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同济大学数学系 编

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• 微积分学
• 函数
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出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040286182

版次：3

商品编码：12274034

包装：平装

开本：16开

出版时间：2010-01-01

用纸：胶版纸

页数：339

字数：410000

正文语种：中文

内容简介

　　《微积分（第三版）下册》参照新修订的“工科类本科数学基础课程教学基本要求”，结合当前的教学实际，在原书第二版的基础上修订而成。在保持同济编教材优秀传统的同时，努力贯彻教学改革的精神，加强对微积分的基本概念、理论、方法和应用实例的介绍，突出微积分的应用。《微积分（第三版）下册》结构严谨，逻辑清晰，文字表述详尽通畅，平易近人，易教易学，改编后的内容编排也更利于教学的组织和安排。所选用的习题突出数学基本能力的训练而不过分追求技巧，既有传统的优秀题目，又从国外教材中吸取或改编了一些有较高训练效能的新颖习题。通过数学实验将微积分与数学软件的应用有机结合起来是本书的一个特色，经过改编，数学实验与教学内容的结合更加紧密，有利于培养学生的数学建模能力。书中有些内容用楷书排印或加了“*”号，教师可灵活掌握。《微积分（第三版）下册》可作为工科和其他非数学类专业的高等数学（微积分）教材或参考书。
　　全书分上、下两册出版。本书为《微积分（第3版下面向21世纪课程教材）》。上册的内容为函数、极限与连续，一元函数微分学，一元函数积分学和微分方程，四个与一元函数微积分相关的数学实验，附录中有数学软件Mathematica的简介。下册内容为向量代数与空间解析几何，多元函数微分学，重积分，曲线积分与曲面积分，无穷级数，三个与多元微积分和级数有关的数学实验.附录中有矩阵与行列式简介。书末附有习题答案与提示。

内页插图

目录

第五章 向量代数与空间解析几何
第一节 向量及其线性运算
一、向量概念
二、向量的加法与数乘运算
习题5-1
第二节 点的坐标与向量的坐标
一、空间直角坐标系
二、向量的坐标及向量线性运算的坐标表示
三、向量的模、方向角和投影
习题5-2
第三节 向量的乘法运算
一、向量的数量积（点积、内积）
二、向量的向量积（叉积、外积）
三、向量的混合积
习题5-3
第四节 平面
一、平面的方程
二、两平面的夹角以及点到平面的距离
习题5-4
第五节 直线
一、直线的方程
二、两直线的夹角、直线与平面的夹角
三、过直线的平面束
习题5-5
第六节 曲面与曲线
一、柱面与旋转曲面
二、空间曲线的方程
三、空间曲线在坐标面上的投影
习题5-6
第七节 二次曲面
一、二次曲面的方程与图形
二、曲面的参数方程及其计算机作图法
习题5-7
总习题五

第六章 多元函数微分学
第一节 多元函数的基本概念
一、多元函数
二、R#中的线性运算、距离及重要子集
三、多元函数的极限
四、多元函数的连续性
习题6-1
第二节 偏导数
一、偏导数
二、高阶偏导数
习题6-2
第三节 全微分
习题6-3
第四节 复合函数的求导法则
习题6-4
第五节 隐函数的求导公式
一、一个方程的情形
二、方程组的情形
习题6-5
第六节 方向导数与梯度
一、方向导数
二、梯度
习题6-6
第七节 多元函数微分学的几何应用
一、空间曲线的切线与法平面
二、曲面的切平面与法线
三、等量面与等高线
习题6-7
第八节 多元函数的极值
一、极大值与极小值
二、条件极值
习题6-8
总习题六

第七章 重积分
第一节 重积分的概念与性质
一、重积分的概念
二、重积分的性质
习题7-1
第二节 二重积分的计算
一、利用直角坐标计算二重积分
习题7-2（1）
二、利用极坐标计算二重积分
习题7-2（2）
三、二重积分的换元法
习题7-2（3）
第三节 三重积分的计算
一、利用直角坐标计算三重积分
二、利用柱面坐标计算三重积分
三、利用球面坐标计算三重积分
习题7-3
第四节 重积分应用举例
一、体积
二、曲面的面积
三、质心和转动惯量
四、引力
习题7-4
总习题七

