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同济大学数学系 著

图书标签:

• 线性代数
• 同济大学
• 数学教材
• 高等教育
• 本科
• 理工科
• 矩阵
• 向量
• 行列式
• 方程组

出版社： 人民邮电出版社

ISBN：9787115422750

版次：1

商品编码：12123550

包装：平装

丛书名： 同济大学数学系列教材

开本：16开

出版时间：2017-01-01

用纸：胶版纸

页数：178

正文语种：中文

编辑推荐

1.全书内容联系紧密，紧扣“为什么要引入这些概念和知识”，采用追问形式、层层深入，既符合数学上的逻辑性，又符合学生的思维顺序，有效地避免了概念呈现的突兀性；
2.语言紧凑简洁但又力求通俗易懂， “细教材，粗讲解”， 以直观的几何空间为例，降低了其抽象程度，比较适合学生自学；
3.要求学生自己证明的不太难的小命题多，这样处理既可以让教材语言简洁，还可以培养和锻炼学生的证明能力，《线性代数》这门课程不仅仅要求培养学生的计算能力，更应看重其对学生的抽象能力和逻辑证明能力的培养；
4.利用二维码方式增加扩展阅读等内容，让学生对线性代数的发展有所了解，而且可以适当增加其兴趣。

内容简介

《线性代数》根据工科类本科“线性代数”课程教学基本要求，参考同济大学“线性代数”课程及教材建设的经验和成果，按照硕士研究生考研大纲的要求编写而成．编者在内容编排、概念叙述、定理证明等诸多方面都做了精心安排，以使全书结构流畅，主次分明，通俗易懂．
本书共分五章，包括线性方程组与矩阵、方阵的行列式、向量空间与线性方程组解的结构、相似矩阵及二次型、线性空间与线性变换．每小节配有习题，每章末配有拓展阅读和测试题，拓展阅读用于讲解线性代数发展的相关知识；测试题难度高于习题难度，用于学生加强练习，部分习题和测试题答案放于本书最后章节．另外，为了更加清楚地讲解每章的重点、难点以及典型例题，本书还配有微课视频．
本书可作为高等院校非数学类专业“线性代数”课程的教材，也可作为自学者的参考书．

作者简介

同济大学数学系始建于1945年，程其襄、杨武之、朱言钧、樊映川、张国隆、陆振邦等知名学者曾在此任教，并留下了《高等数学》等有全国影响的优秀教材。

目录

第一章　线性方程组与矩阵　1
第一节　矩阵的概念及运算　1
一、矩阵的定义　1
二、矩阵的线性运算　3
三、矩阵的乘法　4
四、矩阵的转置　6
习题1-1　7
第二节　分块矩阵　8
一、分块矩阵的概念　8
二、分块矩阵的运算　10
习题1-2　13
第三节　线性方程组与矩阵的初等变换　14
一、矩阵的初等变换　14
二、求解线性方程组　18
习题1-3　22
第四节　初等矩阵与矩阵的逆矩阵　23
一、方阵的逆矩阵　24
二、初等矩阵　25
三、初等矩阵与逆矩阵的应用　26
习题1-4　29
本章小结　31
拓展阅读　32
测试题一　33
第二章　方阵的行列式　35
第一节　行列式的定义　35
一、排列　35
二、ｎ　阶行列式　37
三、几类特殊的ｎ　阶行列式的值　39
习题2-1　41
第二节　行列式的性质　41
一、行列式的性质　41
二、行列式的计算举例　45
三、方阵可逆的充要条件　48
习题2-2　50
第三节　行列式按行(列)展开　51
一、余子式与代数余子式　52
二、行列式按行(列)展开　52
习题2-3　57
第四节　矩阵求逆公式与克莱默法则　58
一、伴随矩阵与矩阵的求逆公式　58
二、克莱默法则　59
习题2-4　62
本章小结　63
拓展阅读　64
测试题二　65
第三章　向量空间与线性方程组解的结构　67
第一节　向量组及其线性组合　67
一、向量的概念及运算　67
二、向量组及其线性组合　69
三、向量组的等价　71
习题3-1　74
第二节　向量组的线性相关性　74
一、向量组的线性相关与线性无关　75
二、向量组线性相关性的一些重要结论　77
习题3-2　80
第三节　向量组的秩与矩阵的秩　81
一、向量组秩的概念　81
二、矩阵秩的概念　82
三、矩阵秩的求法　83
四、向量组的秩与矩阵的秩的关系　85
习题3-3　87
第四节　线性方程组解的结构　88
一、线性方程组有解的判定定理　88
二、齐次线性方程组解的结构　90
三、非齐次线性方程组解的结构　94
习题3-4　96
第五节　向量空间　97
一、向量空间及其子空间　97
二、向量空间的基、维数与坐标　99
三、基变换与坐标变换　101
习题3-5　103
本章小结　105
拓展阅读　106
测试题三　107
第四章　相似矩阵及二次型　109
第一节　向量的内积、长度及正交性　109
一、向量的内积、长度　109
二、正交向量组　110
三、施密特正交化过程　112
四、正交矩阵　113
习题4-1　115
第二节　方阵的特征值与特征向量　115
一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法　116
二、方阵的特征值与特征向量的性质　119
习题4-2　121
第三节　相似矩阵　122
一、方阵相似的定义和性质　122
二、方阵的相似对角化　123
习题4-3　124
第四节　实对称矩阵的相似对角化　125
一、实对称矩阵的特征值和特征向量的性质　125
二、实对称矩阵的相似对角化　126
习题4-4　129
第五节　二次型及其标准形　129
一、二次型及其标准形的定义　130
二、用正交变换化二次型为标准形　131
三、用配方法化二次型为标准形　134
习题4-5　135
第六节　正定二次型与正定矩阵　136
一、惯性定理　136
二、正定二次型与正定阵　137
习题4-6　138
本章小结　139
拓展阅读　140
测试题四　141
第五章　线性空间与线性变换　143
第一节　线性空间的定义与性质　143
一、线性空间的定义　143
二、线性空间的性质　145
三、线性空间的子空间　146
习题5-1　147
第二节　维数、基与坐标　147
一、线性空间的基、维数与坐标　147
二、基变换与坐标变换　149
习题5-2　150
第三节　线性变换　151
一、线性变换的定义　151
二、线性变换的性质　153
三、线性变换的矩阵表示式　154
习题5-3　158
本章小结　161
拓展阅读　162
测试题五　163
部分习题答案　165

