動力係統VIII 奇異理論II：應用 [Dynamical Systems Ⅷ: Singularity Theory Ⅱ:Applications] pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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[俄羅斯] 阿諾德（Amol'，V.I.） 著

圖書標籤:

• 動力係統
• 奇異理論
• 應用數學
• 非綫性動力學
• 分岔理論
• 拓撲學
• 災難理論
• 數學物理
• 控製理論
• 幾何學

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030234957

版次：1

商品編碼：12034545

包裝：精裝

叢書名： 國外數學名著係列（續一）（影印版）52

外文名稱：Dynamical Systems Ⅷ: Singularity Theory Ⅱ:Applications

開本：16開

齣版時間：2009-01-01

用紙：膠版紙

內容簡介

　　This volume of the Encyclopaedia is devoted to applications of singularity theory in mathematics and physics. The authors Arnol'd，Vasil'ev， Goryunov and Lyashko study bifurcation sets arising in various contexts such as the stability of singular points of dynamical systems， boundaries of the domains of ellipticity and hyperbolicity of partial differential equations， boundaries of spaces of oscillating linear equations with variable coefficients and boundaries of fundamental systems of solutions.
　　The book also treats applications of the following topics： functions on manifolds with boundary， projections of complete intersections， caustics， wave fronts， evolvents， maximum functions， shock waves， Petrovskij lacunas and generalizations of Newton's topological proof that Abelian integrals are transcendental.
　　The book contains a list of open problems， conjectures and directions for future research.
　　It will be of great interest for mathematicians and physicists as a reference and research aid.

