数学·统计学系列：近代拓扑学研究 [Modern Topology Research] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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[美] 希尔顿 等 著，林聪源 译

图书标签:

• 拓扑学
• 近代拓扑学
• 数学
• 统计学
• 研究
• 代数学
• 几何学
• 高等数学
• 数学研究
• 现代数学

出版社： 哈尔滨工业大学出版社

ISBN：9787560339153

版次：1

商品编码：11312405

包装：平装

外文名称：Modern Topology Research

开本：16开

出版时间：2012-12-01

用纸：胶版纸

页数：168

正文语种：中文

内容简介

　　《数学·统计学系列：近代拓扑学研究》主要是对近代拓扑学的研究，《数学·统计学系列：近代拓扑学研究》一共分为5章，第1章主要讲述了曲线是什么，第2章列举了3维流形中曲面的一些研究成果，第3章主要讲述了半单纯同伦理论，第4章为代数拓扑学之函子，第5章介绍了可微分流形上的几何理论。

目录

引言
第1章 曲线是什么
1.1 引言
1.2 古典观念
1.3 维数、弧、曲面、立体的一般定义
1.4 一些简单形式的弧
1.5 拓扑分析上的解析曲线
1.6 结语
参考资料

第2章 3维流形中曲面的一些研究成果
2.1 引言
2.2 Heegaard曲面及3维流形中之非可压缩曲面
2.3 半线性观点
2.4 非可压缩曲面上的有限性定理
2.5 应用1：开同伦3维胞腔上的一个猜想
2.6 应用2：3维流形的胞腔分解
2.7 不可压缩的2度圆球壳及Heegaard曲面
参考资料

第3章 半单纯同伦理论
3.1 基础
3.2 拟几何同伦理论
3.3 实现论
3.4 Moore-Postnikov系统
3.5 群复合形
3.6 可换群复合形
3.7 同调与同伦间的关系
3.8 Hi1ton及Mi1nor的一个定义
参考资料

第4章 代数拓扑学之函子
4.1 同伦论／
4.2 同调及余同调
4.3 同调及余同调之进一步性质
参考资料

第5章 可微分流形上的几何理论
5.1 引言
5.2 可微分流形中的一些基本定义
5.3 向量丛理论的复习
5.4 Thom氏贯截性定理
5.5 Thom氏贯截性定理的一些推广及应用
5.6 Thom氏余边界理论
5.7 流形上之Morse函数理论
5.8 余边界及Morse理论
参考资料
编辑手记

