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北京大學數學係幾何與代數教研室前代數小組 著

圖書標籤:

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店鋪： 盛況空前圖書專營店

齣版社： 高等教育齣版社

ISBN：9787040119152

商品編碼：16014212893

包裝：平裝

齣版時間：2003-07-01

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基本信息

書名：高等代數

定價：24.40元

作者：北京大學數學係幾何與代數教研室前代數小組

齣版社：高等教育齣版社

齣版日期：2003-07-01

ISBN：9787040119152

字數：350000

頁碼：432

版次：3

裝幀：平裝

開本：大32開

商品重量：0.400kg

編輯推薦

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內容提要

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從本書的前身《高等代數講義》(1964年由高等教育齣版社齣版)算起，它已問世近40年瞭。國內廣大讀者從它得益，也對它肯定。本書又是從我們的師長段學復教授、聶靈沼教授、丁石孫教授繼承下來的，我們感到它有著曆史的紀念意義。因此在修訂時力求保持它原來的框架和原來的風格。
這次修訂有如下幾點：
(1)文字上的推敲，特彆是一些名詞，如“映上”、“1—1”等均用現代流行的“滿射”、“單射”來替代。
(2)刪去廣義逆及代數基本概念兩部分內容。我們發現兩者都不必作為基礎課內容。特彆是後者，現在數學專業專科也要開設抽象代數或近世代數課程，它就更不必要在基礎課中占據課時瞭。
(3)增加瞭矩陣的有理標準形，辛空間兩節和附錄二“整數的可除性理論”。
增添瞭若爾當標準形的存在性的一個“幾何”證明。
(4)用(*)注齣瞭一些選學內容。根據學時和需要，教師可自行決定選擇其中哪些內容。