內頁插圖

目錄

Singularity Theory II Classification and Applications
V.I Arnol'd，V.V Goryunov，O.V Lyashko，V.A Vasil'ev
Translated from the Russian by J.S Joel
Contents
Foreword
Chapter 1. Classification of Functions and Mappings 8
1. Functions on a Manifold with Boundary 8
1.1. Classification of Functions on a Manifold with a Smooth Boundary 8
1.2. Versal Deformations and Bifurcation Diagrams 11
1.3. Relative Homology Basis 14
1.4. Intersection Form 14
1.5. Duality of Boundary Singularities 17
1.6. Functions on a Manifold with a Singular Boundary 17
2. Complete Intersections 20
2.1. Start of the Classification 21
2.2. Critical and Discriminant Sets 24
2.3. The Nonsingular Fiber 26
2.4. Relations Between the Tyurina and Milnor Numbers 28
2.5. Adding a Power of a New Variable 29
2.6. Relative Monodromy 29
2.7. Dynkin Diagrams 30
2.8. Parabolic and Hyperbolic Singularities 31
2.9. Vector Fields on a Quasihomogeneous Complete Intersection 33
2.10. The Space of a Miniversal Deformation of a Quasihomogeneous Singularity 35
2.11. Topological Triviality of Versal Deformations 36
3. Projections and Left-Right Equivalence 37
3.1. Projections of Space Curves onto the Plane 38
3.2. Singularities of Projections of Surfaces onto the Plane 39
3.3. Projections of Complete Intersections 43
3.4. Projections onto the Line 47
3.5. Mappings of the Line into the Plane 57
3.6. Mappings of the Plane into Three-Space 59
4. Nonisolated Singularities of Functions 65
4.1. Transversal Type of a Singularity 65
4.3. Topology of the Nonsingular Fiber 66
4.4. Series of Isolated Singularities 67
4.5. The Number of Indices of a Series 68
4.6. Functions with a One-Dimensional Complete Intersection as Critical Set and with Transversal Type Ai 69
5. Vector Fields Tangent to Bifurcation Varieties 79
5.1. Functions on Smooth Manifolds 79
5.2. Projections onto the Line 81
5.3. Isolated Singularities of Complete Intersections 82
5.4. The Equation of a Free Divisor 84
6. Divergent and Cyclic Diagrams of Mappings 84
6.1. Germs of Smooth Functions 85
6.2. Envelopes 85
6.3. Holopmorphic Diagrams 87
Chapter 2. Applications of the Classification of Critical Points of Functions 88
1. Legendre Singularities 88
1.1. Equidistants 89
1.2. Projective Duality 90
1.3. Legendre Transformation 90
1.4. Singularities of Pedals and Primitives 91
1.5. The Higher-Dimensional Case 91
2. Lagrangian Singularities 92
2.1. Caustics 92
2.2. The Manifold of Centers 93
2.3. Caustics of Systems of Rays 94
2.4. The Gauss Map 95
2.5. Caustics of Potential Systems of Noninteracting Particles 95
2.6. Coexistence of Singularities 97
3. Singularities of Maxwell Sets 98
3.1. Maxwell Sets 98
3.2. Metamorphoses of Maxwell Sets 100
3.3. Extended Maxwell Sets 103
3.4. Complete Maxwell Set Close to the Singularity As 106
3.5. The Structure of Maxwell Sets Close to the Metamorphosis As 110
3.6. Enumeration of the Connected Components of Spaces of Nondegenerate Polynomials 112
4. Bifurcations of Singular Points of Gradient Dynamical Systems 113
4.1. Thom's Conjecture 114
4.2. Singularities of Corank One 115
4.3. Guckenheimer's Counterexample 116
4.4. Three-Parameter Families of Gradients 117
4.5. Normal Forms of Gradient Systems D4 118
4.6. Bifurcation Diagrams and Phase Portaits of Standard Families 118
4.7. Multiparameter Families 120
Chapter 3. Singularities of the Boundaries of Domains of Function Spaces 121
1. Boundary of Stability 122
1.1. Domains of Stability 122
1.2. Singularities of the Boundary of Stability in Low-Dimensional Spaces 122
1.3. Stabilization Theorem 123
1.4. Finiteness Theorem 124
2. Boundary of Ellipticity 124
2.1. Domains of Ellipticity 124
2.2. Stabilization Theorems 124
2.3. Boundaries of Ellipticity and Minimum Functions 125
2.4. Singularities of the Boundary of Ellipticity in Low-Dimensional Spaces 126
3. Boundary of Hyperbolicity 127
3.1. Domain of Hyperbolicity 127
3.2. Stabilization Theorems 127
3.3. Local Hyperbolicity 128
3.4. Local Properties of Domains of Hyperbolicity 129
4. Boundary of the Domain of Fundamental Systems 131
4.1. Domain of Fundamental Systems and the Bifurcation Set 131
4.2. Singularities of Bifurcation Sets of
Generic Three-Parameter Families 132
4.3. Bifurcation Sets and Schubert Cells 136
4.4. Normal Forms 140
4.5. Duality 141
4.6. Bifurcation Sets and Tangential Singularities 142
4.7. The Group of Transformations of Sets and Finite Determinacy. 143
4.8. Bifurcation Diagrams of Flattenings of Projective Curves 145
S 5. Linear Differential Equations and Complete Flag Manifolds 146
Chapter 4. Applications of Ramified Integrals and Generalized Picard-Lefschetz Theories 149
1. Newton's Theorem on Nonintegrability 150
1.1. Newton's Theorem and Ar

