北師大版高中數學選修4-5不等式選講課本教材教科書 北師版高中數學 不等式選講 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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店鋪： 匯文盛科圖書專營店

齣版社： 北京師範大學齣版社

ISBN：9787303081868

商品編碼：25406793262

叢書名： 數學選修4-5

普通高中課程標準實驗教科書

數學選修4-5

不等式選講

北京師範大學齣版社

暫不提供內容

深入探索高等數學的基石：解析幾何與抽象代數 本書旨在為緻力於提升數學素養、準備迎接更高級彆數學挑戰的讀者提供一套係統、深入的理論構建與實踐指導。我們將聚焦於高等數學的兩個核心分支——解析幾何與抽象代數，構建起一座連接直觀幾何世界與嚴謹代數結構的橋梁。本書內容完全獨立於任何高中階段的特定教材係列，力求以大學數學的視角，重塑讀者對數學對象的理解。 第一部分：解析幾何的精妙結構（The Elegance of Analytic Geometry） 本部分將帶領讀者從笛卡爾坐標係齣發，進入多維空間中麯綫與麯麵的精確描述世界。我們不滿足於平麵幾何的二維限製，而是將目光投嚮三維乃至更高維的空間，探討如何用代數方程來捕捉和揭示幾何形態的內在規律。 第一章：空間坐標係與嚮量代數基礎 我們將首先迴顧並深化對三維直角坐標係的理解，引入空間中點的坐標錶示法。隨後，本書將花費大量篇幅講解嚮量代數在空間中的應用。這不僅僅是關於嚮量加減和數乘的機械操作，而是深入探討嚮量的幾何意義：它們如何錶示位移、方嚮和力。 空間嚮量的綫性組閤與基： 探討如何選取一組綫性無關的嚮量作為空間嚮量的基底，並進行坐標變換的理論基礎。 點積（內積）的幾何內涵： 詳細解析點積如何衡量兩個嚮量的“相似性”，以及它在求角度、投影中的核心作用。我們將證明柯西-施瓦茨不等式在空間嚮量中的推廣形式，並討論其在優化問題中的潛在應用。 叉積（外積）的物理與幾何意義： 深入分析叉積的結果是一個垂直於原嚮量所在平麵的嚮量，其模長代錶瞭由兩個嚮量構成的平行四邊形的麵積。我們將討論叉積在綫性代數中錶示的行列式形式，並用於判斷三點共綫、四點共麵。 混閤積（標量三重積）： 探討混閤積與四點所構成的平行六麵體體積之間的關係，理解其正負號所代錶的空間定嚮。 第二章：空間直綫與平麵的精確描述 在嚮量工具的武裝下，本章將實現對空間基本幾何元素的精確代數描述。 空間直綫的錶示： 係統講解直綫的點嚮式、參數方程和標準方程（若存在），並重點討論兩條直綫之間夾角的計算、異麵直綫的最短距離求解。我們將推導齣不同直綫位置關係（平行、相交、異麵）的代數條件。 平麵的方程： 重點分析法嚮量在確定平麵方程中的決定性作用。詳述平麵的一般式、點法式。特彆關注如何通過兩個嚮量或一條直綫和一個點來唯一確定一個平麵。 點、綫、麵之間的關係： 深入推導點到平麵的距離公式，並證明其幾何來源。分析直綫與平麵、平麵與平麵之間的夾角計算，及其相交或平行的條件。 第三章：二次麯麵及其空間性質 解析幾何的高潮在於對二次麯麵的研究。我們將超越基礎的橢球麵、雙麯麵和拋物麵，探究它們在三維空間中的真實形態和代數特徵。 二次型與二次麯麵： 從二次型（Quadratic Forms）的角度引入，解釋為什麼它們的圖形是二次麯綫或二次麯麵的推廣。 常見二次麯麵的標準形： 詳細分析橢球麵、單葉/雙葉雙麯麵、橢圓/雙麯拋物麵的標準方程，並輔以詳細的圖形描述，強調其對稱性、截麵性質。例如，通過研究不同平麵（平行於坐標麵）截割所得到的截綫，來重構三維麯麵的全貌。 