同济大学数学系列教材 线性代数

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同济大学数学系 著
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  • 矩阵
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出版社: 人民邮电出版社
ISBN:9787115422750
版次:1
商品编码:12123550
包装:平装
丛书名: 同济大学数学系列教材
开本:16开
出版时间:2017-01-01
用纸:胶版纸
页数:178
正文语种:中文

具体描述

编辑推荐

1.全书内容联系紧密,紧扣“为什么要引入这些概念和知识”,采用追问形式、层层深入,既符合数学上的逻辑性,又符合学生的思维顺序,有效地避免了概念呈现的突兀性;
2.语言紧凑简洁但又力求通俗易懂, “细教材,粗讲解”, 以直观的几何空间为例,降低了其抽象程度,比较适合学生自学;
3.要求学生自己证明的不太难的小命题多,这样处理既可以让教材语言简洁,还可以培养和锻炼学生的证明能力,《线性代数》这门课程不仅仅要求培养学生的计算能力,更应看重其对学生的抽象能力和逻辑证明能力的培养;
4.利用二维码方式增加扩展阅读等内容,让学生对线性代数的发展有所了解,而且可以适当增加其兴趣。

内容简介

《线性代数》根据工科类本科“线性代数”课程教学基本要求,参考同济大学“线性代数”课程及教材建设的经验和成果,按照硕士研究生考研大纲的要求编写而成.编者在内容编排、概念叙述、定理证明等诸多方面都做了精心安排,以使全书结构流畅,主次分明,通俗易懂.
本书共分五章,包括线性方程组与矩阵、方阵的行列式、向量空间与线性方程组解的结构、相似矩阵及二次型、线性空间与线性变换.每小节配有习题,每章末配有拓展阅读和测试题,拓展阅读用于讲解线性代数发展的相关知识;测试题难度高于习题难度,用于学生加强练习,部分习题和测试题答案放于本书最后章节.另外,为了更加清楚地讲解每章的重点、难点以及典型例题,本书还配有微课视频.
本书可作为高等院校非数学类专业“线性代数”课程的教材,也可作为自学者的参考书.

