北师大版高中数学选修4-5不等式选讲课本教材教科书 北师版高中数学 不等式选讲 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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店铺： 汇文盛科图书专营店

出版社： 北京师范大学出版社

ISBN：9787303081868

商品编码：25406793262

丛书名： 数学选修4-5

普通高中课程标准实验教科书

数学选修4-5

不等式选讲

北京师范大学出版社

暂不提供内容

深入探索高等数学的基石：解析几何与抽象代数 本书旨在为致力于提升数学素养、准备迎接更高级别数学挑战的读者提供一套系统、深入的理论构建与实践指导。我们将聚焦于高等数学的两个核心分支——解析几何与抽象代数，构建起一座连接直观几何世界与严谨代数结构的桥梁。本书内容完全独立于任何高中阶段的特定教材系列，力求以大学数学的视角，重塑读者对数学对象的理解。 第一部分：解析几何的精妙结构（The Elegance of Analytic Geometry） 本部分将带领读者从笛卡尔坐标系出发，进入多维空间中曲线与曲面的精确描述世界。我们不满足于平面几何的二维限制，而是将目光投向三维乃至更高维的空间，探讨如何用代数方程来捕捉和揭示几何形态的内在规律。 第一章：空间坐标系与向量代数基础 我们将首先回顾并深化对三维直角坐标系的理解，引入空间中点的坐标表示法。随后，本书将花费大量篇幅讲解向量代数在空间中的应用。这不仅仅是关于向量加减和数乘的机械操作，而是深入探讨向量的几何意义：它们如何表示位移、方向和力。 空间向量的线性组合与基： 探讨如何选取一组线性无关的向量作为空间向量的基底，并进行坐标变换的理论基础。 点积（内积）的几何内涵： 详细解析点积如何衡量两个向量的“相似性”，以及它在求角度、投影中的核心作用。我们将证明柯西-施瓦茨不等式在空间向量中的推广形式，并讨论其在优化问题中的潜在应用。 叉积（外积）的物理与几何意义： 深入分析叉积的结果是一个垂直于原向量所在平面的向量，其模长代表了由两个向量构成的平行四边形的面积。我们将讨论叉积在线性代数中表示的行列式形式，并用于判断三点共线、四点共面。 混合积（标量三重积）： 探讨混合积与四点所构成的平行六面体体积之间的关系，理解其正负号所代表的空间定向。 第二章：空间直线与平面的精确描述 在向量工具的武装下，本章将实现对空间基本几何元素的精确代数描述。 空间直线的表示： 系统讲解直线的点向式、参数方程和标准方程（若存在），并重点讨论两条直线之间夹角的计算、异面直线的最短距离求解。我们将推导出不同直线位置关系（平行、相交、异面）的代数条件。 平面的方程： 重点分析法向量在确定平面方程中的决定性作用。详述平面的一般式、点法式。特别关注如何通过两个向量或一条直线和一个点来唯一确定一个平面。 点、线、面之间的关系： 深入推导点到平面的距离公式，并证明其几何来源。分析直线与平面、平面与平面之间的夹角计算，及其相交或平行的条件。 第三章：二次曲面及其空间性质 解析几何的高潮在于对二次曲面的研究。我们将超越基础的椭球面、双曲面和抛物面，探究它们在三维空间中的真实形态和代数特征。 二次型与二次曲面： 从二次型（Quadratic Forms）的角度引入，解释为什么它们的图形是二次曲线或二次曲面的推广。 常见二次曲面的标准形： 详细分析椭球面、单叶/双叶双曲面、椭圆/双曲抛物面的标准方程，并辅以详细的图形描述，强调其对称性、截面性质。