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陈维桓 著

图书标签:

• 微分几何
• 几何学
• 数学
• 高等数学
• 拓扑学
• 流形
• 曲线曲面
• 黎曼几何
• 微分流形
• 数学教材

出版社： 北京大学出版社

ISBN：9787301012291

版次：1

商品编码：11676658

包装：平装

开本：32开

出版时间：1990-10-01

用纸：胶版纸

页数：272

字数：222000

正文语种：中文

内容简介

　　《微分几何初步》是北京大学数学系微分几何课程的教材，主要讲述三维欧氏空间中曲线和曲面的局部理论，内容包括预备知识，曲线论，曲面的第1基本形式，曲面的第二基本形式，曲面论基本定理，测地曲率和测地线，活动标架和外微方法。另有附录叙述了《微分几何初步》所用的微分方程的定理，并介绍了张量的概念。《微分几何初步》力图向近代微分几何的语言和方法靠近，因此在讲述时尽量结合现代流形的概念，并且自始至终使用附属在曲线、曲面上的标架场，对外微分形式有相当详细的介绍。《微分几何初步》叙述深入浅出，条理清楚，论证严密，突出几何想法，便于读者理解与掌握。
　　《微分几何初步》可作为综合大学及高等师范院校的微分几何课程教材，也可作为高等教育自学考试的教学参考书。

内页插图

目录

绪论
第一章 预备知识
1 标架
2 向量函数

第二章 曲线论
1 参数曲线
2 曲线的孤长
3 曲线的曲率和Frenet标架
4 挠率和Frenet公式
5 曲线论基本定理
6 曲线在一点的标准展开
7 平面网络

第三章 曲面的第一基本形式
1 曲面的定义
2 切平面的法线
3 曲面的第一基本形式
4 曲面上正交参数曲线风的存在性
5 保长对应和保角对应
6 可展曲面

第四章 曲面的第二基本形式
1 第二基本形式
2 法曲率
3 gauss映和weingarten映射
4 主方向和主曲率的计算
5 dupin标形和曲面的一点的标准展开
6 某些特殊曲面

第五章 曲面论基本定理
1 自然标架的运动公式
2 曲面的唯一性定理
3 曲面论基本方程
4 曲面的存在性定理
5 gauss定理

第六章 测地曲率和测地线
1 测地曲率和测地挠率
2 测地线
3 测地坐标系
4 常曲率曲面
5 曲面上向量场的平行移动
6 gauss-bonnet公式

第七章 活动标架和外微分法
1 外形式
2 外微分
3 E3的标架族
4 曲面上的标架场
5 曲面上的曲线
附录
1 关于常微分方程的几个定理
2 一阶偏微分方程组的可积性
3 张量
索引

