数学分析简明教程（下册）/高等学校教材 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

华东师范大学数学系 编

图书标签:

• 数学分析
• 高等数学
• 微积分
• 教程
• 教材
• 大学
• 理工科
• 下册
• 数学
• 高等学校教材

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040418989

版次：1

商品编码：11634083

包装：平装

丛书名： 高等学校教材

开本：16开

出版时间：2015-03-01

用纸：胶版纸

页数：312

正文语种：中文

内容简介

　　《数学分析简明教程（下册）/高等学校教材》是《数学分析（第四版）》的简明教程。《数学分析简明教程（下册）/高等学校教材》分上、下册，下册内容包括数项级数、函数列与函数项级数、幂级数、傅里叶级数、多元函数的极限与连续、多元函数微分学、隐函数定理及其应用、含参量积分、曲线积分、重积分、曲面积分等，书末附有部分习题答案与提示。
　　简明教程保持了第四版“选材恰当、深入浅出、重点突出、易读易教‘’的特点，对第四版（下册）的一些内容作了调整和简化，删去了正项级数的拉贝判别法，级数重排和傅里叶级数的收敛性定理都不再给出证明，删去了向量函数微分学、n重积分、反常二重积分以及一般条件下重积分变量变换公式的证明等原第四版中选学的内容。 另外，《数学分析简明教程（下册）/高等学校教材》有针对性地增加了一些例题，对习题也进行了适当的调整。

