綫性代數（第二版） pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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李明芳 編

圖書標籤:

• 綫性代數
• 高等數學
• 數學教材
• 大學教材
• 理工科
• 矩陣
• 嚮量
• 行列式
• 方程組
• 數值計算

齣版社： 中國電力齣版社

ISBN：9787512381667

版次：2

商品編碼：11838434

包裝：平裝

叢書名： “十三五”普通高等教育本科規劃教材

開本：16開

齣版時間：2015-12-01

用紙：膠版紙

頁數：184

字數：280000

編輯推薦

　　《綫性代數（第二版）》可作為承認高等院校、繼續教育院校專升本、業餘大學及大學專科的教材，也可作為少學時工科院校的本科教材，還可作為科技工作者或其他在職人員的自學用書。

內容簡介

　　《綫性代數（第二版）》為“十三五”普通高等教育本科規劃教材。全書共分為六章，包括行列式、矩陣、嚮量空間、綫性方程組、矩陣的對角化、二次型等內容。各章末附有本章小結和自測題，最後還配有3套模擬試題。書末附習題參考答案，以供參考。本書概念清楚，重點突齣，層次清晰，說理淺顯，例題、習題內容豐富，難度適中。

前言/序言

《代數幾何導引》 引言 代數幾何，作為數學中一個既古老又充滿活力的分支，以其深刻的洞察力連接瞭抽象代數和幾何直覺，為我們理解高維空間和復雜結構提供瞭一種強大的語言。本書《代數幾何導引》旨在為讀者提供一個堅實的代數幾何基礎，引導他們深入探索這個迷人的領域。我們不再局限於歐幾裏得幾何或微分幾何的直觀圖像，而是擁抱一種更抽象、更強大的方法，通過代數方程的零點集來描述幾何對象。這種方法的威力在於，它能夠處理比我們日常經驗所能想象的更為廣闊和復雜的情況，並且能在高度抽象的層麵揭示數學對象之間深層的內在聯係。 本書的編寫風格力求嚴謹，同時又兼顧數學思想的清晰傳達。我們相信，理解抽象概念的最好方式是親手實踐，因此本書包含大量的例題和練習，旨在幫助讀者鞏固所學知識，並培養解決代數幾何問題的能力。讀者將學習如何使用交換代數工具來描述和分析幾何對象，如何理解變量之間的關係如何轉化為幾何形狀的性質，以及這些幾何形狀又如何反過來影響變量之間的代數關係。 第一章：域上的多項式環與代數簇 本章是整個代數幾何的起點，我們首先要建立起研究的基礎。我們將從域（field）的概念入手，理解域是如何提供一個穩定的算術環境，使得我們能夠進行加、減、乘、除等基本運算，並且這些運算具有良好的性質。例如，實數域 $mathbb{R}$ 和復數域 $mathbb{C}$ 是我們最熟悉的域。 接著，我們將引入多項式環（polynomial ring）的概念。在某個域 $K$ 上，變量 $x_1, x_2, dots, x_n$ 的多項式構成的集閤，加上多項式加法和乘法運算，就形成瞭一個多項式環，記作 $K[x_1, x_2, dots, x_n]$。多項式環的結構是研究代數幾何的關鍵。多項式本身可以被看作是抽象的“代數對象”，而當我們將多項式的值域限定在某個域時，它們就能夠描述幾何空間中的“麯麵”。 最核心的概念“代數簇”（algebraic variety）將在本章被引入。代數簇是在某個域 $K$ 上的 $n$ 維仿射空間 $K^n$ 中，由一組多項式方程的公共零點組成的幾何對象。換句話說，如果我們考慮一組多項式 $f_1, f_2, dots, f_m in K[x_1, x_2, dots, x_n]$，那麼代數簇 $V(f_1, f_2, dots, f_m)$ 就定義為： $$ V(f_1, f_2, dots, f_m) = { (a_1, a_2, dots, a_n) in K^n mid f_i(a_1, a_2, dots, a_n) = 0 ext{ for all } i = 1, dots, m } $$ 我們將會看到，代數簇的幾何性質與其定義它們的理想（ideal）密切相關。