數學·統計學係列：近代拓撲學研究 [Modern Topology Research] pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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[美] 希爾頓 等 著，林聰源 譯

圖書標籤:

• 拓撲學
• 近代拓撲學
• 數學
• 統計學
• 研究
• 代數學
• 幾何學
• 高等數學
• 數學研究
• 現代數學

齣版社： 哈爾濱工業大學齣版社

ISBN：9787560339153

版次：1

商品編碼：11312405

包裝：平裝

外文名稱：Modern Topology Research

開本：16開

齣版時間：2012-12-01

用紙：膠版紙

頁數：168

正文語種：中文

內容簡介

　　《數學·統計學係列：近代拓撲學研究》主要是對近代拓撲學的研究，《數學·統計學係列：近代拓撲學研究》一共分為5章，第1章主要講述瞭麯綫是什麼，第2章列舉瞭3維流形中麯麵的一些研究成果，第3章主要講述瞭半單純同倫理論，第4章為代數拓撲學之函子，第5章介紹瞭可微分流形上的幾何理論。

目錄

引言
第1章 麯綫是什麼
1.1 引言
1.2 古典觀念
1.3 維數、弧、麯麵、立體的一般定義
1.4 一些簡單形式的弧
1.5 拓撲分析上的解析麯綫
1.6 結語
參考資料

第2章 3維流形中麯麵的一些研究成果
2.1 引言
2.2 Heegaard麯麵及3維流形中之非可壓縮麯麵
2.3 半綫性觀點
2.4 非可壓縮麯麵上的有限性定理
2.5 應用1：開同倫3維胞腔上的一個猜想
2.6 應用2：3維流形的胞腔分解
2.7 不可壓縮的2度圓球殼及Heegaard麯麵
參考資料

第3章 半單純同倫理論
3.1 基礎
3.2 擬幾何同倫理論
3.3 實現論
3.4 Moore-Postnikov係統
3.5 群復閤形
3.6 可換群復閤形
3.7 同調與同倫間的關係
3.8 Hi1ton及Mi1nor的一個定義
參考資料

第4章 代數拓撲學之函子
4.1 同倫論／
4.2 同調及餘同調
4.3 同調及餘同調之進一步性質
參考資料

第5章 可微分流形上的幾何理論
5.1 引言
5.2 可微分流形中的一些基本定義
5.3 嚮量叢理論的復習
5.4 Thom氏貫截性定理
5.5 Thom氏貫截性定理的一些推廣及應用
5.6 Thom氏餘邊界理論
5.7 流形上之Morse函數理論
5.8 餘邊界及Morse理論
參考資料
編輯手記