作者简介

同济大学数学系始建于1945年,程其襄、杨武之、朱言钧、樊映川、张国隆、陆振邦等知名学者曾在此任教,并留下了《高等数学》等有全国影响的优秀教材。

目录

第一章 线性方程组与矩阵 1
第一节 矩阵的概念及运算 1
一、矩阵的定义 1
二、矩阵的线性运算 3
三、矩阵的乘法 4
四、矩阵的转置 6
习题1-1 7
第二节 分块矩阵 8
一、分块矩阵的概念 8
二、分块矩阵的运算 10
习题1-2 13
第三节 线性方程组与矩阵的初等变换 14
一、矩阵的初等变换 14
二、求解线性方程组 18
习题1-3 22
第四节 初等矩阵与矩阵的逆矩阵 23
一、方阵的逆矩阵 24
二、初等矩阵 25
三、初等矩阵与逆矩阵的应用 26
习题1-4 29
本章小结 31
拓展阅读 32
测试题一 33
第二章 方阵的行列式 35
第一节 行列式的定义 35
一、排列 35
二、n 阶行列式 37
三、几类特殊的n 阶行列式的值 39
习题2-1 41
第二节 行列式的性质 41
一、行列式的性质 41
二、行列式的计算举例 45
三、方阵可逆的充要条件 48
习题2-2 50
第三节 行列式按行(列)展开 51
一、余子式与代数余子式 52
二、行列式按行(列)展开 52
习题2-3 57
第四节 矩阵求逆公式与克莱默法则 58
一、伴随矩阵与矩阵的求逆公式 58
二、克莱默法则 59
习题2-4 62
本章小结 63
拓展阅读 64
测试题二 65
第三章 向量空间与线性方程组解的结构 67
第一节 向量组及其线性组合 67
一、向量的概念及运算 67
二、向量组及其线性组合 69
三、向量组的等价 71
习题3-1 74
第二节 向量组的线性相关性 74
一、向量组的线性相关与线性无关 75
二、向量组线性相关性的一些重要结论 77
习题3-2 80
第三节 向量组的秩与矩阵的秩 81
一、向量组秩的概念 81
二、矩阵秩的概念 82
三、矩阵秩的求法 83
四、向量组的秩与矩阵的秩的关系 85
习题3-3 87
第四节 线性方程组解的结构 88
一、线性方程组有解的判定定理 88
二、齐次线性方程组解的结构 90
三、非齐次线性方程组解的结构 94
习题3-4 96
第五节 向量空间 97
一、向量空间及其子空间 97
二、向量空间的基、维数与坐标 99
三、基变换与坐标变换 101
习题3-5 103
本章小结 105
拓展阅读 106
测试题三 107
第四章 相似矩阵及二次型 109
第一节 向量的内积、长度及正交性 109
一、向量的内积、长度 109
二、正交向量组 110
三、施密特正交化过程 112
四、正交矩阵 113
习题4-1 115
第二节 方阵的特征值与特征向量 115
一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法 116
二、方阵的特征值与特征向量的性质 119
习题4-2 121
第三节 相似矩阵 122
一、方阵相似的定义和性质 122
二、方阵的相似对角化 123
习题4-3 124
第四节 实对称矩阵的相似对角化 125
一、实对称矩阵的特征值和特征向量的性质 125
二、实对称矩阵的相似对角化 126
习题4-4 129
第五节 二次型及其标准形 129
一、二次型及其标准形的定义 130
二、用正交变换化二次型为标准形 131
三、用配方法化二次型为标准形 134
习题4-5 135
第六节 正定二次型与正定矩阵 136
一、惯性定理 136
二、正定二次型与正定阵 137
习题4-6 138
本章小结 139
拓展阅读 140
测试题四 141
第五章 线性空间与线性变换 143
第一节 线性空间的定义与性质 143
一、线性空间的定义 143
二、线性空间的性质 145
三、线性空间的子空间 146
习题5-1 147
第二节 维数、基与坐标 147
一、线性空间的基、维数与坐标 147
二、基变换与坐标变换 149
习题5-2 150
第三节 线性变换 151
一、线性变换的定义 151
二、线性变换的性质 153
三、线性变换的矩阵表示式 154
习题5-3 158
本章小结 161
拓展阅读 162
测试题五 163
部分习题答案 165
好的,根据您的要求,我将为您撰写一份不涉及《同济大学数学系列教材 线性代数》内容的、关于另一本数学教材的详细图书简介。 --- 《现代应用数学基础教程:矩阵分析与优化方法》 图书简介 面向实践、深度融合理论与算法的全新视角 在信息技术、工程科学、经济金融乃至生命科学等诸多前沿领域,数据驱动的决策与分析已成为核心竞争力。《现代应用数学基础教程:矩阵分析与优化方法》正是为适应这一时代需求而精心编撰的。本书旨在为理工科高年级本科生、研究生以及需要运用高级数学工具解决实际问题的工程技术人员,提供一套坚实、系统且高度面向应用的数学基础。 本书并非传统意义上纯粹的理论推导集合,而是将矩阵理论、数值计算方法与优化算法这三大支柱紧密结合,构建起一个连贯的知识体系。我们的核心理念是:理论的价值在于指导实践,而实践的深度决定了对理论的真正理解。 第一部分:矩阵理论的深化与拓宽(Deepening Matrix Theory) 本部分着重于对线性代数基础概念的拓展与深化,侧重于更具实用价值的结构和性质。 1. 向量空间与线性变换的抽象视角: 我们将从更抽象的角度审视向量空间,引入内积空间、赋范空间的概念,这为后续的数值稳定性分析和优化问题的几何解释奠定了基础。重点讲解了广义逆矩阵(如摩尔-彭若斯逆)的性质、计算方法及其在最小二乘问题中的不可替代性。 2. 特征值问题的数值稳定性: 传统教材多关注特征值的解析解法,本书则将重点放在矩阵的分解方法上。详细阐述了舒尔分解(Schur Decomposition)在保证数值稳定性和处理非对称矩阵方面的优势。对于大规模矩阵,我们深入探讨了Lanczos 迭代和 Arnoldi 迭代的原理,这些是现代特征值求解算法(如ARPACK)的理论基石。 3. 矩阵函数的应用: 矩阵函数(如矩阵指数、矩阵对数)在常微分方程组求解、随机过程建模(如马尔可夫链)中扮演关键角色。本书系统介绍了Parlett 分解法、有理逼近法以及基于拉普拉斯逆变换的求解策略,并讨论了计算过程中的条件数估计。 第二部分:数值计算的核心方法(The Core of Numerical Computation) 本部分是本书的实践核心,聚焦于如何高效、精确地解决线性方程组和最小二乘问题。 1. 线性方程组的直接解法与误差分析: 除了高斯消元法,本书详尽解析了LU分解、Cholesky分解(针对对称正定系统)的算法流程和计算复杂度。关键在于对矩阵的条件数的深入剖析,解释了病态问题产生的原因,并介绍了迭代精化(Iterative Refinement)技术以提高数值结果的精度。 2. 求解超定与欠定系统的迭代方法: 对于超定系统(如最小二乘问题),本书详细对比了QR分解法和奇异值分解(SVD)法的适用场景与鲁棒性。SVD不仅作为一种分解工具,更被视为理解矩阵秩、图像压缩和数据降维的“万能钥匙”。 3. 迭代解法与预处理技术: 针对大型稀疏系统的需求,本书全面讲解了雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代及其过松弛(SOR)的收敛性分析。更重要的是,引入了现代高效迭代方法,如共轭梯度法(CG)及其在正定系统中的应用,并详细探讨了预处理器的构造(如代数多重网格法、不完全LU分解),这是加速大型线性系统求解的关键所在。 第三部分:优化方法与矩阵理论的结合(Optimization Theory and Matrix Synergy) 本部分将前两部分的成果应用于现代优化问题的求解框架中,体现了应用数学的综合性。 1. 凸优化基础与KKT条件: 本书将线性规划(LP)作为入门,系统介绍对偶理论和KKT(Karush-Kuhn-Tucker)条件在非线性优化中的普适性。 2. 无约束优化的矩阵导向算法: 重点介绍了几种基于矩阵梯度的核心算法: 牛顿法与拟牛顿法(BFGS, DFP): 详细阐述了如何利用矩阵的更新公式(秩一或秩二修正)来近似Hessian矩阵,避免了计算和存储大规模Hessian矩阵的困难。 共轭梯度法在优化中的应用: 将其从求解线性系统推广到求解非线性极小化问题,展示了其无须存储Hessian矩阵的优雅性。 3. 约束优化的高级技术: 深入讨论了序列二次规划(SQP)方法,该方法通过在每一步迭代中求解一个二次规划子问题(本质上是牛顿法在拉格朗日函数上的应用)来逼近最优解。同时,对内点法(Interior Point Methods)的矩阵结构和障碍函数技术进行了介绍,这是处理大规模优化问题的现代主流技术。 特色与优势 算法可视化与伪代码清晰化: 每种重要算法(如QR迭代、CG法、BFGS更新)均配有清晰的步骤描述和现代编程风格的伪代码,便于读者直接转化为计算机语言实现。 案例驱动学习: 嵌入了丰富的实际案例,如图像去噪中的Tikhonov正则化、机器学习中的主成分分析(PCA)的SVD解释、以及金融建模中的风险度量等,使抽象概念具象化。 强调数值鲁棒性: 贯穿全书的重点是“计算的可靠性”,教会读者识别并处理浮点运算误差和模型不适定性带来的挑战。 本书的目标读者将不仅掌握“如何计算”,更领悟“为何如此计算”以及“计算的界限在哪里”,从而具备利用矩阵分析解决复杂工程和科学问题的扎实能力。

