特殊綫性係統的數值迭代算法 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

簡體網頁||繁體網頁

☆☆☆☆☆

吳世良，李翠霞，張理濤 著

圖書標籤:

• 數值分析
• 迭代算法
• 綫性係統
• 特殊矩陣
• 科學計算
• 數值方法
• 矩陣計算
• 優化算法
• 數學軟件
• 工程計算

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030444875

版次：1

商品編碼：11710011

包裝：平裝

開本：32開

齣版時間：2015-06-01

頁數：214

正文語種：中文

編輯推薦

適讀人群 ：本書可作為數學(尤其計算數學、應用數學等)專業師生的教課書或科研人員的參考書，也可作為理工科大學各專業研究生學位課程的教課書。
《特殊綫性係統的數值迭代算法》可作為數學(尤其計算數學、應用數學等)專業師生的教材或科研人 員的參考書， 也可作為理工科大學各專業研究生學位課程的教材.

內容簡介

《特殊綫性係統的數值迭代算法》介紹求解幾類特殊綫性係統的基本理論和基本迭代方法. 主要內容為： 緒論、經典迭代法求三類綫性係統、矩陣雙分裂比較定理及在綫性互補問題的 應用、HSS 迭代法及其預處理技術、鞍點問題迭代算法及預處理技術、Maxwell 方程的預處理技術、結論等.

目錄

前言
主要符號對照錶
第1章緒論1
11方法介紹1
111經典定常迭代法3
112非Hermitian正定綫性係統的迭代法4
113鞍點問題的迭代法4
12涉及知識和主要內容7
13結構安排8
第2章經典迭代法求三類綫性係統10
21L-矩陣綫性係統的預處理AOR迭代法11
211引言11
212助記符，概念和性質12
213預處理AOR迭代法的收斂性分析和比較理論13
214數值算例19
22一個雙參數預處理子作用於L-矩陣綫性係統20
221引言20
222新預處理AOR迭代21
223收斂分析22
224數值例子29
23H-矩陣綫性係統的預處理Gauss-Seidel迭代法31
231引言31
232概念和性質32
233收斂性分析32
234數值算例34
24求解最小二乘問題的預處理AOR迭代法34
241引言34
242預處理AOR迭代法及收斂分析36
243數值算例41
25AOR迭代法的一個新版本:QAOR迭代法42
251經典AOR迭代法42
252QAOR迭代法及收斂分析43
253收斂定理44
254QAOR與AOR的關係48
255數值例子49
26本章小結50
第3章矩陣雙分裂比較定理及在綫性互補問題的應用51
31矩陣雙分裂比較定理51
311引言51
312收斂性理論52
32矩陣雙分裂在綫性互補問題的應用63
321引言63
322預備知識64
323二步搜索模係矩陣分裂迭代法65
324收斂定理67
325數值實驗74
33本章小結79
第4章HSS迭代法及其預處理技術80
41選擇HSS迭代法及LHSS迭代法一個新準則80
411引言80
412HSS迭代法與LHSS迭代法的選擇83
413兩個例子84
42非Hermitian正定綫性係統的改進的HSS迭代法86
421引言86
422MHSS迭代法的收斂分析87
423IMHSS迭代法90
424數值實驗92
43鞍點問題HSS預處理矩陣譜的上下界95
431引言95
432譜的新界96
44廣義鞍點問題HSS預處理矩陣的譜分布102
441引言102
442廣義鞍點問題的HSS方法103
443HSS預處理矩陣的譜性質104
444數值實驗110
45本章小結114
第5章鞍點問題迭代算法及預處理技術115
51求解鞍點問題的一個迭代法116
511引言116
512迭代法116
513數值算例119
52求解鞍點問題的一個修正SSOR迭代法120
521引言120
522修正的SSOR迭代法121
523參數w的選取126
524數值實驗129
53鞍點問題的(2，2)塊含參數預處理技術132
531引言132
532譜分析134
533數值實驗150
54鞍點問題的(1，2)塊含參數預處理技術154
541引言154
542MP1
譜分析154
543數值實驗162
55本章小結165
第6章Maxwell方程的預處理技術166
61波數為零Maxwell方程的塊三角預處理技術166
611引言166
612新的塊三角預處理子167
613新的單列非零(1，2)塊的塊三角預處理子172
614數值實驗174
62波數非零Maxwell方程的塊三角預處理技術179
621引言179
622修正塊預處理子180
623數值實驗187
63本章小結192
第7章結論193
參考文獻195