數學·統計學係列：近代拓撲學研究 [Modern Topology Research] 圖書簡介 一部深入探索現代拓撲學前沿與核心概念的權威著作 本書籍《數學·統計學係列：近代拓撲學研究 [Modern Topology Research]》是一部麵嚮高等院校數學專業本科高年級學生、研究生以及從事相關領域研究的數學工作者的高級專題性學術著作。它旨在係統梳理並深入剖析近代拓撲學自二十世紀中葉以來所取得的關鍵性進展、核心理論框架以及在現代數學中的戰略地位。 本書的編寫立足於嚴謹的數學基礎，但其視角著眼於拓撲學在當代研究中的前沿動態與交叉領域應用。全書結構清晰，邏輯遞進，旨在幫助讀者構建起對現代拓撲學深層次、多維度的理解。 第一部分：基礎迴溯與現代視角的重構 雖然本書聚焦於“近代”研究，但其開篇部分並未簡單重復初等拓撲學的基本定義，而是以一種批判性的視角對經典點集拓撲學（General Topology）進行瞭迴顧和提煉。重點在於識彆齣在現代代數拓撲學（Algebraic Topology）和微分幾何（Differential Geometry）中需要被深化和推廣的核心概念。 1. 拓撲空間的現代詮釋： 探討瞭緊緻性、連通性在不同構造下的行為，特彆是對局部緊緻性和$sigma$-緊緻性在函數空間和概率空間中的意義進行瞭深入討論。引入瞭現代泛函分析中對拓撲嚮量空間（Topological Vector Spaces）和巴拿赫空間（Banach Spaces）的拓撲性質的初步考察，強調瞭拓撲結構在無限維空間分析中的基礎性作用。 2. 縴維叢與流形基礎的代數化轉嚮： 重新審視瞭光滑流形（Smooth Manifolds）的概念，但重點轉嚮瞭如何利用代數工具（如張量代數）來刻畫流形上的光滑結構，為後續討論的微分拓撲學奠定基礎。引入瞭微分形式（Differential Forms）的初步概念，強調其作為研究流形拓撲不變量的潛力。 第二部分：代數拓撲學的深化與核心不變量的構建 本部分是全書的核心，係統闡述瞭代數拓撲學中用於量化拓撲空間的“洞”和“連通性”的結構化工具。本書避免瞭對同倫群（Homotopy Groups）的冗長計算介紹，而是專注於其更深層次的代數性質和應用。 3. 同調理論的完備性與對偶性： 奇異同調與Cech同調的比較： 詳細分析瞭奇異同調（Singular Homology）與Cech同調在一般拓撲空間下的等價性證明及其技術難度。重點討論瞭相對同調（Relative Homology）在處理邊界問題中的關鍵作用。 拓撲不變量的構建： 深入探討瞭馬耶-維托裏斯序列（Mayer-Vietoris Sequence）的強大構造能力，並展示其如何成為計算復雜拓撲空間（如球麵、環麵）同調群的基石。 對偶性理論： 詳述龐加萊對偶性（Poincaré Duality）在流形上的嚴格錶述及其在連接同調與上同調（Cohomology）中的核心地位。引入瞭上同調環（Cohomology Ring）的概念，展示瞭如何通過乘法結構捕獲更精細的拓撲信息。 4. 同倫理論與縴維化結構： 縴維叢與截麵問題： 深入研究瞭主縴維叢（Principal Fiber Bundles）和嚮量叢（Vector Bundles）的構造，重點分析瞭歐拉類（Euler Class）和斯蒂費爾-惠特尼類（Stiefel-Whitney Classes）作為叢的拓撲特徵類（Characteristic Classes）是如何從代數拓撲結構中自然湧現的。 Hurewicz同態與同倫群的消減： 考察瞭Hurewicz同態在連接同調與同倫群之間的橋梁作用，並討論瞭哪些空間（如CW復形）使得這一同態具有最優良的性質。 第三部分：微分拓撲學的焦點：幾何與分析的交匯 近代拓撲學的活力很大程度上來源於其與微分幾何和偏微分方程（PDEs）的深度融閤。本部分聚焦於這一交叉地帶的關鍵理論。 5. 微分流形上的微分拓撲： 莫爾斯理論（Morse Theory）： 詳細介紹莫爾斯理論的現代錶述，將其作為連接流形拓撲結構與函數極值點的強大工具。重點分析瞭臨界點（Critical Points）的類型以及莫爾斯同調（Morse Homology）作為同調理論的一種替代構造。 流形上的嚮量場與李群： 探討瞭李群（Lie Groups）作為具有內在光滑結構的拓撲空間的重要性，以及它們在描述對稱性時的核心作用。引入瞭李代數（Lie Algebras）與流形切空間（Tangent Spaces）的關係，為現代物理學中的規範場論奠定數學基礎。 6. 拓撲不變量的解析方法： 霍奇理論（Hodge Theory）： 本部分是解析拓撲學的巔峰之一。詳細闡述瞭霍奇分解（Hodge Decomposition）在凱勒流形（Kähler Manifolds）上的應用，展示瞭微分形式的拉普拉斯算子（Laplacian Operator）是如何揭示流形的幾何拓撲性質的。霍奇數（Hodge Numbers）被視為比傳統同調群更精細的幾何拓撲不變量。 指數定理的現代解讀（Atiyah-Singer Index Theorem）： 本書將指數定理視為連接全局拓撲（通過特徵類）和局部分析（通過橢圓算子）的裏程碑。詳細剖析瞭費曼-狄拉剋算子（Feynman-Dirac Operator）在流形上的構造，以及其指標如何直接對應於流形的拓撲特徵類。 第四部分：現代拓撲學的前沿探索與應用潛力 最後一部分展望瞭拓撲學在當代數學和理論物理中的最新應用方嚮，而非簡單羅列研究課題。 7. 論域拓撲與幾何的交織： 低維拓撲的進展： 簡要介紹三維流形（3-Manifolds）的幾何化猜想（Geometrization Conjecture）的背景，特彆是龐加萊猜想（Poincaré Conjecture）被證明後，對三維拓撲結構研究範式的轉變。 非交換幾何的拓撲視角： 從拓撲的角度審視非交換幾何（Noncommutative Geometry），探討如何將經典的拓撲空間概念推廣到由非交換代數定義的空間，以及這種推廣如何影響我們對幾何和空間的理解。 總結 《近代拓撲學研究》並非一本入門教材，它假設讀者已具備紮實的拓撲學和抽象代數基礎。本書的價值在於它提供瞭一個高屋建瓴的視角，將點集拓撲的嚴謹性、代數拓撲的結構性以及微分拓撲的分析性工具融會貫通，全麵展示瞭現代拓撲學作為連接數學各個分支的強大“語言”和“工具箱”的地位。它緻力於激發讀者對拓撲學深層結構和前沿問題的思考與探索。

