线性代数（第二版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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李明芳 编

图书标签:

• 线性代数
• 高等数学
• 数学教材
• 大学教材
• 理工科
• 矩阵
• 向量
• 行列式
• 方程组
• 数值计算

出版社： 中国电力出版社

ISBN：9787512381667

版次：2

商品编码：11838434

包装：平装

丛书名： “十三五”普通高等教育本科规划教材

开本：16开

出版时间：2015-12-01

用纸：胶版纸

页数：184

字数：280000

编辑推荐

　　《线性代数（第二版）》可作为承认高等院校、继续教育院校专升本、业余大学及大学专科的教材，也可作为少学时工科院校的本科教材，还可作为科技工作者或其他在职人员的自学用书。

内容简介

　　《线性代数（第二版）》为“十三五”普通高等教育本科规划教材。全书共分为六章，包括行列式、矩阵、向量空间、线性方程组、矩阵的对角化、二次型等内容。各章末附有本章小结和自测题，最后还配有3套模拟试题。书末附习题参考答案，以供参考。本书概念清楚，重点突出，层次清晰，说理浅显，例题、习题内容丰富，难度适中。

前言/序言

《代数几何导引》 引言 代数几何，作为数学中一个既古老又充满活力的分支，以其深刻的洞察力连接了抽象代数和几何直觉，为我们理解高维空间和复杂结构提供了一种强大的语言。本书《代数几何导引》旨在为读者提供一个坚实的代数几何基础，引导他们深入探索这个迷人的领域。我们不再局限于欧几里得几何或微分几何的直观图像，而是拥抱一种更抽象、更强大的方法，通过代数方程的零点集来描述几何对象。这种方法的威力在于，它能够处理比我们日常经验所能想象的更为广阔和复杂的情况，并且能在高度抽象的层面揭示数学对象之间深层的内在联系。 本书的编写风格力求严谨，同时又兼顾数学思想的清晰传达。我们相信，理解抽象概念的最好方式是亲手实践，因此本书包含大量的例题和练习，旨在帮助读者巩固所学知识，并培养解决代数几何问题的能力。读者将学习如何使用交换代数工具来描述和分析几何对象，如何理解变量之间的关系如何转化为几何形状的性质，以及这些几何形状又如何反过来影响变量之间的代数关系。 第一章：域上的多项式环与代数簇 本章是整个代数几何的起点，我们首先要建立起研究的基础。我们将从域（field）的概念入手，理解域是如何提供一个稳定的算术环境，使得我们能够进行加、减、乘、除等基本运算，并且这些运算具有良好的性质。例如，实数域 $mathbb{R}$ 和复数域 $mathbb{C}$ 是我们最熟悉的域。 接着，我们将引入多项式环（polynomial ring）的概念。在某个域 $K$ 上，变量 $x_1, x_2, dots, x_n$ 的多项式构成的集合，加上多项式加法和乘法运算，就形成了一个多项式环，记作 $K[x_1, x_2, dots, x_n]$。多项式环的结构是研究代数几何的关键。多项式本身可以被看作是抽象的“代数对象”，而当我们将多项式的值域限定在某个域时，它们就能够描述几何空间中的“曲面”。 最核心的概念“代数簇”（algebraic variety）将在本章被引入。代数簇是在某个域 $K$ 上的 $n$ 维仿射空间 $K^n$ 中，由一组多项式方程的公共零点组成的几何对象。换句话说，如果我们考虑一组多项式 $f_1, f_2, dots, f_m in K[x_1, x_2, dots, x_n]$，那么代数簇 $V(f_1, f_2, dots, f_m)$ 就定义为： $$ V(f_1, f_2, dots, f_m) = { (a_1, a_2, dots, a_n) in K^n mid f_i(a_1, a_2, dots, a_n) = 0 ext{ for all } i = 1, dots, m } $$ 我们将会看到，代数簇的几何性质与其定义它们的理想（ideal）密切相关。