数学统计学系列：几何变换与几何证题 萧振纲 自然科学 哈尔滨工业大学出版社 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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出版社： 哈尔滨工业大学出版社

ISBN：9787560329956

商品编码：29167015841

《几何变换与几何证题》所研究的几何变换仅限于平面上的合同变换、相似变换和反演变换这三类初等几何变换；《几何变换与几何证题》系统地阐述了这三类几何变换的理论和它们在几何证题方面的应用。阅读《几何变换与几何证题》只需要具有中学数学知识即可；对于阅读几何变换理论有困难的读者，也可以只阅读与几何证题有关的章节。
《几何变换与几何证题》适合大中师生及数学爱好者使用。

第1章 合同变换／1
1.1 映射·变换·变换群／1
1.2 合同变换及其性质／6
1.3 三种基本合同变换——平移、旋转、轴反射／13
1.4 合同变换与基本合同变换的关系／26
1.5 自对称图形／36
习题1／46

第2章 相似变换／49
2.1 相似变换及其性质／49
2.2 基本相似变换——位似变换／56
2.3 位似旋转变换／62
2.4 位似轴反射变换／72
2.5 三相似图形／78
习题2／89

第3章 平移变换与几何证题／96
3.1 平行四边形与平移变换／97
3.2 共线相等线段与平移变换／102
3.3 一般相等线段与平移变换／107
3.4 平行与平移变换／114
3.5 线段比及其他与平移变换／123
习题3／133

第4章 旋转变换与几何证题／139
4.1 中点与中心反射变换／139
4.2 平行四边形及其他与中心反射变换／146
4.3 正三角形与旋转变换／155
4.4 正方形、等腰直角三角形与旋转变换／164
4.5 等腰三角形、相等线段与旋转变换／173
4.6 三角形的连接与旋转变换之积／181
习题4／192

第5章 轴反射变换与几何证题／202
5.1 轴对称图形与轴反射变换／202
5.2 角平分线与轴反射变换／209
5.3 垂直与轴反射变换／216
5.4 圆与轴反射变换／223
5.5 圆内接四边形的两个基本性质／231
5.6 300的角与轴反射变换／241
5.7 两类几何不等式与轴反射变换／250
5.8 轴反射变换处理其他问题举例／260
习题5／270

第6章 位似变换与几何证题／283
6.1 线段比与位似变换／283
6.2 共点线、共线点与位似变换／292
6.3 Menelaus定理与Ceva定理／300
6.4 两圆与位似变换／309
6.5 平行及其他与位似变换／320
习题6／328

第7章 位似旋转变换、位似轴反射变换与几何证题／341
7.1 三角形与位似旋转变换／341
7.2 同向相似三角形与位似旋转变换／349
7.3 两圆与位似旋转变换／357
7.4 等角线及其他与位似旋转变换／365
7.5 三角形的连接与位似旋转变换之积／372
7.6 位似轴反射变换与几何证题／384
习题7／392

第8章 反演变换／404
8.1 反演变换及其性质／404
8.2 线段度量关系与反演变换／413
8.3 圆与反演变换／421
8.4 两圆的互反性／430
8.5 几何命题的反演命题／439
8.6 极点与极线／450
习题8／457
附录／468
附录A 点对圆的幂·根轴·根心／468
附录B Mene1aus定理与Ceva定理的角元形式／491
参考解答／520
参考文献／741
编辑手记／745

