函數方程及其解法 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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[加] 斯邁爾 著，馮貝葉 譯

圖書標籤:

• 函數方程
• 數學分析
• 解題技巧
• 高等數學
• 數學競賽
• 函數
• 方程
• 數學方法
• 理論研究
• 學術著作

齣版社： 哈爾濱工業大學齣版社

ISBN：9787560353319

版次：1

商品編碼：11755202

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2015-05-01

用紙：膠版紙

頁數：166

字數：132000

正文語種：中文

內容簡介

　　《函數方程及其解法》包括瞭函數方程的理論和應用。特彆強調瞭像普特南競賽和國際數學奧林匹剋中的函數方程題目的解法。
　　《函數方程及其解法》對準備參加普特南競賽和準備參加各類全國或國際數學競賽而希望提高自己的解題技巧的大學生或中學生是特彆有用的，那些對參賽學生進行輔導和訓練的數學工作者也可在《函數方程及其解法》中找到培訓函數方程問題的有價值的材料。

目錄

第1章 曆史介紹
1.1 預先的說明
1.2 尼古拉·奧雷姆
1.3 聖-文森特的格裏高利
1.4 奧古斯丁-路易斯·柯西
1.5 關於微積分的說明
1.6 讓·達朗貝爾
1.7 查爾斯·巴貝奇
1.8 數學競賽和趣味數學
1.9 拉馬努金的貢獻
1.10 聯立函數方程
1.11 關於術語的說明
1.12 解的存在性和唯一性
1.13 問題

第2章 兩個變量的函數方程
2.1 柯西方程
2.2 柯西方程的應用
2.3 琴生方程
2.4 綫性函數方程
2.5 柯西指數方程
2.6 佩德方程
2.7 文茨方程
2.8 柯西不等式
2.9 涉及兩個變量的方程
2.10 歐拉方程
2.11 達朗貝爾方程
2.12 問題

第3章 一個變量的函數方程
3.1 引言
3.2 綫性化
3.3 某些方程的基本族
3.4 一個共軛方程的小動物園
3.5 求共軛方程的解
3.5 .1 施羅德方程的柯尼格斯算法
3.5 .2 阿貝爾方程的萊維算法
3.5 .3 伯特夏方程的一個算法
3.5 .4 解交換方程
3.6 阿貝爾方程和施羅德方程的推廣
3.7 迭代根的一般性質
3.8 函數方程和方根的迭套
3.9 問題

第4章 若乾有關函數方程的其他問題
4.1 多項式方程
4.2 冪級數方法
4.3 涉及算數函數的方程
4.4 一個利用特殊群的方程
4.5 問題
……

第5章 一些最後的建議
第6章 附錄：哈默基
第7章 提示和部分問題的解答

參考文獻
索引

精彩書摘

　　《函數方程及其解法》：
　　1815年復闢，隨後在滑鐵盧之戰中失敗，再度被推翻），柯西本人是一個堅定的君主主義者，因此後來，他決心離開瞭自己的祖國。（譯者注：1830年7月革命再次推翻波旁王朝後，內閣通過瞭公職人員必須宣誓效忠新國王的法令，而保王黨人（柯西也在其中）認為宣誓就是背叛。起義中發生的一些暴烈行為，使柯西憤慨。所有這些因素，促使柯西下定決心最後離開瞭法國）這一天纔的數學傢在數學的很多領域中都做齣瞭貢獻，然而一般認為其主要研究領域是微積分，是公認的現代數學分析理論的創始人之一。
　　特彆與柯西的名字相連的函數方程是
　　f（x+y）=f（x）+f（y）（1.3）
　　其中，x，y可取所有實數。現在此方程通稱為柯西方程。提齣的問題是要求求齣所有滿足方程（1.3）的實值函數（譯者注：如果不附加其他條件，僅這樣提齣問題將可能不得不考慮非常復雜的函數，見哈代，利特伍德《不等式》）。現在，讀者可以立即注意到任意形如
　　f（x）=ax
　　的函數都滿足柯西方程，其中a是任意常數。然而，我們可以求齣這個方程的一個簡單的解僅是故事的一小部分。我們必須問，是否形如f（x）=ax的函數族就是方程（1.3）的所有解的完全集？
　　……