理想是多項式環的一個重要子集，它具有特殊的性質，使得代數簇的結構能夠被很好地刻畫。例如，我們將探討零點集與理想之間的關係，例如希爾伯特零點定理（Hilbert's Nullstellensatz），這是代數幾何中的基石之一，它建立瞭代數簇和多項式環的理想之間的深刻聯係。 我們將通過具體的例子來闡明這些概念。例如，在二維平麵 $mathbb{R}^2$ 中，方程 $x^2 + y^2 - 1 = 0$ 定義瞭一個圓，這是一個代數簇。方程 $y - x^2 = 0$ 定義瞭一個拋物綫，這也是一個代數簇。我們還將探討更高維空間中的代數簇，以及它們如何通過多項式方程的組閤來定義。 第二章：理想與代數簇之間的對應 本章將深入探討代數簇與其定義理想之間的深刻而精妙的對應關係。我們已經知道，一個代數簇由一組多項式方程的公共零點構成。然而，值得注意的是，不同的多項式組可能定義同一個代數簇。例如，在 $mathbb{R}^2$ 中，方程 $x^2 + y^2 - 1 = 0$ 定義瞭一個圓。那麼，方程 $2(x^2 + y^2 - 1) = 0$ 也定義瞭同一個圓。這錶明，我們不能僅僅通過多項式方程的集閤來唯一地刻畫代數簇。 代數幾何的解決方案是引入“理想”的概念。一個理想 $I$ 是多項式環 $K[x_1, dots, x_n]$ 的一個子集，滿足以下兩個條件： 1. 如果 $f, g in I$，那麼 $f+g in I$。 2. 如果 $f in I$ 且 $h in K[x_1, dots, x_n]$，那麼 $hf in I$。 對於一個代數簇 $V$，我們定義與它相關的理想為 $mathcal{I}(V) = { f in K[x_1, dots, x_n] mid f(a) = 0 ext{ for all } a in V }$。也就是說，$mathcal{I}(V)$ 包含瞭所有在代數簇 $V$ 的所有點上都取值為零的多項式。 反過來，對於多項式環中的一個理想 $I$，我們定義與它對應的代數簇為 $V(I) = { a in K^n mid f(a) = 0 ext{ for all } f in I }$。 本章的核心目標就是研究理想和代數簇之間的這種“對偶性”。我們將證明，通過理想，我們可以建立起一個關於代數簇的精確的、唯一的描述。希爾伯特零點定理在這一章扮演著至關重要的角色。它建立瞭理想和代數簇之間的雙射關係，尤其是在代數閉域（algebraically closed field）上。一個域是代數閉的，如果該域上的任何非空代數簇（看作是該域上的仿射空間中的零點集）至少有一個點。復數域 $mathbb{C}$ 是一個代數閉域。 希爾伯特零點定理告訴我們，對於代數閉域 $K$ 上的多項式環 $K[x_1, dots, x_n]$，存在一個到代數簇的理想的“逆映射”，並且這個映射將根理想（radical ideal）一一對應到代數簇。根理想是指，如果 $f^m in I$（其中 $m$ 是正整數），那麼 $f in I$。這個定理揭示瞭代數對象（理想）和幾何對象（代數簇）之間深刻的內在聯係。 我們將通過一係列例子來展示這個對應關係。例如，我們將會看到，一個理想的生成元（generators）決定瞭代數簇的方程。理解理想的結構，例如素理想（prime ideal）和極大理想（maximal ideal），將有助於我們理解代數簇的結構，例如不可約代數簇（irreducible algebraic variety）和點（points）。 第三章：不可約代數簇與多項式環的素理想 在代數幾何中，我們常常希望將復雜的代數簇分解成更簡單的“基本單元”。不可約代數簇就是這樣一種基本單元。一個代數簇 $V$ 被稱為不可約的，如果它不能錶示為兩個非空真子簇的並集，即 $V eq V_1 cup V_2$，其中 $V_1, V_2$ 是 $V$ 的非空真代數子簇。 本章將建立不可約代數簇與多項式環的素理想之間的深刻聯係。一個理想 $P$ 被稱為素理想，如果當 $fg in P$ 時，則 $f in P$ 或 $g in P$。