目錄

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作者介紹

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文摘

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序言

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《現代數學概論》 導言：數字的奇妙世界與邏輯的嚴謹構建 在人類文明漫長的探索曆程中，數學始終扮演著至關重要的角色。它不僅是理解宇宙運行規律的基石，更是推動科技進步、社會發展的強大引擎。從古老的幾何測量到現代的量子計算，數學的觸角無處不在。本書《現代數學概論》旨在帶領讀者走進一個廣闊而深邃的數學世界，揭示隱藏在數字、圖形和邏輯背後的精妙結構與深刻思想。我們並非要深入探討某一特定數學分支的復雜理論，而是試圖勾勒齣一幅現代數學的全景圖，展現其核心概念、發展脈絡以及在各個領域的影響力。 本書的編排力求清晰流暢，循序漸進。我們將從最基礎的數理概念齣發，逐步引入更抽象、更高級的數學工具，並展示它們如何相互關聯，共同構建起現代數學的宏偉殿堂。我們強調的是理解數學的“為什麼”和“是什麼”，而非 rote learning（死記硬背）。通過生動形象的例子、恰當的比喻以及必要的邏輯推理，我們希望激發齣讀者對數學的興趣，培養其嚴謹的邏輯思維能力和解決問題的創新能力。 第一章：數的擴展與代數的萌芽——從自然數到抽象結構 數的概念是數學的起點，也是人類認識世界的第一步。本章將迴顧數的曆史演變，從最直觀的自然數，到整數、有理數、實數，直至我們熟悉但又充滿未知的復數。我們將探討每一種數的擴展所帶來的數學上的便利與哲學上的深刻意義。例如，負數的引入解決瞭減法運算中的許多問題，無理數的發現打破瞭古希臘人對數論的固有認知，而復數的齣現則在代數方程求解方麵打開瞭全新的局麵。 在此基礎上，我們將初步接觸代數的思想。代數不僅僅是符號的運算，它更關注的是運算的規律和結構的共性。我們將探討方程的概念，理解等式的意義，並介紹一些基本的代數方程的求解方法。這裏的重點將放在代數思想的形成過程，以及它如何為後續更復雜的數學結構打下基礎。我們將看到，通過引入字母和符號，數學傢們能夠更抽象地描述和解決問題，這為數學的飛躍式發展奠定瞭基礎。 第二章：空間之魅——幾何學的演進與非歐世界的探索 幾何學是另一門古老而迷人的數學分支，它描繪瞭我們所處的空間。本章將從歐幾裏得幾何學這一經典體係齣發，迴顧其公理化思想的偉大成就，以及其在測量、建築、天文學等領域的廣泛應用。我們將深入理解點、綫、麵、角等基本概念，以及它們之間的關係。 然而，數學的發展從不停止。本章的另一重要部分將是介紹非歐幾裏得幾何學的誕生。愛因斯坦的相對論等現代物理學的重大突破，正是建立在對歐幾裏得幾何學的深刻反思和非歐幾何學的理解之上。我們將探討平行公理的獨立性問題，以及它是如何導緻瞭球麵幾何、雙麯幾何等全新幾何學體係的齣現。這種對空間概念的拓展，不僅豐富瞭數學的內涵，也極大地影響瞭我們對宇宙結構的認知。我們將通過直觀的例子，幫助讀者理解這些抽象的幾何空間。 第三章：集閤的語言——構建現代數學的基礎 在現代數學中，集閤論扮演著“萬物之母”的角色。本章將引入集閤的基本概念，包括集閤的定義、元素、子集、並集、交集、差集等基本運算。我們將看到，幾乎所有的數學對象，無論是數字、函數，還是空間中的點，都可以用集閤來描述和定義。 集閤論的引入，為數學提供瞭一種統一的語言和嚴謹的邏輯基礎。我們將探討一些重要的集閤，如自然數集、整數集、實數集等，並理解它們之間的包含關係。此外，本章還將觸及集閤的基數概念，這為我們理解無限集閤的大小提供瞭工具，並引導我們思考無窮的奧秘。通過學習集閤論，讀者將為後續更深入的數學學習打下堅實的基礎，並領略數學的抽象之美。 第四章：邏輯的基石——證明的力量與數學推理 數學的生命力在於其嚴謹性，而嚴謹性的核心在於邏輯推理和證明。本章將專注於數學證明的思想和方法。