評分☆☆☆☆☆

這本書的名字《數學·統計學係列：近代拓撲學研究》本身就透著一股子深邃和前沿的氣息。我一直對數學理論的“力量”充滿敬畏，尤其是那些能夠揭示事物本質規律的抽象學科。拓撲學，在我看來，就是這樣一門學科，它研究的是空間在連續變換下不變的性質，這種“不變性”的思想，總讓我覺得有一種哲學的韻味。而“近代研究”，則暗示瞭本書會涵蓋一些比較新的、甚至可能是當前數學界活躍的研究方嚮。我非常好奇，這本書會從什麼樣的角度切入，是會從基礎概念齣發，逐步構建起復雜的理論體係，還是會直接聚焦於幾個重要的研究領域進行深入剖析。我希望作者能夠用一種既嚴謹又不失邏輯性的方式，帶領我領略近代拓撲學的魅力。我尤其希望能在這本書中看到一些關於“黎曼麯麵”、“同胚”、“同倫”等概念的清晰闡釋，並且瞭解它們在現代數學中的重要地位。如果書中還能提及拓撲學與其他數學分支，如代數、分析、幾何之間的深刻聯係，那將是一場思想的盛宴。我期待這本書能夠拓展我的數學視野，讓我感受到數學的無限可能性。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，我選擇這本書，很大程度上是被它的書名所吸引。《數學·統計學係列：近代拓撲學研究》——這名字聽起來就充滿瞭一種探索未知的學術氣息。我一直認為，數學不僅僅是計算和解題，更是一種思想體係，它能夠幫助我們理解世界的本質。拓撲學，這個研究空間在連續形變下不變性質的學科，在我看來，是這種思想體係中非常獨特的一環。它似乎能夠超越具體的幾何形狀，關注更底層的“連接”和“結構”。“近代拓撲學研究”，這個詞組讓我聯想到瞭一些前沿的數學思想，比如同倫論、同調論、或者更抽象的微分拓撲和代數拓撲。我希望這本書能夠帶領讀者，從最基礎的拓撲概念開始，逐步深入到這些更復雜的理論，並且能夠清晰地闡述它們之間的內在聯係。我尤其期待書中能有一些曆史性的迴顧，介紹一些關鍵人物和關鍵定理的發現過程，這樣可以幫助我更好地理解這些理論是如何一步步發展起來的。同時，如果書中能夠提及拓撲學在解決實際問題中的應用，哪怕隻是理論上的指導意義，也會讓這本書的價值大大提升。我希望它能讓我對“空間”和“結構”有全新的認識。

評分☆☆☆☆☆

這本書的名字聽起來就挺硬核的，我一直對數學的抽象概念很感興趣，尤其是那些能夠連接不同數學分支的理論。近代拓撲學，聽起來就像是研究空間形狀和連接性的那種，感覺很深奧，又很有意思。我腦子裏會聯想到一些幾何形狀的變形，或者是一些奇特的空間結構，比如咖啡杯和甜甜圈為什麼拓撲上是等價的。這本書的標題“近代拓撲學研究”，讓我覺得它可能不是一本入門級的讀物，而是會深入探討一些現代拓撲學的核心概念和前沿進展。我特彆好奇它會介紹哪些具體的拓撲空間、哪些重要的定理，以及這些理論在數學的其他領域，比如代數幾何、微分幾何，甚至可能在物理學中有什麼樣的應用。我希望作者能夠用一種清晰但又不失嚴謹的方式來闡述這些復雜的概念，並且能夠給齣一些引人入勝的例子，讓我能夠更好地理解抽象的定義和定理。畢竟，拓撲學聽起來像是數學中的“橡皮泥”，能夠把形狀隨意拉伸扭麯，但又保持一些根本的性質不變，這種思想本身就很有魅力。我希望這本書能帶我走進這個迷人的數學世界，讓我看到數學邏輯的力量和美感。

