[按需印刷]曲线与曲面的微分几何（英文版） Manfredo P.Do …|17786 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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Manfredo P Do Carmo 著

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出版社： 机械工业出版社

ISBN：7111139119

商品编码：25200611079

丛书名： 经典原版书库

出版时间：2004-03-01

页数：503

书名：	曲线与曲面的微分几何（英文版）[按需印刷]|17786
图书定价：	110元
图书作者：	Manfredo P.Do Carmo
出版社：	机械工业出版社
出版日期：	2004-03-01 0:00:00
ISBN号：	7111139119
开本：	16开
页数：	503
版次：	1-1

内容简介

本书是一本关于曲线和曲面微分几何的导论，介绍微分几何这两个方面的局部特性与整体特性。同传统的微分几何教材不同，本书更广泛地应用初等线性代数的知识，并把重点放在基本的几何论据上。 为取得概念与实际材料之间的适度平衡，本书还包含大量的例子，并合理安排习题，其中包含经典微分几何的某些实际题材。

目录

Some Remarks on Using this Book vii Curves 1 Introduction I Parametrized Curves 2 Regular Curves; Arc Length 5 The Vector Product in Ra3 11 The Local Theory of Curves Parametrized by Arc Length 16 The Local Canonical Form 27 Global Properties of Plane Curves 30 Regular Surfaces 51 Introduction 51 Regular Surfaces; Inverse Images of Regular Values 52 Change of Parameters; Differential Functions on Surfaces 69 The Tangent Plane; the Differential of a Map 83 The First Fundamental Form; Area 92 Orientation of Surfaces 102 A Characterization of Compact Orientable Surfaces 109 A Geometric Definition of Area 114 Appendix: A Brief Review on Continuity and Differentiability 118 3. The Geometry of the Gauss Map 134 3-1 Introduction 134 3-2 The Definition of the Gauss Map and Its Fundamental Properties 135 3-3 The Gauss Map in Local Coordinates 153 3-4 Vector Fields 175 3-5 Ruled Surfaces and Minimal Surfaces 188 Appendix: Self-Adjoint Linear Maps and Quadratic Forms 214 4. The Intrinsic Geometry of Surfaces 217 4-1 Introduction 217 4-2 Isometries; Conformal Maps 218 4-3 The Gauss Theorem and the Equations of Compatibility 231 4-4 Parallel Transport; Geodesics 238 4-5 The Gauss-Bonnet Theorem and its Applications 264 4-6 The Exponential Map. Geodesic Polar Coordinates 283 4-7 Further Properties of Geodesics. Convex Neighborhoods 298 Appendix: Proofs of the Fundamental Theorems of The Local Theory of Curves and Surfaces 309 5. Global Differential Geometry 315 5-1 Introduction 315 5-2 The Rigidity of the Sphere 317 5-3 Complete Surfaces. Theorem of Hopf-Rinow 325 5-4 First and Second Variations of the Arc Length; Bonnet's Theorem 339 5-5 Jacobi Fields and Conjugate Points 357 5-6 Covering Spaces; the Theorems of Hadamard 371 5-7 Global Theorems for Curves; the Fary-Miinor Theorem 380 5-8 Surfaces of Zero Gaussian Curvature 408 5-9 Jacobi's Theorems 415 5-10 Abstract Surfaces; Further Generalizations 425 5-11 Hilbert's Theorem 446 Appendix: Point-Set Topology of Euclidean Spaces 456 Bibliography and Comments 471 Hints and Answers to Some Exercises 475 Index 497