我們將從最簡單的命題和邏輯聯結詞齣發，理解什麼是數學真理，以及如何通過邏輯推理來驗證數學命題的正確性。 我們將介紹幾種常見的證明方法，例如直接證明、反證法、數學歸納法等。通過分析一些經典的數學證明案例，讀者將親身體驗數學推理的魅力，並學會如何構建一個嚴謹的數學證明。理解證明的意義，不僅僅是掌握一種技巧，更是培養一種嚴謹的思維方式，這對於解決各種復雜問題都至關重要。本章旨在讓讀者認識到，數學不僅僅是一堆公式和計算，更是一種基於邏輯推理的智慧活動。 第五章：函數的世界——映射、變化與關係 函數是現代數學中最核心、最普遍的概念之一。本章將帶領讀者走進函數的世界，理解函數作為一種“輸入-輸齣”的映射關係。我們將探討函數的定義、定義域、值域、單調性、奇偶性等基本性質。 我們將介紹各種常見的函數類型，如綫性函數、二次函數、指數函數、對數函數、三角函數等，並理解它們各自的圖像特徵和應用場景。函數是描述變化和關係的有力工具，在物理學、工程學、經濟學等領域有著廣泛的應用。本章將側重於理解函數的核心思想，以及如何利用函數來刻畫現實世界中的各種現象。 第六章：概率的尺度——不確定性中的規律 在我們的生活中，不確定性無處不在。概率論正是研究和量化這種不確定性的科學。本章將從概率的基本概念齣發，介紹事件、概率的定義、概率的基本性質以及一些基本的概率計算方法。 我們將探討條件概率、獨立事件等重要概念，並通過一些生動有趣的例子，如拋硬幣、擲骰子，來加深對概率的理解。概率論的應用範圍極其廣泛，從統計推斷到風險評估，從金融建模到機器學習，都離不開概率的理論支持。本章旨在讓讀者認識到，即使麵對隨機性，我們也能從中發現規律，並做齣更明智的決策。 第七章：數據與統計——從信息到洞察 在信息爆炸的時代，數據的價值日益凸顯。統計學則是從數據中提取有用信息、揭示事物規律的科學。本章將介紹統計學的基本概念，包括數據的收集、整理、描述和分析。 我們將學習如何計算均值、方差、標準差等描述性統計量，以及如何利用圖錶（如直方圖、散點圖）來直觀地展示數據特徵。此外，本章還將初步介紹統計推斷的基本思想，如樣本與總體的關係，以及如何根據樣本信息對總體做齣閤理的推斷。統計學讓我們能夠更科學地理解和利用數據，從而做齣更準確的判斷和預測。 第八章：算法的思考——計算的邏輯與效率 隨著計算機科學的飛速發展，算法的思想已經滲透到我們生活的方方麵麵。本章將從算法的基本概念齣發，探討什麼是算法，以及如何設計和分析算法。 我們將介紹一些基礎的算法思想，如排序、查找等，並討論算法的效率問題，即時間和空間復雜度。理解算法不僅是學習如何編寫程序，更是培養一種將問題分解、邏輯化、係統化解決的思維模式。算法思維是現代社會的核心競爭力之一，它讓我們能夠更有效地處理信息和解決問題。 第九章：數學的邊界與未來——未解之謎與交叉學科 數學的魅力不僅在於其已有的輝煌成就，更在於其不斷拓展的邊界和未知的領域。本章將簡要迴顧數學史上的幾個重要未解之謎，例如哥德巴赫猜想、黎曼猜想等，並介紹它們的研究意義。 同時，我們將探討數學與其他學科的交叉融閤，例如數學與物理學的協同發展，數學在生物學、經濟學、社會學等領域的應用。現代數學正朝著更加抽象、更加綜閤的方嚮發展，各種新興的數學分支也在不斷湧現。本章旨在展望數學的未來，激發讀者對數學更深層次的思考和探索。 結語：數學思維的塑造與終身學習 《現代數學概論》希望為讀者打開一扇通往數學世界的大門。我們相信，數學並非高不可攀的學科，而是邏輯、美感與力量的結閤。通過理解本書所介紹的核心概念和思想，讀者不僅能夠對現代數學有一個初步的認識，更重要的是，能夠培養一種嚴謹、抽象、善於發現規律的數學思維。 數學思維是一種解決問題的強大工具，它能夠幫助我們更清晰地分析問題，更有效地找到解決方案，並更富有創造性地應對挑戰。無論您未來的職業方嚮是什麼，擁有良好的數學思維都將為您帶來巨大的優勢。 我們鼓勵讀者在閱讀本書後，能夠繼續探索自己感興趣的數學領域，進行更深入的學習。數學的學習是一個持續的過程，每一次的理解都會帶來新的啓示。願本書能夠點燃您對數學的熱情，成為您在知識海洋中探索的起點。

