[按需印刷]麯綫與麯麵的微分幾何（英文版） Manfredo P.Do …|17786 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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Manfredo P Do Carmo 著

圖書標籤:

• 微分幾何
• 麯綫
• 麯麵
• 數學
• 高等數學
• 幾何學
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• Manfredo P
• Do Carmo
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齣版社： 機械工業齣版社

ISBN：7111139119

商品編碼：25200611079

叢書名： 經典原版書庫

齣版時間：2004-03-01

頁數：503

書名：	麯綫與麯麵的微分幾何（英文版）[按需印刷]|17786
圖書定價：	110元
圖書作者：	Manfredo P.Do Carmo
齣版社：	機械工業齣版社
齣版日期：	2004-03-01 0:00:00
ISBN號：	7111139119
開本：	16開
頁數：	503
版次：	1-1

內容簡介

本書是一本關於麯綫和麯麵微分幾何的導論，介紹微分幾何這兩個方麵的局部特性與整體特性。同傳統的微分幾何教材不同，本書更廣泛地應用初等綫性代數的知識，並把重點放在基本的幾何論據上。 為取得概念與實際材料之間的適度平衡，本書還包含大量的例子，並閤理安排習題，其中包含經典微分幾何的某些實際題材。

目錄

Some Remarks on Using this Book vii Curves 1 Introduction I Parametrized Curves 2 Regular Curves; Arc Length 5 The Vector Product in Ra3 11 The Local Theory of Curves Parametrized by Arc Length 16 The Local Canonical Form 27 Global Properties of Plane Curves 30 Regular Surfaces 51 Introduction 51 Regular Surfaces; Inverse Images of Regular Values 52 Change of Parameters; Differential Functions on Surfaces 69 The Tangent Plane; the Differential of a Map 83 The First Fundamental Form; Area 92 Orientation of Surfaces 102 A Characterization of Compact Orientable Surfaces 109 A Geometric Definition of Area 114 Appendix: A Brief Review on Continuity and Differentiability 118 3. The Geometry of the Gauss Map 134 3-1 Introduction 134 3-2 The Definition of the Gauss Map and Its Fundamental Properties 135 3-3 The Gauss Map in Local Coordinates 153 3-4 Vector Fields 175 3-5 Ruled Surfaces and Minimal Surfaces 188 Appendix: Self-Adjoint Linear Maps and Quadratic Forms 214 4. The Intrinsic Geometry of Surfaces 217 4-1 Introduction 217 4-2 Isometries; Conformal Maps 218 4-3 The Gauss Theorem and the Equations of Compatibility 231 4-4 Parallel Transport; Geodesics 238 4-5 The Gauss-Bonnet Theorem and its Applications 264 4-6 The Exponential Map. Geodesic Polar Coordinates 283 4-7 Further Properties of Geodesics. Convex Neighborhoods 298 Appendix: Proofs of the Fundamental Theorems of The Local Theory of Curves and Surfaces 309 5. Global Differential Geometry 315 5-1 Introduction 315 5-2 The Rigidity of the Sphere 317 5-3 Complete Surfaces. Theorem of Hopf-Rinow 325 5-4 First and Second Variations of the Arc Length; Bonnet's Theorem 339 5-5 Jacobi Fields and Conjugate Points 357 5-6 Covering Spaces; the Theorems of Hadamard 371 5-7 Global Theorems for Curves; the Fary-Miinor Theorem 380 5-8 Surfaces of Zero Gaussian Curvature 408 5-9 Jacobi's Theorems 415 5-10 Abstract Surfaces; Further Generalizations 425 5-11 Hilbert's Theorem 446 Appendix: Point-Set Topology of Euclidean Spaces 456 Bibliography and Comments 471 Hints and Answers to Some Exercises 475 Index 497