自公元前3世纪古希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前3307-2757）的《几何原本》问世以来，平面几何即作为数学的一个分支而存在于世。由于平面几何有其鲜明的直觉与严谨、精确、简明的语言，并且经常出现一些极具挑战性的问题，因而这一古老的数学分支一直保持着青春的活力，以极具魅力的姿态展现在人们面前，备受人们的青睐。世界各国无不将平面几何作为培养本国公民的逻辑思维能力、空间想象能力和推理论证能力的首选题材。由匈牙利于1894.年首开先河的国内外各级数学竞赛（数学奥林匹克）活动更是将平面几何作为常规的竞赛内容，并且从1959年开始举办的每年一届（1980年因特殊原因中断了一次）的国际中学生数学竞赛（通称国际数学奥林匹克）中，在同一届出现两道平面几何题的情形已屡见不鲜。
但是，传统的平面几何都是采用公理化方法处理的，这种方法将平面图形视作静止的图形，其优点是便于掌握几何图形本身的内在规律。但用这种静止的观点研究平面几何的一个最大缺陷是：难以发现不同几何事实之间的联系。在这种观点下，面对一个平面几何问题，人们就难以找到解决问题的关键——辅助线。于是就难以沟通从条件到结论的逻辑关系；于是便有“几何几何，想破脑壳”之说，导致许多学生视数学为畏途，一生望“数学”兴叹；于是便有许多参加数学竞赛的优秀选手在平面几何题面前败北，留下一声叹息与几多遗憾……