数学·统计学系列：近代拓扑学研究 [Modern Topology Research] 图书简介 一部深入探索现代拓扑学前沿与核心概念的权威著作 本书籍《数学·统计学系列：近代拓扑学研究 [Modern Topology Research]》是一部面向高等院校数学专业本科高年级学生、研究生以及从事相关领域研究的数学工作者的高级专题性学术著作。它旨在系统梳理并深入剖析近代拓扑学自二十世纪中叶以来所取得的关键性进展、核心理论框架以及在现代数学中的战略地位。 本书的编写立足于严谨的数学基础，但其视角着眼于拓扑学在当代研究中的前沿动态与交叉领域应用。全书结构清晰，逻辑递进，旨在帮助读者构建起对现代拓扑学深层次、多维度的理解。 第一部分：基础回溯与现代视角的重构 虽然本书聚焦于“近代”研究，但其开篇部分并未简单重复初等拓扑学的基本定义，而是以一种批判性的视角对经典点集拓扑学（General Topology）进行了回顾和提炼。重点在于识别出在现代代数拓扑学（Algebraic Topology）和微分几何（Differential Geometry）中需要被深化和推广的核心概念。 1. 拓扑空间的现代诠释： 探讨了紧致性、连通性在不同构造下的行为，特别是对局部紧致性和$sigma$-紧致性在函数空间和概率空间中的意义进行了深入讨论。引入了现代泛函分析中对拓扑向量空间（Topological Vector Spaces）和巴拿赫空间（Banach Spaces）的拓扑性质的初步考察，强调了拓扑结构在无限维空间分析中的基础性作用。 2. 纤维丛与流形基础的代数化转向： 重新审视了光滑流形（Smooth Manifolds）的概念，但重点转向了如何利用代数工具（如张量代数）来刻画流形上的光滑结构，为后续讨论的微分拓扑学奠定基础。引入了微分形式（Differential Forms）的初步概念，强调其作为研究流形拓扑不变量的潜力。 第二部分：代数拓扑学的深化与核心不变量的构建 本部分是全书的核心，系统阐述了代数拓扑学中用于量化拓扑空间的“洞”和“连通性”的结构化工具。本书避免了对同伦群（Homotopy Groups）的冗长计算介绍，而是专注于其更深层次的代数性质和应用。 3. 同调理论的完备性与对偶性： 奇异同调与Cech同调的比较： 详细分析了奇异同调（Singular Homology）与Cech同调在一般拓扑空间下的等价性证明及其技术难度。重点讨论了相对同调（Relative Homology）在处理边界问题中的关键作用。 拓扑不变量的构建： 深入探讨了马耶-维托里斯序列（Mayer-Vietoris Sequence）的强大构造能力，并展示其如何成为计算复杂拓扑空间（如球面、环面）同调群的基石。 对偶性理论： 详述庞加莱对偶性（Poincaré Duality）在流形上的严格表述及其在连接同调与上同调（Cohomology）中的核心地位。引入了上同调环（Cohomology Ring）的概念，展示了如何通过乘法结构捕获更精细的拓扑信息。 4. 同伦理论与纤维化结构： 纤维丛与截面问题： 深入研究了主纤维丛（Principal Fiber Bundles）和向量丛（Vector Bundles）的构造，重点分析了欧拉类（Euler Class）和斯蒂费尔-惠特尼类（Stiefel-Whitney Classes）作为丛的拓扑特征类（Characteristic Classes）是如何从代数拓扑结构中自然涌现的。 Hurewicz同态与同伦群的消减： 考察了Hurewicz同态在连接同调与同伦群之间的桥梁作用，并讨论了哪些空间（如CW复形）使得这一同态具有最优良的性质。 第三部分：微分拓扑学的焦点：几何与分析的交汇 近代拓扑学的活力很大程度上来源于其与微分几何和偏微分方程（PDEs）的深度融合。本部分聚焦于这一交叉地带的关键理论。 5. 微分流形上的微分拓扑： 莫尔斯理论（Morse Theory）： 详细介绍莫尔斯理论的现代表述，将其作为连接流形拓扑结构与函数极值点的强大工具。重点分析了临界点（Critical Points）的类型以及莫尔斯同调（Morse Homology）作为同调理论的一种替代构造。 流形上的向量场与李群： 探讨了李群（Lie Groups）作为具有内在光滑结构的拓扑空间的重要性，以及它们在描述对称性时的核心作用。引入了李代数（Lie Algebras）与流形切空间（Tangent Spaces）的关系，为现代物理学中的规范场论奠定数学基础。 6. 拓扑不变量的解析方法： 霍奇理论（Hodge Theory）： 本部分是解析拓扑学的巅峰之一。详细阐述了霍奇分解（Hodge Decomposition）在凯勒流形（Kähler Manifolds）上的应用，展示了微分形式的拉普拉斯算子（Laplacian Operator）是如何揭示流形的几何拓扑性质的。霍奇数（Hodge Numbers）被视为比传统同调群更精细的几何拓扑不变量。 指数定理的现代解读（Atiyah-Singer Index Theorem）： 本书将指数定理视为连接全局拓扑（通过特征类）和局部分析（通过椭圆算子）的里程碑。详细剖析了费曼-狄拉克算子（Feynman-Dirac Operator）在流形上的构造，以及其指标如何直接对应于流形的拓扑特征类。 第四部分：现代拓扑学的前沿探索与应用潜力 最后一部分展望了拓扑学在当代数学和理论物理中的最新应用方向，而非简单罗列研究课题。 7. 论域拓扑与几何的交织： 低维拓扑的进展： 简要介绍三维流形（3-Manifolds）的几何化猜想（Geometrization Conjecture）的背景，特别是庞加莱猜想（Poincaré Conjecture）被证明后，对三维拓扑结构研究范式的转变。 非交换几何的拓扑视角： 从拓扑的角度审视非交换几何（Noncommutative Geometry），探讨如何将经典的拓扑空间概念推广到由非交换代数定义的空间，以及这种推广如何影响我们对几何和空间的理解。 总结 《近代拓扑学研究》并非一本入门教材，它假设读者已具备扎实的拓扑学和抽象代数基础。本书的价值在于它提供了一个高屋建瓴的视角，将点集拓扑的严谨性、代数拓扑的结构性以及微分拓扑的分析性工具融会贯通，全面展示了现代拓扑学作为连接数学各个分支的强大“语言”和“工具箱”的地位。它致力于激发读者对拓扑学深层结构和前沿问题的思考与探索。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，我选择这本书，很大程度上是被它的书名所吸引。《数学·统计学系列：近代拓扑学研究》——这名字听起来就充满了一种探索未知的学术气息。我一直认为，数学不仅仅是计算和解题，更是一种思想体系，它能够帮助我们理解世界的本质。拓扑学，这个研究空间在连续形变下不变性质的学科，在我看来，是这种思想体系中非常独特的一环。它似乎能够超越具体的几何形状，关注更底层的“连接”和“结构”。“近代拓扑学研究”，这个词组让我联想到了一些前沿的数学思想，比如同伦论、同调论、或者更抽象的微分拓扑和代数拓扑。我希望这本书能够带领读者，从最基础的拓扑概念开始，逐步深入到这些更复杂的理论，并且能够清晰地阐述它们之间的内在联系。我尤其期待书中能有一些历史性的回顾，介绍一些关键人物和关键定理的发现过程，这样可以帮助我更好地理解这些理论是如何一步步发展起来的。同时，如果书中能够提及拓扑学在解决实际问题中的应用，哪怕只是理论上的指导意义，也会让这本书的价值大大提升。我希望它能让我对“空间”和“结构”有全新的认识。