前言/序言

　　要使我國的數學事業更好地發展起來，需要數學傢淡泊名利並付齣更艱苦地努力。另一方麵，我們也要從客觀上為數學傢創造更有利的發展數學事業的外部環境，這主要是加強對數學事業的支持與投資力度，使數學傢有較好的工作與生活條件，其中也包括改善與加強數學的齣版工作。
　　從齣版方麵來講，除瞭較好較快地齣版我們自己的成果外，引進國外的先進齣版物無疑也是十分重要與必不可少的。從數學來說，施普林格（Springer）齣版社至今仍然是世界上最具權威的齣版社。科學齣版社影印一批他們齣版的好的新書，使我國廣大數學傢能以較低的價格購買，特彆是在邊遠地區工作的數學傢能普遍見到這些書，無疑是對推動我國數學的科研與教學十分有益的事。
　　這次科學齣版社購買瞭版權，一次影印瞭23本施普林格齣版社齣版的數學書，就是一件好事，也是值得繼續做下去的事情。大體上分一下，這23本書中，包括基礎數學書5本，應用數學書6本與計算數學書12本，其中有些書也具有交叉性質。這些書都是很新的，2000年以後齣版的占絕大部分，共計16本，其餘的也是1990年以後齣版的。這些書可以使讀者較快地瞭解數學某方麵的前沿，例如基礎數學中的數論、代數與拓撲三本，都是由該領域大數學傢編著的“數學百科全書”的分冊。對從事這方麵研究的數學傢瞭解該領域的前沿與全貌很有幫助。按照學科的特點，基礎數學類的書以“經典”為主，應用和計算數學類的書以“前沿”為主。這些書的作者多數是國際知名的大數學傢，例如《拓撲學》一書的作者諾維科夫是俄羅斯科學院的院士，曾獲“菲爾茲奬”和“沃爾夫數學奬”。這些大數學傢的著作無疑將會對我國的科研人員起到非常好的指導作用。
　　當然，23本書隻能涵蓋數學的一部分，所以，這項工作還應該繼續做下去。更進一步，有些讀者麵較廣的好書還應該翻譯成中文齣版，使之有更大的讀者群。
　　總之，我對科學齣版社影印施普林格齣版社的部分數學著作這一舉措錶示熱烈的支持，並盼望這一工作取得更大的成績。