用户评价

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这本教材,说实话,一开始拿到手的时候,有点被它的厚度给吓到了,感觉内容肯定非常充实。我之所以选择它,是因为听学长学姐说,这本教材内容覆盖面广,而且讲解得比较细致,很多基础概念都解释得很到位,非常适合我们这种初学者。 我从最开始的行列式和矩阵入手,书中的讲解非常详尽,从定义到性质,再到各种运算规则,都一步步地展开。特别是矩阵的乘法,一开始觉得有点绕,但通过书里的例子和大量的练习,我逐渐掌握了它的运算方法。我还会自己举一些小例子来验证书中的性质,这样理解起来会更深刻。 线性方程组的部分,书里介绍了各种解法,比如初等行变换、求逆矩阵等等。我花了不少时间去理解这些方法的原理,以及它们之间的联系。书里的习题也很有针对性,有基础的计算题,也有需要一定思考的综合题,我尽量把每一道都做完,并把做错的题目反复琢磨。 让我感到特别有收获的是关于向量空间的内容。书里从向量的线性组合、线性无关、张成空间,一直讲到基和维度,循序渐进,逻辑清晰。虽然概念有些抽象,但书里配了很多图示,帮助我建立起空间想象。我还会尝试在脑海里勾勒出不同向量空间的样子,加深理解。 总的来说,这本书是一本非常扎实的线性代数教材。它内容全面,讲解清晰,而且习题丰富。虽然学习过程中会遇到不少挑战,但我相信,只要我能认真研读,并且坚持练习,一定能够在这个学科上打下坚实的基础。