評分☆☆☆☆☆

拿到這本《數學·統計學係列：近代拓撲學研究》的時候，我心裏其實是有點忐忑的。我一直覺得拓撲學是數學裏最“魔性”的一個分支，它不像代數那樣有明確的數字運算，也不像分析那樣有清晰的函數極限，它更多的是一種對“連續性”和“連通性”的抽象思考。書名裏的“近代”二字，更是暗示瞭這是一本會涉及比較新的理論和研究成果的著作。我個人對那種能夠提供全新視角、顛覆原有認知的數學理論尤其著迷，而拓撲學似乎正是這類理論的代錶。我希望這本書不僅僅是羅列公式和定理，更重要的是能夠講解這些理論的“來龍去脈”，它們是如何被發展齣來的，解決瞭一些什麼樣的問題，又引發瞭哪些新的思考。尤其對於“研究”這兩個字，我期待看到書中能有一些關於最新研究方嚮的探討，或者是一些尚未完全解決的難題的介紹。我不知道這本書會用到多少高級的數學工具，比如範疇論或者同調代數，但我相信，如果作者能用一種循序漸進的方式，或者通過巧妙的類比和圖示，將這些復雜的概念傳達齣來，那麼即便是對拓撲學瞭解不深的我，也能從中獲得啓發和樂趣。我更關注的是它能否讓我感受到數學的創造力和想象力。

評分☆☆☆☆☆

我一直對那些能夠將不同數學領域聯係起來的理論特彆感興趣，而拓撲學似乎正是扮演著這樣的橋梁角色。這本書的名字——《數學·統計學係列：近代拓撲學研究》——直接點齣瞭它的主題。我印象中，拓撲學跟統計學之間好像並沒有直接的聯係，這反而勾起瞭我的好奇心。或許這本書會探討一些統計模型背後的拓撲結構，或者如何利用拓撲學的思想來分析高維數據，處理復雜的數據集。我希望這本書能夠提供一些令人耳目一新的視角，解釋拓撲學如何在看似不相關的領域發揮作用。我猜測，它可能會介紹一些關於“形狀”或者“連接性”的統計量，或者用拓撲學的工具來理解數據的分布和聚類。我期待看到書中能夠給齣具體的例子，展示如何將抽象的拓撲概念應用到統計分析中，例如在機器學習、模式識彆或者數據可視化方麵。如果書中能夠深入淺齣地講解一些“持久同源性”(persistent homology)之類的概念，那對我來說將是一次巨大的收獲。我希望能在這本書中找到將抽象數學與實際數據科學聯係起來的火花。

評分☆☆☆☆☆

11，Poincare映射、穩定性定理、Gronwall引理、非綫性方程的不穩定性、Grobman-Hartman定理、指數穩定、Lyapunov定理、極限點、極限集、不變集。

評分☆☆☆☆☆

5，橢圓函數域、橢圓積分。

評分☆☆☆☆☆

9，平麵上微分方程的穩定性、導數的估計、Lyapunov穩定性、漸進穩定、特徵值與穩定性的關係。

評分☆☆☆☆☆

學者們從許多不同的角度來研究法律，包括從法製史和哲學，或從如經濟學與社會學等社會科學的方麵來探討。法律的研究來自於對何為平等、公正和正義等問題的訊問，這並不都總是簡單的。法國作傢阿納托爾·法郎士於1894年說：“在其崇高的平等之下，法律同時禁止富人和窮人睡在橋下、在街上乞討和偷一塊麵包。”

評分☆☆☆☆☆

9，平麵上微分方程的穩定性、導數的估計、Lyapunov穩定性、漸進穩定、特徵值與穩定性的關係。

評分☆☆☆☆☆

7，邊值問題Green函數的唯一性定理、含參數的邊值問題、Sturm-Liouville特徵值問題、Sturm分離定理、特徵值比較定理、振幅定理。

評分☆☆☆☆☆

6，加性定理、橢圓函數論在橢圓積分上的應用。

評分☆☆☆☆☆

5，正則奇點、Frobenius方法。

評分☆☆☆☆☆

2，具有多維相空間的微分方程、相麯綫、後繼函數、Poincare映射、小振動、解的存在性與唯一性、Lipscitz條件。