第八章 曲线积分与曲面积分
第一节 数量值函数的曲线积分（第一类曲线积分）
一、第一类曲线积分的概念
二、第一类曲线积分的计算法
习题8-1
第二节 数量值函数的曲面积分（第一类曲面积分）
一、第一类曲面积分的概念
二、第一类曲面积分的计算法
三、数量值函数在几何形体上的积分及其物理应用综述
习题8-2
第三节 向量值函数在定向曲线上的积分（第二类曲线积分）
一、第二类曲线积分的概念
二、第二类曲线积分的计算法
习题8-3
第四节 格林公式
一、格林公式
二、平面定向曲线积分与路径无关的条件
三、曲线积分基本定理
习题8-4
第五节 向量值函数在定向曲面上的积分（第二类曲面积分）
一、第二类曲面积分的概念
二、第二类曲面积分的汁算法
习题8-5
第六节 高斯公式与散度
一、高斯公式
二、散度
习题8-6
第七节 斯托克斯公式与旋度
一、斯托克斯公式
二、旋度
三、向量微分算子
习题8-7
总习题八

第九章 无穷级数
第一节 常数项级数的概念与基本性质
一、基本概念
二、无穷级数的基本性质
习题9-1
第二节 正项级数及其审敛法
习题9-2
第三节 绝对收敛与条件收敛
一、交错级数及其审敛法
二、级数的绝对收敛与条件收敛
习题9-3
第四节 幂级数
一、函数项级数的一般概念
二、幂级数及其收敛性
三、幂级数的运算与性质
习题9-4
第五节 函数的泰勒级数
一、泰勒级数的概念
二、函数展开成幂级数的方法
习题9-5
第六节 函数的幂级数展开式的应用
一、近似计算
二、欧拉公式
三、微分方程的幂级数解法
习题9-6
第七节 傅里叶级数
一、周期运动和三角级数
二、函数展开成傅里叶级数
第八节 一般周期函数的傅里叶级数
一、周期为2，的周期函数的傅里叶级数
二、正弦级数与余弦级数
三、傅里叶级数的复数形式
习题9-8
总习题九