好的，根据您的要求，我将为您撰写一份不涉及《同济大学数学系列教材 线性代数》内容的、关于另一本数学教材的详细图书简介。 --- 《现代应用数学基础教程：矩阵分析与优化方法》 图书简介 面向实践、深度融合理论与算法的全新视角 在信息技术、工程科学、经济金融乃至生命科学等诸多前沿领域，数据驱动的决策与分析已成为核心竞争力。《现代应用数学基础教程：矩阵分析与优化方法》正是为适应这一时代需求而精心编撰的。本书旨在为理工科高年级本科生、研究生以及需要运用高级数学工具解决实际问题的工程技术人员，提供一套坚实、系统且高度面向应用的数学基础。 本书并非传统意义上纯粹的理论推导集合，而是将矩阵理论、数值计算方法与优化算法这三大支柱紧密结合，构建起一个连贯的知识体系。我们的核心理念是：理论的价值在于指导实践，而实践的深度决定了对理论的真正理解。 第一部分：矩阵理论的深化与拓宽（Deepening Matrix Theory） 本部分着重于对线性代数基础概念的拓展与深化，侧重于更具实用价值的结构和性质。 1. 向量空间与线性变换的抽象视角： 我们将从更抽象的角度审视向量空间，引入内积空间、赋范空间的概念，这为后续的数值稳定性分析和优化问题的几何解释奠定了基础。重点讲解了广义逆矩阵（如摩尔-彭若斯逆）的性质、计算方法及其在最小二乘问题中的不可替代性。 2. 特征值问题的数值稳定性： 传统教材多关注特征值的解析解法，本书则将重点放在矩阵的分解方法上。详细阐述了舒尔分解（Schur Decomposition）在保证数值稳定性和处理非对称矩阵方面的优势。对于大规模矩阵，我们深入探讨了Lanczos 迭代和 Arnoldi 迭代的原理，这些是现代特征值求解算法（如ARPACK）的理论基石。 3. 矩阵函数的应用： 矩阵函数（如矩阵指数、矩阵对数）在常微分方程组求解、随机过程建模（如马尔可夫链）中扮演关键角色。本书系统介绍了Parlett 分解法、有理逼近法以及基于拉普拉斯逆变换的求解策略，并讨论了计算过程中的条件数估计。 第二部分：数值计算的核心方法（The Core of Numerical Computation） 本部分是本书的实践核心，聚焦于如何高效、精确地解决线性方程组和最小二乘问题。 1. 线性方程组的直接解法与误差分析： 除了高斯消元法，本书详尽解析了LU分解、Cholesky分解（针对对称正定系统）的算法流程和计算复杂度。关键在于对矩阵的条件数的深入剖析，解释了病态问题产生的原因，并介绍了迭代精化（Iterative Refinement）技术以提高数值结果的精度。 2. 求解超定与欠定系统的迭代方法： 对于超定系统（如最小二乘问题），本书详细对比了QR分解法和奇异值分解（SVD）法的适用场景与鲁棒性。SVD不仅作为一种分解工具，更被视为理解矩阵秩、图像压缩和数据降维的“万能钥匙”。 3. 迭代解法与预处理技术： 针对大型稀疏系统的需求，本书全面讲解了雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代及其过松弛（SOR）的收敛性分析。更重要的是，引入了现代高效迭代方法，如共轭梯度法（CG）及其在正定系统中的应用，并详细探讨了预处理器的构造（如代数多重网格法、不完全LU分解），这是加速大型线性系统求解的关键所在。 第三部分：优化方法与矩阵理论的结合（Optimization Theory and Matrix Synergy） 本部分将前两部分的成果应用于现代优化问题的求解框架中，体现了应用数学的综合性。 1. 凸优化基础与KKT条件： 本书将线性规划（LP）作为入门，系统介绍对偶理论和KKT（Karush-Kuhn-Tucker）条件在非线性优化中的普适性。 2. 无约束优化的矩阵导向算法： 重点介绍了几种基于矩阵梯度的核心算法： 牛顿法与拟牛顿法（BFGS, DFP）： 详细阐述了如何利用矩阵的更新公式（秩一或秩二修正）来近似Hessian矩阵，避免了计算和存储大规模Hessian矩阵的困难。 共轭梯度法在优化中的应用： 将其从求解线性系统推广到求解非线性极小化问题，展示了其无须存储Hessian矩阵的优雅性。 3. 约束优化的高级技术： 深入讨论了序列二次规划（SQP）方法，该方法通过在每一步迭代中求解一个二次规划子问题（本质上是牛顿法在拉格朗日函数上的应用）来逼近最优解。同时，对内点法（Interior Point Methods）的矩阵结构和障碍函数技术进行了介绍，这是处理大规模优化问题的现代主流技术。 特色与优势 算法可视化与伪代码清晰化： 每种重要算法（如QR迭代、CG法、BFGS更新）均配有清晰的步骤描述和现代编程风格的伪代码，便于读者直接转化为计算机语言实现。 案例驱动学习： 嵌入了丰富的实际案例，如图像去噪中的Tikhonov正则化、机器学习中的主成分分析（PCA）的SVD解释、以及金融建模中的风险度量等，使抽象概念具象化。 强调数值鲁棒性： 贯穿全书的重点是“计算的可靠性”，教会读者识别并处理浮点运算误差和模型不适定性带来的挑战。 本书的目标读者将不仅掌握“如何计算”，更领悟“为何如此计算”以及“计算的界限在哪里”，从而具备利用矩阵分析解决复杂工程和科学问题的扎实能力。