理想是多项式环的一个重要子集，它具有特殊的性质，使得代数簇的结构能够被很好地刻画。例如，我们将探讨零点集与理想之间的关系，例如希尔伯特零点定理（Hilbert's Nullstellensatz），这是代数几何中的基石之一，它建立了代数簇和多项式环的理想之间的深刻联系。 我们将通过具体的例子来阐明这些概念。例如，在二维平面 $mathbb{R}^2$ 中，方程 $x^2 + y^2 - 1 = 0$ 定义了一个圆，这是一个代数簇。方程 $y - x^2 = 0$ 定义了一个抛物线，这也是一个代数簇。我们还将探讨更高维空间中的代数簇，以及它们如何通过多项式方程的组合来定义。 第二章：理想与代数簇之间的对应 本章将深入探讨代数簇与其定义理想之间的深刻而精妙的对应关系。我们已经知道，一个代数簇由一组多项式方程的公共零点构成。然而，值得注意的是，不同的多项式组可能定义同一个代数簇。例如，在 $mathbb{R}^2$ 中，方程 $x^2 + y^2 - 1 = 0$ 定义了一个圆。那么，方程 $2(x^2 + y^2 - 1) = 0$ 也定义了同一个圆。这表明，我们不能仅仅通过多项式方程的集合来唯一地刻画代数簇。 代数几何的解决方案是引入“理想”的概念。一个理想 $I$ 是多项式环 $K[x_1, dots, x_n]$ 的一个子集，满足以下两个条件： 1. 如果 $f, g in I$，那么 $f+g in I$。 2. 如果 $f in I$ 且 $h in K[x_1, dots, x_n]$，那么 $hf in I$。 对于一个代数簇 $V$，我们定义与它相关的理想为 $mathcal{I}(V) = { f in K[x_1, dots, x_n] mid f(a) = 0 ext{ for all } a in V }$。也就是说，$mathcal{I}(V)$ 包含了所有在代数簇 $V$ 的所有点上都取值为零的多项式。 反过来，对于多项式环中的一个理想 $I$，我们定义与它对应的代数簇为 $V(I) = { a in K^n mid f(a) = 0 ext{ for all } f in I }$。 本章的核心目标就是研究理想和代数簇之间的这种“对偶性”。我们将证明，通过理想，我们可以建立起一个关于代数簇的精确的、唯一的描述。希尔伯特零点定理在这一章扮演着至关重要的角色。它建立了理想和代数簇之间的双射关系，尤其是在代数闭域（algebraically closed field）上。一个域是代数闭的，如果该域上的任何非空代数簇（看作是该域上的仿射空间中的零点集）至少有一个点。复数域 $mathbb{C}$ 是一个代数闭域。 希尔伯特零点定理告诉我们，对于代数闭域 $K$ 上的多项式环 $K[x_1, dots, x_n]$，存在一个到代数簇的理想的“逆映射”，并且这个映射将根理想（radical ideal）一一对应到代数簇。根理想是指，如果 $f^m in I$（其中 $m$ 是正整数），那么 $f in I$。这个定理揭示了代数对象（理想）和几何对象（代数簇）之间深刻的内在联系。 我们将通过一系列例子来展示这个对应关系。例如，我们将会看到，一个理想的生成元（generators）决定了代数簇的方程。理解理想的结构，例如素理想（prime ideal）和极大理想（maximal ideal），将有助于我们理解代数簇的结构，例如不可约代数簇（irreducible algebraic variety）和点（points）。 第三章：不可约代数簇与多项式环的素理想 在代数几何中，我们常常希望将复杂的代数簇分解成更简单的“基本单元”。不可约代数簇就是这样一种基本单元。一个代数簇 $V$ 被称为不可约的，如果它不能表示为两个非空真子簇的并集，即 $V eq V_1 cup V_2$，其中 $V_1, V_2$ 是 $V$ 的非空真代数子簇。 本章将建立不可约代数簇与多项式环的素理想之间的深刻联系。一个理想 $P$ 被称为素理想，如果当 $fg in P$ 时，则 $f in P$ 或 $g in P$。