实验
实验1鲨鱼袭击目标的前进途径
实验2最小二乘法
实验3无穷级数与函数逼近
附录矩阵与行列式简介
习题答案与提示

微积分（第三版）下册——探索无限的奥秘与应用 《微积分（第三版）下册》是一本致力于为读者构建坚实数学基础、激发深刻理解、并最终掌握微积分强大分析工具的经典教材。本书在前一卷的基础上，将微积分的疆界推向更广阔的领域，深入探讨了多元函数、向量微积分、微分方程等核心概念，并辅以大量贴近现实世界的应用案例，旨在培养读者解决复杂问题的分析思维和建模能力。 第一部分：多变量函数的奥秘 本部分将带领读者进入一个全新的维度，即三维空间以及更高维度的函数世界。我们将从多元函数的概念入手，理解其定义、几何表示（如曲面）以及基本的性质。在此基础上，重点将放在多元函数的极限与连续性。这部分内容至关重要，它为后续的微分和积分奠定了严谨的基础。读者将学习如何处理在多个变量作用下的函数行为，理解函数在多维空间中的“平滑度”和“断裂”之处。 紧接着，我们将深入探讨多元函数的微分学。这是本书的重头戏之一。偏导数的概念将是我们认识多变量函数变化率的起点。读者将学习如何计算偏导数，并理解其在几何上的直观意义——沿着特定方向的瞬时变化率。在此基础上，我们将引入方向导数，它能描述函数在任意方向上的变化快慢，为我们理解和优化多维函数提供了有力的工具。 梯度是方向导数的一个关键概念，它不仅指出了函数增长最快的方向，其模长还表示了该方向上的增长率。理解梯度对于机器学习、物理学等领域的优化问题至关重要。接着，我们将学习全微分，它是在局部线性近似的基础上，更精确地描述了函数在一点附近的变化。 高阶偏导数的引入，则使我们能够更深入地研究函数的曲率和形状。链式法则在多变量函数中的推广，使我们能够方便地计算复合函数的导数，这在解决复杂的物理和工程问题时极为有用。隐函数定理和反函数定理是微积分中两个深刻的理论工具，它们允许我们在某些条件下，将隐函数转化为显函数，或者判断函数的局部可逆性，这在理论研究和实际问题求解中具有重要的理论价值和应用前景。 泰勒公式在多变量函数中的扩展，为我们提供了用多项式近似复杂函数的方法，这在数值计算和理论分析中都扮演着核心角色。最后，我们将学习极值问题。包括局部极值和全局极值的寻找。读者将掌握利用一阶和二阶偏导数来判断函数在某一点是否取得极值，以及极值的类型（极大值、极小值）。拉格朗日乘数法将是解决条件极值问题的强大工具，它允许我们在约束条件下寻找函数的极值，这在资源分配、经济学建模等领域有着广泛的应用。 第二部分：向量微积分的宏伟图景 本部分将带领读者进入向量分析的奇妙世界，理解向量场和数量场在空间中的行为，以及它们之间的相互作用。我们将从空间曲线与曲面的参数化描述出发，理解它们在三维空间中的几何形状和运动轨迹。 向量值函数的概念将是基础，它将点映射到向量，常用于描述运动物体的位置、速度和加速度。我们还将学习向量场，它将空间中的每一点都关联一个向量，广泛应用于描述流体流动、电磁场等物理现象。 曲线积分是本部分的核心概念之一。我们将学习第一类曲线积分，它对曲线的长度、质量密度等进行积分，常用于计算曲线的总质量、质心等。接着，我们将学习第二类曲线积分（也称为线积分），它对向量场沿着曲线的“功”或“流”进行计算，是理解物理学中功和流的重要工具。格林公式是二维情况下的基本定理，它将一个区域上的面积分与该区域边界上的线积分联系起来，极大地简化了许多计算。 曲面积分将把曲线积分的概念推广到曲面上。第一类曲面积分常用于计算曲面的质量、质心等。第二类曲面积分（也称为通量积分）用于计算向量场穿过曲面的“流”，是理解流体动力学和电磁学中通量概念的关键。 斯托克斯公式是三维空间中将曲面上的曲线积分与该曲面边界上的曲线积分联系起来的强大定理，它在电磁学和流体力学中有着至关重要的应用。 散度是描述向量场在一点处“源”或“汇”的程度，它在流体力学和电磁学中是核心概念。环度（或旋度）则描述了向量场在一点处的“旋转”程度。 高斯散度定理（或称散度定理）是三维空间中的基本定理，它将一个区域的体积积分（散度）与该区域边界上的曲面积分（通量）联系起来，是理解“散度”概念的关键，并在许多物理和工程领域得到广泛应用。 第三部分：微分方程的动态世界 微分方程是描述自然界中变化规律的数学语言，本部分将带领读者走进动态的世界，学习如何建立和求解各种类型的微分方程。 我们将从微分方程的基本概念入手，包括其阶、次、线性与非线性等。可分离变量的微分方程是最基本的一类，其求解方法相对直接。 一阶线性微分方程的求解方法将是重点，例如使用积分因子法。伯努利方程等特殊类型的一阶微分方程也将得到介绍。 高阶线性微分方程是本部分的重要内容。我们将学习齐次线性微分方程的求解方法，包括特征方程法。对于非齐次线性微分方程，我们将学习待定系数法和常数变易法，这些方法能够系统地求解各类非齐次方程。 欧拉-柯西方程是一种特殊形式的高阶线性微分方程，其求解方法也将在本书中详细介绍。 幂级数解法将为求解一些无法用初等函数表示解的微分方程提供途径。拉普拉斯变换是一种强大的求解线性微分方程及其初值问题的方法，它能够将微分方程转化为代数方程，大大简化求解过程。 第四部分：特殊函数与应用 本部分将介绍一些在科学和工程中扮演重要角色的特殊函数，并展示微积分在各个领域的广泛应用。 傅里叶级数可以将周期函数展开为三角函数的和，这在信号处理、热传导等领域至关重要。傅里叶变换则将傅里叶级数推广到非周期函数，是现代信号分析和图像处理的基石。 无穷级数的理论将得到进一步深化，包括收敛性判别的更多方法，以及幂级数的性质和应用。 本书将通过大量的应用实例来阐释微积分的强大威力。例如，在物理学中，微积分被用于描述运动学、动力学、电磁学、热力学等；在工程学中，微积分是结构分析、电路设计、流体力学模拟、控制系统设计的基础；在经济学中，微积分被用于优化生产、分析市场、预测趋势；在生物学中，微积分被用于建模种群增长、药物扩散等。 《微积分（第三版）下册》以其严谨的数学表述、清晰的逻辑结构、丰富的例题和习题，以及对实际应用的关注，旨在为读者构建一个全面而深入的微积分知识体系。通过对本书的学习，读者将不仅掌握分析和解决问题的数学工具，更能培养严谨的科学思维，为未来在各个领域的探索和发展打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