评分☆☆☆☆☆

这本教材，说实话，一开始拿到手的时候，有点被它的厚度给吓到了，感觉内容肯定非常充实。我之所以选择它，是因为听学长学姐说，这本教材内容覆盖面广，而且讲解得比较细致，很多基础概念都解释得很到位，非常适合我们这种初学者。 我从最开始的行列式和矩阵入手，书中的讲解非常详尽，从定义到性质，再到各种运算规则，都一步步地展开。特别是矩阵的乘法，一开始觉得有点绕，但通过书里的例子和大量的练习，我逐渐掌握了它的运算方法。我还会自己举一些小例子来验证书中的性质，这样理解起来会更深刻。 线性方程组的部分，书里介绍了各种解法，比如初等行变换、求逆矩阵等等。我花了不少时间去理解这些方法的原理，以及它们之间的联系。书里的习题也很有针对性，有基础的计算题，也有需要一定思考的综合题，我尽量把每一道都做完，并把做错的题目反复琢磨。 让我感到特别有收获的是关于向量空间的内容。书里从向量的线性组合、线性无关、张成空间，一直讲到基和维度，循序渐进，逻辑清晰。虽然概念有些抽象，但书里配了很多图示，帮助我建立起空间想象。我还会尝试在脑海里勾勒出不同向量空间的样子，加深理解。 总的来说，这本书是一本非常扎实的线性代数教材。它内容全面，讲解清晰，而且习题丰富。虽然学习过程中会遇到不少挑战，但我相信，只要我能认真研读，并且坚持练习，一定能够在这个学科上打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