《幾何基礎與拓撲學導論》 作者： [在此處填寫一位或多位虛構的、在數學領域具有權威性的作者姓名，例如：阿瑟·漢密爾頓（Arthur Hamilton）與伊芙琳·裏德（Evelyn Reed）] 齣版社： [虛構的權威學術齣版社名稱，例如：普林斯頓高等數學叢書齣版社] --- 概要 本書旨在為讀者提供一個堅實且富有洞察力的數學基礎，重點關注現代幾何學的兩大核心支柱——歐幾裏得幾何的嚴謹構建與基礎拓撲學的概念性框架。它並非對某一特定高級領域的深入鑽研，而是緻力於鋪設理解後續復雜結構（如微分幾何、代數拓撲乃至更抽象的空間理論）的認知橋梁。本書的敘述風格注重邏輯的清晰性、證明的完整性以及概念的幾何直觀性，力求在嚴謹的數學推理和清晰的幾何圖像之間取得完美平衡。 全書分為兩大主要部分：歐氏空間中的公理化幾何與點集拓撲學的基石。在第一部分中，我們將從最基本的概念齣發，重構整個歐幾裏得幾何體係，不僅限於平麵幾何，更擴展到三維及高維歐氏空間中的嚮量代數與度量結構。第二部分則徹底剝離度量（距離和角度）的束縛，專注於空間本身最本質的屬性——連續性、連通性與緊緻性，為分析和研究更為“柔軟”的空間形態奠定基礎。 本書的理想讀者是數學、物理學、工程學或計算機科學專業的高年級本科生、研究生，以及任何希望係統性地迴顧和深化其幾何與拓撲學理解的學者。 --- 第一部分：歐氏空間與解析幾何的深化 第一章：公理體係與基礎構建 本章從希爾伯特公理體係（或更現代的、基於集閤論的構建方式）齣發，審視歐氏幾何的邏輯起點。我們深入探討公理的必要性與獨立性，特彆關注平行公設的意義及其對歐氏幾何唯一性的貢獻。 集閤論基礎迴顧： 對集閤、關係和函數的復習，為建立幾何對象奠定語言基礎。 點、綫、平麵的定義： 幾何實體在公理框架下的嚴謹界定。 度量與距離： 引入距離函數（度規）的公理化定義，並從柯西-施瓦茨不等式導齣歐氏距離的性質。 幾何變換的群論視角： 將平移、鏇轉、反射視為歐氏空間上的等距變換群，引入剛體運動的概念，初步接觸幾何的對稱性。 第二章：綫性代數與歐氏空間的代數結構 本章將幾何直觀與綫性代數的代數工具相結閤，是理解高維幾何的關鍵。 嚮量空間與基： 建立 $mathbb{R}^n$ 的結構，探討基的選擇對坐標錶示的影響。 內積空間（指標空間）： 詳細討論內積的性質，如何定義長度和角度，以及正交性的重要性。 綫性映射與矩陣錶示： 幾何變換（如投影、剪切）如何通過矩陣運算實現，並分析矩陣的特徵值和特徵嚮量在幾何上的意義（例如，主軸方嚮）。 正交分解與最小二乘法： 從幾何角度理解投影定理在數據擬閤和近似計算中的作用。 第三章：麯綫與麯麵的參數化描述（初探） 雖然微分幾何有其專屬的深入探討，本章提供瞭一個代數和分析的預備框架，專注於描述空間中的幾何對象。 空間麯綫的運動學描述： 使用嚮量值函數描述麯綫，引入速度、加速度的概念。 弧長與自然參數化： 定義麯綫的內稟長度測量。 Frenet-Serret 標架： 詳細介紹切嚮量、主法嚮量和次法嚮量，並推導齣著名的 Frenet-Serret 公式組。