简单来说，素理想就类似于整数中的素数，它们在乘法上有“不可约性”。 我们将证明，一个代数簇 $V$ 是不可约的，当且仅当它的关联理想 $mathcal{I}(V)$ 是一个素理想。这个结果是代数几何中的一个关键定理，它为我们提供了一种通过研究代数对象（素理想）来理解几何对象（不可约代数簇）的方法。 在代数闭域上，这个对应关系更为直接。对于一个代数闭域 $K$，我们有： $V$ 是一个不可约代数簇 $iff mathcal{I}(V)$ 是一个素理想。 $W$ 是一个点 $iff mathcal{I}(W)$ 是一个极大理想。 极大理想是素理想的一个特例，它不能被任何其他真理想包含。在代数闭域上，点对应的理想是关于代数簇结构的“最细粒度”。 本章将通过大量例子来阐释这些概念。例如，我们将看到，二维平面上的直线 $ax+by+c=0$ 是一个不可约代数簇，其关联理想是形如 $langle ax+by+c angle$ 的主理想，它是一个素理想。而二维平面上的两条直线的并集，例如 $x^2 - y^2 = 0$，则是一个可约代数簇，它是由两条直线 $y=x$ 和 $y=-x$ 构成的，其关联理想是 $langle x^2 - y^2 angle = langle (x-y)(x+y) angle$，这不是一个素理想，因为它包含 $(x-y)(x+y)$，但既不包含 $(x-y)$ 也不包含 $(x+y)$。 理解不可约分解对于研究代数簇的结构至关重要。任何代数簇都可以唯一地分解为其不可约子簇的并集，这类似于整数的素因数分解。 第四章：概形初步：环的谱 代数几何的发展并没有止步于“点”和“方程”。为了更一般、更统一地处理几何对象，并且能够处理那些不能简单地用方程零点集描述的对象，代数几何引入了“概形”（scheme）的概念。概形是代数几何中的一个核心概念，它将代数簇的概念推广到了更为抽象和广阔的领域。 本章将为概形奠定基础，重点是“环的谱”（spectrum of a ring）。当我们从代数簇转向概形时，我们将视角从“方程的零点”转移到“代数结构本身”。环的谱，记作 $ ext{Spec}(R)$，是环 $R$ 的所有素理想的集合。这个集合装备了一个特殊的拓扑结构（Zariski 拓扑），以及一个“结构层”（structure sheaf）。 对于一个域 $K$ 上的多项式环 $K[x_1, dots, x_n]$，它的谱 $ ext{Spec}(K[x_1, dots, x_n])$ 与 $n$ 维仿射空间 $K^n$ 上的代数簇有着密切的联系。当我们考虑代数闭域时，$ ext{Spec}(K[x_1, dots, x_n])$ 中的极大理想就对应于 $K^n$ 中的点。素理想则对应于不可约代数簇。 然而，环的谱的威力在于它适用于任何交换环，而不仅仅是多项式环。这意味着我们可以使用环的谱来构造和研究比传统代数簇更一般的几何对象。例如，我们可以考虑整数环 $mathbb{Z}$ 的谱 $ ext{Spec}(mathbb{Z})$，它被称为“算术曲面”。这个谱的素理想包含了形如 $langle p angle$ 的素数 $p$ 的倍数理想，以及零理想 $langle 0 angle$。这表明，代数几何的思想可以应用于数论问题。 本章的重点将放在理解环的谱的拓扑结构，以及在谱上定义“齐次坐标”和“仿射开集”等几何概念。我们将学习如何从环的结构中“看到”几何性质，反之亦然。这是代数几何现代化的重要一步，它将代数几何的疆界从代数闭域上的代数簇拓展到了更广泛的数学对象。 结论 《代数几何导引》通过引入代数簇、理想、素理想以及概形等核心概念，为读者构建了一个理解和探索代数几何世界的坚实框架。本书强调代数方法与几何直觉的结合，通过大量的例题和详细的解释，力求使抽象的数学概念变得清晰易懂。我们希望本书能够激发读者对代数几何的兴趣，并为他们进一步深入研究这个迷人的数学分支打下坚实的基础。掌握代数几何的语言，意味着掌握了一种洞察数学结构本质的全新视角，这对于理解数学的许多前沿领域都至关重要。