簡單來說，素理想就類似於整數中的素數，它們在乘法上有“不可約性”。 我們將證明，一個代數簇 $V$ 是不可約的，當且僅當它的關聯理想 $mathcal{I}(V)$ 是一個素理想。這個結果是代數幾何中的一個關鍵定理，它為我們提供瞭一種通過研究代數對象（素理想）來理解幾何對象（不可約代數簇）的方法。 在代數閉域上，這個對應關係更為直接。對於一個代數閉域 $K$，我們有： $V$ 是一個不可約代數簇 $iff mathcal{I}(V)$ 是一個素理想。 $W$ 是一個點 $iff mathcal{I}(W)$ 是一個極大理想。 極大理想是素理想的一個特例，它不能被任何其他真理想包含。在代數閉域上，點對應的理想是關於代數簇結構的“最細粒度”。 本章將通過大量例子來闡釋這些概念。例如，我們將看到，二維平麵上的直綫 $ax+by+c=0$ 是一個不可約代數簇，其關聯理想是形如 $langle ax+by+c angle$ 的主理想，它是一個素理想。而二維平麵上的兩條直綫的並集，例如 $x^2 - y^2 = 0$，則是一個可約代數簇，它是由兩條直綫 $y=x$ 和 $y=-x$ 構成的，其關聯理想是 $langle x^2 - y^2 angle = langle (x-y)(x+y) angle$，這不是一個素理想，因為它包含 $(x-y)(x+y)$，但既不包含 $(x-y)$ 也不包含 $(x+y)$。 理解不可約分解對於研究代數簇的結構至關重要。任何代數簇都可以唯一地分解為其不可約子簇的並集，這類似於整數的素因數分解。 第四章：概形初步：環的譜 代數幾何的發展並沒有止步於“點”和“方程”。為瞭更一般、更統一地處理幾何對象，並且能夠處理那些不能簡單地用方程零點集描述的對象，代數幾何引入瞭“概形”（scheme）的概念。概形是代數幾何中的一個核心概念，它將代數簇的概念推廣到瞭更為抽象和廣闊的領域。 本章將為概形奠定基礎，重點是“環的譜”（spectrum of a ring）。當我們從代數簇轉嚮概形時，我們將視角從“方程的零點”轉移到“代數結構本身”。環的譜，記作 $ ext{Spec}(R)$，是環 $R$ 的所有素理想的集閤。這個集閤裝備瞭一個特殊的拓撲結構（Zariski 拓撲），以及一個“結構層”（structure sheaf）。 對於一個域 $K$ 上的多項式環 $K[x_1, dots, x_n]$，它的譜 $ ext{Spec}(K[x_1, dots, x_n])$ 與 $n$ 維仿射空間 $K^n$ 上的代數簇有著密切的聯係。當我們考慮代數閉域時，$ ext{Spec}(K[x_1, dots, x_n])$ 中的極大理想就對應於 $K^n$ 中的點。素理想則對應於不可約代數簇。 然而，環的譜的威力在於它適用於任何交換環，而不僅僅是多項式環。這意味著我們可以使用環的譜來構造和研究比傳統代數簇更一般的幾何對象。例如，我們可以考慮整數環 $mathbb{Z}$ 的譜 $ ext{Spec}(mathbb{Z})$，它被稱為“算術麯麵”。這個譜的素理想包含瞭形如 $langle p angle$ 的素數 $p$ 的倍數理想，以及零理想 $langle 0 angle$。這錶明，代數幾何的思想可以應用於數論問題。 本章的重點將放在理解環的譜的拓撲結構，以及在譜上定義“齊次坐標”和“仿射開集”等幾何概念。我們將學習如何從環的結構中“看到”幾何性質，反之亦然。這是代數幾何現代化的重要一步，它將代數幾何的疆界從代數閉域上的代數簇拓展到瞭更廣泛的數學對象。 結論 《代數幾何導引》通過引入代數簇、理想、素理想以及概形等核心概念，為讀者構建瞭一個理解和探索代數幾何世界的堅實框架。本書強調代數方法與幾何直覺的結閤，通過大量的例題和詳細的解釋，力求使抽象的數學概念變得清晰易懂。我們希望本書能夠激發讀者對代數幾何的興趣，並為他們進一步深入研究這個迷人的數學分支打下堅實的基礎。掌握代數幾何的語言，意味著掌握瞭一種洞察數學結構本質的全新視角，這對於理解數學的許多前沿領域都至關重要。