数学统计学系列：几何变换与几何证题 内容概要： 本书作为“数学统计学系列”的重要组成部分，深入探讨了几何变换的理论基础及其在几何证明中的应用。全书共分为十一章，从基础概念出发，逐步深入到复杂的几何变换理论，并重点阐述了如何运用这些变换来解决经典的几何证明问题。本书旨在为读者构建一个清晰、系统且严谨的几何思维框架，提升其逻辑推理能力和空间想象能力。 第一章 几何变换导论 本章作为全书的起点，旨在建立读者对几何变换的基本认识。首先，我们将从历史发展的角度简要回顾几何学，特别是欧几里得几何学的发展脉络，引出对几何变换的初步思考。接着，本章将明确定义“几何变换”的概念，将其理解为一种保持空间点集结构不变的函数或映射。我们将介绍几种最基本的几何变换，例如平移（translation）、旋转（rotation）和反射（reflection），并解释它们各自的几何意义和代数表示。 对于每一种基本变换，我们将给出其严格的数学定义，并讨论其性质，例如是否保持距离、角度、面积等。例如，平移是点在固定方向上移动固定距离的过程，它保持所有几何图形的形状和大小不变。旋转则是围绕固定点进行一定角度的转动，同样保持图形的形状和大小。反射则是以一条直线（轴）或一个点（中心）为对称中心进行的对应变换。 此外，本章还将初步介绍复合变换的概念，即两个或多个变换的连续应用。我们将探索复合变换是否仍然是一种几何变换，以及不同顺序的复合变换是否会产生不同的结果。例如，一个平移和一个旋转的复合变换，其结果会受到变换顺序的影响。 最后，本章会强调几何变换在现代数学和科学中的重要性，例如在计算机图形学、物理学以及其他几何分支中的应用，为后续章节的学习奠定基础。 第二章 刚体运动与相似变换 在本章中，我们将进一步深化对几何变换的理解，聚焦于两种重要的变换类别：刚体运动（rigid motion）和相似变换（similarity transformation）。 刚体运动，顾名思义，是指那些能够保持物体内部所有距离都不变的变换。我们将证明，任何一个刚体运动都可以分解为有限次平移、旋转和反射的组合。这一点至关重要，因为它意味着我们只需理解和掌握这些基本变换，就能理解所有保持距离的几何操作。我们将详细讨论欧几里得空间中的等距变换（isometry），并给出其代数描述。 相似变换则是在保持图形形状不变的前提下，允许图形大小发生变化的变换。我们将证明，任何一个相似变换都可以看作是一个位似（homothety）和一个刚体运动的组合。位似变换以一个点为中心，将所有点沿着从中心出发的射线进行缩放。我们将分析位似变换的性质，例如它如何改变图形的尺寸，但保持角度不变。 本章还将探讨刚体运动和相似变换之间的联系与区别。我们将研究在什么条件下，一个相似变换可以退化为一个刚体运动，反之亦然。此外，我们还会介绍度量空间（metric space）和仿射空间（affine space）的概念，为更抽象的几何变换理论做铺垫。 第三章 仿射变换与射影变换 本章将视角从保持距离和角度的变换，扩展到更一般的变换类型：仿射变换（affine transformation）和射影变换（projective transformation）。 仿射变换是保持直线性和平行性的变换。我们将详细介绍仿射变换的代数表示，通常可以用一个线性变换与一个平移的组合来描述。我们将讨论仿射变换如何改变图形的形状和大小，但保留直线上的点仍然在一条直线上，并且平行线在变换后仍然保持平行。本章将分析仿射变换在改变坐标系、解决线性方程组等问题中的应用。 射影变换是一种更广泛的变换，它不仅保持直线性和平行性，还保持共线性（collinearity）。我们将从射影几何的角度介绍射影变换，并讨论其在平面和空间中的表示。与仿射变换不同，射影变换可以把平行线变成相交线，并且可以把无穷远点映射到有限的点。我们将通过具体的例子，例如透视投影，来展示射影变换的威力。 本章还会探讨仿射变换和射影变换之间的层级关系，理解它们各自的保持不变的性质以及它们之间的转换。这将帮助读者理解不同几何学分支的联系。 第四章 坐标系与变换矩阵 本章将侧重于几何变换的代数表达和计算方法。我们将深入介绍各种坐标系，包括笛卡尔坐标系（Cartesian coordinate system）、齐次坐标系（homogeneous coordinate system）等，并讨论如何用向量和矩阵来表示几何点和变换。 对于前面介绍的各种几何变换，我们将给出其在不同坐标系下的矩阵表示。例如，平移、旋转、缩放、剪切等变换都可以用矩阵乘法来描述。我们将详细讲解如何构造这些变换矩阵，以及如何通过矩阵的乘法来实现变换的复合。 齐次坐标系在表示仿射变换和射影变换时尤为重要，因为它允许我们将平移也纳入矩阵乘法中，从而实现更统一的数学描述。本章将详细讲解齐次坐标的由来和用法，以及如何利用它来简化复杂的几何计算。 此外，本章还将介绍矩阵的逆、转置等基本性质，以及它们在几何变换中的作用。