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拿到这本书,第一感觉就是扎实,内容详尽,版式也比较清晰。我以前接触过一些泛泛的线性代数介绍,但总觉得不够系统,这次是下定决心要从头学起,所以选择了这本同济大学的教材,听说他们的数学系在国内是数一数二的。 刚开始学的时候,确实被一些抽象的概念给难住了。比如,向量空间的定义,开头的公理化定义就让我有些摸不着头脑。后来,在看书里的例题和图示时,才慢慢有了感觉。书里对向量空间的各种性质,比如线性组合、子空间、基、维度等,都有比较详细的阐述,特别是关于基的唯一性,理解起来花了我不少时间。 我特别喜欢书里对矩阵运算的详细讲解,从矩阵的加减乘除,到各种特殊的矩阵,比如对称矩阵、正交矩阵等等,都有很清晰的定义和性质介绍。而且,书里还穿插了不少利用矩阵解决实际问题的例子,比如图论中的邻接矩阵,这让我觉得线性代数不仅仅是理论,在工程和计算机科学中也大有可为。 不过,有些证明过程我觉得还可以再详细一些,尤其是关于线性变换的一些定理推导,有时候会觉得有点跳跃。我常常需要自己动手把中间的步骤补充完整,才能完全理解。课后习题的设计也比较有梯度,从基础题到综合题都有,我都会认真练习,确保自己掌握了每一章的关键知识点。 我感觉,这本书的优点在于内容的完整性和逻辑性。它为我提供了一个非常系统、严谨的学习框架。虽然学习过程中会遇到一些困难,但我相信,只要坚持下去,这本书一定能帮助我建立起扎实的线性代数基础。

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这本书的结构安排得挺合理的,从最基础的行列式、矩阵开始,循序渐进地引入向量空间、线性变换、特征值和特征向量等核心概念。我尤其欣赏书中对这些抽象概念的几何直观阐释,比如在线性空间部分,作者用了很多类比和图示来帮助我们理解向量的线性组合、张成空间以及基的概念,这对于我这种喜欢具象化思考的人来说,简直是福音。 在学习过程中,我发现书中的例题和习题质量很高,既有巩固基础的简单题,也有深入思考的难题。特别是那些需要动手计算和证明的习题,我都会认真尝试,即使一开始做不出来,也会反复琢磨题意,尝试不同的方法。有时候,一道题可能需要花上一两个小时,甚至更长时间,但一旦攻克,那种豁然开朗的感觉是无比美妙的。我还会把做题过程中遇到的难点和自己的解题思路记录下来,形成一个小的学习笔记,方便日后复习。 我个人觉得,这本书对于初学者来说,可能需要一些耐心和毅力。有些证明过程确实比较精炼,对于数学基础不够扎实的同学,可能需要借助其他辅助材料来理解。不过,书中的逻辑性很强,如果你能跟上作者的思路,你会发现整个知识体系是环环相扣的。我发现,一旦理解了某个核心概念,比如线性无关或满秩,很多后续的知识点就会变得顺理成章。 此外,我还喜欢书中的一些“拓展阅读”或者“注记”部分,它们常常会提及一些线性代数在实际中的应用,比如在计算机图形学、数据分析、机器学习等领域的应用,这极大地激发了我学习的兴趣,让我觉得学习这些理论知识是有实际价值的。我开始尝试去搜寻更多关于这些应用的资料,将书本知识与现实世界联系起来。 总而言之,这是一本值得仔细研读的线性代数教材。它不仅仅是传授知识,更重要的是教会我如何去思考数学问题,如何建立严谨的逻辑推理能力。虽然过程充满挑战,但收获也同样丰厚。