評分☆☆☆☆☆

矩陣作為綫性代數的核心內容之一，在這本書中得到瞭詳盡而深入的闡述。我一直覺得矩陣就是一堆數字的堆砌，但這本書讓我看到瞭矩陣更深層次的含義和強大的功能。從矩陣的加法、減法、數乘，到最重要的矩陣乘法，作者都用非常直觀的方式進行瞭解釋，特彆是矩陣乘法的結閤律和分配律，以及它在坐標變換、綫性映射等方麵的應用，都給我留下瞭深刻的印象。我尤其欣賞的是，作者在講解矩陣乘法時，不僅僅停留在定義上，還詳細分析瞭它為什麼是這樣定義的，以及它的幾何意義，比如將一個矩陣看作一個綫性變換，那麼兩個矩陣相乘就相當於對嚮量進行一係列的綫性變換。 此外，這本書還花瞭很多篇幅講解瞭矩陣的各種運算和性質，比如轉置、逆矩陣、伴隨矩陣等等。讓我印象深刻的是關於逆矩陣的求解，除瞭傳統的伴隨矩陣法和高斯消元法，作者還介紹瞭一些利用行列式性質來判斷逆矩陣是否存在以及求解的方法，並給齣瞭很多實際應用的例子。讓我覺得不再是死記硬背公式，而是理解瞭這些運算背後的數學邏輯。這本書還將矩陣的秩、行空間、列空間、零空間這些概念清晰地呈現在我麵前，讓我明白它們如何共同描繪瞭一個矩陣的內在結構和特徵，以及它們在求解綫性方程組中的關鍵作用。

評分☆☆☆☆☆

特徵值和特徵嚮量的章節，絕對是這本書中最令人興奮的部分之一。我之前對這兩個概念的理解一直停留在“乘以一個常數”的籠統印象上，覺得它們似乎離實際應用很遠。然而，這本書卻用一種非常生動的方式，將特徵值和特徵嚮量與“不變方嚮”聯係起來，讓我一下子就明白瞭它們的本質。作者解釋說，當一個綫性變換作用在一個嚮量上，如果這個嚮量的方嚮不變，隻是長度發生瞭伸縮，那麼這個嚮量就是這個綫性變換的一個特徵嚮量，而伸縮的比例就是對應的特徵值。 這本書詳細講解瞭如何計算一個矩陣的特徵值和特徵嚮量，從求解特徵方程到代入求嚮量，每一步都清晰明瞭，並配以大量的數值例子。更重要的是，作者沒有止步於計算，而是深入探討瞭特徵值和特徵嚮量的幾何意義和應用。比如，在主成分分析（PCA）中，它們如何幫助我們找到數據中最主要的“方嚮”，從而實現降維；在動力學係統中，它們如何描述係統的穩定性；甚至在量子力學中，它們也扮演著至關重要的角色。這些應用讓我驚嘆於綫性代數這門學科的普適性和強大生命力。

評分☆☆☆☆☆

這本書在探討綫性方程組的解法時，真是做到瞭麵麵俱到，而且講解得非常細緻。我之前接觸過一些關於解方程組的內容，但往往都是零散的，缺乏係統性。這本書則係統地介紹瞭高斯消元法、高斯-約旦消元法，並且詳細地分析瞭每一步操作的意義，比如行變換是如何改變方程組的，但又不改變其解集的。它還深入講解瞭矩陣的初等行變換，以及如何通過初等行變換將增廣矩陣化為行階梯形或簡化行階梯形，從而方便地判斷方程組解的情況（唯一解、無窮多解、無解）。 更讓我覺得這本書的價值在於，它不僅僅停留在求解方程組本身，而是將求解過程與矩陣的秩、行空間、列空間、零空間等概念緊密聯係起來。通過分析係數矩陣和增廣矩陣的秩，我們可以非常清晰地判斷方程組的解的情況，並且還能確定解空間的維度。這本書還討論瞭齊次綫性方程組和非齊次綫性方程組的區彆，以及如何求解它們。我尤其欣賞的是，它還舉瞭很多實際的例子，比如網絡流問題、電路分析等，說明綫性方程組在解決實際工程問題中的重要作用。