例如，通过研究不同平面（平行于坐标面）截割所得到的截线，来重构三维曲面的全貌。 柱面与旋转曲面： 讨论缺乏某个变量的方程（如$x^2+y^2=R^2$）如何生成无限延伸的柱面，以及如何通过绕轴旋转平面曲线来生成旋转曲面。 第二部分：抽象代数导论（An Introduction to Abstract Algebra） 本部分是通往现代数学核心的阶梯。我们不再满足于对实数域$mathbb{R}$上运算的熟悉，而是将注意力转向研究“结构”本身——即集合在特定运算下所遵循的公理化体系。 第四章：群论基础：代数结构的原型 群论是抽象代数中最基本、应用最广泛的结构。本书将从最基本的定义出发，建立完整的群论框架。 群的定义与基本性质： 严格定义群的四个公理（封闭性、结合律、单位元、逆元）。通过实例（如整数加法群、非零有理数乘法群）来理解这些公理的含义。 循环群与生成元： 深入研究由单个元素通过有限次运算生成的群。探讨阶的概念，以及循环群的结构定理。 子群与陪集： 定义子群的概念，并重点讲解陪集的概念及其在划分群结构中的作用。引入拉格朗日定理（Lagrange's Theorem），这是有限群论中最核心的结论之一，并详细论证其在求解群的阶数时的强大能力。 同态与同构： 这是理解不同群之间关系的钥匙。严格定义群同态和同构，并阐述同构的含义——即结构上的完全一致性。 第五章：环与域：代数运算的扩展 在群的基础上，我们引入第二种运算，构建出更丰富的代数结构——环。 环的定义与例子： 介绍具有加法和乘法两种运算的代数结构，要求满足加法群的性质，以及乘法的结合律和分配律。通过整数环$mathbb{Z}$、多项式环$F[x]$等例子来巩固理解。 整环与域： 区分具有零因子（Zero Divisors）的环与整环。最终，重点分析“域”（Field）的特性——一个在其非零元素上构成乘法群的交换环。复数域$mathbb{C}$和有理数域$mathbb{Q}$将作为核心范例。 理想与商环： 引入理想（Ideal）的概念，它是环论中类似于子群的结构，是构造“商结构”的基础。详细讲解如何通过一个理想来构造商环（Quotient Ring），并阐述其与同态定理的深刻联系。 本书特点： 本书的叙述风格严谨而清晰，注重概念的几何或直观背景，避免纯粹的符号堆砌。所有的定义都伴随着详尽的例子和反例，确保读者不仅“知道”定理的内容，更能“理解”定理背后的数学逻辑。通过对解析几何中坐标变换与抽象代数中结构同构的学习，读者将为进入更高级别的数学领域（如微分几何、拓扑学、代数几何）打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧和排版设计也值得称赞，虽然是选修教材，但在视觉体验上毫不含糊。纸张的质量很好，印刷清晰，特别是那些复杂的数学公式和不等式符号，排版得一丝不苟，阅读起来毫无压力，即使长时间盯着看也不会感到眼睛疲劳。更关键的是，章节之间的衔接非常自然，从基础概念的建立到核心定理的证明，再到最后的拓展应用，整个脉络如同精心编织的挂毯，线索清晰可见。不同于一些教材习惯于将例题和习题完全割裂，本书在例题的讲解中，就已经埋下了对后续习题的解题思路的伏笔，形成了一种相互印证、螺旋上升的学习结构。我个人尤其喜欢它在每一小节末尾设置的“知识回顾与小结”，那里的总结提炼得极为精辟，相当于提供了一张高效率的“知识地图”，帮助我们在浩瀚的数学知识海洋中迅速定位自己所学和即将要学的内容，避免了知识点之间的混淆和遗忘，对于课后复习效率的提升，简直是立竿见影。