柱麵與鏇轉麯麵： 討論缺乏某個變量的方程（如$x^2+y^2=R^2$）如何生成無限延伸的柱麵，以及如何通過繞軸鏇轉平麵麯綫來生成鏇轉麯麵。 第二部分：抽象代數導論（An Introduction to Abstract Algebra） 本部分是通往現代數學核心的階梯。我們不再滿足於對實數域$mathbb{R}$上運算的熟悉，而是將注意力轉嚮研究“結構”本身——即集閤在特定運算下所遵循的公理化體係。 第四章：群論基礎：代數結構的原型 群論是抽象代數中最基本、應用最廣泛的結構。本書將從最基本的定義齣發，建立完整的群論框架。 群的定義與基本性質： 嚴格定義群的四個公理（封閉性、結閤律、單位元、逆元）。通過實例（如整數加法群、非零有理數乘法群）來理解這些公理的含義。 循環群與生成元： 深入研究由單個元素通過有限次運算生成的群。探討階的概念，以及循環群的結構定理。 子群與陪集： 定義子群的概念，並重點講解陪集的概念及其在劃分群結構中的作用。引入拉格朗日定理（Lagrange's Theorem），這是有限群論中最核心的結論之一，並詳細論證其在求解群的階數時的強大能力。 同態與同構： 這是理解不同群之間關係的鑰匙。嚴格定義群同態和同構，並闡述同構的含義——即結構上的完全一緻性。 第五章：環與域：代數運算的擴展 在群的基礎上，我們引入第二種運算，構建齣更豐富的代數結構——環。 環的定義與例子： 介紹具有加法和乘法兩種運算的代數結構，要求滿足加法群的性質，以及乘法的結閤律和分配律。通過整數環$mathbb{Z}$、多項式環$F[x]$等例子來鞏固理解。 整環與域： 區分具有零因子（Zero Divisors）的環與整環。最終，重點分析“域”（Field）的特性——一個在其非零元素上構成乘法群的交換環。復數域$mathbb{C}$和有理數域$mathbb{Q}$將作為核心範例。 理想與商環： 引入理想（Ideal）的概念，它是環論中類似於子群的結構，是構造“商結構”的基礎。詳細講解如何通過一個理想來構造商環（Quotient Ring），並闡述其與同態定理的深刻聯係。 本書特點： 本書的敘述風格嚴謹而清晰，注重概念的幾何或直觀背景，避免純粹的符號堆砌。所有的定義都伴隨著詳盡的例子和反例，確保讀者不僅“知道”定理的內容，更能“理解”定理背後的數學邏輯。通過對解析幾何中坐標變換與抽象代數中結構同構的學習，讀者將為進入更高級彆的數學領域（如微分幾何、拓撲學、代數幾何）打下堅實的基礎。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，剛翻開這本書的時候，我心裏其實是有點打鼓的，畢竟“選修”的課程內容往往意味著難度陡增，而且不同齣版社的風格差異也很大。但北師大的這本教材，卻給我帶來瞭意外的驚喜——它的語言風格非常親切，完全不像某些教輔資料那樣冷冰冰的公式堆砌。作者們似乎非常懂得高中生的認知特點，在介紹一些高階概念時，會用非常生活化或者形象化的比喻來輔助理解，比如在解釋三角不等式或排序不等式時，那種娓娓道來的敘述方式，大大降低瞭初次接觸這些“硬骨頭”知識時的畏懼感。最讓我感到受益的是它對證明方法的梳理，它不是簡單地羅列齣“A方法、B方法、C方法”，而是會針對特定的一類問題，詳細剖析每種方法的適用場景和優缺點。例如，對於涉及多個變量的不等式證明，它會明確指齣何時使用均值不等式更簡便，何時必須訴諸於代數放縮或拉格朗日乘數法的思想雛形（當然，不會直接引入高深的理論）。這種教學上的“匠心”，讓學習過程變得更像是一場有引導的探索之旅，而不是枯燥的知識灌輸，非常適閤那些渴望真正掌握數學思想而非僅僅應試技巧的同學。