评分☆☆☆☆☆

我一直对那些能够将不同数学领域联系起来的理论特别感兴趣，而拓扑学似乎正是扮演着这样的桥梁角色。这本书的名字——《数学·统计学系列：近代拓扑学研究》——直接点出了它的主题。我印象中，拓扑学跟统计学之间好像并没有直接的联系，这反而勾起了我的好奇心。或许这本书会探讨一些统计模型背后的拓扑结构，或者如何利用拓扑学的思想来分析高维数据，处理复杂的数据集。我希望这本书能够提供一些令人耳目一新的视角，解释拓扑学如何在看似不相关的领域发挥作用。我猜测，它可能会介绍一些关于“形状”或者“连接性”的统计量，或者用拓扑学的工具来理解数据的分布和聚类。我期待看到书中能够给出具体的例子，展示如何将抽象的拓扑概念应用到统计分析中，例如在机器学习、模式识别或者数据可视化方面。如果书中能够深入浅出地讲解一些“持久同源性”(persistent homology)之类的概念，那对我来说将是一次巨大的收获。我希望能在这本书中找到将抽象数学与实际数据科学联系起来的火花。

评分☆☆☆☆☆

这本书的名字《数学·统计学系列：近代拓扑学研究》本身就透着一股子深邃和前沿的气息。我一直对数学理论的“力量”充满敬畏，尤其是那些能够揭示事物本质规律的抽象学科。拓扑学，在我看来，就是这样一门学科，它研究的是空间在连续变换下不变的性质，这种“不变性”的思想，总让我觉得有一种哲学的韵味。而“近代研究”，则暗示了本书会涵盖一些比较新的、甚至可能是当前数学界活跃的研究方向。我非常好奇，这本书会从什么样的角度切入，是会从基础概念出发，逐步构建起复杂的理论体系，还是会直接聚焦于几个重要的研究领域进行深入剖析。我希望作者能够用一种既严谨又不失逻辑性的方式，带领我领略近代拓扑学的魅力。我尤其希望能在这本书中看到一些关于“黎曼曲面”、“同胚”、“同伦”等概念的清晰阐释，并且了解它们在现代数学中的重要地位。如果书中还能提及拓扑学与其他数学分支，如代数、分析、几何之间的深刻联系，那将是一场思想的盛宴。我期待这本书能够拓展我的数学视野，让我感受到数学的无限可能性。