评分☆☆☆☆☆

总的来说，我将这本《北师大版高中数学选修4-5 不等式选讲》视为一本极具教学价值和学习深度的参考书。它不仅仅满足了课程大纲对“不等式选讲”的要求，更是超越了单纯的应试需求，提供了一套系统化的、可以迁移到其他数学领域的高级思维训练。对于那些立志于在数学学科上走得更远的同学而言，这本书所蕴含的数学美感和逻辑深度是不可多得的财富。它的深度和广度，使得即使是已经学完一遍的读者，再次翻阅时也会有新的感悟。比如，我最近在思考一些微积分中的极值问题时，突然发现书中关于均值不等式在确定函数极值点时所体现出的对称性和约束条件下的最优解思想，竟然有着异曲同工之妙。这种跨章节、跨知识模块的融会贯通能力，正是这本教材潜移默化中带给读者的最大礼物——它培养的不是解题机器，而是具有深刻洞察力的数学思考者。

评分☆☆☆☆☆

这本《不等式选讲》的教材，初上手给我的感觉是相当的扎实与严谨，尤其对于我这种数学基础还算不错，但总感觉对不等式这块知识点把握不够“精”的同学来说，它简直像是一张精准的手术刀，直插问题的核心。书的编排逻辑非常清晰，从最基础的绝对值不等式性质的深入探讨开始，逐步过渡到柯西-施瓦茨不等式及其变体，再到更复杂的平均不等式，每一步的递进都显得水到渠成，没有那种为了拔高而拔高的突兀感。特别是对一些经典不等式的几何意义的阐述，简直是画龙点睛之笔，让我这个过去偏爱代数推演的人，突然领悟到几何直观在理解复杂不等式时的巨大威力。书中的例题选择也极其用心，它们不是那种简单的套公式练习，而是巧妙地将不同类型的不等式技巧融会贯通，迫使读者必须跳出单一的思维定势去思考。如果能配合课本中那些看似简单实则蕴含深意的课后习题进行反复揣摩，相信在处理高考压轴题或者数学竞赛中的不等式部分时，会感到信心倍增。这种从基础到深入，再到灵活应用的层层递进，是它最让我欣赏的地方，它真正做到了“选讲”二字的精髓——选取的都是最核心、最精妙的知识点进行深度挖掘。

评分☆☆☆☆☆

从一个注重解题效率的角度来看，这本教材的实用性毋庸置疑，但更深层次的价值在于它对数学思维的塑造。我发现，很多关于不等式的疑难杂症，比如如何判断不等式是否成立的边界条件，或者如何构造辅助函数来验证最优解，在这本书里都有深入的探讨。它不像市面上某些资料那样，只给你一套现成的工具箱，而是教你如何自己去打造和优化工具。比如，书中花了相当大的篇幅去剖析“放缩法”的艺术，这种艺术感在纯粹的代数推导中是比较难体会到的。通过大量精心设计的练习，它引导我们去思考：我们到底要放缩到什么程度才刚刚好能得出结论？放大了太多，会因为过度宽松而无法证明；放小了，又可能直接漏掉了关键的等号成立条件。这种对“度”的把握，在数学的各个分支中都至关重要，而不等式选讲恰恰提供了一个极佳的训练场。它教会我的不是一两个不等式公式，而是一套严谨的、追求最优结果的数学探究方法论。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，刚翻开这本书的时候，我心里其实是有点打鼓的，毕竟“选修”的课程内容往往意味着难度陡增，而且不同出版社的风格差异也很大。但北师大的这本教材，却给我带来了意外的惊喜——它的语言风格非常亲切，完全不像某些教辅资料那样冷冰冰的公式堆砌。作者们似乎非常懂得高中生的认知特点，在介绍一些高阶概念时，会用非常生活化或者形象化的比喻来辅助理解，比如在解释三角不等式或排序不等式时，那种娓娓道来的叙述方式，大大降低了初次接触这些“硬骨头”知识时的畏惧感。最让我感到受益的是它对证明方法的梳理，它不是简单地罗列出“A方法、B方法、C方法”，而是会针对特定的一类问题，详细剖析每种方法的适用场景和优缺点。例如，对于涉及多个变量的不等式证明，它会明确指出何时使用均值不等式更简便，何时必须诉诸于代数放缩或拉格朗日乘数法的思想雏形（当然，不会直接引入高深的理论）。这种教学上的“匠心”，让学习过程变得更像是一场有引导的探索之旅，而不是枯燥的知识灌输，非常适合那些渴望真正掌握数学思想而非仅仅应试技巧的同学。