具体描述
内容简介
《数学分析中的典型问题与方法（第2版）》是为正在学习数学分析（微积分）的读者、正在复习数学分析（微积分）准备报考研究生的读者以及从事这方面教学工作的年轻教师编写的。遵循现行教材的顺序，《数学分析中的典型问题与方法（第2版）》全面、系统地总结和归纳了数学分析问题的基本类型，每种类型的基本方法，对每种方法先概括要点，再选取典型而有相当难度的例题，逐层剖析，分类讲解。然后分别配备相应的一套练习，旨在拓宽基础，启发思路了，培养学生分析问题和解决问题的能力，作教材的补充和延深。此外，对现行教材中比较薄弱的部分，如半连续、凸函数、不等式、等度连续等内容，作了适当扩充。全书共分7章、33节、220个条目、1200个问题，包括一元函数极限、连续、微分、积分、级数；多元函数极限、连续、微分、积分。《数学分析中的典型问题与方法（第2版）》大量采用全国部分高校历届硕士研究生数学分析入学试题和部分国外赛题，并参阅了70余种教材、文献及参考书，经过反复推敲、修改和筛选，在几代人长期教学实践的基础上编写而成。选题具有很强的典型性、灵活性、启发性、趣味性和综合性，对培养学生的能力极为有益，可供数学类各专业师生及有关读者参考，也可供数学一的考生选择阅读。内页插图
目录
代序笔者的话
再版前言
符号
第一章 一元函数极限
1．1 函数
一、关于反函数
二、奇函数、偶函数
三、周期函数
四、几个常用的不等式
五、求递推数列的通项
1．2 用定义证明极限的存在性
一、用定义证明极限
二、用Cauchy准则证明极限
三、否定形式
四、利用单调有界原理证明极限存在
五、数列与子列，函数与数列的极限关系
六、极限的运算性质
1．3 求极限值的若干方法
一、利用等价代换和初等变形求极限
a．等价代换（33）b．利用初等变形求极限（34）
二、利用已知极限
三、利用变量替换求极限
四、两边夹法则
五、两边夹法则的推广形式
六、求极限其他常用方法
1．4 O．Stolz公式
一、数列的情况
二、函数极限的情况
1．5 递推形式的极限
一、利用存在性求极限
二、写出通项求极限
三、替换与变形
四、图解法
五、不动点方法的推广
六、Stolz公式的应用
§1．6 序列的上、下极限
一、利用e-N语言描述上、下极限
二、利用子序列的极限描述上、下极限
三、利用确界的极限描述上、下极限
四、利用上、下极限研究序列的极限
五、上、下极限的运算性质
-§1．7 函数的上、下极限
一、函数上、下极限的定义及等价描述
二、单侧上、下极限
三、函数上、下极限的不等式
§1．8 实数及其基本定理
一、实数的引入
二、实数基本定理
第二章 一元函数的连续性
§2．1 连续性的证明与应用
一、连续性的证明
……
第三章 一元微分学
第四章 一元函数积分学
第五章 级数
第六章 多元函数微分学
第七章 多元积分学
用户评价
这本书的语言风格非常独特，它既有学术的严谨性，又不失启发性和引导性。作者不会上来就给你讲一大堆理论，而是会先从一个具体的问题出发，然后一步步引导你进入相关的理论和方法。我喜欢它在讲解“函数的极限”时，先从一个直观的“逼近”过程入手，然后才引入ε-δ的严格定义。这种由易到难、由表及里的讲解方式，让我觉得学习过程非常顺畅。书中还特别强调了“反证法”和“构造法”在数学分析证明中的应用。它会通过具体的例子，展示这两种方法的巧妙之处，以及如何构思和设计证明过程。例如，在证明某个函数在某点不可导时，作者会引导读者思考，如果它可导，那么导数应该等于什么，然后利用导数的定义进行矛盾的推导。在讲解“定积分的性质”时，书中不仅仅列出了几个性质，更重要的是，它会通过生动的比喻来解释这些性质的几何意义，比如定积分表示的面积、平均值等。这大大增强了我对抽象概念的理解。我还发现，书中在讲解一些重要定理时，比如“介值定理”、“极值定理”，都会给出多种证明思路，并且对每种思路进行详细的分析和比较。这种多角度的学习方式，让我能够从不同的层面来理解同一个知识点。