精彩書摘

世界著名數值分析專傢牛津大學教授LloydNTrefethen和DavidBauIII指齣:如果除瞭微積分與微分方程，還有什麼數學領域是數學科學基礎，那就是數值綫性代數"數值
綫性代數領域中的一個十分重要的課題是大型稀疏綫性係統的高效求解這主要是因為在實踐中，如計算流體動力學、電磁計算、材料模擬與設計、石油勘。探數據處理、地震數據處理、數值天氣預報及核爆炸數值模擬等都離不開(偏)微分方程的數值求解，而解決這些問題的主要策略是通過有限差分、有限元、有限體積、區域分解、多重網格、無網格等方法對(偏)微分方程離散將所需求解問題轉。化為大型稀疏綫性係統的數值求解當今，如何快速有效的求解大型稀疏綫性係統。已成為許多專傢及學者研究的焦點這主要體現在數值計算及其模擬中求解大型。稀疏綫性係統所花費的時間往往在求解整個問題所需的時間中占有很大的比重，有。時甚至高達百分之八十以上。
通常，求解綫性係統的方法有兩類:基於矩陣分解的直接法和基於遞歸的迭代。法直接法的工作主要集中在20世紀6070年代，主要途徑是通過對矩陣進行變。換(如Gauss消元、LU分解等)，將原綫性係統化為三角或三對角等容易求解的形式，然後通過迴代或追趕等方法得到綫性係統的解其優點在於不計捨入誤差的情。況下能得到準確解不足之處是當矩陣的條件數很大時，由於捨入誤差的存在而導。緻所求齣的解與準確解相差甚遠;當矩陣階數較大時，由於存儲的需求而迫使直接。法相對於其他方法更費時所以用直接法求解大型稀疏綫性係統往往是不可取的。基於此，在實際求解中，通常采用運算量小、內存需求小且能充分利用矩陣稀疏性。的迭代法。
當前，迭代法已成為求解大型稀疏綫性係統的主流方法迭代求解大型稀疏綫。性係統現已成為科學計算中十分重要的課題之一，其迭代策略一般可分為兩類一。類是基於矩陣分裂的定常迭代法定常迭代法的工作主要集中於20世紀5060年。代，其基本途徑是通過矩陣單分裂(若綫性係統的係數矩陣A分裂為A=MN(其。中M為非奇異矩陣)，則稱為矩陣A的單分裂)而構建迭代格式根據矩陣分裂的。形式不同而形成瞭許多行之有效的方法，如Jacobi，Gauss-Seidel(G-S)，Successive。
Over-Relaxation(SOR)，AcceleratedOver-Relaxation(AOR)等以及這些方法的改。進和加速形式定常迭代法具有結構簡單、易於程序實現等優點因此，自Jacobi。方法誕生以來，新的定常迭代法層齣不窮，備受工程人員及科研人員的青睞目前，。這些方法又有新的發展，如將其作為預處理子與Krylov子空間方法結閤起來求解。大型稀疏綫性係統另一類是非定常迭代法目前，非定常迭代法主要存在兩大分。支:一是以ConjugateGradient(CG)方法為代錶的Krylov子空間迭代法;二是基。於矩陣分裂的分裂迭代法，如非定常Richardson迭代法、內外迭代法以及非定常。多分裂迭代法等目前，對求解大型稀疏綫性係統來說，比較流行的Krylov子空間。迭代法有CG，MinimalResidualmethod(MINRES)，GeneralizedMinimalResidual。method(GMRES)等。
無論是定常迭代法還是非定常迭代法，其收斂速度在一定程度上與矩陣的譜分。布有著密不可分的關係對矩陣分裂的定常迭代法來說，在迭代矩陣譜半徑小於1。的前提下，迭代矩陣的譜半徑越小其收斂速度越快;對非定常Krylov子空間迭代法。來說，其收斂速度依賴於矩陣的譜分布，譜分布越集中，收斂速度越快[14]因此，。為瞭提高迭代法求解綫性係統的收斂速度，目前，一個切實可行的途徑是采用預處。理技術，其主要目的是使預處理後的矩陣的譜更加聚集為特定的大型稀疏綫性係。統尋找量身定做"的預處理子已成為迭代法研究中的重要課題。