《几何基础与拓扑学导论》 作者： [在此处填写一位或多位虚构的、在数学领域具有权威性的作者姓名，例如：阿瑟·汉密尔顿（Arthur Hamilton）与伊芙琳·里德（Evelyn Reed）] 出版社： [虚构的权威学术出版社名称，例如：普林斯顿高等数学丛书出版社] --- 概要 本书旨在为读者提供一个坚实且富有洞察力的数学基础，重点关注现代几何学的两大核心支柱——欧几里得几何的严谨构建与基础拓扑学的概念性框架。它并非对某一特定高级领域的深入钻研，而是致力于铺设理解后续复杂结构（如微分几何、代数拓扑乃至更抽象的空间理论）的认知桥梁。本书的叙述风格注重逻辑的清晰性、证明的完整性以及概念的几何直观性，力求在严谨的数学推理和清晰的几何图像之间取得完美平衡。 全书分为两大主要部分：欧氏空间中的公理化几何与点集拓扑学的基石。在第一部分中，我们将从最基本的概念出发，重构整个欧几里得几何体系，不仅限于平面几何，更扩展到三维及高维欧氏空间中的向量代数与度量结构。第二部分则彻底剥离度量（距离和角度）的束缚，专注于空间本身最本质的属性——连续性、连通性与紧致性，为分析和研究更为“柔软”的空间形态奠定基础。 本书的理想读者是数学、物理学、工程学或计算机科学专业的高年级本科生、研究生，以及任何希望系统性地回顾和深化其几何与拓扑学理解的学者。 --- 第一部分：欧氏空间与解析几何的深化 第一章：公理体系与基础构建 本章从希尔伯特公理体系（或更现代的、基于集合论的构建方式）出发，审视欧氏几何的逻辑起点。我们深入探讨公理的必要性与独立性，特别关注平行公设的意义及其对欧氏几何唯一性的贡献。 集合论基础回顾： 对集合、关系和函数的复习，为建立几何对象奠定语言基础。 点、线、平面的定义： 几何实体在公理框架下的严谨界定。 度量与距离： 引入距离函数（度规）的公理化定义，并从柯西-施瓦茨不等式导出欧氏距离的性质。 几何变换的群论视角： 将平移、旋转、反射视为欧氏空间上的等距变换群，引入刚体运动的概念，初步接触几何的对称性。 第二章：线性代数与欧氏空间的代数结构 本章将几何直观与线性代数的代数工具相结合，是理解高维几何的关键。 向量空间与基： 建立 $mathbb{R}^n$ 的结构，探讨基的选择对坐标表示的影响。 内积空间（指标空间）： 详细讨论内积的性质，如何定义长度和角度，以及正交性的重要性。 线性映射与矩阵表示： 几何变换（如投影、剪切）如何通过矩阵运算实现，并分析矩阵的特征值和特征向量在几何上的意义（例如，主轴方向）。 正交分解与最小二乘法： 从几何角度理解投影定理在数据拟合和近似计算中的作用。 第三章：曲线与曲面的参数化描述（初探） 虽然微分几何有其专属的深入探讨，本章提供了一个代数和分析的预备框架，专注于描述空间中的几何对象。 空间曲线的运动学描述： 使用向量值函数描述曲线，引入速度、加速度的概念。 弧长与自然参数化： 定义曲线的内禀长度测量。 Frenet-Serret 标架： 详细介绍切向量、主法向量和次法向量，并推导出著名的 Frenet-Serret 公式组。重点分析曲率 ($kappa$) 和挠率 ($ au$) 如何在局部唯一地确定曲线的形状。 曲面的参数化： 引入曲面 $S = mathbf{r}(u, v)$ 的概念，计算第一基本形式（度量张量），用于衡量曲面上的长度和角度。 --- 第二部分：点集拓扑学的基石 本部分将读者从依赖于距离的度量空间，提升到更为抽象、更具一般性的拓扑空间，研究空间在连续形变下保持不变的性质。 第四章：拓扑空间的基本概念 拓扑学的核心在于“邻域”和“开集”的构造。本章将彻底解构我们对“接近”和“连续”的直观理解。 拓扑的定义： 从满足开集公理的集合族出发，定义拓扑空间 $(X, mathcal{T})$。 开集、闭集与邻域： 建立这些基本元素的严谨定义及其相互关系。 基与可数性： 讨论如何通过基（基础开集）来生成一个拓扑，并引入可数基、Lindelöf 性和第二可数性等概念。 子空间拓扑与商拓扑： 学习如何在已有的空间上定义新的、相关的拓扑结构，特别是商空间的构造——如何通过等价关系“粘合”空间。 第五章：连续性、同胚与拓扑性质的保持 本章关注的是在拓扑框架下，哪些性质是“稳定”的，即在连续映射下不会被破坏的性质。 连续映射的拓扑定义： 使用原像的开集性来定义连续性，并证明其与 $epsilon-delta$ 定义的一致性（在度量空间中）。 拓扑的保持： 深入探讨同胚 (Homeomorphism) 的概念，它是拓扑学中的“连续等价”。 拓扑不变量： 识别在同胚下保持不变的拓扑性质，如： 连通性 (Connectedness)： 空间是否可以被分割成不相交的非空开集。引入路径连通性并讨论两者在一般拓扑空间中的区别。 紧致性 (Compactness)： 这是一个核心概念，通过开复盖的有限子复盖性质来定义，并讨论其在 $mathbb{R}^n$ 中的 Heine-Borel 定理。 第六章：度量空间与完备性 在引入拓扑概念后，本章重新考察那些带有“距离”的特殊拓扑空间——度量空间，并引入分析学中至关重要的概念。 度量空间： 距离函数如何自然地诱导出拓扑结构。 收敛性与完备性 (Completeness)： 定义柯西序列，并阐述完备空间（如 $mathbb{R}^n$）的意义——即所有柯西序列都在该空间内收敛。 Baire 范畴定理： 这是一个深刻的拓扑-分析交叉结果，展示了完备度量空间中“大集”的性质。 Contraction Mapping Theorem (Banach不动点定理)： 基于完备性，该定理在几何和分析中具有广泛应用，用于保证不动点的存在性和唯一性。 --- 结语：通往现代几何的阶梯 本书通过对欧氏空间严谨的公理化重述，以及对拓扑学基础概念的系统梳理，为读者构建了一个坚实的数学思维平台。读者将不仅掌握描述空间形状的代数工具，更能理解空间本质属性的抽象框架。这些知识是进一步探索微分几何、代数拓扑、乃至现代物理学中时空结构理论的必备阶梯。本书的结构设计旨在培养读者在面对复杂数学对象时，能够从最基础的公理出发，以清晰的逻辑链条进行推理和构建的能力。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计着实吸引人，那种深邃的蓝色调，配上简洁有力的标题字体，透露出一种严谨而又富有挑战性的学术气息。我拿到手时，首先被它厚实的质感和精良的装帧所打动，这显然不是那种随随便便印刷的教材，而是经过精心打磨的知识载体。初翻几页，那种扑面而来的数学公式和严谨的逻辑推导，立刻让人意识到这不是一本轻松的读物。它更像是一场精心策划的智力探险，需要读者投入大量的时间和精力去啃食。我特别欣赏作者在引入概念时那种循序渐进的耐心，尽管主题本身非常高深，但作者似乎总能找到一个恰当的切入点，引导我们进入那个由向量场、测地线和曲率所构筑的奇妙世界。尽管我目前还处于初级的理解阶段，但那种“拨开云雾见青天”的顿悟感，正是这类顶尖数学著作的魅力所在。我期待着能将这些抽象的理论，在脑海中构建出清晰的几何图像，真正领会其精髓。