评分我购买《数学分析中的典型问题与方法（第2版）》时，主要是想巩固和提升自己在一些核心数学分析知识点上的理解。过去我对一些概念的掌握停留在“知道有这么回事”的层面，但遇到稍有变化的题目就容易出错。《数学分析中的典型问题与方法》这本书非常有效地弥补了我的这一短板。它不仅仅是提供解题思路，更是深入到每一个知识点的“前世今生”，告诉你这个概念是如何被提出、为什么需要如此定义、它有哪些核心性质，以及这些性质在实际问题中是如何体现的。我尤其欣赏书中对“多变量函数”的讲解。它不像很多教材那样直接抛出偏导数、全微分的概念，而是先通过直观的几何图形，比如曲面、切平面，来帮助读者建立起对这些抽象概念的直观理解。然后，再将其与偏导数、全微分的定义联系起来。书中还花了大量篇幅讲解“多元函数的极值问题”，包括局部极值和全局极值，以及如何利用海森矩阵来判断极值的类型。这对我理解一些优化问题非常有帮助。另外，书中关于“曲线积分”和“曲面积分”的讲解，也非常细致。它不仅区分了第一类和第二类积分，还详细讲解了格林公式、斯托克斯公式、高斯散度定理等重要的定理，并给出了大量的应用实例，让我深刻理解了这些定理的几何意义和计算方法。
评分这本书的编排逻辑非常清晰，完全不像市面上很多数学书那样杂乱无章。作者似乎非常理解读者在学习数学分析过程中可能遇到的困难，并且有针对性地设计了内容的组织结构。它从最基础的极限概念开始，层层递进，将每一个重要的数学分析概念和定理都融入到具体的典型问题中进行讲解。我记得书中有一个专门章节讨论“反常积分”，它不仅仅是给出反常积分的定义和判别收敛的方法，更重要的是，它会详细分析反常积分在实际问题中出现的场景，比如一些概率统计模型中的计算。作者还特别强调了“数学思想方法”的培养，比如如何运用“构造法”来证明某些定理，如何运用“分析法”和“综合法”来解决问题。书中很多例题的解法都非常巧妙，不仅仅是求出一个答案，更重要的是展示了作者是如何思考和设计解题步骤的。我印象最深的是在讲解“微分方程”的初步内容时，作者并没有直接给出各种方程的求解公式，而是先从一个简单的物理模型出发，引导读者如何建立微分方程，然后再介绍一些基本的求解方法，比如分离变量法、线性方程法等。这种由问题驱动的学习方式，比死记硬背公式要有效得多。这本书让我觉得，数学分析不仅仅是抽象的符号和公式，更是解决现实世界问题的强大工具。
评分我是在大四准备毕业设计的时候，重新翻阅了《数学分析中的典型问题与方法（第2版）》。当时我的设计项目涉及到一些数值积分和微小量估算，我对这些内容总觉得不够扎实，担心在论文中出现错误。这本书在这方面提供了非常及时和有力的帮助。它对“泰勒公式”的讲解非常深入，不仅仅是介绍了泰勒公式的展开形式，更重要的是，它详细分析了泰勒公式的近似意义，以及不同形式的余项（如拉格朗日余项、皮亚诺余项）的含义和应用。书中通过大量例子，演示了如何利用泰勒公式来估算函数值、判断函数性质，以及在数值分析中进行截断误差分析。我记得书中有一个章节专门讨论“数值积分”，它介绍了梯形法则、辛普森法则等基本方法，并分析了它们的误差来源和精度。这对于我进行数值计算非常有指导意义。另外，书中关于“微分中值定理”的推广应用，比如罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，以及它们在不等式证明中的妙用，也让我耳目一新。它让我认识到，很多看似复杂的证明题，都可以巧妙地利用这些中值定理来简化。这本书让我觉得，数学分析的知识是可以在不同的领域互相渗透和应用的。