預處理技術的主要策略是通過利用預處理子將原綫性係統轉化為易求解的等。價綫性係統通常，構建一個好的預處理子已被公認為是藝術與科學的完美結閤。
一般地，構造預處理子有兩種途徑:一是純代數技術，如不完全分解(ILU)預處理子、。稀疏近似逆(AINV)預處理子等;二是從特定問題齣發，通過利用較多原問題信息。來構建預處理子，一般情況下，原問題信息利用的越多，構建的預處理子越有效具。體地，對預處理子的構造可以從以下五個方麵考慮:。(1)綫性係統的背景;。(2)矩陣本身的性質，如是否具有稀疏性、對稱性、占優性等;。(3)預處理部分的計算量比較小;。(4)預處理矩陣特徵值分布相對集中;。(5)預處理矩陣需滿足一定的性質，如是否具有正定性、是否具有對稱性、特。徵值是否全是實數。一般地，一個切實可行有效預處理子的選擇可以從以下四個方麵把握:。(1)預處理子在某一方麵是係數矩陣的逆矩陣的一個較好逼近(事實上，構造。預處理子主要目的是使預處理矩陣為單位陣的近似);。(2)構造預處理子需在計算機的內存和CPU的工作時間上有保障(即花費不。太大);。(3)預處理矩陣的條件數要遠小於原係數矩陣的條件數，其最小奇異值會相應 的增大而最大奇異值會相應的減小;。(4)新的預處理綫性係統要比原綫性係統更易求解。當今，預處理技術已滲入到所需問題的數值求解中，是提高相應數值算法收斂。速度的一個十分重要的途徑，已成為數值計算領域中的一個很重要的研究方嚮。
111經典定常迭代法。
在科學計算中，許多實際問題的求解最終都要歸結為求解大型稀疏綫性係統:。Ax=b;。其中A是一個給定的非奇異矩陣，b是一個給定的嚮量，x是一個待求的嚮量由。於不同問題在不同條件下産生的綫性係統不同，進而導緻其相對應的係數矩陣A。不同，如在偏微分方程數值解、控製論、均衡論及加權最小二乘問題等數值求解中，。通過適當的技術處理(如用有限差分離散偏微分方程或對加權最小二乘問題等價。變換)，可以獲得係數矩陣為非奇異L-矩陣(或H-矩陣)的綫性係統如前所述，若。用直接法求解，則數值效果並沒有達到令人十分滿意的程度常采用迭代法對其求。解，為瞭加快迭代法的收斂速度，通常迭代法需要與預處理子結閤起來求解大型稀。疏的綫性係統。
近年來，對係數矩陣為L(H)-矩陣的非奇異綫性係統預處理子的構造主要是。將係數矩陣A分裂為A=DLU，其中D是A的對角矩陣，L和U分。彆是矩陣A的嚴格下三角矩陣和嚴格上三角矩陣基於這一分裂，預處理子的構。造通常是D+S"型，其中矩陣S的元素常取係數矩陣A的某些非零元的相反。數，如取係數矩陣A的第一列的相反數[5，6]、取係數矩陣A的上次對角元的相反。數[7，8]等這種構造預處理子的基本思想源於Gauss消元法，其目的是通過將係。數矩陣A的某些對應元素化為0來達到減少迭代矩陣譜半徑的目的，進而提高迭。代法的收斂速度，其理論依據是迭代矩陣的譜半徑越小，矩陣分裂迭代法的收斂速。度越快[9]此類預處理子常常與經典迭代法(如G-S迭代法、SOR迭代法及AOR。迭代法等)結閤到一起來求解大型稀疏的綫性係統此方法的優點是理論性強、計。算代價小;不足之處是計算的效果相對要差在這類預處理子中，修正預處理方法。研究較多，在一定程度上可看成是Gauss消元法的一種擴展目前，國內外很多學。者對此進行瞭相關的研究[10，11]，得齣瞭很多理論結果，促進瞭新預處理子研發的。進程。
另一方麵，若將係數矩陣A分裂為A=PRS(其中P為非奇異矩陣)，則。稱為矩陣A的雙分裂[12]，矩陣雙分裂所確定的迭代法稱為雙分裂迭代法[12]如。Jacobi雙SOR方法、G-S雙SOR方法、EWA雙SOR方法等都屬於雙分裂迭代。法這些方法雖是傳統單分裂迭代法的簡單推廣，但現已有效地求解某些實際問題，。如核反應堆物理學中的離散多維橢圓型方程[13]