前言/序言

《拓扑学基础：空间与结构的抽象探索》 本书旨在引导读者踏上一段发人深省的旅程，深入理解“空间”这一概念的本质，以及事物在变形过程中得以保持不变的内在属性。不同于描绘精确曲率或测量的学科，本书关注的是更为抽象和普适的结构。我们将从最基础的集合论概念出发，构建点集拓扑学的坚实基石。 第一部分：点集拓扑学的基石 我们将从集合论的语言开始，熟悉集合、子集、并集、交集等基本操作，为后续的拓扑空间定义做好准备。紧接着，我们将引入“拓扑”的概念——一组选定的子集，它们遵循特定的公理。我们将深入探讨开集、闭集、邻域、内点、外点、边界点等关键概念，并理解它们之间的相互联系。 读者将学习如何识别和构造不同的拓扑结构，例如离散拓扑、平凡拓扑、有限补拓扑以及模数拓扑。我们将探讨度量空间与拓扑空间的关系，理解度量空间所蕴含的丰富拓扑性质。 第二部分：空间的性质与分类 本书将重点研究拓扑空间的各种性质，并以此为依据对空间进行分类。我们将深入理解连通性（connectedness）和路径连通性（path-connectedness），并认识到它们在刻画空间“完整性”上的重要作用。 紧接着，我们转向紧致性（compactness），一个在分析学和几何学中都极为重要的概念。我们将通过开覆盖的定义来理解紧致性，并探索紧致空间的各种等价刻画，例如序列紧致性和可数可分离性。 分离性公理（separation axioms）是拓扑学的重要工具，用于区分不同“性质”的空间。我们将逐一介绍T0、T1、T2（豪斯多夫空间）、T3（正则空间）和T4（正则豪斯多夫空间）等概念，理解它们在区分点集和保证极限的唯一性等方面的意义。 第三部分：连续性、同胚与同伦 连续函数是连接不同拓扑空间的桥梁。我们将推广初等数学中连续性的概念，理解在拓扑空间中，一个函数是连续的当且仅当它将开集映射为开集（或将闭集映射为闭集）。 同胚（homeomorphism）是拓扑学中最核心的概念之一，它代表着两种拓扑空间在拓扑意义上是“相等”的。我们将学习如何识别同胚映射，并理解同胚类在研究拓扑性质上的重要性。通过同胚，我们可以将一个空间的拓扑性质传递给另一个与之等价的空间。 同伦（homotopy）将进一步深化我们对空间变形的理解。我们将学习同伦的概念，以及同伦等价。这将引导我们初步接触到同伦论的朴素概念，理解在连续变形下不变的空间特征。 第四部分：基本拓扑不变量 本书将引入一些基本的拓扑不变量，即在同胚下保持不变的性质。我们将探索连通分支的数量，理解空间的“洞”的数量，例如圆周和环面与球面的根本区别。 我们还将初步介绍欧拉示性数（Euler characteristic）的概念，这是一个在研究多面体和低维流形时非常有用的拓扑不变量。它为量化空间的“曲折”程度提供了一种方式。 第五部分：一些进阶概念的展望 在本书的最后，我们将为读者勾勒出更广阔的拓扑学图景，并展望一些更进一步的概念。我们将简要介绍复合物（complexes）的概念，例如单纯复形（simplicial complexes），它们为构建和研究更复杂的拓扑空间提供了有力的工具。 还将触及纤维丛（fiber bundles）的朴素思想，理解它们在描述“局部平坦”但“全局扭曲”的空间结构上的作用，这对于理解一些更高级的几何和物理概念至关重要。 本书旨在为读者提供一套严谨而清晰的数学语言，帮助他们培养抽象思维能力，并对“空间”的本质有更深刻的认识。我们相信，通过对拓扑学基本概念的探索，读者将能够以全新的视角去理解数学的各个分支，甚至物理学中的一些基本理论。本书是一次对数学结构之美的抽象探索，不涉及对具体几何形状的度量和分析，而是着眼于其内在的、变形下不变的拓扑特性。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我的整体感觉是，它在学术深度和易读性之间找到了一个非常精妙的平衡点。很多数学专著往往过于晦涩难懂，将读者拒之门外，而这本书却能够以一种相对温和的方式，将复杂的数学思想传递给读者。作者在引入一些前沿概念时，会适当地放慢节奏，对背景知识进行铺垫，并用一些类比或简化模型来帮助读者理解。虽然它仍然是一本严谨的数学著作，但它并没有将读者“吓倒”，反而激发了我的学习兴趣。我发现，很多我曾经觉得遥不可及的数学领域，在这本书的引导下，似乎也变得触手可及。特别是那些在章节末尾提供的思考题，它们不仅检验了我的理解程度，更重要的是，它们促使我主动去探索和思考，而不是被动地接受。这种“引导式”的学习体验，让我觉得这本书不仅仅是一本教材，更像是一位循循善诱的老师。