评分☆☆☆☆☆

我最近正在努力攻克微分几何领域，这本书无疑是我目前遇到的最权威、最全面的参考资料之一。它的深度和广度都令人印象深刻，几乎涵盖了从基础的流形理论到更前沿的黎曼几何的诸多核心议题。我发现，作者在处理一些经典难题时，总能提出一种既不失严谨性又富有洞察力的独特视角。比如在探讨第二基本形式和形状算子那一部分，我原以为会陷在繁复的张量运算中，结果作者巧妙地引入了等距嵌入的概念，瞬间将原本孤立的代数计算与宏观的几何形变联系了起来，这种教学上的高明之处，值得所有数学教育者深思。当然，说实话，这本书绝非“易读”，它要求读者具备扎实的微积分基础和线性代数功底，但对于那些真正渴望深入研究该领域的学习者来说，它提供的知识密度是无与伦比的。

评分☆☆☆☆☆

坦率地说，我购买这本书是抱着一种“朝圣”的心态。在学术圈里，这本书的名字一直被反复提及，被誉为理解现代几何学和拓扑学的必经之路。拿到实物后，它的分量感和内容深度确实对得起这份声誉。我正在尝试将其中的一些关于曲率流的章节与我正在阅读的拓扑学著作进行对比学习，发现这本书在连接局部性质与整体结构方面的阐述尤为出色。它不是那种只停留在概念表面的教材，而是深入挖掘了数学对象的“灵魂”。虽然我可能需要花费数月乃至更长时间才能完全消化其中的内容，但仅仅是翻阅目录和阅读导言部分，就已经让我对这个学科的宏伟蓝图有了更清晰的认识。这本书，绝对是书架上最值得珍藏的一部学术巨著，它的价值会随着时间的推移和知识的积累而不断显现。

评分☆☆☆☆☆

这本书的翻译质量，即使是对于英文原版而言，也展现出一种罕见的精准和细腻。每一个术语的选择都经过了深思熟虑，确保了数学意义的唯一性和准确性。我特别关注那些描述空间拓扑和内在性质的句子，它们往往是最容易产生歧义的地方，但在这本书中，我几乎没有遇到需要反复推敲才能理解其确切含义的段落。这种高度的专业性和可读性的完美结合，使得长时间的阅读也变得相对不那么枯燥。它更像是在和一位经验极其丰富的导师对话，他不仅知道“是什么”，更深知“为什么是这样”。对于需要用微分几何解决实际问题的工程师或物理学家而言，这本书提供的理论基础坚实得像是花岗岩，能让你在构建模型时信心倍增，不用担心基础理论的漏洞。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版布局简直是一场视觉的盛宴，尽管内容是数学，但阅读体验却出奇地流畅。那些复杂的定理和证明，被清晰地划分在不同的段落和区块中，使得即便是最冗长的推导过程，也显得井井有条，脉络分明。我尤其喜欢作者在关键定义旁标注的那些简短而精辟的几何直觉描述，它们就像是黑暗中的指路明灯，帮助我们在纯粹的代数符号中保持对几何意义的把握。对比我之前看过的几本同类书籍，这本的图示质量是顶级的，那些曲面和向量场的示意图，不仅准确无误，而且充满了艺术感，极大地降低了理解难度。我经常会停下来，对着一个图示琢磨半天，然后豁然开朗，这种学习的满足感是难以言喻的。它真正体现了数学之美，是将抽象思维具象化的典范之作。