型 319
8.2.4 SEIR 模型 321
8.3 一个总人口变化的 SEIR 模型的全局性态分析 323
8.3.1 模型及其平衡解 323
8.3.2 无病平衡点的稳定性 325 8.3.3 地方病平衡点的稳定性 327
8.3.4 地方病平衡点的全局稳定性329
8.4 三分子反应模型.332
8.4.1 模型及其奇点分析 332
8.4.2 极限环的存在唯一性 334
8.5 一个具有非线性传染率的 SI 模型的稳定性与分支 336
8.5.1 具有非线性传染率的 SI 模型 336
8.5.2 平衡点的稳定性 338
8.5.3 模型 (8.5.3) 的 Bogdanov-Takens 分支 341
8.6 一个具有饱和恢复率的季节性传染病模型 348
8.6.1 模型及其基本再生数 348
8.6.2 两个正周期解的存在性 349
8.6.3 周期解的稳定性 354
习题 8 359
参考文献362

作者介绍

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文摘

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序言

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《非线性动力学导论：从混沌到复杂性》 作者： 史蒂芬·霍尔姆斯 (Stephen Holmes)，理查德·布朗 (Richard Brown) 出版社： 剑桥大学出版社 出版年份： 2021年 --- 内容简介 《非线性动力学导论：从混沌到复杂性》是一部全面而深入的著作，旨在为读者提供理解和分析复杂非线性系统的理论框架与实用工具。本书超越了传统的线性系统分析范畴，聚焦于自然界和工程领域中普遍存在的非线性现象，如分岔、混沌、耗散结构以及复杂网络中的涌现行为。 本书的结构设计旨在引导读者逐步建立起对非线性动力学的直觉认识，并最终掌握严谨的数学分析方法。全书共分为五大部分，涵盖了从基础理论到前沿应用的广泛内容。 第一部分：非线性动力学的基本构架 本部分首先回顾了常微分方程的基本解法，并明确指出了线性理论在处理真实世界问题时的局限性。随后，引入了相空间分析的概念，这是理解非线性系统的基石。重点介绍了平衡点（不动点）、稳定性和不稳定性的几何意义。 随后，我们深入探讨了“分岔理论”的初步概念。通过对一维和二维系统的分析，清晰展示了系统参数变化如何导致定性行为的突变，例如鞍结分岔、超临界和次临界Hopf分岔。书中特别强调了分岔点作为系统从简单行为过渡到复杂行为的“临界点”的重要性。我们使用具体的物理模型，如瑞利-比纳德对流、洛伦兹吸引子（初步介绍），来说明这些数学概念在物理现实中的对应。 第二部分：振动、极限环与几何方法 本部分侧重于周期性解——极限环的研究。在二维自治系统中，极限环的出现往往与Hopf分岔相关联。本书详细阐述了庞加莱截面（Poincaré Sections）的方法，这是一种将高维连续时间系统转化为低维离散映射的强大技术，是分析周期性和准周期性行为的关键工具。 我们详细分析了极限环的稳定性，并引入了李雅普诺夫函数在证明稳定性的应用。此外，书中包含了对周期倍增（Period Doubling）序列的详细讨论，这是通往混沌的一个主要路径。对于非自治系统（受迫振动），书中区分了稳态解和暂态解，并使用了范数增长分析来评估系统的长期响应。 第三部分：混沌的解析与数值探究 混沌是本书的核心议题之一。我们不再将混沌视为随机性，而是将其定义为对初始条件高度敏感的确定性动力学行为。本部分首先介绍了著名的洛伦兹系统（Lorenz System），并从其结构出发，推导出混沌系统的关键特征： 1. 敏感依赖性： 通过引入李雅普诺夫指数（Lyapunov Exponents）的计算方法，量化了系统对微小扰动的放大率。书中详细演示了如何通过数值积分来估计最大李雅普诺夫指数，并将其作为区分混沌和周期行为的量化指标。 2. 拓扑混合性与遍历性： 解释了吸引子内部轨迹的稠密性及其在长时间尺度上对相空间的覆盖能力。 3. 分数维结构： 引入了“奇怪吸引子”（Strange Attractors）的概念，并对分形维数（如盒计数维数和关联维数）进行了深入浅出的介绍，说明混沌吸引子具有精细的、自相似的结构。 为了便于读者实践，本部分提供了基于MATLAB和Python的数值模拟指南，演示了Runge-Kutta方法在求解非线性微分方程中的应用，以及如何通过参数扫描生成分岔图和庞加莱截面图。 第四部分：更高级的分岔理论与滞后现象 在掌握了基础分岔之后，本部分转向更复杂的现象。我们深入研究了高阶分岔，如滞后现象（Hysteresis）和周期性倍增的通往混沌的普适途径（Feigenbaum常数）。 书中对滞后现象进行了深入的几何和代数分析，特别是在鞍结分岔和Hopf分岔的次临界情况下，滞后现象的出现预示着系统可能存在多个稳定的稳态解，这在电路设计和生物模型中具有实际意义。 此外，本书探讨了脉冲效应和延迟微分方程（Delay Differential Equations, DDEs）中的动力学行为。延迟项的引入极大地增加了系统的自由度，可能导致更复杂的振荡模式和新的混沌机制。 第五部分：复杂系统中的涌现行为与应用 最后一部分将非线性动力学的工具箱应用于更宏大的系统。我们探讨了耦合振子系统，这是理解同步现象（Synchronization）的基础。通过Kuramoto模型等实例，分析了大量的相互作用单元如何自发地形成有序或准有序的宏观状态——这就是“涌现”（Emergence）。 书中还涵盖了： 空间动力学： 行波（Traveling Waves）和空间结构的形成（例如反应-扩散系统中的图灵模式）。 全局分析方法： 介绍庞加莱-霍普夫环流定理（Poincaré-Hopf Index Theorem）及其在拓扑分类中的应用。 本书的最终目标是培养读者对复杂系统的洞察力，使其能够识别出隐藏在看似随机的数据背后的确定性结构，并将动力学理论应用于工程控制、生态建模、气候科学以及神经科学等前沿领域。本书适合作为高年级本科生、研究生以及希望从定量角度理解复杂现象的研究人员的教材或参考书。全书配备了大量的习题和案例分析，旨在巩固理论理解并提升实际建模能力。

