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周丽珍，易中 著

图书标签:

• 微分几何
• 射影几何
• 数学
• 高等教育
• 几何学
• 拓扑学
• 代数几何
• 数学分析
• 经典数学
• 学术著作

出版社： 冶金工业出版社

ISBN：9787502458997

版次：1

商品编码：11477847

包装：平装

开本：32开

出版时间：2014-04-01

用纸：胶版纸

页数：503

正文语种：中文

内容简介

　　《射影微分几何学》从李群和李代数、射影曲线、射影曲面、射影共轭网、射影联络空间、射影球丛几何、对称黎曼空间七个方面介绍了射影微分几何学的初步知识。
　　《射影微分几何学》可供仪器仪表、电子、数控、机电、建筑设备、结构工程、计算机、金融和建筑物理等专业的科技人员使用。

目录

1 李群和李代数
1.1 张量
1.2 线性变换群
1.3 典型群的几何学
1.4 实向量空间的复化
1.5 不可约线性群
1.6 外形式
1.7 外运算
1.8 完全可积性
1.9 法普系统的特征变量
1.10 法普式的规范形式
1.11 局部李群及第一基本定理
1.12 第二和第三基本定理
1.13 李群第二类不变法普式
1.14 正规子群
1.15 一维子群
1.16 局部变换群
1.17 李群和李代数的关系
1.18 线性李代数
1.19 内微分代数
1.20 紧致李代数
1.21 旋转群的交换旋转

2 射影曲线
2.1 平面曲线
2.1.1 射影协变元素
2.1.2 两条平面曲线的接触不变式
2.1.3 平面曲线的奇点
2.1.4 平面曲线对
2.2 空间曲线
2.2.1 三维空间曲线
2.2.2 两条空间曲线的接触不变式
2.2.3 具有不同切线的两条相交空间曲线不变式
2.2.4 四维空间曲线
2.2.5 n维空间曲线

3 射影曲面
3.1 曲面元素
3.1.1 主切曲线
3.1.2 基本微分方程
3.1.3 可积条件
3.1.4 李配极
3.1.5 李织面
3.1.6 嘉当规范标架
3.1.7 杜姆兰四边形
3.1.8 伴随织面
3.1.9 哥德织面序列
3.1.10 曲面的规范展开
3.1.11 塞格勒曲线
3.1.12 邦皮阿尼定理
3.1.13 射影变形
3.1.14 姆塔尔织面
3.1.15 平截线的密切二次曲线
3.1.16 捷赫变换
3.1.17 泛测地线
3.1.18 射影测地线
3.1.19 洼田锥面
3.2 极小曲面
3.2.1 S曲面的伴随织面
3.2.2 S曲面与极小曲面
3.2.3 极小曲面的特征
3.2.4 迈叶尔定理
3.2.5 哥德伴随序列
3.2.6 交扭定理
3.2.7 交点序列
3.2.8 波尔曲面

4 射影共轭网
4.1 共轭网与拉普拉斯方程
4.1.1 高维射影空间共轭网
4.1.2 拉普拉斯序列
4.1.3 拉普拉斯序列的中断问题
4.1.4 周期性拉普拉斯序列
4.1.5 共轭于定线汇的共轭网
4.1.6 调和于定线汇的共轭网
4.2 共轭网与直线汇的广义调和
4.2.1 共轭网的附属方程组
4.2.2 第k类共轭性和调和性
4.2.3 延拓定理
4.2.4 达布k重导来序列
4.2.5 第k类共轭与k重导来的等阶性
4.2.6 两共轭序列的联合序列
4.2.7 嵌入定理

5 射影联络空间
5.1 和乐群
5.2 基本定理
5.3 可分层空间
5.4 外尔空间
5.4.1 外尔空间定义
5.4.2 爱因斯坦引力场方程
5.4.3 米尔诺怪球
5.5 射影联络
5.6 仿射运动群
5.7 射影运动群