评分☆☆☆☆☆

读完这本书的部分章节，我最大的感受就是它在引导读者建立数学直觉方面做得相当出色。很多时候，我们在学习抽象的数学理论时，会感到一种“雾里看花”的朦胧感，不知道这些公式和定理到底描绘的是怎样的几何图形或空间关系。然而，这本书通过生动形象的图示和通俗易懂的语言，巧妙地将这些抽象概念具象化。例如，在讲解曲面弯曲度时，书中提供的那些局部映射的例子，以及对曲率的直观解释，都让我豁然开朗。我不再是机械地记忆那些公式，而是能够想象出不同曲面在不同点上的弯曲形态。这种“可视化”的学习方法，对于我这种偏重直观理解的学习者来说，简直是福音。它不仅帮助我记住了知识点，更重要的是，它培养了我独立思考和分析问题的能力，让我能够从几何的视角去审视和理解数学问题。我期待在后续的阅读中，这种直觉的培养能够帮助我更好地掌握那些更深层次的理论。

评分☆☆☆☆☆

这本书的公式推导过程，是我最喜欢的部分之一。作者在推导每一个公式时，都力求详细和严谨，并且会对一些关键步骤进行解释和说明。我曾经在阅读其他书籍时，常常因为公式的跳跃性推导而感到困惑，但是在这本书中，我很少遇到这样的问题。即使是那些看似复杂的推导，作者也能够将其分解成一系列清晰的步骤，让我能够一步一步地跟随。而且，书中还会在一些重要的公式推导完成后，对该公式的意义和应用进行简要的介绍，这让我能够更好地理解公式背后的数学思想，而不是仅仅停留在形式层面。我感觉这本书就像是一个经验丰富的向导，带领我在数学的丛林中，细致地辨认每一条小径。

评分☆☆☆☆☆

这本书的论述风格堪称严谨到极致，每一条定理、每一个推论都建立在清晰的逻辑链条之上，几乎找不到任何可以被质疑的缝隙。我个人非常欣赏这种“步步为营”的讲解方式，虽然初读时可能会觉得有些吃力，需要反复咀嚼，但正因为如此，我才能更深刻地理解每一个数学对象的本质。作者在解释每一个概念时，都会先从最基础的定义出发，然后逐步引入更复杂的性质和应用，这种层层递进的方式，极大地降低了理解门槛。而且，书中并非一味地堆砌公式，而是穿插了大量的辅助说明和几何直观的引导，帮助读者建立起清晰的图像和空间思维。我时常会在阅读过程中，拿出纸笔，跟着作者的思路一步一步地演算，感受数学推理的严密性。这种“动手实践”的学习过程，让我觉得我不是被动地接受知识，而是主动地参与到知识的构建中。即使有些地方我暂时还没有完全理解，但作者的严谨态度也给了我极大的信心，让我相信只要我坚持下去，一定能够拨开迷雾，抵达真理的彼岸。

评分☆☆☆☆☆

这本书的图示和插画，给我一种“触类旁通”的启发。在讲解一些抽象的空间概念时，作者所绘制的图例都极其精细和准确，能够非常直观地展示出几何的形态和关系。即使我暂时还没有完全掌握那些复杂的数学语言，但通过这些图示，我能够大致理解作者想要表达的意思，并且在脑海中建立起一个初步的几何模型。我发现，很多时候，一个恰当的图示，比冗长的文字解释更能帮助我理解问题。而且，这些图示不仅在形式上美观，在内容上也具有很强的指导意义，它们能够帮助我发现一些隐藏在公式背后的几何意义，从而加深我对理论的理解。我感觉这本书就像是在用一种“视觉语言”和我交流，让我更容易地进入数学的世界。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计相当别致，封面采用了一种低饱和度的蓝色，配以简洁的白色字体，散发着一种沉静而专业的学术气息。翻开书页，纸张的质感也很不错，厚实且带有微微的米黄色，触感温润，不像一些劣质纸张那样有刺鼻的油墨味。即使长时间阅读，眼睛也不会感到特别疲劳。排版上，公式和定理的标注清晰明了，图示也足够生动形象，虽然我暂时还没有深入钻研到每一个细节，但单从这份严谨的出版态度就能感受到编者的用心。我尤其喜欢它在一些关键概念引入时，所附带的简短历史背景介绍，这让我觉得学习数学不再是枯燥的符号堆砌，而是人类智慧不断探索和演进的生动体现。有时候，我会仅仅因为被封面的设计所吸引，就拿起这本书来翻阅，然后沉浸在它所传递出的宁静氛围中，这种物理上的触感和视觉上的美学，本身就是一种享受，让人在学习之余，也能感受到一丝艺术的慰藉。我期待在未来的阅读过程中，能够更加深入地理解那些抽象的几何概念，而这本书精美的外观，无疑为我的学习之旅增添了一份愉悦的起点。