前言/序言

好的，以下是根據您的要求創作的一份圖書簡介，嚴格圍繞“特殊綫性係統”的數值迭代算法展開，同時避免提及該書的實際名稱，內容力求詳實且自然。 --- 圖書簡介：聚焦非標準矩陣問題的數值解法與理論前沿 本書緻力於深入探討在工程、科學計算和數據分析等領域中普遍遇到的非標準、病態或結構特殊的綫性代數係統的數值求解方法。麵對規模日益龐大且內在性質復雜的矩陣方程 $AX=B$，傳統的直接求解方法（如高斯消元法）往往在計算復雜度和內存占用上力不從心，或因係統固有的不適定性導緻解的精度急劇下降。因此，本書的核心聚焦於構建、分析和優化一類高效、魯棒的迭代算法，以期在保證收斂性的前提下，實現對這類復雜綫性係統的精確逼近。 第一部分：特殊綫性係統的理論基礎與分類 本部分首先為後續的算法討論奠定堅實的理論基礎。我們從綫性係統的基本性質齣發，係統梳理瞭哪些類型的係統被歸類為“特殊”或“非標準”。這包括但不限於： 1. 大型稀疏係統（Large-Scale Sparse Systems）： 矩陣 $A$ 中零元素占絕大多數，其結構（如帶狀、塊狀或自然梯度分布）對算法的選擇至關重要。我們探討瞭如何利用這些稀疏結構來優化存儲和矩陣嚮量乘法（MVM），這是所有迭代法的計算瓶頸所在。 2. 病態係統與高精度要求： 針對條件數極大的係統，分析瞭擾動對解的影響。重點討論瞭譜半徑與收斂速度之間的內在聯係，並引入瞭殘差理論和穩定性的嚴格度量，為後續的預處理技術提供理論支撐。 3. 非對稱與不定定係統： 在許多實際應用中，矩陣 $A$ 不滿足對稱或正定性。本章詳述瞭如何調整標準迭代方法的框架，以適應非對稱或涉及特徵值問題（如廣義特徵值問題）的復雜情形。 第二部分：經典迭代法的深入剖析與改進 在介紹基礎的迭代框架後，本書對幾類具有裏程碑意義的迭代方法進行瞭細緻入微的剖析和現代化的改進： 2.1 雅可比與高斯-賽德爾法的局限性及加速 雖然基礎的迭代方法概念直觀，但其收斂域受限。我們深入分析瞭它們的局部收斂條件，並著重研究瞭如何通過混閤迭代策略來提升性能。例如，如何將它們作為粗粒度修正步驟，嵌入到多尺度框架中。 2.2 Krylov子空間方法的威力與挑戰 Krylov子空間方法是求解大型稀疏係統的核心。本書將重點放在GMRES（廣義最小殘差法）和雙共軛梯度法（BiCG）族。 GMRES的內存瓶頸與重啓策略： 詳細推導瞭GMRES的收斂準則，並針對其隨迭代次數增加而導緻的內存爆炸問題，係統性地比較瞭不同重啓策略（如標準重啓、輪換重啓）在不同問題規模上的效率和穩定性。 雙共軛梯度法的雙嚮更新： 闡述瞭BiCG如何通過構建一對正交嚮量組來避免GMRES的內存問題，同時揭示瞭其潛在的非單調殘差行為，並引入瞭雙共軛梯度穩定法（BiCGSTAB）作為替代方案的原理。 2.3 共軛梯度法（CG）在對稱正定係統中的優化 雖然CG法要求矩陣為對稱正定，但其無與倫比的收斂速度使其不可替代。我們不僅復習瞭其正交性理論，還深入探討瞭預處理共軛梯度法（PCG）的性能決定因素。 第三部分：預處理技術——加速收斂的關鍵 預處理技術是有效求解大型綫性係統的“藝術”與“科學”的結閤。本書投入大量篇幅討論各類有效的預處理器設計與構造： 1. 代數預處理器（Algebraic Preconditioners）： 重點分析瞭基於矩陣分解思想的預處理器，特彆是不完全LU分解（ILU）和不完全Cholesky分解（IC）。我們詳述瞭不同填充水平（Level of Fill）的選擇標準及其對計算成本和最終收斂速度的權衡。 2. 基於區域分解的預處理器： 針對具有清晰物理邊界的係統，介紹瞭Schur補預處理和Schwartz交替域分解方法（ADDS）。這些方法特彆適用於並行計算環境，能有效處理跨越多個計算節點的係統。 3. 逆嚮多重網格方法（Additive/Multiplicative Multigrid）： 雖然多重網格在PDE求解中應用廣泛，但本書側重於其代數化的應用。我們探討瞭如何構造代數多重網格（AMG）的粗化策略，即使在沒有明確網格結構的情況下，也能有效平滑高頻誤差。 第四部分：麵嚮大規模計算的算法設計與分析 在現代計算環境中，算法必須具備良好的可擴展性和並行性。本部分關注如何將上述理論轉化為高效的並行實現： 迭代法的並行化策略： 詳細分析瞭矩陣嚮量乘法（MVM）在分布式內存係統上的數據劃分（如行劃分與列劃分）如何影響通信開銷。我們對比瞭基於MPI的同步迭代與基於消息傳遞的異步迭代框架的性能差異。 收斂性監控與自動參數選擇： 討論瞭如何設計健壯的容錯機製，以及如何利用啓發式方法或機器學習技術來動態選擇最佳的預處理參數或迭代次數，以適應不斷變化的係統特性。 殘差的可靠性評估： 鑒於浮點運算誤差，本書強調瞭“真正殘差”與“規範化殘差”的區彆，並介紹瞭如何使用更高精度的中間計算來驗證收斂性，避免過早停止迭代。 本書的寫作風格旨在平衡理論深度與工程實踐，通過豐富的算例和算法僞代碼，為高級研究人員、博士研究生以及從事高性能計算的工程師提供一本實用且深入的參考手冊。它強調的不是單一算法的完美，而是針對不同“特殊”結構，構建和選擇最優“迭代求解器”的綜閤能力。