6 射影球丛几何
6.1 联络和曲率
6.2 芬斯勒丛的可积条件
6.3 芬斯勒丛的极小性

7 对称黎曼空间
7.1 定义
7.2 对称空间的几何性质
7.3 不可约对称空间
附录1 射影变换与偏微分方程
附录2 复空间积分几何学
参考文献

前言/序言

好的，这是一份为一本名为《射影微分几何学》的书籍撰写的、不包含该书具体内容的详细图书简介。 --- 书名：射影微分几何学 作者：[此处留空，或填入一位虚构的作者名，以增强真实感] 装帧与设计：精装典藏版，内含全彩插图与详尽的数学符号排版 出版信息：[此处留空，或填入一家知名的学术出版社名称] --- 导言：超越欧几里得的视界——对空间结构与形变的深刻洞察 自古以来，人类对空间本质的探索从未止步。从欧几里得的公理体系到黎曼的广义曲率概念，几何学始终是理解物理世界和抽象结构的基石。然而，当我们将目光投向那些不依赖于局部度量、更关注整体关联与投影不变性的结构时，一个更为宏大、更具描述力的几何学分支便浮现出来——射影几何学。 本书《射影微分几何学》旨在深入探讨一个至关重要的交叉领域：如何将微积分的工具引入射影空间的框架之中，从而构建一个能够描述空间局部形变、曲率概念及其不变量的全新理论体系。它不是对传统微分几何（如黎曼几何）的简单重复，而是从一个根本不同的视角出发，重塑我们对曲线、曲面乃至高维流形的研究路径。 本书的叙事结构遵循了从基础概念的建立到高级理论构建的逻辑顺序。我们力求以严谨的数学语言和清晰的几何直觉相结合的方式，引导读者逐步掌握这一深奥领域的核心思想。 第一部分：射影空间的基础与拓扑结构 本部分为全书的理论基石，着重于为后续的微分运算打下坚实的几何基础。我们将从射影空间的定义出发，阐述其与线性空间之间的深刻联系，尤其关注如何通过同构关系理解射影变换的本质。 章节要点概述： 1. 射影空间 $mathbb{P}^n$ 的构造与基础性质： 详细论述射影空间的点、线、平面（仿射子空间）的代数定义，并引入齐次坐标系。我们将重点分析射影空间的拓扑结构，揭示其与球面之间的关系，并讨论射影拓扑学中的基本概念，如射影空间上的开集和闭集。 2. 射影变换（Projective Transformations）： 深入剖析射影变换群 $ ext{PGL}(n+1)$ 的结构。不同于欧氏变换或仿射变换，射影变换保持了直线的交比（Cross-Ratio）这一核心不变量。我们将详细证明交比的性质，并探讨如何使用矩阵表示法来描述这些变换，以及它们在计算机视觉和几何建模中的实际意义。 3. 射影联络（Projective Connection）： 引入射影几何学的核心工具——联络的构建。我们将讨论如何定义一个在射影变换下保持协变性的联络结构，这与传统微分几何中对黎曼度量的依赖形成鲜明对比。这里的讨论将侧重于无挠性（Torsion-free）的条件，并探索 Weyl 几何与射影几何之间的关联。 第二部分：在射影空间中进行分析——射影微分几何的核心工具 一旦射影空间的基础框架搭建完毕，接下来的任务便是引入分析学的工具，使我们能够研究空间中“局部”的性质。本部分专注于构建和理解在射影框架下自然产生的几何对象。 