评分☆☆☆☆☆

特征值和特征向量的章节，绝对是这本书中最令人兴奋的部分之一。我之前对这两个概念的理解一直停留在“乘以一个常数”的笼统印象上，觉得它们似乎离实际应用很远。然而，这本书却用一种非常生动的方式，将特征值和特征向量与“不变方向”联系起来，让我一下子就明白了它们的本质。作者解释说，当一个线性变换作用在一个向量上，如果这个向量的方向不变，只是长度发生了伸缩，那么这个向量就是这个线性变换的一个特征向量，而伸缩的比例就是对应的特征值。 这本书详细讲解了如何计算一个矩阵的特征值和特征向量，从求解特征方程到代入求向量，每一步都清晰明了，并配以大量的数值例子。更重要的是，作者没有止步于计算，而是深入探讨了特征值和特征向量的几何意义和应用。比如，在主成分分析（PCA）中，它们如何帮助我们找到数据中最主要的“方向”，从而实现降维；在动力学系统中，它们如何描述系统的稳定性；甚至在量子力学中，它们也扮演着至关重要的角色。这些应用让我惊叹于线性代数这门学科的普适性和强大生命力。

评分☆☆☆☆☆

矩阵作为线性代数的核心内容之一，在这本书中得到了详尽而深入的阐述。我一直觉得矩阵就是一堆数字的堆砌，但这本书让我看到了矩阵更深层次的含义和强大的功能。从矩阵的加法、减法、数乘，到最重要的矩阵乘法，作者都用非常直观的方式进行了解释，特别是矩阵乘法的结合律和分配律，以及它在坐标变换、线性映射等方面的应用，都给我留下了深刻的印象。我尤其欣赏的是，作者在讲解矩阵乘法时，不仅仅停留在定义上，还详细分析了它为什么是这样定义的，以及它的几何意义，比如将一个矩阵看作一个线性变换，那么两个矩阵相乘就相当于对向量进行一系列的线性变换。 此外，这本书还花了很多篇幅讲解了矩阵的各种运算和性质，比如转置、逆矩阵、伴随矩阵等等。让我印象深刻的是关于逆矩阵的求解，除了传统的伴随矩阵法和高斯消元法，作者还介绍了一些利用行列式性质来判断逆矩阵是否存在以及求解的方法，并给出了很多实际应用的例子。让我觉得不再是死记硬背公式，而是理解了这些运算背后的数学逻辑。这本书还将矩阵的秩、行空间、列空间、零空间这些概念清晰地呈现在我面前，让我明白它们如何共同描绘了一个矩阵的内在结构和特征，以及它们在求解线性方程组中的关键作用。

评分☆☆☆☆☆

这本书在讨论二次型和对角化时，真的是把我对抽象概念的理解提升了一个档次。我之前总觉得二次型就是一个包含平方项和交叉项的表达式，但这本书让我看到了它背后深刻的几何意义。作者首先从几何角度解释了二次型的曲面，比如椭圆、双曲线、抛物面等等，并且通过配方法和矩阵方法，将二次型化为标准形式，从而揭示了它的本质。 我尤其欣赏的是，这本书详细地讲解了如何通过对角化一个对称矩阵来简化二次型。作者一步步地展示了如何找到对称矩阵的特征向量，并用它们构成一个正交矩阵，然后通过相似变换将原矩阵化为对角矩阵。这个过程让我深刻地理解了特征值和特征向量在二次型中的作用，它们不仅决定了曲面的形状，还决定了曲面的“方向”。这本书还讨论了二次型的正定性、半正定性等概念，并且说明了它们在最优化问题中的重要性。