例如，逆矩阵可以用来实现变换的逆操作，从而将变换后的图形恢复到原始状态。 第五章 几何变换在平面几何中的应用 本章将把前面学习到的几何变换理论应用于解决具体的平面几何问题，重点是如何利用几何变换来简化和构建几何证明。 我们将首先展示如何使用平移、旋转和反射来证明全等三角形。例如，通过适当的平移和旋转，可以将一个三角形移动到另一个三角形的位置，如果能够重合，则证明全等。 接着，我们将讨论如何利用相似变换来证明相似三角形。例如，通过缩放和可能的刚体运动，可以将一个三角形变成另一个相似的三角形。 本章还将深入探讨仿射变换和射影变换在几何证明中的应用。例如，我们将展示如何利用仿射变换来证明某些角度关系的不变性，或者如何利用射影变换来证明“调和四点”等特殊的射影性质。 我们将精选一系列经典的几何问题，例如阿波罗尼奥斯圆、笛卡尔坐标系下的圆锥曲线方程等，并演示如何运用几何变换的思路来给出简洁而深刻的证明。 第六章 空间几何变换 本章将把几何变换的理论从二维平面扩展到三维空间。我们将介绍空间中的基本几何变换，包括空间中的平移、旋转（绕任意轴旋转）、反射（关于平面或点的反射）以及伸缩变换。 我们将讨论三维空间中的刚体运动，并证明它们可以分解为平移和旋转的组合。我们将详细介绍旋转矩阵的构造，以及如何表示绕任意轴的旋转。 此外，本章还将介绍三维空间中的仿射变换和射影变换，以及它们在三维几何学中的应用。例如，我们将讨论如何用矩阵来表示三维空间中的仿射变换，以及如何处理三维透视投影的问题。 第七章 几何变换与向量空间 本章将从更抽象的代数角度来审视几何变换。我们将引入向量空间（vector space）和线性空间（linear space）的概念，并将几何变换与向量空间的线性映射（linear map）联系起来。 我们将证明，在有限维向量空间中，一个线性映射都可以用一个矩阵来表示。我们将讨论线性变换的性质，例如其核（kernel）和像（image），以及它们在几何变换中的意义。 此外，本章还将介绍双线性型（bilinear form）和二次型（quadratic form）的概念，并探讨它们与度量和几何性质之间的联系。 第八章 几何变换的分类与不变量 本章将对前面介绍的各种几何变换进行系统的分类，并重点研究各种变换下的不变量（invariant）。不变量是几何图形在变换后保持不变的性质，它们是研究几何学的重要工具。 我们将总结不同类别的几何变换所保持的几何性质，例如： 等距变换： 保持距离和角度。 相似变换： 保持角度，但允许尺度变化。 仿射变换： 保持直线性和平行性。 射影变换： 保持共线性。 我们将深入研究每种变换下的不变量，例如： 等距变换下的不变量是长度、角度、面积等。 相似变换下的不变量是角度、比例等。 仿射变换下的不变量是平行性、比值等。 射影变换下的不变量是调和比等。 通过对不变量的研究，我们可以更好地理解不同几何学分支的内在联系。 第九章 几何变换在解析几何中的应用 本章将进一步深化几何变换在解析几何中的应用。我们将展示如何利用几何变换来简化曲线和曲面的方程，例如将二次曲线（如椭圆、双曲线、抛物线）的方程化为标准形式。 我们将通过具体的例子，例如对二次型进行正交变换，来消除交叉项，从而揭示曲线的本质几何形状。我们还将讨论如何利用仿射变换来研究曲线的性质，例如切线、渐近线等。 第十章 几何变换与群论 本章将引入群论（group theory）的概念，并将几何变换与群结构联系起来。我们将证明，一类特定的几何变换（例如所有等距变换）构成一个群，即“等距变换群”。 我们将讨论群的定义和性质，例如封闭性、结合律、单位元和逆元。我们将分析各种几何变换群的结构，例如欧几里得群、仿射群、射影群等。 通过群论的视角，我们可以更深刻地理解几何变换的对称性以及不同变换之间的关系。 第十一章 几何证题策略与技巧 本章将对全书内容进行总结和升华，聚焦于如何运用几何变换的知识来解决实际的几何证明问题。我们将梳理出一些通用的几何证题策略和技巧： 分析已知条件与待证结论： 识别题目中给出的几何对象和性质，以及需要证明的结论。 选择合适的几何变换： 根据待证结论的性质，判断可能需要使用的几何变换类型。例如，如果涉及角度关系，可能需要旋转；如果涉及距离关系，可能需要平移或反射。 构造辅助图形或变换： 在必要时，可以通过构造新的几何对象或进行恰当的几何变换来简化问题。 利用不变量： 识别在所选变换下保持不变的几何性质，并利用它们来推导出结论。 化繁为简： 运用几何变换将复杂的几何图形或关系转化为更简单的形式，从而便于证明。 组合运用多种变换： 对于一些复杂的问题，可能需要组合使用多种几何变换才能获得证明。 我们将通过一系列精心挑选的、具有代表性的几何证明题，来演示这些策略和技巧的实际应用。例如，我们将证明一些关于圆的性质，关于四边形的性质，以及一些更抽象的几何定理。 本书的最终目标是，在读者掌握了扎实的几何变换理论基础后，能够灵活运用这些工具，独立地解决各种几何证明问题，并对几何学产生更深刻的理解和兴趣。