章节要点概述： 1. 射影曲线论： 考察射影空间中的曲线。我们将使用参数化方法，并重点分析曲线的曲率和挠率概念的重新定义。这里的曲率不再是简单的度量依赖量，而是与空间局部结构内在相关的几何量。我们将详述如何通过引入辅助的仿射结构（如平移算子）来提取可被射影变换不变地描述的几何特征。 2. 局部坐标系与主方向： 在研究曲面时，选择合适的局部坐标系至关重要。本书将指导读者如何选择规范的射影坐标系，使得关键的几何量（如主曲率或其射影对应物）能够以最简洁的形式表达。我们将探讨主方向的概念，即那些在局部形变中保持特定不变性的方向。 3. 二次微分形式与度量选择： 射影几何学的一个显著特点是它通常不直接依赖于一个固定的度量。本部分将探讨如何通过引入辅助的二次微分形式（或称为射影度量）来恢复局部分析的能力。我们将分析在这些辅助度量下计算出的不变量，并论证这些不变量在不同射影变换下的行为——即它们如何通过一个可控的因子发生变化，从而揭示出本质的射影不变性。 第三部分：完备性与不变量理论——深入探索 Weyl 几何的边界 本书的最后部分将把理论提升到更抽象的层次，探讨射影几何学与更广阔的微分几何理论（特别是 Weyl 几何）的交汇点，并致力于识别真正的射影不变量。 章节要点概述： 1. Weyl 几何与共形结构： 详细分析 Weyl 几何作为一类重要的“尺度不变”理论，与射影几何的深层联系。我们将展示如何从一个射影结构中“诱导出”一个 Weyl 几何的结构，反之亦然。重点讨论 Weyl 几何中的Weyl 联络及其与曲率的定义。 2. 高斯方程的射影形式： 对于曲面嵌入的经典理论，高斯方程是连接第一、第二基本形式的关键。本书将重构这些方程的射影版本，即第三基本形式以及如何利用它们来定义共形曲率。我们将专注于寻找那些在改变辅助度量时保持不变的几何量，这些才是真正的射影不变量。 3. 应用展望与未来研究方向： 总结射影微分几何学在现代物理学（如广义相对论中的 Newman-Penrose 形式）和计算几何中的潜在应用。本章将展望如何使用这些工具解决诸如“如何从一组投影图像中恢复真实三维形状”等棘手的逆问题，强调该理论的描述能力超越了依赖特定观测视角的局限性。 --- 本书的特色与受众定位 《射影微分几何学》的编写风格力求平衡严谨的数学推导与清晰的几何直觉阐释。 本书的独特之处在于： 视角转换： 它系统地引导读者从传统的度量依赖思维中解放出来，专注于不变性和相对性。 工具的整合： 成功地将射影变换群的代数性质与微分几何的分析工具进行了紧密的有机结合。 详尽的推导： 每一个核心定理的证明都经过细致的分解和阐述，便于自学者和研究人员的深入理解。 目标读者包括： 高等数学专业的高年级本科生、研究生，致力于微分几何、拓扑学、数学物理以及几何分析方向的研究人员。对于对计算机图形学、机器人视觉中坐标变换和几何重建有兴趣的工程师和科学家，本书将提供一个坚实的理论基础，帮助他们理解其背后的深层数学原理。 通过阅读本书，读者将获得一种全新的、更具适应性的空间理解框架，能够以更广阔的视野审视和解决复杂的几何问题。 --- [此处可添加对译者或作者学术背景的简短介绍，以增加其权威性]

