流形上的特征值问题（英文版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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毛井，杜锋，吴传喜 著

图书标签:

• Eigenvalues
• Manifolds
• Differential Geometry
• Spectral Theory
• Partial Differential Equations
• Mathematical Analysis
• Topology
• Functional Analysis
• Geometric Analysis
• Harmonic Analysis

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030525680

版次：31

商品编码：12081757

包装：平装

开本：32开

出版时间：2017-05-01

页数：188

正文语种：中文

内容简介

本专著拟介绍黎曼流形有界连通区域上几类自伴随椭圆算子的特征值问题。通过进一步地拓展黎曼几何里经典的体积比较定理，导出了线性Laplace算子与非线性p-Laplace算子的Dirichlet特征值问题下**非零特征值的比较定理，对于Steklov特征值问题，同样可以得到**非零特征值的比较定理，这些结论极大地推广了已有的经典结果；通过更好地构造指定流形上的测试函数

目录

Chapter 1 Introduction

Chapter 2 Eigenvalue comparison theorems
2.1 Basic notions and the geometry of spherically symmetric manifolds
2.2 A generalized eigenvalue comparison theorem for manifolds with radial Ricci curvature bounded from below
2.3 A generalized eigenvalue comparison theorem for manifolds with radial sectional curvature bounded from above
2.4 Properties of the model manifolds
2.5 Examples
2.6 A criterion for the existence of the model spaces
2.7 Estimates for the heat kernel
2.8 A Cheng-type isoperimetric inequality for the p-Laplace operator and a spectral result for the model spaces
2.9 Proof of Theorem 2.3 4
2.1 0Estimates for the first eigenvalue of the p-Laplacian

Chapter 3 Estimates for lower eigenvalues
3.1 Reilly-type inequalities for the first nonzero closed eigenvalue of the p-Laplacian
3.2 Isoperimetric bounds for the first eigenvalue of the p-Laplacian
3.3 Isoperimetric bounds for the first eigenvalue of the Paneitz operators
3.4 Lower bounds for the first eigenvalue of four kinds of eigenvalue problems of the bi-drifting Laplacian

Chapter 4 Universal Inequalities
4.1 Universal inequalities of the clamped plate problem of the drifting Laplacian
4.1.1 Recent developments for universal inequalities of the clamped plate problem
4.1.2 The clamped plate problem of the drifting Laplacian
4.1.3 Universal inequalities for the clamped plate problem of the drifting Laplacian
4.1.4 Universal inequalities on the Gaussian shrinking soliton
4.2 Universal inequalities for the buckling problem of the drifting Laplacian
4.2.1 Recent developments for universal inequalities of the buckling problem
4.2.2 The buckling problem of the drifting Laplacian
4.2.3 A general inequality on the Ricci solitons
4.2.4 Universal inequalities in a bounded domain on Ricci solitons
4.3 Further study
4.3.1 Some interesting conjectures
4.3.2 Some Problems

Chapter 5 Open problems
5.1 Spectral problem concerning quantum strips and quantum layers
5.2 Connection between curvature flows and eigenvalue problem
5.3 Eigenvalue problem in Finsler geometry
Appendix A Warped products
Bibliography