評分☆☆☆☆☆

評價五： 我對這本書的評價，更多地是從一個“可能受益者”的角度齣發。作為一個長期在科研領域摸爬滾打的實踐者，我深知在麵對復雜的工程問題時，高效且可靠的數值方法是多麼重要。特彆是在處理那些具有特殊結構（例如稀疏性、對稱性、正定性等）的綫性係統時，傳統的通用求解器往往顯得力不從心。因此，一本能夠係統性地介紹“特殊綫性係統的數值迭代算法”的書籍，對我來說具有極大的吸引力。我設想書中會深入探討各種迭代算法的內在機製，解釋它們是如何通過一係列迭代步驟來逼近真實解的。我非常期待書中能夠對這些算法的收斂速度、穩定性以及對計算資源的需求進行深入的分析和比較。此外，我希望書中能夠包含一些關於“預條件”技術的詳細介紹，因為在實際應用中，預條件子的選擇往往是決定算法性能的關鍵因素。如果書中還能提供一些實際問題的求解案例，例如在流體力學、結構力學或者信號處理等領域的應用，並且給齣清晰的算法步驟和代碼示例，那麼這本書的實用價值將得到極大的提升，能夠幫助我更快地解決實際研究和工程中的難題，並推動我在這方麵進行更深入的探索。

評分☆☆☆☆☆

評價三： 我是一位長期從事數值計算研究的學者，對於“特殊綫性係統的數值迭代算法”這個主題，我可以說是有著長久而深刻的關注。市麵上相關的書籍並不少見，但很多要麼過於理論化，缺乏實際指導意義，要麼過於碎片化，難以形成係統性的認知。因此，當我看到這本書時，內心是既期待又帶著一絲審慎的。我猜想，作者一定對該領域有著非常深入的理解，並且能夠將其精煉成係統性的知識體係。從書名來看，它很有可能涵蓋瞭多種特殊的綫性係統，例如對稱正定係統、非對稱係統、不適定係統等等，並且針對這些係統提齣瞭專門優化的迭代方法。我特彆希望書中能夠深入探討這些算法的理論基礎，比如矩陣的性質、迭代的收斂條件，以及如何通過選擇閤適的預條件子來加速收斂。同時，我也期待作者能夠提供一些實際的編程實現建議，甚至附帶一些代碼示例，這樣對於讀者來說，將理論轉化為實踐會更加便捷。如果書中還能對不同算法在不同規模和結構的數據上的性能進行量化比較，那就更加完美瞭，這將為我們選擇最適閤特定問題的算法提供寶貴的參考。

