现货包邮 数学分析习题集 北京大学数学系 林源渠 方企勤 廖可人 高等教育出版社 北大 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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林源渠，方企勤，李正元，廖可人 著

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出版社： 7-04

ISBN：9787040403602

商品编码：1775321483

包装：平装

出版时间：2015-01-01

书名：数学分析习题集

价：21.30元

作者：林源渠、方企勤、李正元、廖可人

出版社：7-04

出版日期：2015-01-01

ISBN：9787040403602

字数：

页码：305

版次：1

装帧：平装

开本：32

商品重量：0.340kg

书名:数学分析习题集

定价：21.30元

作者:林源渠、方企勤、李正元、廖可人

出版社：高等教育出版社

出版日期：2015-01-01

ISBN：9787040403602

页码：305

版次：1

装帧：平装

开本：12k

本习题集是北京大学数学系合编《数学分析》（共三册）一书的配套辅导教材。习题集的章节与教材的章节对应，两者顺序是一致的。所收习题主要依据北京大学数学系数学分析习题课资料编撰，也吸收了专门化课中遇到的数学分析问题以及1983年前的历届研究生考试的部分试题。比曾广泛采用的吉多维奇《数学分析习题集》增加了m维空间中微积分的相应题目和微分形式的题目。本书可供数学类专业学生数学分析习题课使用。

第1章 预备知识

归纳法

绝对值与不等式

函数概念

函数的几种特性

复合函数与反函数

 

第二章 极限

序列极限定义

序列极限的性质与运算

确界与单调有界序列

函数极限

函数极限概念的推广

两个重要极限

无穷小量的阶及无穷大量的阶的比较

用肯定语气叙述极限不存在

 

第三章 连续

连续与间断

连续函数的运算

中间值性质

初等函数的连续性

大、小值

一致连续性

 

第四章 导数与微分

导数概念

导数的几何意义与极值

导数的四则运算

复合函数求导

反函数与参数表示的函数求导

微分

高阶导数与高阶微分

 

第五章 利用导数研究函数

罗尔中值定理

拉格朗日中值定理

柯西中值定理

洛必达法则

皮亚诺余项的泰勒公式

拉格朗日余项的泰勒公式

函数的升降与极值

函数的凹凸与拐点

函数作图

方程求根

 

第六章 不定积分

原函数与不定积分

不定积分的线性性质

第1换元法

第二换元法

分部积分法

有理函数的积分

三角函数有理式的积分

无理函数的积分

 

第七章 定积分

定积分概念

微积分基本定理

可积函数

定积分性质

变限定积分

换元法

分部积分法

积分第二中值定理

近似计算

 

第八章 定积分应用

平面图形的面积

由截平面的面积求体积

平面曲线的弧长与曲率

旋转体侧面积

物理应用

 

第九章 实数空间

实数与极限

确界与区间套

紧性定理

完备性定理

连续函数的性质

压缩映象原理

上极限与下极限

 

第十章 反常积分

无穷积分的概念

无穷积分收敛性判别法

瑕积分的概念

瑕积分收敛性判别法

 

第十一章 数值级数

数值级数的基本概念与性质

正项级数

任意项级数

收敛级数的性质

 

第十二章 函数项级数

函数序列及函数级数的一致收敛性

一致收敛判别法

一致收敛的函数序列与函数级数的性质

 

第十三章 幂级数

幂级数的收敛半径与收敛区间

幂级数的性质

初等函数的泰勒级数展开

斯特林公式

 

第十四章 傅里叶级数

基本三角函数系

周期函数的傅里叶级数

傅里叶级数的收敛性

任意区间上的傅里叶级数

傅里叶级数的平均收敛性

 

第十五章 欧氏空间与多元函数

m维欧氏空间

欧氏空间中的点集

m维欧氏空间的性质

多元向量函数

多元函数的极限

多元函数的连续性

 

第十六章 多元数值函数微分学

偏导数

全微分与可微性

复合函数的偏导数与可微性

方向导数

高阶偏导数和高阶全微分

泰勒公式

由一个方程式确定的隐函数及其微分法

 