评分☆☆☆☆☆

这本书的叙事逻辑简直是教科书级别的典范，结构安排得如同一个精密的瑞士钟表，每一个章节的衔接都像是经过深思熟虑的打磨。作者似乎非常擅长“引导式教学”，他们不会直接抛出最复杂的结论，而是先从最直观的几何意义或者物理背景入手，让你建立起对问题的感性认识，然后再逐步引入严谨的数学框架。我发现自己在阅读某些看似晦涩的稳定性判据时，不再需要频繁地回头查阅前几章的定义，因为作者总能在关键时刻，巧妙地回顾或者侧面印证了先前铺垫的概念。这种流畅性极大地提升了阅读的效率和兴趣，让人有一种“原来如此”的顿悟感，而不是被无数的符号和公式淹没的挫败感。

评分☆☆☆☆☆

说实话，市面上关于这个领域的经典教材不少，但很多都过于强调普适性和理论的完备性，导致在实际应用案例的呈现上显得单薄。而这本教材的魅力恰恰在于它对“定性”方法的重视。它不仅仅是教你如何“解”微分方程，更重要的是教你如何“看透”微分方程的行为。书中对相图分析、极限环的探讨，处理得深入而又不失生动，仿佛作者就在你身边，用清晰的语言为你描绘出动态系统的轨迹变化。对于工程背景出身的我来说，这种侧重于定性理解的教学方法，比纯粹的解析解推导更具指导意义，它教会我如何从本质上把握系统的长期演化趋势，这在处理那些根本无法求出解析解的复杂系统时，显得尤为宝贵。

评分☆☆☆☆☆

这本书的习题设计水平，简直是衡量一本优秀数学教材的试金石。它们的设计思路非常巧妙，绝不是那种单纯的计算练习，而是真正具有启发性的“迷你问题”。我注意到，很多练习题并不是直接套用书中的公式，而是要求读者将学到的定性方法应用到全新的场景中去，甚至鼓励你去探究某些定理成立的边界条件。这种“以练促学、以学促思”的闭环设计，迫使读者必须真正消化吸收了概念的精髓，才能给出合理的解答。对于希望将理论知识转化为实际分析能力的读者来说，这些习题集的价值，不亚于正文本身，它真正检验了你是否掌握了“定性思维”这个核心技能。

评分☆☆☆☆☆

从内容覆盖的广度和深度来看，这套书的价值远超于一般意义上的教材。它似乎是作者多年教学和研究经验的结晶，涵盖了从基础的线性系统到高阶的非线性、甚至涉及一些前沿的边界话题。我惊喜地发现，一些在其他专业著作中需要额外章节才能详述的稳定性理论的细微差别，在这里被巧妙地整合到了主干框架之内，处理得清晰明了。更重要的是，书中对一些经典例子（比如洛特卡-沃尔泰拉模型或者范德波尔振子）的分析，既保留了数学的严谨性，又融入了对模型背后的物理意义的深刻洞察，使得学习过程充满了探索的乐趣，让人感觉自己不是在机械地记忆公式，而是在与数学的逻辑进行一场富有成效的对话。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计真是太有品位了，封面那种深沉的蓝色调，配上简洁的字体，一看就是那种沉得下心来读的专业书籍。拿到手里，分量感十足，能感受到里面内容的扎实程度。我尤其欣赏它在细节上的处理，比如页边距的留白恰到好处，长时间阅读也不会觉得眼睛很累。这种对书籍本身的尊重，往往预示着对内容的精雕细琢。虽然我还没深入研究每一个定理的推导，但光是翻阅目录和前言，就能感受到作者们在梳理知识体系时所下的苦功。特别是对于初学者来说，这样的排版和设计，能极大地降低阅读的门槛，让人在面对抽象的数学概念时，不至于产生过度的畏惧感。它更像是一件精心制作的工具，而不是一本冷冰冰的教科书，这点非常难得。