評分☆☆☆☆☆

評價四： 作為一名剛入行的軟件工程師，我在工作中經常會遇到需要求解大規模綫性方程組的問題，尤其是在進行數值模擬和數據分析時。之前我一直使用的是一些通用的方法，但效率總是不盡如人意，也遇到過一些收斂睏難的情況。偶然的機會，我在瀏覽一些技術論壇時看到瞭關於“特殊綫性係統的數值迭代算法”的討論，這讓我意識到，針對不同類型的綫性係統，確實存在著更加高效和魯棒的算法。於是，我開始尋找相關的書籍，這本書的名字立刻引起瞭我的注意。我希望這本書能夠用一種比較通俗易懂的方式來介紹這些算法，避免過多的純數學推導，而是側重於算法的原理、優缺點以及適用場景。例如，書中是否會介紹一些著名的迭代算法，如共軛梯度法（CG）、廣義最小殘差法（GMRES）等，並且深入剖析它們在處理特定結構矩陣時的錶現？我更希望的是，書中能夠提供一些實際的案例分析，比如如何將這些算法應用於有限元分析、圖像處理或者機器學習等領域，並且能夠給齣具體的代碼實現思路，讓我能夠快速地將學到的知識應用到實際項目中，提高我的工作效率和解決問題的能力。

評分☆☆☆☆☆

評價二： 老實說，當我在書店看到這本書時，我並沒有立刻被吸引。它的書名“特殊綫性係統的數值迭代算法”聽起來相當學術化，甚至有些枯燥，讓我一度猶豫是否要翻開它。然而，齣於職業的習慣，我還是隨手拿起，漫無目的地翻閱瞭幾頁。齣乎意料的是，我被書中的一些圖錶和公式深深吸引住瞭。雖然我並非這個領域的頂尖專傢，但能夠明顯感受到作者在梳理和講解過程中所花費的心思。那些清晰的流程圖和示意圖，將復雜的算法步驟分解得一目瞭然，極大地降低瞭理解的門檻。我尤其對其中某個章節中關於“預條件子”的討論感到印象深刻，作者用一種非常直觀的方式解釋瞭預條件子的作用，讓我這個初學者也能茅塞頓開。這讓我意識到，即使是再深奧的理論，隻要用心去解釋，也能變得生動有趣。這本書不僅僅是理論的堆砌，更像是一位經驗豐富的導師，循循善誘地引導我一步步深入理解。我猜測書中可能還包含瞭一些關於大規模稀疏綫性係統的迭代算法，這對於當今許多科學計算領域都至關重要。

評分☆☆☆☆☆

評價一： 這本書的封麵設計非常有吸引力，采用瞭一種深邃的藍色背景，配以簡潔而現代的字體，瞬間就勾起瞭我對書中內容的強烈好奇。我尤其喜歡封麵上那個抽象的數學符號，它暗示著書中可能涉及的理論深度和計算的復雜性，這正是許多研究者和工程師所追求的。在我看來，一本好的技術書籍，不僅要在內容上有所突破，在形式上也應該傳遞齣專業和嚴謹的氣息。這本書在這方麵做得相當不錯，它讓我對即將展開的閱讀之旅充滿瞭期待。我想象著書中會有一係列精妙的數學推導，逐步揭示解決特殊綫性係統問題的核心思想。對於那些在科研或工程實踐中常常與這類係統打交道的讀者來說，這絕對是一本不可多得的寶藏。我期待書中能夠詳細介紹不同類型的特殊綫性係統，並針對每一種係統提齣創新的數值迭代算法。同時，我也希望能看到算法的收斂性分析和穩定性討論，這些都是衡量一個算法是否優秀的關鍵指標。當然，實際的應用案例和性能比較也是我非常看重的部分，能夠指導我如何選擇最閤適的算法來解決實際問題。