评分☆☆☆☆☆

这本书简直是把我从数学的混沌边缘拉了回来，让我重新看到了希望。一直以来，线性代数这个概念在我脑海里就像一团挥之不去的迷雾，抽象的符号、晦涩的定义，总是让我望而却步。然而，翻开这本《线性代数（第二版）》的扉页，我的心就踏实了不少。作者的开篇就用一种非常平易近人的方式，将线性代数的概念与我们生活中触手可及的例子联系起来，比如解决一组方程组，或者描述空间中的直线和平面。这不像我之前看过的那些教材，上来就抛出一堆公理定理，让人摸不着头脑。它更像是一位经验丰富的向导，一步一步地带领我探索这片看似神秘的数学领地。 从行列式的计算开始，作者就花了大量篇幅来讲解不同的计算方法，并配以大量的例题，从简单的二阶、三阶行列式，到更复杂的n阶行列式，每一步都讲解得非常细致，包括代数余子式、降阶法等等，甚至还提到了一些巧算的方法，让我觉得计算行列式不再是枯燥的任务，而是一种解谜的乐趣。更重要的是，它不仅仅停留在计算层面，还深入浅出地解释了行列式的几何意义，比如它表示的是向量组所张成的平行多面体的体积（或者说面积，在二维情况下），以及它在判断矩阵是否可逆、方程组是否有唯一解等方面的作用。这些解释让我恍然大悟，原来这些冰冷的数字背后，隐藏着如此丰富的几何直观和实际意义。

评分☆☆☆☆☆

这本书在向量空间部分的处理方式，可以说是颠覆了我对抽象数学的认知。我曾经以为向量空间就是一组满足某些特定性质的向量的集合，听起来就让人头疼。但是，这本书从一开始就将向量空间的概念与几何空间（比如我们熟悉的二维平面和三维空间）联系起来，让我们更容易理解。然后，它逐步引入了子空间、基、维度这些核心概念，并且通过大量的图示和具体的例子，将这些抽象的概念变得生动形象。比如，解释线性无关和极大线性无关组时，它会用图来展示一组向量是如何“撑满”一个空间的，以及当某个向量可以被其他向量线性表示时，它如何“多余”。 特别是关于基和维度的讲解，我花了很多时间反复琢磨。作者非常耐心地解释了为什么任何一个向量空间都可以找到一组基，并且这组基的向量个数是唯一的，这个唯一的个数就是向量空间的维度。他还举了多项式空间、函数空间等非几何意义上的向量空间例子，让我明白线性代数的应用远不止于几何。最后，通过求解线性方程组的解空间，以及讨论不同向量空间的同构，这本书将前面学到的所有概念融会贯通，让我对向量空间的理解上升到了一个新的高度，并且看到了它在机器学习、信号处理等领域中的巨大潜力。

评分☆☆☆☆☆

关于线性变换部分，这本书的处理方式简直是教科书级别的。我之前总是将线性变换看作是改变向量方向和长度的一个“黑盒子”，但这本书让我看到了它背后清晰的数学结构。作者首先从几何意义上引入了线性变换，比如旋转、伸缩、剪切等，并且通过大量的二维和三维图形展示了这些变换是如何作用在向量上的。然后，他将这些几何变换与矩阵联系起来，说明了每一个线性变换都可以用一个矩阵来表示，并且矩阵乘法就对应着线性变换的复合。 更重要的是，这本书深入探讨了线性变换的核（零空间）和像（值域）的概念，并且详细地解释了它们与矩阵的零空间和列空间的关系。这让我明白了线性变换是如何“压缩”向量空间的，以及它能将向量映射到哪个子空间。作者还讲解了线性变换的性质，比如保持直线不变的方向（特征向量），以及如何通过对角化矩阵来简化线性变换。这些知识不仅加深了我对线性变换的理解，还让我看到了它在图形学、计算机视觉等领域的广泛应用。