評分☆☆☆☆☆

總的來說，這本書給我的感覺是，它不僅僅是一本教材，更像是一位循循善誘的老師。它用清晰的邏輯、豐富的圖示和大量的例題，將綫性代數這門看似高深的學科，變得生動有趣，易於理解。我曾經對綫性代數感到恐懼，但在這本書的引導下，我逐漸剋服瞭內心的障礙，並且開始享受學習數學的樂趣。這本書的優點在於，它既有理論的深度，又有應用的廣度，能夠滿足不同讀者的需求。 我曾經嘗試過閱讀其他一些綫性代數的書籍，但總感覺它們要麼過於理論化，要麼過於碎片化。而這本書在這方麵做得非常好，它將復雜的概念一層層地剝開，並且將它們有機地聯係起來，形成一個完整的知識體係。我最欣賞的是，作者在講解過程中，始終保持著一種鼓勵和啓發式的態度，讓我相信自己能夠掌握這門學科。這本書無疑是我在學習綫性代數道路上的一盞明燈，為我打開瞭新的視野，讓我對數學的未來充滿瞭期待。

評分☆☆☆☆☆

我一直覺得綫性代數中的“內積”和“正交”概念有些抽象，直到我讀瞭這本書。作者首先從熟悉的歐幾裏得空間中的點積齣發，引齣瞭嚮量的長度（範數）和兩個嚮量之間的夾角，這些概念都非常直觀。然後，他將這些概念推廣到瞭更一般的嚮量空間，引入瞭內積的概念，並且詳細地闡述瞭內積的各種性質，比如對稱性、綫性性等。這些性質讓我明白瞭內積是如何在抽象空間中“衡量”嚮量之間關係的。 最讓我感到驚喜的是關於正交性的講解。作者清楚地解釋瞭正交嚮量在幾何上的意義，即它們互相垂直，不受彼此的影響。然後，他進一步介紹瞭正交基和標準正交基的概念，並且詳細地說明瞭如何構造正交基，比如格拉姆-施密特正交化方法。這本書還闡述瞭正交矩陣的性質，以及它在保持嚮量長度和夾角不變的幾何變換中的作用。這些概念讓我明白瞭為什麼在很多算法中，比如傅裏葉變換、奇異值分解等，都會用到正交性。

評分☆☆☆☆☆

這本書簡直是把我從數學的混沌邊緣拉瞭迴來，讓我重新看到瞭希望。一直以來，綫性代數這個概念在我腦海裏就像一團揮之不去的迷霧，抽象的符號、晦澀的定義，總是讓我望而卻步。然而，翻開這本《綫性代數（第二版）》的扉頁，我的心就踏實瞭不少。作者的開篇就用一種非常平易近人的方式，將綫性代數的概念與我們生活中觸手可及的例子聯係起來，比如解決一組方程組，或者描述空間中的直綫和平麵。這不像我之前看過的那些教材，上來就拋齣一堆公理定理，讓人摸不著頭腦。它更像是一位經驗豐富的嚮導，一步一步地帶領我探索這片看似神秘的數學領地。 從行列式的計算開始，作者就花瞭大量篇幅來講解不同的計算方法，並配以大量的例題，從簡單的二階、三階行列式，到更復雜的n階行列式，每一步都講解得非常細緻，包括代數餘子式、降階法等等，甚至還提到瞭一些巧算的方法，讓我覺得計算行列式不再是枯燥的任務，而是一種解謎的樂趣。更重要的是，它不僅僅停留在計算層麵，還深入淺齣地解釋瞭行列式的幾何意義，比如它錶示的是嚮量組所張成的平行多麵體的體積（或者說麵積，在二維情況下），以及它在判斷矩陣是否可逆、方程組是否有唯一解等方麵的作用。這些解釋讓我恍然大悟，原來這些冰冷的數字背後，隱藏著如此豐富的幾何直觀和實際意義。

評分☆☆☆☆☆

這本書在嚮量空間部分的處理方式，可以說是顛覆瞭我對抽象數學的認知。我曾經以為嚮量空間就是一組滿足某些特定性質的嚮量的集閤，聽起來就讓人頭疼。但是，這本書從一開始就將嚮量空間的概念與幾何空間（比如我們熟悉的二維平麵和三維空間）聯係起來，讓我們更容易理解。然後，它逐步引入瞭子空間、基、維度這些核心概念，並且通過大量的圖示和具體的例子，將這些抽象的概念變得生動形象。比如，解釋綫性無關和極大綫性無關組時，它會用圖來展示一組嚮量是如何“撐滿”一個空間的，以及當某個嚮量可以被其他嚮量綫性錶示時，它如何“多餘”。 特彆是關於基和維度的講解，我花瞭很多時間反復琢磨。作者非常耐心地解釋瞭為什麼任何一個嚮量空間都可以找到一組基，並且這組基的嚮量個數是唯一的，這個唯一的個數就是嚮量空間的維度。他還舉瞭多項式空間、函數空間等非幾何意義上的嚮量空間例子，讓我明白綫性代數的應用遠不止於幾何。最後，通過求解綫性方程組的解空間，以及討論不同嚮量空間的同構，這本書將前麵學到的所有概念融會貫通，讓我對嚮量空間的理解上升到瞭一個新的高度，並且看到瞭它在機器學習、信號處理等領域中的巨大潛力。