我一直觉得，学习一门学科，不仅仅是记忆公式和定理，更重要的是培养一种思维方式。这本书在这方面做得非常好。它不仅仅是“教你如何计算”，更是“教你如何思考”。在讲解过程中，作者经常会提出一些引导性的问题，鼓励读者去思考，去探索，而不是被动地接受信息。我尤其喜欢它在解释一些“为什么”的时候，总能给出深刻的理由，让我不仅仅知其然，更知其所以然。这种深入的探究精神，对于培养数学的直觉和洞察力非常有帮助。书中的一些“小贴士”或者“补充说明”也很有价值，它们往往能点出一些学习的难点或者容易混淆的地方，并且提供有效的解决思路。感觉像是有一位经验丰富的老师在旁边随时指导。

评分☆☆☆☆☆

说实话，我之前对高等数学有些畏惧，总觉得它过于抽象和枯燥。但是，这本书彻底改变了我的看法。它用一种非常“亲切”的方式来讲解内容，语言流畅，表达生动，就像在和一位朋友聊天一样。很多复杂的概念，在作者的阐释下，变得易于理解。它善于运用类比和比喻，将抽象的数学概念形象化，让我在阅读过程中不会感到乏味。我尤其喜欢它在引入一些新的主题时，会先从一些大家都能理解的生活中的现象入手，然后逐步引申到数学模型，这种方式非常有效，能够迅速抓住读者的兴趣，并且建立起数学与现实世界的联系。这本书让我重新找回了对数学的热情，也让我对未来的学习充满了信心。

评分☆☆☆☆☆

这本书的印刷质量真的没得说，纸张的触感温润，书页的厚度适中，拿在手里沉甸甸的，很有分量感。封面设计简约而不失大气，一种沉静的知识感扑面而来。翻开书页，一股淡淡的油墨香混合着纸张特有的味道，让阅读的体验更加愉悦。我特别喜欢这种厚实的触感，感觉就像捧着一本真正的“知识宝藏”。排版也很清晰，字体大小适中，行间距恰到好处，即使长时间阅读也不会觉得眼睛疲劳。很多细节都处理得非常到位，比如页眉页脚的设计，索引的清晰度，还有一些公式的排布，都能感受到编者和出版方在细节上的用心。有时候，一本好书不仅仅是内容，这种物理上的质感和阅读体验同样重要，能极大地提升学习的积极性。我甚至觉得，光是把它摆在书架上，就已经是一道亮丽的风景线了。而且，装订也很牢固，不会出现书页松散的情况，可以放心地反复翻阅。

评分☆☆☆☆☆

我是一名数学专业的学生，平时接触到的微积分教材也不少，但这本书给我的感觉非常“扎实”。它在理论推导上非常严谨，每一个定理的证明都清晰明了，不会跳过关键的步骤，也没有含糊不清的地方。我喜欢它在讲解概念时，能够追溯到其思想的源头，或者给出一些历史背景的介绍，这样不仅能更好地理解概念本身，还能感受到数学的魅力所在。书中的图示也画得非常精美，能够直观地展示抽象的几何意义，对于理解一些复杂的曲面和积分区域非常有帮助。我经常会在遇到难以理解的地方时，反复对照图示，这样往往能豁然开朗。而且，它在引入新概念时，总是会强调其在实际应用中的重要性，比如在物理、工程等领域是如何使用的，这让我觉得学习微积分更有意义，也更有方向感。

评分☆☆☆☆☆

作为一名自学者，我一直在寻找能够系统性地梳理知识脉络的教材。这本书给我的感觉就是非常“实在”，每一章的讲解都循序渐进，逻辑性很强。它不会一开始就抛出过于抽象的概念，而是从一些直观的例子入手，逐步引导读者理解背后的原理。我特别欣赏它的讲解方式，总能在关键点上进行深入的剖析，并且用不同的角度去解释同一个概念，这样就确保了读者不会因为一个理解上的盲点而卡住。每章后面都有大量的练习题，这一点对我来说至关重要。题目由易到难，覆盖了该章的各个知识点，并且答案的解析也相当详尽，能够帮助我检查自己的理解是否到位，并且学习到解题的技巧。有时候，一道题的解法本身就能带来新的启发。我已经尝试做了好几章的习题，感觉对知识的掌握程度有了质的飞跃。