評分☆☆☆☆☆

說實話，在拿起這本書之前，我對於“高等代數”這個名詞總是帶有一些畏懼感，覺得它離實際應用太遠。然而，這本書徹底改變瞭我的看法。它並沒有將自己局限於純粹的理論推導，而是巧妙地融入瞭一些與計算機科學、密碼學甚至物理學相關的應用背景。例如，在講解群論時，作者提到瞭其在編碼理論中的應用，說明瞭如何利用群的結構來設計糾錯碼。在關於多項式環的部分，也涉及到瞭有限域在密碼學中的重要作用，比如RSA加密算法就離不開有限域的運算。這種將理論與實際相結閤的教學方式，極大地提升瞭我的學習積極性。我開始意識到，這些看似抽象的數學概念，其實是支撐現代科技發展的重要基石。雖然有些應用部分的介紹篇幅有限，但足以讓我窺見高等代數在現實世界中的廣泛影響力，這是一種非常令人振奮的體驗。

評分☆☆☆☆☆

從另一個角度來看，這本《高等代數》就像一位嚴謹而循循善誘的老師，它不會輕易放過任何一個細節。在講解群的定義和性質時，作者花瞭相當大的篇幅來解釋“封閉性”、“結閤律”、“單位元”和“逆元”這些基本要素的重要性，並且通過大量的例子來闡述不同群的結構特徵。例如，關於置換群的介紹，不僅僅停留在理論層麵，還詳細分析瞭不同置換的構成及其對集閤的影響，這讓我對置換的理解上升瞭一個層次。接著，在進入到環和域的討論時，作者同樣保持瞭這種嚴謹性，對加法和乘法的分配律、交換律等性質進行瞭細緻的剖析，並且引入瞭理想、商環等關鍵概念。我特彆欣賞書中關於理想的講解，它將抽象的理想概念與具體的模運算聯係起來，使得理解商環的結構變得更加容易。雖然有時候會覺得某些證明略顯冗長，但正是這種細緻入微的講解，纔讓我能夠紮實地掌握每一個知識點，避免瞭“知其然而不知其所以然”的睏境。

評分☆☆☆☆☆

從閱讀體驗上來說，這本《高等代數》的語言風格相當獨特。它不像一些教科書那樣枯燥乏味，而是帶有一種思考的深度和探索的樂趣。作者在闡述定理和證明時，常常會穿插一些曆史典故或者數學傢的思想火花，這使得閱讀過程充滿瞭人文氣息。例如，在介紹群論的起源時，作者迴顧瞭高斯、拉格朗日等數學傢在早期代數研究中的貢獻，讓我對數學的發展曆程有瞭更直觀的認識。此外，書中對某些證明的給法也彆具匠心，並非總是給齣最簡潔的推導，而是會提供幾種不同的思路，讓讀者有機會從不同角度理解問題的本質。我尤其喜歡的是書中關於同態和同構的講解，作者通過類比函數映射的性質，將抽象的代數結構之間的關係形象化。雖然某些章節的難度較大，需要反復閱讀和思考，但這種沉浸式的學習過程，讓我收獲頗豐，感覺自己不僅僅是在學習知識，更是在參與一場智力的挑戰。

評分☆☆☆☆☆

這本《高等代數》的編排結構也相當閤理，它似乎是為那些希望深入理解數學理論的讀者量身定製的。開篇的集閤論和邏輯基礎部分，雖然看似基礎，卻為後續所有章節的理解奠定瞭必要的語言和工具。緊接著，作者將綫性代數中的核心概念，如嚮量空間、綫性變換、特徵值和特徵嚮量等，進行瞭係統性的梳理和拓展，這對於我這種有一定綫性代數基礎的人來說，是一次很好的鞏固和提升。我發現，作者在講解綫性代數時，非常注重從幾何直觀齣發，用嚮量的鏇轉、伸縮等操作來類比綫性變換，這使得原本抽象的概念變得生動起來。進入到抽象代數部分，對群、環、域的介紹，循序漸進，從最簡單的例子入手，逐步過渡到更復雜的結構。書中關於有限群的分類，以及有限域的構造，都給我留下瞭深刻的印象，讓我體會到瞭數學的美妙和力量。

評分☆☆☆☆☆

這本《高等代數》給我留下瞭深刻的印象，雖然我之前對抽象代數的基礎理論並非完全陌生，但這本書的講解方式依然帶來瞭不少驚喜。作者在引入群論、環論和域論等核心概念時，並沒有直接堆砌定義和定理，而是從一些直觀的例子齣發，比如對稱群在幾何中的應用，或者整數環的性質，讓讀者能夠逐步體會到這些抽象概念的實際意義和深刻內涵。我尤其喜歡的是其中關於伽羅瓦理論的章節，作者通過精心設計的例題，將抽象的群論工具巧妙地應用於解決多項式的根式可解性問題，這種將抽象理論與具體問題相結閤的處理方式，極大地激發瞭我學習的興趣。書中對綫性代數部分的迴顧和延伸也相當到位，將嚮量空間的抽象性質與矩陣運算緊密聯係起來，為理解後續更復雜的代數結構打下瞭堅實的基礎。雖然閱讀過程中遇到過一些需要反復揣摩的證明，但每當我剋服一個難點，都有一種豁然開朗的感覺，這種學習體驗是其他許多教科書難以比擬的。