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商品参数

高中数学解题方法与技巧典例分析
	曾用价	59.00
	出版社	科学出版社
	版次	1
	出版时间	2017年12月
	开本
	作者	马岷兴 等
	装帧	平装
	页数	400
	字数	400
	ISBN编码	9787030548504

内容介绍
本书共29章，分为上篇和下篇。上篇介绍高中数学解题中重要的22类解题方法及其子方法：每一章以一种数学方法为核心，首先，阐述该数学方法的定义、步骤、使用范围等；其次，对于高中的典型例题，进行详细分析和归纳解题经验；*后，提供若干习题，供读者进行针对训练。下篇主要为数学新题赏析：分别对数学作文题、情境题、建模题、探索题、实验题、思维题、文化题进行点评与赏析。

目录
目录
上篇 解题方法
第1章 数学抽象的方法 3
1.1 符号化 3
1.2 代数化 6
1.3 图示化 10
第2章 分类与整合的方法 14
2.1 分类与整合 14
2.2 分解与组合 20
2.3 局部与整体 22
第3章 数学归纳法 27
3.1 第*数学归纳法 27
3.2 第二数学归纳法 31
第4章 递推的方法 35
4.1 累加法 35
4.2 累乘法 38
4.3 不动点法 39
4.4 特征根法 41
4.5 数列求和方法 43
第5章 演绎证明法 47
5.1 综合法 47
5.2 分析法 50
5.3 比较法 53
5.4 反证法 55
5.5 反例法 57
5.6 放缩法 58
第6章 逻辑推理方法 63
6.1 演绎推理法 63
6.2 集合思想 66
6.3 容斥原理 69
6.4 抽屉原理 71
6.5 计数原理 74
第7章 算法的方法 81
7.1 迭代法 81
7.2 穷举法 84
第8章 统计方法 89
8.1 抽样的方法 89
8.2 样本估计总体的方法 92
8.3 频率估计概率的方法 98
第9章 概率方法 105
9.1 图表法 105
9.2 古典概型方法 108
9.3 几何概型方法 111
9.4 互斥事件与条件概率方法 114
第10章 数形结合法 119
10.1 由“数”化“形” 119
10.2 由“形”化“数” 125
10.3 “数”“形”相生 131
第11章 函数法 137
11.1 待定系数法 137
11.2 分离参数法 142
第12章 方程法 147
12.1 设元法 147
12.2 根的判别式法 153
12.3 点差法 157
第13章 代换法 162
13.1 换元法 162
13.2 配方法 166
13.3 参数法 169
第14章 几何变换法 175
14.1 几何变换法 175
14.2 面积法 180
第15章 逐步逼近法 186
15.1 降维法 186
15.2 消元法 191
15.3 逐步调整法 197
15.4 极限法 202
第16章 数学模型法 206
16.1 函数模型 206
16.2 三角模型 210
16.3 数列模型 211
16.4 回归分析模型 213
16.5 概率分布列模型 219
第17章 特殊化与一般化的方法 225
17.1 特殊化法 225
17.2 一般化法 231
17.3 特殊化VS一般化 235
第18章 联想法 239
18.1 形似联想法 239
18.2 类比联想法 242
18.3 关系联想法 245
第19章 猜想法 249
19.1 不完全归纳法 249
19.2 类比法 253
19.3 演绎猜想法 257
第20章 构造法 261
20.1 构造辅助图形 261
20.2 构造辅助式 267
20.3 构造函数法 271
第21章 模式法 278
21.1 变量替换模式法 278
21.2 对称模式法 281
21.3 同一模式法 285
第22章 逆向思维法 288
22.1 对称逆向思维法 288
22.2 差异逆向思维法 290
22.3 途径倒转逆向思维法 294
下篇 新题赏析
第23章 数学作文题 301
23.1 综述 301
23.2 新题赏析 305
第24章 数学情境题 316
24.1 综述 316
24.2 典例分析 318
24.3 针对练习 324
第25章 数学建模题 327
25.1 综述 327
25.2 典例分析 330
25.3 针对练习 337
第26章 数学探索题 339
26.1 综述 339
26.2 典例分析 340
26.3 针对练习 343
第27章 数学实验题 344
27.1 综述 344
27.2 典例分析 346
27.3 针对练习 348
第28章 数学思维题 350
28.1 综述 350
28.2 典例分析 350
28.3 针对练习 354
第29章 数学文化题 356
29.1 综述 356
29.2 典题分析 361
29.3 针对练习 384