几何、分析与计算的交汇点：一览现代数学前沿 导言：在抽象与应用之间架起桥梁 本书旨在深入探索现代数学的几个核心领域——微分几何、泛函分析以及计算方法——它们在处理复杂系统和高维数据时所展现出的强大结合力。我们聚焦于那些植根于几何结构之上的分析问题，特别是那些源于物理学、工程学以及数据科学中的关键挑战。全书的叙事线索围绕着特征值问题的普遍性展开，但我们着重于将这些问题置于更广阔的数学框架内进行审视，尤其是在非欧几里得空间和无限维结构中。 本书的读者群体设定为具有扎实微积分基础、初步接触过线性代数和拓扑学的研究生、研究人员以及高年级本科生。我们避免了对“流形上的特征值问题”这一特定主题的直接讨论，转而构建一个更基础、更具普适性的分析工具箱，为读者理解该特定领域（以及许多其他相关领域）打下坚实的基础。 --- 第一部分：基础框架的重塑——从欧几里得到抽象空间 本部分致力于为后续的复杂讨论奠定严格的分析基础，重点是超越有限维线性代数和欧几里得几何的限制。 第一章：拓扑空间与度量结构的回顾与深化 我们从对拓扑空间进行一次严谨的回顾开始，强调收敛性、紧致性和连通性在分析中的核心地位。随后，我们将深入探讨各种度量空间的构造及其性质，特别是赋范向量空间和巴拿赫空间。讨论将涉及等距变换的概念，及其在保持空间几何结构方面的作用。我们还将引入测度论的基础，重点关注勒贝格积分理论，将其作为处理无限维积分问题的关键工具。 第二章：泛函分析的核心概念 本章是连接有限维直观与无限维严谨性的桥梁。我们将详尽阐述线性算子的有界性与连续性。核心内容包括开映射定理、闭图像定理和Hahn-Banach定理，这些是构造和证明许多重要结果的基石。随后，我们将详细分析自伴算子（或称厄米特算子）的性质，即使在非希尔伯特空间中，我们也会探讨其广义的谱理论预备知识，例如通过有界算子的范数收敛性来逼近复杂的无限维对象。 第三章：微分几何的语言：切空间与张量 为理解曲率和非线性结构，我们需要一套新的语言。本章引入光滑流形的概念，重点讲解切空间的构造及其在每一点上作为线性空间的意义。我们将定义向量场和微分形式，并利用外微分的结构来阐述微分几何中的基本不变量。张量场（如度量张量）的定义及其在坐标变换下的行为将得到深入分析，为后续的拉普拉斯算子在弯曲空间上的推广做好准备。 --- 第二部分：线性算子的谱理论——从矩阵到算子 本部分将特征值问题的概念提升到无限维的背景下，研究算子谱的本质结构。 第四章：希尔伯特空间与紧算子 本书将希尔伯特空间视为处理自伴算子的标准平台。我们详细讨论内积空间的完备化过程。核心内容在于紧算子（Compact Operators）的性质，它们在某种意义上是无限维空间中“最像”有限维矩阵的对象。我们将证明著名的谱定理的有限维版本，并探讨紧算子谱的离散性特征。 第五章：无界自伴算子的谱理论 处理微分方程（如扩散方程）的生成元，我们不可避免地会遇到无界自伴算子。本章是分析严谨性的关键。我们将介绍解析演算和谱测度的概念，这是定义无界算子函数和理解其谱结构的标准方法。我们将严格论证自伴算子在希尔伯特空间上的谱分解定理，强调谱的实值性，以及由此带来的物理意义（如能量本征值）。 第六章：椭圆型算子的性质与正则性 本章关注微分算子在光滑函数空间上的作用。我们将重点分析二阶线性常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）的椭圆型算子，如拉普拉斯算子。讨论将侧重于解的正则性（Smoothness）——为什么解会比驱动项更光滑。这需要引入索博列夫空间的概念，作为处理具有弱导数的函数的必要工具，为分析边界条件下的解奠定基础。 --- 第三部分：数值方法与近似技术 理论分析为我们提供了存在的证明和性质，但实际应用往往依赖于有效的计算方法。本部分探讨如何将抽象的无限维问题转化为可计算的有限维问题。 第七章：变分法与瑞利-里茨方法 许多分析问题可以重述为变分原理。本章介绍最小能量原理在寻找特征函数（本征函数）中的应用。我们将详述瑞利-里茨（Rayleigh-Ritz）方法：如何利用一组测试函数（基函数）将无限维的最小化问题投影到有限维的子空间上，从而得到近似的特征值和特征向量。这一方法的核心在于基函数的选择和投影误差的估计。 第八章：离散化误差的分析 将连续问题离散化不可避免地引入误差。本章侧重于分析离散化误差的量级。我们将考察有限元方法的原理，重点分析网格细化对解的收敛速度的影响，特别是关于插值误差和能量范数中的误差界。对于特征值问题，误差估计尤为精细，我们将探讨特征值收敛的速率——它通常比特征函数的收敛速率要快得多。 第九章：迭代法与大尺度系统 当离散化后的矩阵规模巨大时，直接求解变得不可行。本章介绍迭代求解器。我们将分析幂迭代法及其在寻找最大特征值时的应用，并深入探讨子空间迭代法和Lanczos/Arnoldi算法，这些方法专为高效地提取大型稀疏矩阵的少量特征对而设计。收敛条件和预处理技术（Preconditioning）的引入，是加速这些迭代算法的关键。 --- 结语：从算子到应用 本书通过几何直觉、严格分析和高效计算三个维度，全面地考察了抽象数学框架下的特征值问题及其相关结构。虽然我们未直接探讨流形上的具体几何构造，但本书提供的工具——特别是关于拓扑空间中的算子谱理论和变分方法的数值实现——是深入理解任何嵌入式、弯曲空间或高维数据结构中特征值问题的必备知识。读者将能够熟练地运用泛函分析的工具来理解物理系统的本征模式，并利用现代数值技术来计算这些复杂系统中的关键参数。