评分☆☆☆☆☆

这本书的叙事逻辑非常清晰，每一章节的安排都显得匠心独运。作者似乎对如何组织内容有着深刻的理解，总是能够在一个恰当的时机引入新的概念，并且在后续的章节中，对这些概念进行深入的挖掘和应用。我尤其喜欢它在章节过渡时的处理方式，往往会在前一章的结尾，为下一章的内容埋下伏笔，或者提出一些需要进一步探讨的问题，这极大地增强了阅读的连贯性和吸引力。我感觉自己就像是在跟随作者的脚步，一步一步地探索着数学世界的奥秘。而且，书中对例题的选择也非常有代表性，每一个例题都能够很好地阐释所讲授的概念，并且在解题过程中，充分展示了所学知识的应用。这种“理论与实践相结合”的模式，让我的理解更加深刻，也让我对所学内容充满了信心。

评分☆☆☆☆☆

这本书的练习题设计，给我一种“由浅入深”的循序渐进感。每一章的练习题都涵盖了该章的主要知识点，并且难度梯度设置得非常合理。开头是一些基础的巩固题，帮助我检验对基本概念的理解，然后逐渐过渡到一些需要综合运用知识才能解决的难题。我喜欢在完成基础题后，挑战那些更具思考性的题目，这不仅能够加深我对知识的掌握，更能够锻炼我的解题能力和逻辑思维。而且，书中在一些难题的解答部分，也提供了详细的思路分析，这对于我这种独立思考受挫时，能够获得及时的指导，并且从中学习到解决问题的技巧。我感觉这本书不仅仅是传授知识，更是在培养我的独立解决数学问题的能力。

评分☆☆☆☆☆

这本书对数学史的引入，给我带来了意想不到的惊喜。在学习某些概念时，作者会简要介绍这些概念的起源和发展过程，以及与之相关的数学家的贡献。这让我对数学有了更宏观的认识，不再局限于当下学习的知识点。我能够看到数学是如何一步步地演化和发展，以及人类为了理解世界所付出的智慧和努力。这种历史的视角，不仅丰富了我的知识，更重要的是，它让我对数学产生了更深厚的敬意。我发现，许多我们现在习以为常的数学工具，都凝聚了前人的无数心血。这本书让我感觉，我不仅仅是在学习一门学科，更是在了解一段波澜壮阔的思想史。

评分☆☆☆☆☆

这本书的内容组织和编排，给我的感觉是充满了“生命力”。它不仅仅是一堆冰冷的公式和定理，而是仿佛蕴含着数学家们探索真理时的激情和思考。作者在阐述一些关键定理时，会时不时地穿插一些历史上的轶事或者数学家的名言，这让我觉得学习过程不再是孤独的，而是与那些伟大的思想家们进行着跨越时空的对话。这种人文关怀的设计，让这本书在学术性之外，增添了一抹温暖的色彩。我常常在阅读疲惫时，翻到这些地方，然后被那些充满智慧和趣味的文字所感染，重新燃起学习的热情。我感觉这本书不仅仅是在教授数学知识，更是在传递一种热爱数学、探索未知的精神。

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