前言/序言

現代代數結構：群論、環論與域論的深度探索 本書旨在為讀者提供一個全麵而深入的現代代數結構基礎，側重於群論、環論和域論這三大核心分支的理論構建、重要定理的證明及其在數學其他領域中的應用。本書的敘述風格嚴謹而清晰，旨在培養讀者對抽象代數概念的直覺理解和嚴格的邏輯推理能力。 第一部分：群論基礎與結構 本部分將從集閤論和二元運算的基本概念齣發，逐步引入群的嚴格定義及其基本性質。我們將詳盡討論子群的概念、陪集的構造以及拉格朗日定理的精妙證明，這是有限群結構分析的基石。 隨後，我們將深入探討群的同態與同構，這是比較不同群結構的有力工具。重點分析正規子群及其與商群（或因子群）的構造，這是理解群內部結構層次的關鍵步驟。第一同構定理（或稱基本同態定理）的證明及其在群結構分解中的作用將被細緻闡述。 在結構理論方麵，本書會花費大量篇幅討論可解群和冪零群。我們將引入換位子子群和中心列的概念，分析它們的性質和構造，並給齣霍爾特定理在有限群分類中的應用。 對於有限阿貝爾群，我們將給齣基本定理的完整證明，即任何有限阿貝爾群都同構於一組初等因子群的直積。對於無限群，我們將考察自由群的構造，特彆是群錶示理論的初步概念，包括如何使用矩陣群來錶示抽象群，這為後續的錶示論打下基礎。此外，還會涉及置換群的詳細分析，包括卡伊利定理的證明和在群作用下的軌道-穩定化子定理的應用。 第二部分：環論的拓撲與代數交匯 本書的第二部分轉嚮環的研究。從具有單位元和乘法結閤律的代數結構齣發，我們定義瞭環，並區分瞭交換環與非交換環。理想的概念被引入，並類比群中的商群，構造商環。 我們將詳細分析環同態和第一同構定理在環情境下的應用。環的結構分析依賴於特殊的元素，如零因子、整環以及具備除法運算的域。 在理想的分類上，我們將區分主理想、唯一因子化域（UFD）、正則局部環和諾特環。諾特定理的證明及其對環結構的限製至關重要。我們將深入探討主理想域（PID）和歐幾裏得整環之間的關係，證明歐幾裏得整環必然是PID，而PID必然是UFD，並提供明確的反例來說明這些概念的微妙區彆。 本書對積分域上的多項式環 $ ext{K}[x]$ 進行瞭深入探討，涵蓋瞭多項式的帶餘除法、最大理想與素理想的對應關係。對於更一般的情況，我們將分析域擴張的基礎，包括代數擴張和超越擴張的概念，以及最小多項式的唯一性。 第三部分：域論與伽羅瓦理論的宏大敘事 第三部分是本書的理論高潮，聚焦於域論及其在解方程問題中的核心地位——伽羅瓦理論。 我們將從域擴張的構造齣發，詳細分析次數、中間域和代數擴張的塔。代數閉包的概念被引入，並證明其存在性和唯一性（在同構意義下）。 核心內容集中於伽羅瓦擴張的定義：有限、正規且可分（separable）的擴張。我們將嚴格證明基本定理，即伽羅瓦群 $G(L/K)$ 與 $L/K$ 之間中間域之間的一一反序對應關係。這個定理不僅統一瞭域擴張的結構，更揭示瞭群論與域結構之間的深刻聯係。 基於伽羅瓦理論，我們將分析多項式方程的可解性問題。我們將證明五次及以上多項式方程一般不可用根式求解的結論，其核心在於證明不可約五次多項式的伽羅瓦群是非可解群（通常是 $S_5$）。我們將詳細分析二次、三次和四次方程的根式解如何對應於其伽羅瓦群的可解性。 最後，本書會涉及有限域（伽羅瓦域）的結構分析，證明存在一個唯一的、階數為 $p^n$ 的有限域，並討論其乘法群的循環性質。 本書的結構旨在逐步構建一個嚴謹的、相互關聯的抽象代數知識體係，使其成為代數研究者和需要深入理解數學基礎的讀者的重要參考書。每章後都附有大量的練習題，以鞏固理論理解和提升問題解決能力。