评分☆☆☆☆☆

虽然我还没深入研究到这本书的所有细节，但从目前阅读的章节来看，它在叙述上非常严谨，同时又充满了数学的魅力。作者在引入新概念时，总是先给出直观的解释，然后逐步过渡到严格的数学定义和定理。这使得我在学习过程中，既能理解概念的本质，又能掌握严谨的数学语言。而且，书中大量的例题和习题，从简单到复杂，覆盖了各个知识点，让我能够及时巩固所学，并且不断挑战自己。 我特别喜欢的一点是，书中并没有将数学知识孤立起来讲授，而是经常会穿插一些历史背景或者应用方面的介绍，这让我在学习的过程中，感受到了数学的生命力和它与现实世界的联系。例如，在介绍矩阵的诞生时，它会提到一些历史人物和他们的贡献；在讲解线性方程组的求解时，它会举一些实际工程问题的例子。这些都让我的学习过程不再枯燥，而是充满了探索的乐趣。

评分☆☆☆☆☆

我一直觉得线性代数中的“内积”和“正交”概念有些抽象，直到我读了这本书。作者首先从熟悉的欧几里得空间中的点积出发，引出了向量的长度（范数）和两个向量之间的夹角，这些概念都非常直观。然后，他将这些概念推广到了更一般的向量空间，引入了内积的概念，并且详细地阐述了内积的各种性质，比如对称性、线性性等。这些性质让我明白了内积是如何在抽象空间中“衡量”向量之间关系的。 最让我感到惊喜的是关于正交性的讲解。作者清楚地解释了正交向量在几何上的意义，即它们互相垂直，不受彼此的影响。然后，他进一步介绍了正交基和标准正交基的概念，并且详细地说明了如何构造正交基，比如格拉姆-施密特正交化方法。这本书还阐述了正交矩阵的性质，以及它在保持向量长度和夹角不变的几何变换中的作用。这些概念让我明白了为什么在很多算法中，比如傅里叶变换、奇异值分解等，都会用到正交性。

评分☆☆☆☆☆

这本书在探讨线性方程组的解法时，真是做到了面面俱到，而且讲解得非常细致。我之前接触过一些关于解方程组的内容，但往往都是零散的，缺乏系统性。这本书则系统地介绍了高斯消元法、高斯-约旦消元法，并且详细地分析了每一步操作的意义，比如行变换是如何改变方程组的，但又不改变其解集的。它还深入讲解了矩阵的初等行变换，以及如何通过初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形或简化行阶梯形，从而方便地判断方程组解的情况（唯一解、无穷多解、无解）。 更让我觉得这本书的价值在于，它不仅仅停留在求解方程组本身，而是将求解过程与矩阵的秩、行空间、列空间、零空间等概念紧密联系起来。通过分析系数矩阵和增广矩阵的秩，我们可以非常清晰地判断方程组的解的情况，并且还能确定解空间的维度。这本书还讨论了齐次线性方程组和非齐次线性方程组的区别，以及如何求解它们。我尤其欣赏的是，它还举了很多实际的例子，比如网络流问题、电路分析等，说明线性方程组在解决实际工程问题中的重要作用。

评分☆☆☆☆☆

总的来说，这本书给我的感觉是，它不仅仅是一本教材，更像是一位循循善诱的老师。它用清晰的逻辑、丰富的图示和大量的例题，将线性代数这门看似高深的学科，变得生动有趣，易于理解。我曾经对线性代数感到恐惧，但在这本书的引导下，我逐渐克服了内心的障碍，并且开始享受学习数学的乐趣。这本书的优点在于，它既有理论的深度，又有应用的广度，能够满足不同读者的需求。 我曾经尝试过阅读其他一些线性代数的书籍，但总感觉它们要么过于理论化，要么过于碎片化。而这本书在这方面做得非常好，它将复杂的概念一层层地剥开，并且将它们有机地联系起来，形成一个完整的知识体系。我最欣赏的是，作者在讲解过程中，始终保持着一种鼓励和启发式的态度，让我相信自己能够掌握这门学科。这本书无疑是我在学习线性代数道路上的一盏明灯，为我打开了新的视野，让我对数学的未来充满了期待。

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还行，是正版

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就不能包个纸壳吗？，差评

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正版

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书可以，适合入门

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书可以，适合入门