评分☆☆☆☆☆

这本书，初拿到手时，就被它沉甸甸的分量和封面那深邃的图案所吸引。封面上那种复杂的几何线条，隐约透露出一种高深莫测的数学境界，让我对即将踏上的这场智力探险充满了期待。我一直对数学中的抽象概念情有独钟，尤其是那些能够将视觉想象与逻辑推理巧妙结合的领域。射影几何，作为一个独立存在的体系，其内在的优雅与自洽性本身就极具魅力。而“微分”二字的加入，更是让我联想到将这些几何对象置于连续变化的视角下进行审视，仿佛能够洞察其最本质的动态规律。想象一下，在一个无限延伸的空间里，点、线、面是如何在平滑的变换中保持其射影性质的，而这种变换的“速度”和“方向”又会如何影响几何体的局部特征。我预感，这本书将是一次深刻的思维体操，挑战我以往的认知边界，带领我进入一个超越欧氏几何的全新维度，去理解那些看似难以捉摸的几何关系。或许，它会揭示出宇宙运行的某种底层逻辑，或者为我们理解更广阔的数学世界打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

当我看到《射影微分几何学》这本书名时，一种探索数学深层结构的好奇心油然而生。我总觉得，数学的伟大之处，在于其能够用简洁的语言描述复杂的世界。而射影几何，以其对“视角”和“投影”的独特处理方式，本身就蕴含着一种哲学意味。再加上“微分”这个关键词，我猜想这本书会引导读者从运动和变化的视角去理解射影几何的原理。比如，在曲面上定义一个参数化，然后研究这个参数化下，曲面元素的射影性质是如何随着参数的改变而变化的。这会不会涉及到一些关于仿射联络和射影联络的概念？我期待书中能够用清晰的逻辑和丰富的例子，解释这些抽象概念的几何意义，并展示它们在解决实际问题中的强大能力。也许，这本书能让我领略到数学家们是如何在抽象的符号世界里，创造出如此丰富而深刻的几何图景。

评分☆☆☆☆☆

这本《射影微分几何学》对我而言，更像是一扇通往未知数学风景的窗户。我曾在一些前沿物理学的论文中零星地瞥见过射影几何的身影，但始终对其内在的严谨体系和应用领域感到模糊。这本书的书名本身就带着一种“高阶”的信号，暗示着它并非一本入门读物，而是需要一定的数学基础才能驾驭。我猜想，它会深入探讨曲面在射影变换下的不变量，以及这些不变量如何通过微分的手段得以量化和分析。想象一下，在曲面上绘制一条曲线，然后观察这条曲线在不同射影变换下的形态变化，以及这些变化与曲率、挠率等微分几何量之间的微妙联系。这不仅仅是抽象的符号演算，更是一种对空间本质的深度探索。我期待书中能够出现那些令人拍案叫绝的定理和证明，它们如同精巧的机械装置，将复杂的几何直觉转化为严密的数学语言。如果这本书能让我领略到数学家们是如何在抽象的维度中构建出令人叹为观止的理论体系，那将是对我思维模式的一次极大拓展。

评分☆☆☆☆☆

我一直对那些能够连接不同数学分支的著作抱有浓厚的兴趣，而《射影微分几何学》这个名字，就给我这种感觉。它不仅仅是关于几何，更像是将几何的“形”与微积分的“变”融为一体。我设想，书中会涉及到许多关于曲面张量分析的讨论，例如高斯曲率、平均曲率等，而这些微分量的射影不变性将是核心议题。想象一下，如何用一套统一的语言来描述不同射影等价曲面上的几何性质，而无需依赖具体的坐标系。这其中必然涉及到大量精妙的代数技巧和分析工具。我很好奇，书中是否会探讨一些经典的射影微分几何定理，比如关于全纯曲线的射影分类，或者曲面在射影变换下的保角性质。我期待这本书能够帮助我建立起一种“射影视角”下的几何直觉，让我能够更加灵活地运用几何概念去解决一些看似棘手的问题，甚至能够从中发现新的数学问题。

评分☆☆☆☆☆

这本书的书名《射影微分几何学》听起来就充满了挑战与吸引力。我一直觉得，数学的魅力在于它的普适性和深刻性，而射影几何，作为一种能够超越欧氏几何限制的理论，无疑是其中的佼佼者。当它与“微分”的概念相结合时，我便开始想象，书中将是如何探讨那些在射影变换下保持不变的几何量，以及如何通过微积分的工具来精确刻画这些量。我很好奇，书中是否会讨论一些关于射影曲率、射影测地线等概念，以及它们与曲面本身性质之间的联系。想象一下，在无限的射影空间中，曲线和曲面是如何在连续的变换中展现出其内在的几何规律，而这些规律又如何被微分的形式所捕捉。我期待这本书能够为我打开一扇新的数学之门，让我能够更深入地理解数学的本质，并从中获得解决问题的灵感。

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材质不错，印刷精美！

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好书，物理的好书，值得关注