動力係統學中的前沿探索：從基礎到極限的理論構建與實際應用 第一部分：經典動力係統的深化與拓展 本書並非聚焦於奇異性理論在動力係統中的具體應用，而是深入探討動力係統理論體係的另一重要分支——定性理論的精細化研究及其在復雜係統建模中的應用。我們將沿著經典拓撲動力學、光滑動力學以及保結構動力學的路徑，構建一個嚴謹而廣闊的理論框架，為理解宏觀現象的微觀機製提供堅實的數學基礎。 第一章：遍曆理論的最新進展與測度空間中的動力學 本章著重於馬爾可夫過程、Ergodic Theory（遍曆理論）在非均勻測度空間上的推廣。我們不再滿足於經典勒貝格測度下的不變測度的存在性證明，而是轉嚮研究粗糙測度（Rough Measures）下動力係統的遍曆性質。 1.1 非平移不變係統的遍曆性：探討在具有時變性或空間依賴性的係統中，如何定義和尋找“廣義不變測度”。這要求我們引入新的工具，例如隨機微分方程（SDEs）在希爾伯特空間上的推廣形式，並研究其解的漸近分布的平穩性。 1.2 熵理論的精化：介紹相對熵（Relative Entropy）和條件熵（Conditional Entropy）在信息論動力學中的應用。重點分析係統的信息産生速率，特彆是對於高維混沌係統的拓撲熵與度量熵之間的精確關係，以及如何利用這些熵值來量化係統的不可預測性。這部分內容將涉及最新的拓撲動力學與信息幾何學的交叉成果。 1.3 正則性與粗糙性：研究動力係統解的正則性對遍曆性的影響。當係統由一階微分方程演化時，其解的連續性是基礎。本章將分析次黎曼幾何（Sub-Riemannian Geometry）框架下，非光滑流形的動力學行為，特彆是其不變集上的測度如何被“扭麯”。 第二章：結構保持積分係統與李雅普諾夫穩定性分析的拓展 本章的重點在於動力係統的保守性與穩定性分析，但我們超越瞭標準的哈密頓係統，關注於更廣義的結構保持係統。 2.1 辛幾何與模空間的動力學：深入探討辛流形上的動力學，特彆是當係統維度較高時，李雅普諾夫指數的計算麵臨的數值睏難和理論挑戰。我們引入模空間（Moduli Space）的概念，研究參數化係統的穩定性如何隨著結構參數的變化而變化。 2.2 保辛流的長期行為：分析高維、大時間尺度下保辛係統的長期行為。重點探討 KAM 定理（Kolmogorov–Arnold–Moser Theorem）的推廣形式，以及在何種非微擾條件下，係統能夠保持準周期運動，避免進入完全混沌狀態。這涉及到對“可積性”的更精細的代數幾何刻畫。 2.3 能量與對稱性的相互作用：從諾特定理的視角齣發，探討係統中內稟的對稱性如何直接決定瞭守恒量（積分）的存在性。本章將結閤微分代數的方法，係統性地尋找非標準守恒量，例如與流形結構相關的拓撲不變量。 第二部分：復雜網絡中的動力學建模與控製 本部分將動力係統的理論工具應用於描述和控製復雜網絡現象，關注於非綫性耦閤係統的集體行為。 第三章：耦閤振蕩器網絡的同步與解耦 同步現象是復雜網絡中最引人注目的集體行為之一。本章旨在提供一套嚴謹的數學工具來分析和設計同步行為。 3.1 廣義耦閤算子：超越傳統的歐幾裏得距離耦閤，我們研究基於圖拉普拉斯矩陣的非對稱、非局部耦閤算子。分析在這些非標準耦閤作用下，同步的臨界耦閤強度（Critical Coupling Strength）是如何確定的。 3.2 多尺度同步分析：在包含不同時間尺度振蕩子的網絡中（例如快慢變量），同步的齣現往往是分層的。本章采用平均場理論（Mean-Field Theory）與慢流近似（Slow Flow Approximation）相結閤的方法，解析地分離齣快變量驅動下的慢動力學，並研究慢變量上的集體同步狀態。 3.3 去同步化與網絡魯棒性：研究如何通過最小化的外部乾預（如刪除少量節點或增加噪聲）來破壞已形成的同步狀態。這直接關係到網絡通信或生物節律的魯棒性，涉及到圖論中的最小割（Min-Cut）問題與動力係統的穩定性分析的結閤。 第四章：時變網絡的拓撲演化與動力學適應 現代係統（如社交網絡、神經元網絡）的連接結構是隨時間變化的。本章探討動態拓撲對係統整體動力學的影響。 4.1 隨機過程與圖的演化：將網絡的連接變化建模為馬爾可夫跳躍過程或隨機微分方程。重點分析係統的動力學軌跡如何在其演化的拓撲空間中“漂移”。 4.2 適應性動力係統：研究網絡節點自身的動力學規則會反過來影響網絡拓撲的係統（如反應-擴散網絡）。我們分析拓撲反饋機製下的穩態解，即哪些網絡結構是係統自洽演化的最終歸宿。 4.3 非綫性偏微分方程（PDEs）在網絡傳播中的應用：將網絡中的信息或疾病傳播過程，通過平均場近似轉化為連續的非綫性PDEs。研究這些PDEs在具有時變邊界條件或時變係數下的解的結構穩定性，特彆關注波的傳播速度與網絡拓撲結構間的關係。 第三部分：計算動力學與高維係統分析 本部分關注在實際計算中處理高維非綫性係統的方法論，重點在於降維與特徵提取。 第五章：不變流形理論的數值實現與不確定性量化 對於復雜係統，往往隻有特定的低維不變流形（如吸引子、鞍點集）纔對長期行為起決定性作用。 5.1 中心流形計算的誤差分析：係統地迴顧和比較計算中心流形（Center Manifold）和不變流形的數值算法，例如基於泰勒展開、核函數近似或投影方法的優缺點。關鍵在於量化計算近似帶來的誤差如何影響係統在臨界點附近的穩定性判斷。 5.2 高維係統的龐加萊截麵與特徵提取：針對高維吸引子的分析，引入多重龐加萊截麵法，以揭示係統復雜幾何結構中的低維投影特徵。本章將詳細討論如何利用主成分分析（PCA）和非綫性降維技術（如Isomap、t-SNE）來有效地“發現”係統內在的低維動力學結構，而不依賴於先驗的物理模型。 第六章：隨機擾動下的結構穩定性與Hopf分岔的泛函分析 本章將隨機性視為係統固有的組成部分，而非外部乾擾，並研究係統在隨機驅動下的分岔行為。 6.1 隨機Hopf分岔理論：研究具有廣義乘性噪聲的動力係統如何産生隨機極限環。重點分析噪聲誘導的（Noise-Induced）穩定性和分岔點，這與確定性係統中的分岔有著本質的區彆。我們將使用隨機積分和伊藤微積分的工具來精確描述噪聲對係統穩定性的影響。 6.2 泛函驅動係統：探討係統的演化不僅依賴於當前狀態，還依賴於過去狀態集閤的係統（例如，具有延遲項的係統）。分析這些延遲微分方程（DDEs）的極限環的穩定性和其對延遲參數的敏感性。延遲項的引入極大地豐富瞭係統的分岔類型，本章將係統分類這些新的分岔結構。 6.3 係統的可控性與可觀測性在隨機環境下的重定義：在存在噪聲的情況下，如何用最小的輸入實現對係統狀態的精確控製（可控性），以及如何從含有噪聲的觀測數據中可靠地估計係統真實狀態（可觀測性）。這要求我們引入卡爾曼濾波的非綫性擴展——擴展卡爾曼濾波器（EKF）和粒子濾波器（PF）的理論基礎及其在復雜動力係統狀態估計中的局限性。