现代高等数学前沿探索：从拓扑结构到泛函分析基础 本书旨在为具备扎实微积分和线性代数基础的读者提供一个深入理解现代高等数学核心概念的桥梁。内容聚焦于拓扑学基础、度量空间理论、函数空间与泛函分析的初步探索，以及测度论与勒贝格积分的现代视角，旨在培养读者在抽象空间中进行严谨数学论证的能力，并为后续深入研究微分几何、偏微分方程或更高级的泛函分析打下坚实基础。 全书结构严谨，逻辑清晰，力求在保证数学严密性的同时，通过丰富的例子和恰当的几何直觉来辅助理解抽象概念。 --- 第一部分：拓扑空间与度量空间的基础结构 本部分是全书的基石，引入了现代数学中处理“邻近性”和“收敛性”的普适框架——拓扑空间。 第一章：拓扑空间的引入与基本性质 本章首先回顾了极限、连续性在欧几里得空间中的定义，并指出这些概念的本质依赖于集合上的“开集”结构。随后，我们正式定义拓扑空间：一个集合 $X$ 配备一个开集族 $mathcal{T}$ 满足开集公理。 拓扑的构造与等价性： 讨论了如何由闭集族、邻域基、或一组基础开集（Basis）来唯一确定一个拓扑。引入了等价拓扑的概念，并分析了子空间拓扑、商拓扑的构造方法及其性质。 连续性与同胚： 在拓扑空间中重新定义连续函数，并引入了拓扑学中最核心的概念——同胚（Homeomorphism）。通过具体的例子（如圆盘与正方形的同胚），直观展示拓扑不变量的重要性。 特殊拓扑性质： 详细探讨了分离公理（$T_1, T_2$ 即Hausdorff空间、正则性、正规性），强调了Hausdorff空间在分析学中的关键地位，因为只有在Hausdorff空间中，序列的极限才是唯一的。此外，还将介绍紧致性和连通性的定义及其在不同拓扑空间中的表现。紧致性被视为“有限性”的推广，是保证许多收敛定理成立的关键假设。 第二章：度量空间及其拓扑 度量空间是赋予拓扑结构的最直观方式，是分析学中应用最为广泛的一类拓扑空间。 度量与基本概念： 定义度量（距离函数）及其诱导拓扑。讨论了各种重要的度量，如欧几里得度量、曼哈顿度量、切比雪夫度量，并分析了它们在同一集合上产生的拓扑是否相同。 开球、闭球与完备性： 围绕度量空间定义开球和闭球，并探讨了度量空间中的柯西序列。完备性（Completeness） 是本章的重点。我们将详述完备度量空间的重要性，并给出Baire纲定理在完备度量空间上的应用，这是研究函数空间时不可或缺的工具。 压缩映射原理（Banach不动点定理）： 这是一个极具实践价值的工具。本章将详尽证明压缩映射原理，并展示它如何用于证明微分方程解的存在唯一性，为后续的数值分析和迭代方法奠定理论基础。 --- 第二部分：从序列到函数空间：泛函分析的萌芽 在掌握了抽象拓扑结构后，本部分将视线转向函数集合，探讨如何将代数结构（如向量空间）与拓扑结构相结合，形成强大的泛函分析工具。 第三章：函数空间：赋范向量空间 本章将分析具有代数结构和拓扑结构的函数空间。 向量空间与范数： 回顾向量空间的基本定义，并引入范数（Norm） 的概念。范数是赋予“长度”概念的特殊度量。讨论范数诱导的拓扑结构。 赋范向量空间与巴拿赫空间： 定义赋范向量空间。重点研究巴拿赫空间（Banach Space），即完备的赋范向量空间。我们将深入分析 $mathbb{R}^n$ 上的 $L^p$ 范数（$1 le p le infty$）如何构造出巴拿赫空间，并阐述 $L^2$ 空间（希尔伯特空间的前身）的特殊性质。 连续线性泛函： 探讨从一个赋范空间到标量域（$mathbb{R}$ 或 $mathbb{C}$）的连续线性映射，即连续线性泛函。分析其有界性与闭包性。 第四章：拓扑线性空间与初步线性算子 本章将拓扑学的概念推广到向量空间，为处理更广阔的函数空间做准备。 拓扑向量空间： 讨论如何使向量加法和标量乘法成为连续运算。引入拓扑线性空间的概念。 局部凸性与分离定理： 介绍凸集的概念及其在拓扑线性空间中的重要性。本章将重点介绍Hahn-Banach 分离定理的一个重要推论——分离超平面定理（Hyperplane Separation Theorem），该定理是变分法和优化理论的基石之一，它提供了如何用连续线性泛函来“分离”凸集。 有界线性算子： 在巴拿赫空间之间定义的有界线性算子（即连续线性算子）构成了我们研究的核心对象。讨论算子范数的性质，并初步探讨算子代数的结构。 --- 第三部分：测度论基础与勒贝格积分的构建 传统微积分中的黎曼积分在处理不规则函数或处理极限操作时存在局限性。本部分采用现代测度论的观点，建立更强大的积分理论。 第五章：外测度与测度空间的构造 本章从构造性的角度出发，建立严谨的积分基础。 从有界函数到可测集： 回顾黎曼可积性的局限性，引入外测度的概念。讨论外测度的一些基本性质，特别是可加性和单调性。 $sigma$-代数与测度： 定义 $sigma$-代数（可测集的集合族）和测度。重点分析勒贝格测度在 $mathbb{R}$ 上的构造过程，理解其比长度概念更强大的地方在于它能处理大量不可数集合。 可测函数： 基于测度空间，定义可测函数。分析简单函数的性质及其在逼近一般可测函数中的作用。 第六章：勒贝格积分与收敛定理 本章的核心是将积分概念推广到更广泛的可测函数类。 勒贝格积分的定义： 基于简单函数逼近，严格定义非负可测函数的勒贝格积分，并推广到一般可测函数。 积分的优越性： 通过实例对比勒贝格积分与黎曼积分的差异，展示勒贝格积分在处理不连续函数上的能力。 关键收敛定理： 这是勒贝格积分理论的精髓所在。本章将详尽论证以下三个核心定理： 单调收敛定理（MCT）： 保证在单调极限下，积分与极限可以交换顺序。 福比尼定理（Fubini's Theorem）： 论述多重积分的顺序无关性（在适当条件下）。 优良收敛定理（DCT）： 强调由一个可积函数“控制”下来的函数序列，其积分和极限可以交换。这些定理是处理无穷级数、概率论和偏微分方程的理论基石。 --- 总结与展望 本书的四个部分构建了一个从“点”到“结构”再到“函数集合”的抽象递进过程。读者通过对拓扑和度量空间的掌握，得以理解收敛的本质；通过对赋范空间的学习，为进入希尔伯特空间和巴拿赫空间做好了铺垫；最后，通过勒贝格积分的学习，获得了分析数学中处理极限操作的强大工具。本书内容高度抽象，但每一步论证都力求清晰，旨在为有志于深入研究数学分析、微分方程理论或应用数学的读者提供一座坚实的理论阶梯。

评分☆☆☆☆☆

不得不说，这本书在细节处理上做得非常出色，给我的学习体验带来了极大的便利。我之前看过的很多数学分析教材，虽然内容全面，但往往排版拥挤，公式嵌套复杂，阅读起来相当吃力。而《数学分析简明教程（下册）》在这方面表现得淋漓尽致。字体大小适中，页面留白恰当，公式的排版清晰规范，每一个符号的含义都标注得一目了然，不会让人在理解公式时分神去猜测符号的来源。更让我惊喜的是，书中对重点和难点内容的提示非常到位。往往在一个概念或定理出现时，会在旁边用小字或者不同的颜色标注出它的重要性，或者提醒读者注意哪些常见的误区。这对于我这种自学能力相对较弱的学生来说，简直是福音。我不需要花费大量时间去反复翻阅、对照，就能迅速抓住学习的重点。而且，书中各个章节之间的过渡也非常自然流畅，好像一条条线索将所有知识点巧妙地串联起来，形成一个有机的整体。这种清晰的结构和细致的编排，让我能够更有效地组织学习思路，提高学习效率。总的来说，这本书在细节上的精益求精，使得学习过程更加顺畅和愉悦。