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这次终于下定决心要把线性代数的知识系统地梳理一遍,毕竟这玩意儿在很多领域都太重要了。我选了这本《同济大学数学系列教材 线性代数》,据说这是国内比较经典的教材之一,很多高校都在用。拿到书后,第一感觉就是厚实,内容应该很充实。翻开目录,从向量空间、线性变换到矩阵理论,再到二次型和内积空间,知识点覆盖得非常全面,感觉就像一个完整的知识体系呈现在眼前。 一开始学的时候,确实有点吃力,特别是像线性方程组的各种解法,比如高斯消元法、克莱姆法则,还有向量的线性相关与无关,这些概念需要反复琢磨才能真正理解。书里的例题倒是很多,而且讲解得比较细致,一步一步跟着做,能够帮助我理解抽象的概念。不过,有时候我觉得书上的证明过程稍微有点跳跃,如果能再多一点辅助性的解释会更好。我花了大量时间去消化每一章的内容,反复练习课后习题,有时候为了弄懂一个定理,需要查阅好几本参考书,甚至上网搜索相关的资料。 随着学习的深入,我发现线性代数不仅仅是枯燥的公式和计算,它背后蕴含着非常深刻的思想。比如,矩阵可以看作是线性变换的表示,这让我对矩阵有了全新的认识。它不仅仅是数字的堆砌,更是空间变换的语言。学习过程中,我特别喜欢书中关于向量空间的几何解释,它把抽象的数学概念与直观的几何图形联系起来,使得理解过程更加生动有趣。我甚至会尝试在二维或三维空间里画出相关的向量和子空间,帮助自己建立空间想象能力。 做题的过程也是一个不断进步的过程。有些习题一开始看着很复杂,但一旦掌握了核心思想,就会发现其实是有章可循的。我最喜欢的是那些需要综合运用多个章节知识的题目,解出来的时候非常有成就感。当然,也有一些题目非常具有挑战性,需要花很多心思去分析和推导。我常常会把做错的题目标记出来,隔一段时间再拿出来重新做一遍,确保自己真正掌握了。 总的来说,这本书的优点在于内容的严谨性和系统性。它为我打下了一个坚实的数学基础,也让我对线性代数的应用有了更深的认识。虽然学习过程中会遇到不少困难,但我相信通过这本书的引导,我一定能够克服这些挑战,真正掌握这门重要的数学工具。这本书就像一位循循善诱的老师,虽然有时严厉,但总是引领我走向更广阔的知识海洋。

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这本书给我的感觉就是“硬核”,内容相当丰富,而且逻辑性非常强。我一直对线性代数在各个学科中的应用很感兴趣,比如数据科学、机器学习,甚至一些物理和工程领域。所以,我希望通过一本权威的教材来系统地学习。 书的开篇就详细介绍了线性方程组的解法,包括高斯消元法、行阶梯形矩阵等,这些都是最基础也最核心的内容。我花了大量时间去理解每一步操作背后的意义,以及这些操作如何简化方程组。书中的例子都非常贴切,让我能够一步步地跟着操作,直到彻底理解。 让我印象深刻的是关于行列式的计算和性质的章节。行列式不仅仅是一个数字,它还代表着矩阵所描述的线性变换的“缩放因子”。书里对行列式的各种计算方法,比如代数余子式展开和行变换,都讲解得非常到位。我尝试着用不同的方法去计算同一个行列式,来加深理解。 然而,有一些证明过程,尤其是涉及抽象代数概念的时候,对于我来说确实是一个挑战。比如,关于向量空间的同构定理,推导过程相当精炼,我需要反复阅读,并结合一些参考资料才能勉强跟上。不过,书里在适当的地方提供了很多“注”和“说明”,这些对于理解核心概念非常有帮助。 我个人认为,这本书的价值在于它的严谨性。它不会回避任何复杂的证明,而是尽可能地将数学的严谨性展现出来。这对于培养良好的数学思维习惯非常有益。虽然有时候学习过程会比较痛苦,但我知道,这种痛苦的积累最终会转化为能力的提升。

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很不错的商品,真的很不错,推荐购买推荐推荐推荐

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书确实如某些评价一样有折痕,但是并不妨碍使用,而且我也不太介意,运输过程有磕磕碰碰是很正常的吧,书最重要的是内容啊

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可以,整个书很完整。就是外面的膜有破口,不过不影响

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是正版没错,送来也没有褶皱,缺页什么的,5星

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内容简要!符合考研!

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质量不错,经典书籍

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对商品的价格质量和物流满意!

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不错,送货速度快,服务态度好,这本书摸起来也舒服

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不错 发货很快 书也很新 内容很好很清晰 各种系列都有同济系列教材就是好 高数真的是不能不学不能不好好学

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