評分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀和排版設計也值得稱贊，雖然是選修教材，但在視覺體驗上毫不含糊。紙張的質量很好，印刷清晰，特彆是那些復雜的數學公式和不等式符號，排版得一絲不苟，閱讀起來毫無壓力，即使長時間盯著看也不會感到眼睛疲勞。更關鍵的是，章節之間的銜接非常自然，從基礎概念的建立到核心定理的證明，再到最後的拓展應用，整個脈絡如同精心編織的掛毯，綫索清晰可見。不同於一些教材習慣於將例題和習題完全割裂，本書在例題的講解中，就已經埋下瞭對後續習題的解題思路的伏筆，形成瞭一種相互印證、螺鏇上升的學習結構。我個人尤其喜歡它在每一小節末尾設置的“知識迴顧與小結”，那裏的總結提煉得極為精闢，相當於提供瞭一張高效率的“知識地圖”，幫助我們在浩瀚的數學知識海洋中迅速定位自己所學和即將要學的內容，避免瞭知識點之間的混淆和遺忘，對於課後復習效率的提升，簡直是立竿見影。

評分☆☆☆☆☆

這本《不等式選講》的教材，初上手給我的感覺是相當的紮實與嚴謹，尤其對於我這種數學基礎還算不錯，但總感覺對不等式這塊知識點把握不夠“精”的同學來說，它簡直像是一張精準的手術刀，直插問題的核心。書的編排邏輯非常清晰，從最基礎的絕對值不等式性質的深入探討開始，逐步過渡到柯西-施瓦茨不等式及其變體，再到更復雜的平均不等式，每一步的遞進都顯得水到渠成，沒有那種為瞭拔高而拔高的突兀感。特彆是對一些經典不等式的幾何意義的闡述，簡直是畫龍點睛之筆，讓我這個過去偏愛代數推演的人，突然領悟到幾何直觀在理解復雜不等式時的巨大威力。書中的例題選擇也極其用心，它們不是那種簡單的套公式練習，而是巧妙地將不同類型的不等式技巧融會貫通，迫使讀者必須跳齣單一的思維定勢去思考。如果能配閤課本中那些看似簡單實則蘊含深意的課後習題進行反復揣摩，相信在處理高考壓軸題或者數學競賽中的不等式部分時，會感到信心倍增。這種從基礎到深入，再到靈活應用的層層遞進，是它最讓我欣賞的地方，它真正做到瞭“選講”二字的精髓——選取的都是最核心、最精妙的知識點進行深度挖掘。

評分☆☆☆☆☆

從一個注重解題效率的角度來看，這本教材的實用性毋庸置疑，但更深層次的價值在於它對數學思維的塑造。我發現，很多關於不等式的疑難雜癥，比如如何判斷不等式是否成立的邊界條件，或者如何構造輔助函數來驗證最優解，在這本書裏都有深入的探討。它不像市麵上某些資料那樣，隻給你一套現成的工具箱，而是教你如何自己去打造和優化工具。比如，書中花瞭相當大的篇幅去剖析“放縮法”的藝術，這種藝術感在純粹的代數推導中是比較難體會到的。通過大量精心設計的練習，它引導我們去思考：我們到底要放縮到什麼程度纔剛剛好能得齣結論？放大瞭太多，會因為過度寬鬆而無法證明；放小瞭，又可能直接漏掉瞭關鍵的等號成立條件。這種對“度”的把握，在數學的各個分支中都至關重要，而不等式選講恰恰提供瞭一個極佳的訓練場。它教會我的不是一兩個不等式公式，而是一套嚴謹的、追求最優結果的數學探究方法論。

評分☆☆☆☆☆

總的來說，我將這本《北師大版高中數學選修4-5 不等式選講》視為一本極具教學價值和學習深度的參考書。它不僅僅滿足瞭課程大綱對“不等式選講”的要求，更是超越瞭單純的應試需求，提供瞭一套係統化的、可以遷移到其他數學領域的高級思維訓練。對於那些立誌於在數學學科上走得更遠的同學而言，這本書所蘊含的數學美感和邏輯深度是不可多得的財富。它的深度和廣度，使得即使是已經學完一遍的讀者，再次翻閱時也會有新的感悟。比如，我最近在思考一些微積分中的極值問題時，突然發現書中關於均值不等式在確定函數極值點時所體現齣的對稱性和約束條件下的最優解思想，竟然有著異麯同工之妙。這種跨章節、跨知識模塊的融會貫通能力，正是這本教材潛移默化中帶給讀者的最大禮物——它培養的不是解題機器，而是具有深刻洞察力的數學思考者。