重點分析麯率 ($kappa$) 和撓率 ($ au$) 如何在局部唯一地確定麯綫的形狀。 麯麵的參數化： 引入麯麵 $S = mathbf{r}(u, v)$ 的概念，計算第一基本形式（度量張量），用於衡量麯麵上的長度和角度。 --- 第二部分：點集拓撲學的基石 本部分將讀者從依賴於距離的度量空間，提升到更為抽象、更具一般性的拓撲空間，研究空間在連續形變下保持不變的性質。 第四章：拓撲空間的基本概念 拓撲學的核心在於“鄰域”和“開集”的構造。本章將徹底解構我們對“接近”和“連續”的直觀理解。 拓撲的定義： 從滿足開集公理的集閤族齣發，定義拓撲空間 $(X, mathcal{T})$。 開集、閉集與鄰域： 建立這些基本元素的嚴謹定義及其相互關係。 基與可數性： 討論如何通過基（基礎開集）來生成一個拓撲，並引入可數基、Lindelöf 性和第二可數性等概念。 子空間拓撲與商拓撲： 學習如何在已有的空間上定義新的、相關的拓撲結構，特彆是商空間的構造——如何通過等價關係“粘閤”空間。 第五章：連續性、同胚與拓撲性質的保持 本章關注的是在拓撲框架下，哪些性質是“穩定”的，即在連續映射下不會被破壞的性質。 連續映射的拓撲定義： 使用原像的開集性來定義連續性，並證明其與 $epsilon-delta$ 定義的一緻性（在度量空間中）。 拓撲的保持： 深入探討同胚 (Homeomorphism) 的概念，它是拓撲學中的“連續等價”。 拓撲不變量： 識彆在同胚下保持不變的拓撲性質，如： 連通性 (Connectedness)： 空間是否可以被分割成不相交的非空開集。引入路徑連通性並討論兩者在一般拓撲空間中的區彆。 緊緻性 (Compactness)： 這是一個核心概念，通過開復蓋的有限子復蓋性質來定義，並討論其在 $mathbb{R}^n$ 中的 Heine-Borel 定理。 第六章：度量空間與完備性 在引入拓撲概念後，本章重新考察那些帶有“距離”的特殊拓撲空間——度量空間，並引入分析學中至關重要的概念。 度量空間： 距離函數如何自然地誘導齣拓撲結構。 收斂性與完備性 (Completeness)： 定義柯西序列，並闡述完備空間（如 $mathbb{R}^n$）的意義——即所有柯西序列都在該空間內收斂。 Baire 範疇定理： 這是一個深刻的拓撲-分析交叉結果，展示瞭完備度量空間中“大集”的性質。 Contraction Mapping Theorem (Banach不動點定理)： 基於完備性，該定理在幾何和分析中具有廣泛應用，用於保證不動點的存在性和唯一性。 --- 結語：通往現代幾何的階梯 本書通過對歐氏空間嚴謹的公理化重述，以及對拓撲學基礎概念的係統梳理，為讀者構建瞭一個堅實的數學思維平颱。讀者將不僅掌握描述空間形狀的代數工具，更能理解空間本質屬性的抽象框架。這些知識是進一步探索微分幾何、代數拓撲、乃至現代物理學中時空結構理論的必備階梯。本書的結構設計旨在培養讀者在麵對復雜數學對象時，能夠從最基礎的公理齣發，以清晰的邏輯鏈條進行推理和構建的能力。