評分☆☆☆☆☆

當我在書店的架子上看到《動力係統VIII 奇異理論II：應用》這本書時，第一個反應就是，這肯定是一本需要靜下心來，細細品味的學術著作。從書名就能感受到其內容的專業性和深度。“動力係統”本身就指嚮瞭研究事物如何隨時間變化的學科，“奇異理論”則暗示著對那些看似“不規則”或“突變”現象的關注，而“應用”二字則勾勒齣瞭將這些理論應用於現實世界的廣闊前景。我大膽推測，這本書的讀者可能以大學教師、科研人員以及高年級理工科學生為主，他們需要在專業領域進行深入研究，或者需要為復雜的工程問題尋找數學模型。這本書的裝幀設計，我想象中應該是比較樸實而又具備學術氣息的，可能不會有過多的花哨裝飾，但字跡清晰，排版嚴謹。我非常好奇，書中會如何通過數學的語言來描繪那些在自然界或社會生活中隨處可見的“奇異”現象，比如蝴蝶效應的放大，或者市場經濟的突然崩潰。這本書的齣版，無疑為相關領域的研究者提供瞭一個重要的數據源和理論參考，也讓對科學的嚴謹性和普適性充滿好奇的人們，得以窺探到理解復雜世界的鑰匙。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計相當引人注目，深邃的藍色背景上，金色的奇異吸引子圖案如同宇宙中的星雲，散發著神秘而迷人的光芒。當我第一次拿到《動力係統VIII 奇異理論II：應用》時，就被這種視覺衝擊力所吸引。雖然我並不是理論物理學的專業人士，但對數學和自然科學的廣泛興趣讓我對這類探討事物本質和演化規律的書籍情有獨鍾。這本書的定價對於一本學術專著來說，似乎也頗具分量，這讓我對其中蘊含的知識深度和研究價值有瞭更高的期待。我推測，這本書的讀者群體應該相當專業，可能是在數學、物理、工程甚至經濟學等領域進行前沿研究的學者、研究生，抑或是對動力係統和奇異性概念有著深厚興趣的愛好者。對於我這樣的普通讀者而言，雖然可能難以完全消化其中的艱深理論，但單單從書名中“奇異理論”和“應用”這兩個詞匯，就能感受到它所要揭示的關於世界運行機製中那些非綫性、不規則但又具有深刻內在規律的現象。我很好奇，書中會如何將抽象的數學概念與實際的應用場景相結閤，例如在描述天氣變化、金融市場波動，甚至是生物體的生長發育過程中，奇異理論能扮演怎樣的角色。這本書的齣版，無疑是為該領域的研究者提供瞭一扇深入探索的窗口，也為渴望理解復雜世界背後邏輯的求知者們開啓瞭一扇充滿挑戰但也令人興奮的大門。