第十七章 多元向量函数微分学

线性变换

向量函数的可微性与导数

反函数及其微分法

由方程组确定的隐函数及其微分法

函数相关性

 

第十八章 多元函数微分学的应用——几何应用与

极值问题

曲线的表示法和它的切线

空间曲面的表示法和它的切平面

简单极值问题

条件极值问题

小二乘法

 

第十九章 含参变量的积分

含参变量的定积分

含参变量的反常积分

计算含参变量积分的几个例子

欧拉积分——B函数与τ函数

 

第二十章 重积分

Rm空间图形的若尔当测度

在Rm上的黎曼积分

化重积分为累次积分

重积分的变量替换

重积分的变量替换（续）

重积分在力学上的应用

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数学分析进阶与应用：理论深化与实践拓展 本书简介 本书旨在为具备一定微积分基础的读者提供一个深入、系统且富有挑战性的数学分析学习体验。它并非对初级微积分概念的简单重复，而是聚焦于将经典数学分析的严谨性与现代科学、工程领域中的应用需求紧密结合。全书内容涵盖了从实数系统到多元函数微积分，再到基础的测度论与泛函分析初步概念的过渡，旨在培养读者严谨的数学思维和解决复杂问题的能力。 本书的编写理念基于“理论的深度决定应用的广度”这一核心思想。我们力求在保持数学分析核心概念——极限、连续性、可微性、积分——的严格论证基础上，融入更多现代视角和计算工具的视角。 第一部分：实数系统与序列的深入探究 (Foundation and Rigor) 本部分将对实数系统的完备性进行更为深入和形式化的讨论，这是构建后续所有分析理论的基石。 1.1 实数系统的拓扑性质重审： 我们将超越伽利略、牛顿时代的直观理解，严格证明实数集的拓扑性质，包括开集、闭集、紧致集（Heine-Borel定理的精细化证明）、收敛序列的性质及其与聚点、极限点的关系。重点讨论完备性在处理柯西序列收敛性中的关键作用。 1.2 序列与级数的收敛判据： 在介绍完基本判别法（如比值检验、根值检验）后，本书将着重讲解更精妙的判别工具，如Abel引理与Dirichlet判别法在处理交错级数和条件收敛问题上的应用。此外，将引入收敛速度的概念，通过大O和Ω符号分析级数收敛的效率，这对于数值分析的应用至关重要。 1.3 函数序列与级数的均匀收敛： 本章的核心是区分点态收敛与均匀收敛。我们将详细探讨均匀收敛的充分必要条件（Cauchy准则的函数形式），并深入分析均匀收敛如何保证极限函数保持原序列函数的性质（如连续性、可积性、可微性）。通过反例分析，如Weierstrass构造的分段线性逼近连续函数，读者将深刻理解这种区别的重要性。 第二部分：连续性、微分与积分的精细化处理 (Calculus in Depth) 此部分将对单变量微积分中的核心概念进行更具分析色彩的重构，并自然过渡到多元分析。 2.1 连续函数的高级性质： 除了上界、下界定理和介值定理的常规证明，我们将探讨一致连续性。通过Cantor定理（紧致性与一致连续性的关系）的深入讲解，读者将掌握如何处理区间端点处可能出现的“病态”行为，这对数值插值方法的稳定性分析至关重要。 