在线试读
上篇 解题方法
　　第1章 数学抽象的方法
　　数学在本质上研究的是抽象的东西，因此可以推断，数学的发展所依赖的*重要的基本思想也就是抽象，因为只有通过抽象才能得到抽象的东西。①
　　“抽象”一词源于拉丁语abstracio，其本意是排除、抽取的意思。现在人们对抽象的理解一般有两种，一种是用来形容那种远离具体经验，因而不太容易理解的对象性质的程度；另一种是指从具体事物中舍弃非本质属性而抽取本质属性的过程和方法。后者反映出抽象是一种思维活动，也是本书的研究内容。
　　抽象性是数学的基本特点之一，抽象也是数学活动*基本的思维方法。作为方法的数学抽象抽取的是事物在数量关系和空间形式等方面的本质属性，进而提炼数学概念，构造数学模型，建立数学理论。即从研究对象或问题中抽取出数量关系或空间形式而舍弃其他的属性，借助定义和推理进行逻辑构建的思维过程和方法。②
　　数学的一切活动，从概念到方法，实质上都是抽象的，大到组织一个数学体系所用的公理化方法，在实际中应用的数学模型方法，小到一个概念的给出，一个计算过程的建立，一个证明技巧的发现，甚至于一个问题的表征都需要用到数学抽象。由此也可以看出数学抽象是多种多样的，也是多层次的。③
　　1.1 符号化
　　方法点拨
　　英国著名数学家罗素说过：“什么是数学？数学就是符号加逻辑。”怀特海也说：“只要细细分析，即可发现符号化给数学理论的表述和论证带来的极大方便，甚至是必不可少的”。符号化是指将实际问题转化为数学问题，建立数学模型的过程。符号化超*了实际问题的具体情境，深刻地揭示和指明了存在于某一类问题中的共性和普遍性，把认识和推理提高到一个更高的水平，而这是数学活动和数学思考*本质的东西。
　　典例精讲
　　【典例1】计算：
　　【解析】本题可以通过直接计算得到，但是比较麻烦。观察代数式的结构发现，其有重复的元素设将原问题符号化，原式。
　　【评注】此题如果采用常规算法则显然麻烦又容易出错，但是通过数值设元，把数的运算抽象为式的运算，这样解题就显得简单、便捷。
　　【典例2】（2017全国Ⅰ卷）函数f(x)在单调递减，且为奇函数。若，则满足的x的取值范围是。
　　【解析】因为函数f(x)为奇函数，若，所以。又因为，因为函数在单调递减，将其符号化：所以，选。
　　【评注】本题中，将符号化为，有利于准确找到自变量x的不等式组，提高解题准确率。
　　【典例3】（2014全国I卷）已知分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边，且，则△ABC面积的*大值为。
　　【解析】本题的核心的条件是直接展开，没法化简。观察到，考虑将以上等式进一步“形式化”，得，观察到以上等式每个项都含有正弦值，故而考虑将“角化为边”，由正弦定理，得，利用均值不等式进行放缩，得。
　　【评注】本题的关键是根中的“2”进行符号化，代换为a，而后根据三角变换的基本方法：边角互化，降次归一等进行化简求解。
　　【典例4】某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。则矩形温室的蔬菜的种植面积*大值是m2。
　　【答案】648。
　　【解析】设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则ab=800m2。蔬菜的种植面积S=(a-4)·(b-2)=ab-4b？2a+8=808-2(a+2b)。结合基本不等式，∴S≤808-42ab=648(m2)。当且仅当a=2b，即a=40m，b=20m时，Smax=648m2。
　　【评注】将生活问题符号化，用数学的眼光来认识世界。让我们的大脑不光有感性的猜想，还有理性的思辨。
　　【典例5】如图1-1所示，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的*短路径条数为（）。
　　图1-1 A.24 B.18 C.12 D.9
　　【解析】通过分析，发现：从E到F，再到G的过程中，为了保证*短路程，故每到一个路口只能向上或者向右。从点E到点F，无论如何走，只需要向右走2个格，向上走2格，故本问题可以抽象为组合问题：在4个步骤中，选取2步向右，2步向上，有24C=6种走法；同理，从点F到点G，可以抽象为组合问题：在3个步骤中，选取2步向右，1步向上，有23C=3种走法。*后利用分步乘法原理，得6×3=18种。选B。
　　【评注】本题初次分析，可以尝试用穷举法完成，但是容易出错，没有触及问题的本质。本题等价于从点E到点G，无论如何走，只需要向右走m个格，向上走n格。可以抽象为组合问题：在m+n个步骤中，选取m步向右，n步向上，有种走法。
　　【典例6】（2013四川卷）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第*次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第*次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（）。
　　A.14 B. 12 C.34 D.78
　　【解析】本题中有两个核心元素：相邻的两个彩灯，故而将问题归类为几何概型的面积问题。设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第*次亮的时刻为X、Y，X、Y相互独立，由题意可知，如图1-2所示。两串彩灯第*次亮的时间相差不超过2秒的概率为图正方形正方形。
　　【评注】本题的关键是甲串彩灯、乙串彩灯第*次亮的时刻为X、Y，将原问题代数化，通过分析发现其本质是一个线性规划模型，通过作出面积示意图，进而加以求解。学生在处理本题的时候，茫然不知所措，反应过来利用几何概型将生活问题符号化，再图示化后，则问题迎刃而解。
　　针对练习
　　1.（2015清华自招）从正15边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（）。
　　A.105种 B.225种 C.315种 D.420种
　　2.计算的值。
　　参考答案
　　1.【解析】先看一个顶点处构成钝角的三角形个数，假设此点为A，从A逆时针方向的点依次记为kA（k=1，2，3，…，7），顺时针方向的顶点依次记为要构成以A为钝角的钝角三角形，则n+m≤7，有1+2+3+…+6=21个。于是共可构成15×21=315个钝角三角形。选C。
　　2.【解析】本题也可以考虑直接平方，进而寻求化简求值。
　　1.2 代数化
　　方法点拨
　　笛卡儿曾设想：“把一切问题归结为数学问题，把一切数

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