拿到这本书，第一感觉就是扎实，内容详尽，版式也比较清晰。我以前接触过一些泛泛的线性代数介绍，但总觉得不够系统，这次是下定决心要从头学起，所以选择了这本同济大学的教材，听说他们的数学系在国内是数一数二的。 刚开始学的时候，确实被一些抽象的概念给难住了。比如，向量空间的定义，开头的公理化定义就让我有些摸不着头脑。后来，在看书里的例题和图示时，才慢慢有了感觉。书里对向量空间的各种性质，比如线性组合、子空间、基、维度等，都有比较详细的阐述，特别是关于基的唯一性，理解起来花了我不少时间。 我特别喜欢书里对矩阵运算的详细讲解，从矩阵的加减乘除，到各种特殊的矩阵，比如对称矩阵、正交矩阵等等，都有很清晰的定义和性质介绍。而且，书里还穿插了不少利用矩阵解决实际问题的例子，比如图论中的邻接矩阵，这让我觉得线性代数不仅仅是理论，在工程和计算机科学中也大有可为。 不过，有些证明过程我觉得还可以再详细一些，尤其是关于线性变换的一些定理推导，有时候会觉得有点跳跃。我常常需要自己动手把中间的步骤补充完整，才能完全理解。课后习题的设计也比较有梯度，从基础题到综合题都有，我都会认真练习，确保自己掌握了每一章的关键知识点。 我感觉，这本书的优点在于内容的完整性和逻辑性。它为我提供了一个非常系统、严谨的学习框架。虽然学习过程中会遇到一些困难，但我相信，只要坚持下去，这本书一定能帮助我建立起扎实的线性代数基础。

评分☆☆☆☆☆

这本书的结构安排得挺合理的，从最基础的行列式、矩阵开始，循序渐进地引入向量空间、线性变换、特征值和特征向量等核心概念。我尤其欣赏书中对这些抽象概念的几何直观阐释，比如在线性空间部分，作者用了很多类比和图示来帮助我们理解向量的线性组合、张成空间以及基的概念，这对于我这种喜欢具象化思考的人来说，简直是福音。 在学习过程中，我发现书中的例题和习题质量很高，既有巩固基础的简单题，也有深入思考的难题。特别是那些需要动手计算和证明的习题，我都会认真尝试，即使一开始做不出来，也会反复琢磨题意，尝试不同的方法。有时候，一道题可能需要花上一两个小时，甚至更长时间，但一旦攻克，那种豁然开朗的感觉是无比美妙的。我还会把做题过程中遇到的难点和自己的解题思路记录下来，形成一个小的学习笔记，方便日后复习。 我个人觉得，这本书对于初学者来说，可能需要一些耐心和毅力。有些证明过程确实比较精炼，对于数学基础不够扎实的同学，可能需要借助其他辅助材料来理解。不过，书中的逻辑性很强，如果你能跟上作者的思路，你会发现整个知识体系是环环相扣的。我发现，一旦理解了某个核心概念，比如线性无关或满秩，很多后续的知识点就会变得顺理成章。 此外，我还喜欢书中的一些“拓展阅读”或者“注记”部分，它们常常会提及一些线性代数在实际中的应用，比如在计算机图形学、数据分析、机器学习等领域的应用，这极大地激发了我学习的兴趣，让我觉得学习这些理论知识是有实际价值的。我开始尝试去搜寻更多关于这些应用的资料，将书本知识与现实世界联系起来。 总而言之，这是一本值得仔细研读的线性代数教材。它不仅仅是传授知识，更重要的是教会我如何去思考数学问题，如何建立严谨的逻辑推理能力。虽然过程充满挑战，但收获也同样丰厚。