评分☆☆☆☆☆

作为一名潜心研究偏微分方程的学生，我一直以来都对算子理论在不同数学框架下的行为感到好奇。这本书《流形上的特征值问题》（英文版）恰好满足了我对这一领域深入探索的渴望。作者以一种非常系统化的方式，从流形的基本拓扑和几何性质出发，逐步构建起研究特征值问题的数学基础。书中对各种类型的算子，比如柯西-黎曼算子、狄拉克算子等在流形上的行为进行了细致的分析，并深入探讨了它们与流形上一些重要的几何量（如曲率）之间的深刻联系。我特别喜欢书中对一些经典问题的现代解读，比如如何利用算子谱来研究流形的刚性以及分类问题。尽管有些章节涉及非常高深的分析技巧，但作者的讲解思路清晰，论证严谨，让我能够一步步跟随他的思路，理解每一个证明的核心要点。这本书无疑为我理解更复杂的微分几何和分析问题提供了坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

对于我这样长期沉浸在工程应用领域的研究者来说，接触《流形上的特征值问题》（英文版）纯属偶然，却意外地带来了巨大的启发。书中并非仅仅停留在理论的象牙塔，而是将流形上的特征值问题与一些实际工程中的挑战性问题巧妙地结合。我惊喜地发现，书中对于如何利用流形上的拉普拉斯算子以及其他相关算子的特征值来分析物理系统的稳定性、模态分析甚至信号处理中的一些复杂现象，都进行了深入的探讨。作者的叙述风格非常注重清晰性和逻辑性，即使是在处理高度抽象的数学概念时，也努力用直观的语言和恰当的比喻来辅助理解。我尤其对书中关于“谱图论”（spectral graph theory）在现代数据分析和机器学习中的应用部分印象深刻，这让我看到了数学理论如何能够直接转化为解决现实世界问题的强大工具。这本书的价值在于，它不仅在学术上提供了严谨的理论支撑，更在实际应用层面展现了无限的可能性。

评分☆☆☆☆☆

老实说，在拿到这本《流形上的特征值问题》（英文版）之前，我对“流形”这个词的理解还停留在几何学课本上的模糊印象。然而，这本书以一种令人耳目一新的方式，将这个抽象的概念与一系列实际的数学物理问题紧密联系起来，让我大开眼界。作者在开篇就巧妙地引入了一些经典的例子，比如黎曼几何中的一些基本不变量与算子特征值之间的关系，以及在微分几何中如何利用特征值来刻画流形的几何性质。我特别欣赏作者在介绍基本概念时所展现的清晰度，尽管数学语言本身是高度精确和抽象的，但作者通过精心的组织和逻辑铺陈，使得即便是一些初学者也能循序渐进地理解。书中对一些关键定理的论证过程，虽然对我而言颇具挑战性，但其逻辑链条的严谨性让我深受启发。我相信，对于那些在几何分析、偏微分方程、甚至理论物理领域深耕的研究者而言，这本书将是一部不可多得的参考宝典，它提供了一种全新的视角来理解和解决那些看似棘手的问题。

评分☆☆☆☆☆

偶然间翻阅到这本《流形上的特征值问题》（英文版），我被其封面所吸引，随后便一头扎进了它那充满挑战却又引人入胜的数学世界。本书不仅仅是关于抽象数学理论的堆砌，更像是一条连接数学与物理、几何与分析的桥梁。我被书中对流形上算子谱的深入分析所深深吸引，特别是作者如何利用特征值来刻画流形的全局性质，例如它的连通性、同调性以及拓扑不变量。书中对例如“热核”（heat kernel）的谱性质的研究，以及它与流形几何的联系，让我看到了数学的深度与广度。即使我不是该领域的专业人士，但作者严谨的逻辑和清晰的表述，让我对这些复杂的概念产生了浓厚的兴趣。我相信，对于任何对现代数学和理论物理的交叉领域感兴趣的人来说，这本书都是一本不可多得的珍贵读物，它能够激发思考，拓宽视野，并提供解决问题的全新思路。

评分☆☆☆☆☆

这本《流形上的特征值问题》（英文版）的封面设计就充满了学术的严谨与前沿的探索感，深邃的蓝色背景搭配几何感极强的流形图案，让人立刻感受到这是一本在数学领域深耕的著作。翻开书页，扑面而来的是一种挑战智识的愉悦。我并非该领域的专家，但作为一个对数学物理交叉领域抱有浓厚兴趣的爱好者，我尝试着去理解书中的概念。序言部分就清晰地阐述了研究的背景和重要性，将抽象的流形概念与具体的物理现象联系起来，比如量子力学中的能谱问题，以及一些在偏微分方程中出现的奇异性分析。作者并没有回避数学的深度，而是以一种系统性的方式，逐步引导读者深入到复杂的理论框架中。尽管我还需要借助大量的辅助资料和时间来消化其中的定理和证明，但每当我理解到一个小的概念，都能体会到数学的强大和美妙。这本书的出现，无疑为那些希望跨越纯数学和应用数学鸿沟的研究者和学生提供了一个宝贵的平台，也为我这样渴望拓宽视野的读者打开了一扇新的窗户。