2.2 导数的应用与广义概念： 本章将详细考察微分的中值定理（Rolle、Lagrange、Cauchy），并将其推广至广义中值定理，为泰勒展开的高阶余项（Lagrange型和Schlömilch/Cauchy型）的精确估计奠定基础。此外，将引入L'Hôpital法则的更严格形式及其在涉及函数结构复杂时的应用。 2.3 Riemann积分的几何与理论基础： 我们将重新审视Riemann可积性的定义，重点讨论可积性的充要条件——几乎处处不连续点集测度为零的深刻含义。本书将包含对反常积分的处理，特别是涉及参数的积分（如Gamma函数与Beta函数）的收敛性分析，并介绍利用积分判别法来评估级数敛散性的技巧。 第三部分：多元函数分析与向量微积分 (Multivariable Analysis and Vector Calculus) 本部分是连接纯数学与物理、工程应用的关键桥梁，侧重于从高维空间中提取有意义的几何和物理信息。 3.1 多元函数的偏导数与方向导数： 我们将详细区分偏导数、梯度、方向导数与全微分之间的关系。全微分的严格定义及其与线性逼近的关系是本章的重点。对于非连续可微函数，如何判断其是否可微，以及如何使用Schwartz定理（交换二阶偏导数的顺序）的条件验证。 3.2 隐函数与反函数定理的几何意义： 隐函数定理和反函数定理不仅是代数工具，更是理解高维空间中坐标变换和流形结构的几何基础。我们将通过Jacobian行列式的非零性来解释局部可逆性，并讨论其在求解微分方程组初值问题时的理论意义。 3.3 向量场与场论基础： 本章引入线积分、面积分的概念，并侧重于物理背景下的应用，如功的计算和通量的度量。对Green公式、Stokes公式和Gauss散度定理的推导将遵循严格的分析步骤，强调微分形式在不同维度上的统一性。重点在于理解保守场（势场）的特征，即其旋度（Curl）的意义。 第四部分：初步测度论与泛函分析的萌芽 (Towards Abstraction) 为了更有效地应对高级物理和工程中的积分问题（如傅里叶分析、概率论），本部分将适度引入现代分析的工具。 4.1 勒贝格测度的初步概念： 本书将简要介绍从Riemann可积到勒贝格可积的动机。我们将概述开集代数和可测集的基本概念，并解释为何勒贝格积分能够处理更广泛的函数类，尤其是在极限操作下保持积分值不变的优势。 4.2 函数空间初探： 介绍$L^p$ 空间的直观概念（作为完备的函数空间），并简要探讨三角级数（傅里叶级数）收敛的$L^2$范数意义，这为信号处理和偏微分方程的求解提供了理论支撑。 --- 本书特色： 严谨性与应用并重： 每章理论推导后均附有丰富的“应用与拓展”栏目，连接到数值方法（如牛顿法收敛性）、物理模型（如最小势能原理）或经济学中的优化问题。 强调“为什么”： 详细剖析了经典定理背后的内在逻辑，而非仅仅罗列公式，帮助读者理解从直觉到严格证明的跨越。 精选习题： 习题难度梯度明显，从基础验证到证明题和计算题穿插，确保读者能够通过动手实践巩固抽象概念。