評分☆☆☆☆☆

這本書的排版布局簡直是一場視覺的盛宴，盡管內容是數學，但閱讀體驗卻齣奇地流暢。那些復雜的定理和證明，被清晰地劃分在不同的段落和區塊中，使得即便是最冗長的推導過程，也顯得井井有條，脈絡分明。我尤其喜歡作者在關鍵定義旁標注的那些簡短而精闢的幾何直覺描述，它們就像是黑暗中的指路明燈，幫助我們在純粹的代數符號中保持對幾何意義的把握。對比我之前看過的幾本同類書籍，這本的圖示質量是頂級的，那些麯麵和嚮量場的示意圖，不僅準確無誤，而且充滿瞭藝術感，極大地降低瞭理解難度。我經常會停下來，對著一個圖示琢磨半天，然後豁然開朗，這種學習的滿足感是難以言喻的。它真正體現瞭數學之美，是將抽象思維具象化的典範之作。

評分☆☆☆☆☆

這本書的翻譯質量，即使是對於英文原版而言，也展現齣一種罕見的精準和細膩。每一個術語的選擇都經過瞭深思熟慮，確保瞭數學意義的唯一性和準確性。我特彆關注那些描述空間拓撲和內在性質的句子，它們往往是最容易産生歧義的地方，但在這本書中，我幾乎沒有遇到需要反復推敲纔能理解其確切含義的段落。這種高度的專業性和可讀性的完美結閤，使得長時間的閱讀也變得相對不那麼枯燥。它更像是在和一位經驗極其豐富的導師對話，他不僅知道“是什麼”，更深知“為什麼是這樣”。對於需要用微分幾何解決實際問題的工程師或物理學傢而言，這本書提供的理論基礎堅實得像是花崗岩，能讓你在構建模型時信心倍增，不用擔心基礎理論的漏洞。

評分☆☆☆☆☆

坦率地說，我購買這本書是抱著一種“朝聖”的心態。在學術圈裏，這本書的名字一直被反復提及，被譽為理解現代幾何學和拓撲學的必經之路。拿到實物後，它的分量感和內容深度確實對得起這份聲譽。我正在嘗試將其中的一些關於麯率流的章節與我正在閱讀的拓撲學著作進行對比學習，發現這本書在連接局部性質與整體結構方麵的闡述尤為齣色。它不是那種隻停留在概念錶麵的教材，而是深入挖掘瞭數學對象的“靈魂”。雖然我可能需要花費數月乃至更長時間纔能完全消化其中的內容，但僅僅是翻閱目錄和閱讀導言部分，就已經讓我對這個學科的宏偉藍圖有瞭更清晰的認識。這本書，絕對是書架上最值得珍藏的一部學術巨著，它的價值會隨著時間的推移和知識的積纍而不斷顯現。

評分☆☆☆☆☆

我最近正在努力攻剋微分幾何領域，這本書無疑是我目前遇到的最權威、最全麵的參考資料之一。它的深度和廣度都令人印象深刻，幾乎涵蓋瞭從基礎的流形理論到更前沿的黎曼幾何的諸多核心議題。我發現，作者在處理一些經典難題時，總能提齣一種既不失嚴謹性又富有洞察力的獨特視角。比如在探討第二基本形式和形狀算子那一部分，我原以為會陷在繁復的張量運算中，結果作者巧妙地引入瞭等距嵌入的概念，瞬間將原本孤立的代數計算與宏觀的幾何形變聯係瞭起來，這種教學上的高明之處，值得所有數學教育者深思。當然，說實話，這本書絕非“易讀”，它要求讀者具備紮實的微積分基礎和綫性代數功底，但對於那些真正渴望深入研究該領域的學習者來說，它提供的知識密度是無與倫比的。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計著實吸引人，那種深邃的藍色調，配上簡潔有力的標題字體，透露齣一種嚴謹而又富有挑戰性的學術氣息。我拿到手時，首先被它厚實的質感和精良的裝幀所打動，這顯然不是那種隨隨便便印刷的教材，而是經過精心打磨的知識載體。初翻幾頁，那種撲麵而來的數學公式和嚴謹的邏輯推導，立刻讓人意識到這不是一本輕鬆的讀物。它更像是一場精心策劃的智力探險，需要讀者投入大量的時間和精力去啃食。我特彆欣賞作者在引入概念時那種循序漸進的耐心，盡管主題本身非常高深，但作者似乎總能找到一個恰當的切入點，引導我們進入那個由嚮量場、測地綫和麯率所構築的奇妙世界。盡管我目前還處於初級的理解階段，但那種“撥開雲霧見青天”的頓悟感，正是這類頂尖數學著作的魅力所在。我期待著能將這些抽象的理論，在腦海中構建齣清晰的幾何圖像，真正領會其精髓。