评分☆☆☆☆☆

这本书让我对数学分析中的某些抽象概念产生了前所未有的深刻理解。以往我总是机械地记忆公式和定理，对它们背后的原理和意义知之甚少，导致在解决实际问题时捉襟见肘。然而，《数学分析简明教程（下册）》在这方面做得尤为出色。它不仅仅是告诉我们“是什么”，更是深入浅出地剖析了“为什么”。例如，在讲解多重积分的概念时，作者并没有直接给出定义和计算方法，而是先通过三维空间的体积计算，再过渡到更高维度的体积概念，让我逐渐建立起对高维空间的直观感受。书中对一些证明过程的逻辑推演也相当严谨且易于跟随，它会一步步引导你看到定理是如何从基本公理和已证明的命题中推导出来的，而不是简单地给出结论。我特别欣赏作者对于一些“证明背后的思想”的阐释，让我理解到数学证明不仅仅是为了严谨，更是一种发现和构建知识体系的艺术。通过这些深入的讲解，我感觉自己不仅仅是在记忆知识，更是在学习一种数学思维，一种严谨而富有创造性的思考方式。这种理解的加深，让我对数学分析的信心倍增，也激发了我进一步探索更深层次数学问题的热情。

评分☆☆☆☆☆

作为一名在数学学习道路上跌跌撞撞的普通学生，我对《数学分析简明教程（下册）》的实用性和启发性给予高度评价。这本书最大的特点在于，它并没有高高在上地讲述理论，而是始终将理论与实际应用紧密结合。书中穿插了大量精心设计的例题，这些例题不仅覆盖了教材中的各个知识点，而且难度适中，循序渐进。让我印象深刻的是，很多例题的解答过程都详细地展示了思考过程和解题策略，而不是简单地给出答案。这对于我这种需要“手把手”教学的学生来说，非常有帮助。我可以通过模仿例题的解题思路，来掌握如何应用所学知识解决实际问题。此外，书中还包含了一些拓展性的思考题，这些题目往往能引发我对某个知识点更深层次的思考，或者将不同章节的知识点联系起来，让我体会到数学知识的融会贯通。有时，即使我无法完全解决这些拓展题，但通过思考它们，也能极大地开阔我的视野，让我看到数学分析的广阔应用前景。这本书让我觉得，数学分析并非象牙塔里的理论，而是可以指导我们理解和改造世界的强大工具。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我带来的最大感受是，数学分析的学习可以变得如此有趣且充满成就感。许多教材在讲到一些复杂定理或概念时，往往会让人感到一种巨大的压力，似乎需要花费数倍的时间和精力才能理解。但《数学分析简明教程（下册）》通过其独特的叙述方式，有效地减轻了这种压力。它在引入新概念时，常常会先抛出一个引人入胜的问题，或者一个有趣的数学现象，然后引导读者逐步去探索和理解。这种“问题驱动”的学习方式，极大地激发了我的好奇心和求知欲。我不再是被动地接受知识，而是主动地去寻求答案。而且，书中对于一些抽象概念的解释，非常有创意。它会尝试从不同的角度去阐释同一个概念，比如通过类比、图形、甚至是一些生动的故事。这使得原本晦涩难懂的数学原理，变得更加容易理解和记忆。当我对某个定理或公式有了深入的理解后，再去看书后的习题，就会发现它们变得不再那么可怕。解出一道难题，那种成就感是难以言喻的，也让我更加热爱数学。这本书就像一个经验丰富的向导，在我迷茫的数学分析之路上，为我指明方向，并一路给我鼓励。

评分☆☆☆☆☆

这本《数学分析简明教程（下册）》简直是打开了我对数学世界的新视角！之前接触数学分析总是感觉像是在啃一本枯燥的字典，各种符号和定义堆砌在一起，让人望而却步。但这本书却完全颠覆了我的认知。作者用一种非常亲切且富有逻辑的语言，将原本抽象的概念娓娓道来。初拿到这本书时，我还在担心下册的内容会更加晦涩难懂，毕竟上册就已经花了我不少心思。然而，翻开第一页，我就被深深吸引住了。它没有急于灌输大量公式，而是从一些直观的例子和生活中的现象出发，引导读者去思考。比如，在讲解级数收敛性时，作者并没有直接抛出收敛判别法，而是通过一个“滚雪球”的比喻，让我们体会到累加过程的趋势。这种“润物细无声”的教学方式，让我感觉自己不是在被动学习，而是在主动探索。而且，书中穿插的许多历史典故和数学家的小故事，也为枯燥的数学学习增添了许多人文色彩，让我觉得数学不再是冰冷的符号，而是充满智慧和人性的结晶。我尤其喜欢书中对一些重要定理的几何直观解释，这比单纯的符号推导要容易理解得多，也更容易在脑海中留下深刻的印象。这本书不仅仅是知识的传授，更是一种思维方式的启迪，让我开始真正欣赏数学之美。