评分☆☆☆☆☆

我最近沉迷于一本名为《量子信息与量子计算》的著作，这本书的深度和广度令人叹服。它没有停留在量子力学的表层概念，而是直接切入了最前沿的信息论视角。作者对量子纠缠和量子隐形传态的阐述，那种清晰度和层次感，我读过好几本相关书籍，都未曾如此透彻。他尤其擅长把复杂的数学工具（比如希尔伯特空间和算符代数）无缝地嵌入到物理图像中，使得计算不再是枯燥的符号游戏，而是对物理实在的精确描述。这本书的理论推导非常扎实，每一步的逻辑跳转都考虑到了读者的接受程度，即便是涉及到量子纠错码的编码和解码过程，作者也用了很多图示和具体的例子来辅助理解。不过，这本书的难度也相当可观，如果你没有扎实的线性代数和一点点量子力学背景，初期可能会感到吃力。但请相信我，一旦你坚持下来，你对“信息”这个概念的理解将会被彻底颠覆。它不仅仅是一本专业教材，更像是一本对未来计算范式的哲学思考录。这本书的参考文献列表也极其专业，涵盖了从贝尔不等式到最新的量子霸权实验的经典文献，为深入研究提供了坚实的阶梯。

评分☆☆☆☆☆

说实话，我对经济学的理解一直比较肤浅，直到我拿起了这本《计量经济学导论：现代方法》。这本书完全改变了我对统计模型在社会科学中应用的看法。作者的写作风格极其注重实用性，他并没有一开始就抛出复杂的矩阵代数，而是从最直观的最小二乘法开始，用大量的实际经济数据案例来解释每个假设的意义和违反假设的后果。例如，在讲解内生性问题时，他用了好几页纸来分析教育回报率的测量偏差，这比单纯的理论阐述要深刻得多。我特别欣赏它对工具变量法（IV）和面板数据模型的处理。书中对IV的识别条件和弱工具变量问题的讨论，既严谨又不失可读性，让人明白工具变量选择的艺术远胜于死记硬背公式。这本书对于软件操作的指导也极为到位，它不是简单地罗列Stata或R的命令，而是教你如何批判性地检验模型的稳健性。读完这本书，我不再害怕那些复杂的回归分析图表了，而是能带着审视的眼光去判断经济学报告的可信度。对于想要真正用数据说话的社科研究者来说，这本书是不可或缺的基石。

评分☆☆☆☆☆

我最近在研究自然语言处理（NLP）的底层算法，因此入手了《统计学习方法（第二版）》。这本书的厉害之处在于，它将机器学习领域最核心的几种模型，从经典的感知机、支持向量机（SVM）到近年的提升树（Boosting），进行了高度统一和系统化的梳理。作者对每一个算法的数学推导都力求简洁而完备，特别是对SVM的对偶问题求解过程，写得清晰易懂，完美展现了凸优化在机器学习中的威力。这本书的魅力在于它的“统计”视角，它不只是教你如何实现一个模型，而是告诉你这个模型背后的统计学依据是什么，它在什么假设下表现最好。我尤其喜欢它对核函数方法的介绍，将高维空间的映射问题解释得非常直观。虽然这本书的许多内容在其他更偏向工程实践的书籍中也能找到，但《统计学习方法》提供的理论深度是其他书无法比拟的。它教会了我如何从统计学的角度去理解模型的泛化能力和偏差-方差权衡。对于希望从“调参工程师”蜕变为“模型设计者”的人来说，这本书是真正的内功心法。

评分☆☆☆☆☆

天呐，最近读了这本《现代几何基础》，简直是打开了我对空间和结构的全新认知。作者的叙述方式非常细腻，不像有些教科书那样干巴巴地堆砌公式和定义，而是像一位经验丰富的向导，带着你一步步深入到抽象概念的核心。比如在讲解流形的时候，他用了大量的直观类比，让我这个初学者也能迅速抓住“局部欧几里得空间”的精髓。特别是关于黎曼度量的引入，简直是神来之笔，把张量分析的复杂性巧妙地隐藏在了几何直觉之下。这本书的习题设计也极其巧妙，它们不是简单的计算练习，而是引导你去思考更深层次的结构性质。我记得有几道关于同调群的习题，一开始感觉无从下手，但静下心来按照书中的提示一步步推导，最终豁然开朗的感觉，那种成就感是无可替代的。这本书的排版也非常舒服，注释清晰，参考文献也很有指向性，对于想要进一步研究拓扑和微分几何的读者来说，绝对是一份宝贵的资源。这本书让我明白了，数学的美丽不仅仅在于逻辑的严密，更在于其构建世界的深刻洞察力。强烈推荐给所有对高维空间充满好奇心的朋友们！

评分☆☆☆☆☆

最近翻阅的这本《计算物理学导论：算法与实践》简直是物理学与计算机科学完美结合的典范。作者显然是一位深谙数值模拟精髓的专家，他对偏微分方程的数值解法，尤其是有限差分法和有限元法的介绍，可以说是教科书级别的典范。我印象最深的是关于波函数演化模拟的部分，他不仅给出了薛定谔方程的时间步进算法，还详细分析了Crank-Nicolson格式的稳定性和精度，这在很多入门书籍中是被一带而过的关键点。书中的每一个算法都配有清晰的伪代码，并且重点讨论了在实际计算机上实现时可能遇到的精度损失和收敛性问题。它没有回避数值计算中固有的缺陷，反而将这些缺陷作为教学的契机，引导读者思考如何选择合适的算法和时间步长。更棒的是，书后附带的实验环节，指导读者使用MATLAB或Python进行实际编程，将理论直接转化为可见的物理现象，比如流体流动或晶格振动。这本书极大地提升了我对“精确”和“近似”在物理建模中含义的理解，它教会了我如何用有限的计算资源去逼近无限复杂的自然规律。