評分☆☆☆☆☆

這本書的名字，《函數方程及其解法》，讓我立刻聯想到瞭一些更加高級和復雜的數學問題，與我平時接觸到的基礎代數和幾何知識有著明顯的區彆。我一直對數學充滿好奇，但我的知識背景相對有限，主要停留在高中和大學初級的數學課程。 我非常好奇“函數方程”究竟是什麼。我理解函數是描述變量之間關係的工具，那麼“函數方程”是否就是一種描述函數之間關係的方程？它是否比我們常說的代數方程更加抽象和普遍？我希望書中能夠以一種循序漸進的方式，從最基本的形式開始，逐步引導讀者理解函數方程的概念，而不是直接拋齣復雜的定義和定理。 我希望書中能夠包含一些引人入勝的實際應用案例。例如，函數方程在哪些科學領域得到瞭廣泛的應用？物理學中的波動方程、熱傳導方程，或者在工程學、金融學中，它又扮演著怎樣的角色？如果能夠看到這些抽象的數學概念如何轉化為解決現實問題的有力工具，那將極大地激發我的學習興趣。 我也希望書中能夠介紹一些經典的函數方程以及它們獨特的解法。我喜歡看到數學傢們如何巧妙地運用各種方法和技巧來解決看似棘手的問題。即使我無法完全掌握所有的解題步驟，但瞭解其中的思路和邏輯，也能讓我感受到數學的智慧和魅力。 我希望這本書能夠讓我對函數方程有一個初步的、直觀的認識，即使我無法成為這方麵的專傢，也能因此拓寬我的數學視野，感受到數學世界的廣闊和深邃。我期望這本書能夠像一盞明燈，照亮我探索數學未知領域的一小部分。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵上寫著“函數方程及其解法”，當我翻開目錄，映入眼簾的是一些我從未接觸過的符號和公式。我是一名普通的愛好者，平時喜歡閱讀一些關於數學的科普讀物，瞭解一些數學史上的趣事，或者學習一些基本的代數和幾何知識。對於“函數方程”這樣聽起來就充滿挑戰的數學分支，我並沒有深入研究過。 在我的理解中，數學大概就是解一些代數方程，比如求 x，或者研究一些幾何圖形的性質。而“函數方程”這個詞，讓我腦海中浮現齣的是一些相互關聯的函數，它們之間有著某種奇妙的聯係，需要我用一些更高級的技巧去“解開”這個聯係，找到那個隱藏在背後的規律。我很好奇，這本書會以怎樣的語言和例子來嚮我這樣的讀者解釋這些深奧的概念。 我期待書中能夠有一些生動形象的比喻，或者從實際應用齣發，讓我看到函數方程在現實世界中的作用。比如，它是否與物理學中的某些定律有關？或者在工程學、經濟學領域，它又扮演著怎樣的角色？如果能有一些曆史故事，介紹一下那些偉大的數學傢是如何一步步探索函數方程的奧秘，那更是極大的樂趣。我不太喜歡純粹的理論推導，那樣很容易讓我感到枯燥乏味，如果能穿插一些有趣的解題思路和技巧，那就更好瞭。 當然，我知道“函數方程”的難度不言而喻，但作為一名渴望學習的讀者，我希望能從這本書中獲得一些啓發，即使不能完全掌握所有內容，也能對這個領域有一個初步的認識，打開一扇通往更廣闊數學世界的大門。我希望這本書不僅僅是一本教材，更是一次精彩的數學旅行，讓我能夠在這個過程中感受到數學的魅力。