評分☆☆☆☆☆

這本《動力係統VIII 奇異理論II：應用》的名字本身就散發著一種嚴謹而又富有探索精神的氣息。當我看到“奇異理論II”這個後綴時，不禁聯想到它必定是在“奇異理論I”的基礎上進行瞭更深入的挖掘和拓展，並且重點在於“應用”層麵。這意味著，書中可能不僅僅是純粹的數學推導和理論構建，而是會將這些抽象的數學工具應用於解釋現實世界中的各種復雜現象。我猜測，這本書的篇幅應該不小，內容也勢必相當紮實，可能包含瞭大量的公式、定理、證明，以及對這些理論在不同學科領域中的實際案例分析。對於非專業人士來說，理解起來可能需要一定的數學基礎和邏輯思維能力。然而，正是這種對復雜問題的深入剖析，以及將理論與實踐相結閤的嘗試，纔使得這本書具有瞭非凡的價值。我想象著書中可能涉及到的案例，或許是從微觀粒子世界的混沌行為，到宏觀宇宙的結構演化，亦或是社會經濟係統的動態變化。這本書的齣現，為我們理解那些看似無序卻又暗藏規律的現象提供瞭一個強有力的理論框架。我非常期待能夠通過閱讀這本書，提升自己對科學方法論的理解，並嘗試用更具洞察力的視角去觀察和分析周圍的世界。

評分☆☆☆☆☆

《動力係統VIII 奇異理論II：應用》這個書名，在我看來，傳遞齣一種探索未知、揭示規律的科學精神。當我第一次看到它時，腦海中立刻浮現齣那些復雜而精妙的數學模型，以及它們如何被用來解釋我們周圍世界的種種現象。我猜想，這本書的讀者群體應該是對數學和科學有著高度熱情的專業人士，他們可能正在研究如何預測天氣變化，如何設計更穩定的機械係統，或者如何理解金融市場的波動。而“奇異理論II：應用”這個副標題，則錶明這本書在前代研究的基礎上，進一步深化瞭對“奇異”之處的理論理解，並著重於將這些理論成果轉化為實際可行的解決方案。這讓我聯想到，書中可能包含瞭很多具體的案例分析，通過嚴謹的數學推導，來闡釋奇異理論在各個學科領域的應用價值。對於我這樣的普通讀者而言，雖然可能無法完全理解其中的數學公式，但光是想象它能夠解釋那些看似偶然卻又必然發生的“奇異”事件，就已經充滿瞭吸引力。這本書的齣現，無疑是對動力係統和奇異性理論研究的一次重要推進，也為渴望理解世界運行機製的求知者提供瞭更為廣闊的視野。

評分☆☆☆☆☆

《動力係統VIII 奇異理論II：應用》這個書名，在我看來，代錶著一種對事物內在規律的深度挖掘和對現實世界復雜性的深刻洞察。我猜想，這本書的作者一定在動力係統和奇異性理論領域有著極為深厚的造詣。尤其“應用”二字，則錶明這本書的重點並不僅僅停留在理論層麵，而是緻力於將這些抽象的數學工具轉化為解決實際問題的有力武器。這本書的讀者群體，我推測大概是那些緻力於在各自領域解決復雜問題的研究人員，例如在物理學中模擬不穩定性現象，在工程學中分析係統故障，甚至在生物學中解釋細胞分化過程。它可能包含瞭一些前沿的研究成果，為同行提供瞭新的研究思路和技術手段。對於我這樣的普通讀者而言，雖然可能難以完全理解書中的數學推導，但僅僅從它所涵蓋的“應用”領域，就足以引發我無限的遐想。我很好奇，書中會如何以奇異理論的視角來解析那些我們日常生活中習以為常，但背後卻蘊含著復雜演化規律的現象。這本書的齣現，無疑是對該領域知識的一次重要充實和發展，也為渴望深入理解世界運行機製的讀者們提供瞭一份寶貴的精神食糧。