評分☆☆☆☆☆

關於綫性變換部分，這本書的處理方式簡直是教科書級彆的。我之前總是將綫性變換看作是改變嚮量方嚮和長度的一個“黑盒子”，但這本書讓我看到瞭它背後清晰的數學結構。作者首先從幾何意義上引入瞭綫性變換，比如鏇轉、伸縮、剪切等，並且通過大量的二維和三維圖形展示瞭這些變換是如何作用在嚮量上的。然後，他將這些幾何變換與矩陣聯係起來，說明瞭每一個綫性變換都可以用一個矩陣來錶示，並且矩陣乘法就對應著綫性變換的復閤。 更重要的是，這本書深入探討瞭綫性變換的核（零空間）和像（值域）的概念，並且詳細地解釋瞭它們與矩陣的零空間和列空間的關係。這讓我明白瞭綫性變換是如何“壓縮”嚮量空間的，以及它能將嚮量映射到哪個子空間。作者還講解瞭綫性變換的性質，比如保持直綫不變的方嚮（特徵嚮量），以及如何通過對角化矩陣來簡化綫性變換。這些知識不僅加深瞭我對綫性變換的理解，還讓我看到瞭它在圖形學、計算機視覺等領域的廣泛應用。

評分☆☆☆☆☆

雖然我還沒深入研究到這本書的所有細節，但從目前閱讀的章節來看，它在敘述上非常嚴謹，同時又充滿瞭數學的魅力。作者在引入新概念時，總是先給齣直觀的解釋，然後逐步過渡到嚴格的數學定義和定理。這使得我在學習過程中，既能理解概念的本質，又能掌握嚴謹的數學語言。而且，書中大量的例題和習題，從簡單到復雜，覆蓋瞭各個知識點，讓我能夠及時鞏固所學，並且不斷挑戰自己。 我特彆喜歡的一點是，書中並沒有將數學知識孤立起來講授，而是經常會穿插一些曆史背景或者應用方麵的介紹，這讓我在學習的過程中，感受到瞭數學的生命力和它與現實世界的聯係。例如，在介紹矩陣的誕生時，它會提到一些曆史人物和他們的貢獻；在講解綫性方程組的求解時，它會舉一些實際工程問題的例子。這些都讓我的學習過程不再枯燥，而是充滿瞭探索的樂趣。

評分☆☆☆☆☆

這本書在討論二次型和對角化時，真的是把我對抽象概念的理解提升瞭一個檔次。我之前總覺得二次型就是一個包含平方項和交叉項的錶達式，但這本書讓我看到瞭它背後深刻的幾何意義。作者首先從幾何角度解釋瞭二次型的麯麵，比如橢圓、雙麯綫、拋物麵等等，並且通過配方法和矩陣方法，將二次型化為標準形式，從而揭示瞭它的本質。 我尤其欣賞的是，這本書詳細地講解瞭如何通過對角化一個對稱矩陣來簡化二次型。作者一步步地展示瞭如何找到對稱矩陣的特徵嚮量，並用它們構成一個正交矩陣，然後通過相似變換將原矩陣化為對角矩陣。這個過程讓我深刻地理解瞭特徵值和特徵嚮量在二次型中的作用，它們不僅決定瞭麯麵的形狀，還決定瞭麯麵的“方嚮”。這本書還討論瞭二次型的正定性、半正定性等概念，並且說明瞭它們在最優化問題中的重要性。

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酬和用

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書可以，適閤入門

評分☆☆☆☆☆

正版

評分☆☆☆☆☆

正版

評分☆☆☆☆☆

不錯～～～～～～～～～～～^_^

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書可以，適閤入門

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書可以，適閤入門

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