評分☆☆☆☆☆

這本書的書名——《函數方程及其解法》，對我而言，既充滿瞭神秘感，也帶著一絲挑戰性。我一直對數學有著濃厚的興趣，但我的知識體係更多地構建在基礎的代數、微積分和概率論之上。對於“函數方程”這個概念，我隻能隱約地感受到它比我熟悉的方程要復雜和抽象得多，它似乎觸及瞭函數之間更深層的、動態的聯係。 我非常期待書中能夠以一種清晰且富有邏輯的方式，為我這樣的非專業讀者揭示函數方程的本質。它會從最基礎的定義開始嗎？會不會用類比或圖示的方法，來幫助我理解那些可能非常抽象的數學概念？我希望作者能夠避免使用過於專業化的術語，或者至少在引入專業術語時，能夠提供詳細的解釋和例證，讓我能夠逐步跟上思路。 我希望這本書能夠展示函數方程在現實世界中的強大力量。例如，它是否在描述物理現象的演變（如波的傳播、熱量的擴散）方麵發揮著關鍵作用？在經濟學中，函數方程又如何被用來預測市場趨勢或優化資源配置？如果能看到數學模型如何將復雜的現實世界簡化和解釋，我將感到非常振奮。 此外，我也很想瞭解一些經典的函數方程及其解法。我總是會被那些巧妙而優雅的解題思路所吸引，它們往往能展現齣數學的創造性和深刻性。即使我不能完全掌握所有的解題技巧，但瞭解其中的基本思想和發展脈絡，對我來說也是一種寶貴的學習。 總而言之，我希望這本書不僅僅是一本“教科書”，更是一次引人入勝的數學探索之旅。它能夠激發我的求知欲，讓我對函數方程這個領域産生更深的理解和興趣，即使我隻是一個初次涉足的讀者。

評分☆☆☆☆☆

這是一本非常吸引我的書，雖然我並非數學專業的學生，但“函數方程”這個標題本身就充滿瞭探索的魅力。我之前接觸過的數學概念，大多局限於中學時代的代數、幾何和一些基礎的微積分。對於“方程”的理解，通常是求齣未知數的值，而“函數方程”聽起來則像是更為復雜的“方程”，它可能涉及的不是單個的數值，而是整個函數的性質和它們之間的關係。 我非常好奇書中會如何引導我理解“函數方程”的本質。它會從最基礎的概念講起嗎？會不會通過一些直觀的圖示來幫助我理解抽象的數學語言？我希望作者能夠像一位耐心的嚮導，帶領我一步步走進這個未知的領域，而不是直接拋齣大量我無法理解的公式和定理。 我希望這本書能夠給我帶來一些“原來如此”的時刻。例如，當它解釋某個函數方程時，我能從中聯想到一些熟悉的現象，比如自然界的生長規律，或者物理世界的運動軌跡。如果書中能提供一些實際的例子，說明函數方程是如何被用來建模和解決現實問題的，那將是非常有價值的。比如，在預測天氣、分析股票市場，甚至是在生物學研究中，函數方程又扮演著怎樣的角色？ 我也期待書中能有一些巧妙的解題方法。我喜歡看到那些充滿智慧的解決方案，它們能讓我感受到數學的邏輯之美和創造性。即使我無法完全復現這些解法，但瞭解它們是如何被發現和應用的，也能極大地激發我的學習興趣。我希望這本書能讓我對數學的認識從“計算”提升到“理解”和“創造”。

評分☆☆☆☆☆

我是一名對數學抱有濃厚興趣的非專業人士，偶然間看到瞭這本《函數方程及其解法》。這個標題本身就對我有著巨大的吸引力，因為它暗示著一種更深層次的數學結構和解決問題的方式。我一直認為，數學不僅僅是枯燥的數字和符號，更是一種思考問題、解決問題的工具和語言。 在我的認知裏，“方程”通常是指一些等式，需要我們找齣其中的未知數。而“函數方程”聽起來則更像是一種描述事物之間動態關係的數學模型，它可能不僅僅是求一個確定的值，而是去理解和把握這些關係的內在規律。我對此充滿瞭好奇，不知道書中會如何將這些抽象的概念解釋得清晰易懂。 我特彆期待書中能夠提供一些通俗易懂的例子，將函數方程與我們日常生活中能夠觀察到的現象聯係起來。比如，生物體的生長模型，人口的增長規律，或者一些物理現象的演變過程，這些是否都能用函數方程來描述？如果能看到數學如何“解釋”世界，我會感到非常興奮。 我希望這本書能夠為我打開一扇新的窗戶，讓我看到數學的另一麵。也許它會挑戰我原有的認知，讓我明白數學的深度和廣度遠超我的想象。我並不追求成為一個數學傢，但我希望通過閱讀這本書，能夠對函數方程有一個初步的、感性的認識，理解它的重要性和它的魅力所在。 我也希望這本書能夠啓發我以一種全新的方式去思考問題，學會用數學的邏輯和方法去分析和解決生活中的挑戰。即使其中的一些理論對我來說過於深奧，但隻要能讓我感受到數學的智慧和力量，我便認為這是一次非常有價值的閱讀體驗。

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Small曾任加拿大IMO教練

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好

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