评分☆☆☆☆☆

这次终于下定决心要把线性代数的知识系统地梳理一遍，毕竟这玩意儿在很多领域都太重要了。我选了这本《同济大学数学系列教材 线性代数》，据说这是国内比较经典的教材之一，很多高校都在用。拿到书后，第一感觉就是厚实，内容应该很充实。翻开目录，从向量空间、线性变换到矩阵理论，再到二次型和内积空间，知识点覆盖得非常全面，感觉就像一个完整的知识体系呈现在眼前。 一开始学的时候，确实有点吃力，特别是像线性方程组的各种解法，比如高斯消元法、克莱姆法则，还有向量的线性相关与无关，这些概念需要反复琢磨才能真正理解。书里的例题倒是很多，而且讲解得比较细致，一步一步跟着做，能够帮助我理解抽象的概念。不过，有时候我觉得书上的证明过程稍微有点跳跃，如果能再多一点辅助性的解释会更好。我花了大量时间去消化每一章的内容，反复练习课后习题，有时候为了弄懂一个定理，需要查阅好几本参考书，甚至上网搜索相关的资料。 随着学习的深入，我发现线性代数不仅仅是枯燥的公式和计算，它背后蕴含着非常深刻的思想。比如，矩阵可以看作是线性变换的表示，这让我对矩阵有了全新的认识。它不仅仅是数字的堆砌，更是空间变换的语言。学习过程中，我特别喜欢书中关于向量空间的几何解释，它把抽象的数学概念与直观的几何图形联系起来，使得理解过程更加生动有趣。我甚至会尝试在二维或三维空间里画出相关的向量和子空间，帮助自己建立空间想象能力。 做题的过程也是一个不断进步的过程。有些习题一开始看着很复杂，但一旦掌握了核心思想，就会发现其实是有章可循的。我最喜欢的是那些需要综合运用多个章节知识的题目，解出来的时候非常有成就感。当然，也有一些题目非常具有挑战性，需要花很多心思去分析和推导。我常常会把做错的题目标记出来，隔一段时间再拿出来重新做一遍，确保自己真正掌握了。 总的来说，这本书的优点在于内容的严谨性和系统性。它为我打下了一个坚实的数学基础，也让我对线性代数的应用有了更深的认识。虽然学习过程中会遇到不少困难，但我相信通过这本书的引导，我一定能够克服这些挑战，真正掌握这门重要的数学工具。这本书就像一位循循善诱的老师，虽然有时严厉，但总是引领我走向更广阔的知识海洋。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我的感觉就是“硬核”，内容相当丰富，而且逻辑性非常强。我一直对线性代数在各个学科中的应用很感兴趣，比如数据科学、机器学习，甚至一些物理和工程领域。所以，我希望通过一本权威的教材来系统地学习。 书的开篇就详细介绍了线性方程组的解法，包括高斯消元法、行阶梯形矩阵等，这些都是最基础也最核心的内容。我花了大量时间去理解每一步操作背后的意义，以及这些操作如何简化方程组。书中的例子都非常贴切，让我能够一步步地跟着操作，直到彻底理解。 让我印象深刻的是关于行列式的计算和性质的章节。行列式不仅仅是一个数字，它还代表着矩阵所描述的线性变换的“缩放因子”。书里对行列式的各种计算方法，比如代数余子式展开和行变换，都讲解得非常到位。我尝试着用不同的方法去计算同一个行列式，来加深理解。 然而，有一些证明过程，尤其是涉及抽象代数概念的时候，对于我来说确实是一个挑战。比如，关于向量空间的同构定理，推导过程相当精炼，我需要反复阅读，并结合一些参考资料才能勉强跟上。不过，书里在适当的地方提供了很多“注”和“说明”，这些对于理解核心概念非常有帮助。 我个人认为，这本书的价值在于它的严谨性。它不会回避任何复杂的证明，而是尽可能地将数学的严谨性展现出来。这对于培养良好的数学思维习惯非常有益。虽然有时候学习过程会比较痛苦，但我知道，这种痛苦的积累最终会转化为能力的提升。

评分☆☆☆☆☆

很不错的商品，真的很不错，推荐购买推荐推荐推荐

评分☆☆☆☆☆

书确实如某些评价一样有折痕，但是并不妨碍使用，而且我也不太介意，运输过程有磕磕碰碰是很正常的吧，书最重要的是内容啊

评分☆☆☆☆☆

可以，整个书很完整。就是外面的膜有破口，不过不影响

评分☆☆☆☆☆

是正版没错，送来也没有褶皱，缺页什么的，5星

评分☆☆☆☆☆

内容简要！符合考研！

评分☆☆☆☆☆

质量不错，经典书籍

评分☆☆☆☆☆

对商品的价格质量和物流满意！

评分☆☆☆☆☆

不错，送货速度快，服务态度好，这本书摸起来也舒服

评分☆☆☆☆☆

不错 发货很快 书也很新 内容很好很清晰 各种系列都有同济系列教材就是好 高数真的是不能不学不能不好好学