评分☆☆☆☆☆

我一直对几何学中的对称性及其背后的数学原理着迷。《数学统计学系列：几何变换与几何证题》这本书的标题，让我看到了将几何变换与几何证明相结合的可能。我希望这本书能够详细介绍群论在几何变换中的作用，例如对称群的概念，以及如何利用群的性质来分析几何图形的对称性。关于几何证题，我期待书中能有关于辛几何和黎曼几何的初步介绍，虽然知道这可能比较深奥，但如果能有章节专门讲解它们在解决特定类型几何问题中的应用，例如在物理学中的应用，那将是非常令人兴奋的。我希望这本书能够以一种严谨而又不失趣味的方式，引导我深入理解几何变换的本质，以及如何运用几何变换的思维去解决复杂的问题，从而拓展我的数学视野。

评分☆☆☆☆☆

作为一个在职的数学教师，我一直在寻找能够更新教学理念、丰富教学内容的优质教材。《数学统计学系列：几何变换与几何证题》这本书的出现，无疑给了我很大的启发。我特别关注书中的“几何证题”部分，因为它直接关系到如何培养学生的几何直觉和逻辑推理能力。我希望这本书能够提供一套系统性的方法论，教我如何将复杂的几何问题，通过引入恰当的几何变换，转化为更易于处理的形式。例如，在讲解尺规作图、向量几何、解析几何等内容时，如何有效地融入几何变换的思想，让学生在解题过程中体会到变换的“变”与“不变量”之间的关系。我也希望书中能包含一些具有挑战性的题目，并附带详细的解题思路和过程，这样我就可以借鉴到书中优秀的设计，来改进我自己的教学设计，从而更好地激发学生学习几何的兴趣和动力。

评分☆☆☆☆☆

我是一名对数学理论抱有极高热情的本科生，偶然间看到了《数学统计学系列：几何变换与几何证题》这本书。这本书的标题立刻吸引了我，虽然名字里带有“统计学”，但“几何变换与几何证题”这几个字，更让我联想到几何学中那些优美而深刻的定理。我尤其感兴趣的是书中可能涉及的李群和李代数在几何变换中的应用，虽然我知道这可能属于更高级的内容，但如果书中能有浅显的介绍，或者引导性的思路，那将是对我巨大的鼓舞。我希望这本书不仅仅停留在对基本变换的讲解，更能触及到一些更前沿的理论，比如微分几何中的曲面变换，或者是代数几何中关于同构的几何意义。虽然我目前对这些还不是非常了解，但这本书就像一扇门，我希望能通过它，窥见到更广阔的数学天地。期待这本书能够在我学习数学的道路上，点亮一盏明灯，让我能够理解那些深奥的几何概念，并从中获得启迪。

评分☆☆☆☆☆

拿到《数学统计学系列：几何变换与几何证题》这本书，我首先被它厚重的装帧和清晰的排版所吸引。我是一名业余的数学爱好者，平时喜欢钻研一些数学问题，尤其对几何学中的变换概念情有独钟。我希望这本书能够从最基础的几何变换出发，例如平移、旋转、伸缩等，逐步深入到更复杂的变换，如剪切、仿射变换等，并清晰地阐述它们在二维和三维空间中的性质和应用。对于“几何证题”的部分，我期待书中能有丰富的实例，展示如何运用这些变换来证明一些经典的几何定理，例如柯西-施瓦茨不等式、刘徽割圆术的几何解释，甚至是一些在现代科学技术中有所应用的几何证明。我希望通过阅读这本书，能够系统地梳理我对几何变换的理解，并且能够掌握一些解决几何问题的通用技巧，从而提升我的数学欣赏能力。

评分☆☆☆☆☆

这本书拿到手里，沉甸甸的，书名《数学统计学系列：几何变换与几何证题》就透着一股严谨的气息。我一直对几何变换有着浓厚的兴趣，总觉得它像是数学世界里的“魔法”，能把复杂的图形变得简单，把难以捉摸的性质一目了然。我希望这本书能够深入浅出地讲解仿射变换、相似变换、欧几里得变换等基础知识，并且能通过大量的实例，展示这些变换在解决几何问题中的强大威力。尤其是几何证题部分，我期待能看到作者萧振纲教授如何将抽象的几何变换理论，巧妙地运用到各种经典几何定理的证明中，例如如何用矩阵表示变换，如何通过坐标变换来简化证明过程。我知道哈尔滨工业大学在数学领域有着深厚的积淀，这本书作为该校出版社出版的系列书籍，想必在学术严谨性和内容深度上都会有很好的保障。我希望这本书能帮助我提升几何思维能力，甚至在未来的学习和研究中，能够独立地运用几何变换的思想去解决新的问题。