评分☆☆☆☆☆

拿到这本《数学·统计学系列：近代拓扑学研究》的时候，我心里其实是有点忐忑的。我一直觉得拓扑学是数学里最“魔性”的一个分支，它不像代数那样有明确的数字运算，也不像分析那样有清晰的函数极限，它更多的是一种对“连续性”和“连通性”的抽象思考。书名里的“近代”二字，更是暗示了这是一本会涉及比较新的理论和研究成果的著作。我个人对那种能够提供全新视角、颠覆原有认知的数学理论尤其着迷，而拓扑学似乎正是这类理论的代表。我希望这本书不仅仅是罗列公式和定理，更重要的是能够讲解这些理论的“来龙去脉”，它们是如何被发展出来的，解决了一些什么样的问题，又引发了哪些新的思考。尤其对于“研究”这两个字，我期待看到书中能有一些关于最新研究方向的探讨，或者是一些尚未完全解决的难题的介绍。我不知道这本书会用到多少高级的数学工具，比如范畴论或者同调代数，但我相信，如果作者能用一种循序渐进的方式，或者通过巧妙的类比和图示，将这些复杂的概念传达出来，那么即便是对拓扑学了解不深的我，也能从中获得启发和乐趣。我更关注的是它能否让我感受到数学的创造力和想象力。

评分☆☆☆☆☆

这本书的名字听起来就挺硬核的，我一直对数学的抽象概念很感兴趣，尤其是那些能够连接不同数学分支的理论。近代拓扑学，听起来就像是研究空间形状和连接性的那种，感觉很深奥，又很有意思。我脑子里会联想到一些几何形状的变形，或者是一些奇特的空间结构，比如咖啡杯和甜甜圈为什么拓扑上是等价的。这本书的标题“近代拓扑学研究”，让我觉得它可能不是一本入门级的读物，而是会深入探讨一些现代拓扑学的核心概念和前沿进展。我特别好奇它会介绍哪些具体的拓扑空间、哪些重要的定理，以及这些理论在数学的其他领域，比如代数几何、微分几何，甚至可能在物理学中有什么样的应用。我希望作者能够用一种清晰但又不失严谨的方式来阐述这些复杂的概念，并且能够给出一些引人入胜的例子，让我能够更好地理解抽象的定义和定理。毕竟，拓扑学听起来像是数学中的“橡皮泥”，能够把形状随意拉伸扭曲，但又保持一些根本的性质不变，这种思想本身就很有魅力。我希望这本书能带我走进这个迷人的数学世界，让我看到数学逻辑的力量和美感。

评分☆☆☆☆☆

7，广义Lotka-Volterra模型、正则线元、奇解、包络、Clairaut方程、D'Aleert方程、Banach空间、逐次逼近法、压缩映射原理。

评分☆☆☆☆☆

8，小摄动、保守系统的稳定性、自振、可微等价、拓扑等价、拓扑分类定理、Lyapunov函数。

评分☆☆☆☆☆

9，逐次逼近的发散、适定性问题、初值问题解的连续与可微依赖性定理、参数的连续与可微依赖性定理、延拓定理、向量场的直化。

评分☆☆☆☆☆

微分方程-2

评分☆☆☆☆☆

5，椭圆函数域、椭圆积分。

评分☆☆☆☆☆

3，一阶非齐次线性偏微分方程、一阶拟线性偏微分方程、一阶拟线性偏微分方程的特征线素场、线素场的积分曲面、一阶拟线性偏微分方程解的充要条件、一阶非线性偏微分方程、Hamilton-Jacobi方程、能量的等高线、 Hadamard引理、临界与非临界等高线。

评分☆☆☆☆☆

3，Gamma函数、Laplace变换、渐进级数、渐进展开、Riemann-Zeta函数。

评分☆☆☆☆☆

3，一阶非齐次线性偏微分方程、一阶拟线性偏微分方程、一阶拟线性偏微分方程的特征线素场、线素场的积分曲面、一阶拟线性偏微分方程解的充要条件、一阶非线性偏微分方程、Hamilton-Jacobi方程、能量的等高线、 Hadamard引理、临界与非临界等高线。

评分☆☆☆☆☆

6，初等积分法、Bernoulli方程、Riccati方程、恰当型方程、位势函数、积分因子、相平面、相轨。