评分《数学分析中的典型问题与方法》给我最深的感受是，它不仅仅是一本“工具书”，更是一本“思维启蒙书”。它教会我的不是如何记住一堆公式，而是如何去“思考”数学问题。我记得书中有一个章节专门讨论“收敛性判别”，它不仅仅是列举了各种判别法，比如比值判别法、根值判别法、审敛法等，更重要的是，它分析了这些判别法适用的前提条件，以及在什么情况下选择哪种判别法会更有效率。它还提到了“沃利斯乘积”这样一些比较高级的内容，并将其与π的计算联系起来，让我觉得数学分析的知识是如此的博大精深。书中关于“不定积分”的讲解也很有特点，它不仅仅是介绍了基本积分技巧，还强调了“凑微分法”和“换元法”的灵活运用，并且通过大量的例子，展示了如何根据被积函数的特点来选择合适的积分方法。让我印象深刻的是，书中有一个关于计算反常积分的例子，直接求解非常困难，但是通过巧妙地将其与一个概率密度函数联系起来，利用概率的性质，就得到了答案。这种跨领域的联想和应用，是我之前从未想过的。这本书让我对数学分析的兴趣大大提升，也让我看到了数学在各个领域的应用潜力。
评分这本书我是在大三上学期接触到的，当时正是高数期末考前，我感觉自己对函数极限、连续、可导等基本概念的理解还不够深入，解题思路也比较零散，尤其是在处理一些稍微复杂一些的证明题时，常常感到无从下手。朋友推荐了这本《数学分析中的典型问题与方法》，我当时抱着试一试的心态买了下来。翻开第一部分，关于极限的讨论，作者并没有直接给出大量的例题，而是先对极限的定义进行了详尽的解析，从ε-δ语言的严谨性入手，解释了为什么需要这样的定义，以及它在证明中的核心作用。然后，作者开始剖析各种类型的极限问题，比如数列极限、函数极限，以及涉及无穷大、无穷小的极限。让我印象深刻的是，书中对于一些看似简单的极限计算，会追溯到最根本的定义，一步步地展现出推理的过程，而不是简单地给出公式套用。例如，在证明 `lim (x->a) f(x) = L` 时，作者会详细地讲解如何根据不同的 `f(x)` 形式，构造出合适的 `δ` 来满足 `|f(x) - L| < ε`。书中还专门用一个章节讲解了“极限的保号性”和“极限的保序性”这两个重要的性质，并且通过大量的例子说明了如何巧妙运用这些性质来简化证明过程，比如在判断函数在某点附近的符号时，利用极限的保号性可以省去很多麻烦。我记得有个关于利用夹逼定理求数列极限的例子，书中给出了三种不同的解法，每种解法都从不同的角度切入，并且分析了各自的优缺点，让我对夹逼定理的应用有了更深刻的理解。这本书真的不仅仅是罗列题型和解法，而是深入到数学分析的核心思想和方法论层面，帮助读者建立起扎实的数学分析思维框架。
评分我是在准备考研时接触到《数学分析中的典型问题与方法（第2版）》的。当时我的数学基础还算扎实，但总觉得在处理一些综合性比较强、需要多步推理的题目时，思路不够清晰，容易在中间环节卡住。这本书的特点在于它非常善于将复杂的数学分析问题分解成若干个小的、可管理的子问题，并且针对每个子问题提供系统性的解决方法。它不是简单地列出几个例题，而是将解题思路、关键技巧、易错点都一一剖析。我尤其喜欢它在讲解“积分的应用”这个章节时，书中不仅列举了计算面积、体积、弧长等基本应用，还扩展到了物理学中的一些应用，比如计算功、质心等。更重要的是，它在讲解每一个应用时，都会强调如何将实际问题转化为定积分的计算，这个建模的过程至关重要。它教会我如何从一个物理场景出发，找到合适的变量，建立起积分表达式，然后再利用数学分析的方法进行求解。书中对于“级数”的讲解也十分到位，它不仅介绍了常见的级数类型（幂级数、傅里叶级数等），还详细讲解了级数收敛性的判别方法，以及级数与函数之间的联系。我记得书中有一个章节专门讲解“一致收敛”的概念，这个概念对我来说一直是比较抽象的，但是通过书中深入浅出的讲解和大量的对比例证，我才真正理解了它在什么情况下可以交换极限和积分、微分等运算，这对于我后续学习更高级的数学分析内容非常有帮助。
评分我一直认为，好的数学书应该能够激发读者的好奇心，并且引导读者去探索更深层次的知识。《数学分析中的典型问题与方法》绝对符合这一标准。书中在讲解“级数”时，不仅仅是介绍了收敛性，还深入探讨了级数的和函数，以及级数在函数逼近和数值计算中的应用。它详细讲解了“幂级数”的性质，比如逐项积分、逐项求导等，并将其与函数展开联系起来。我记得书中有一个关于用泰勒级数逼近数学常数e的例子，作者非常详细地展示了如何通过增加级数的项数来提高逼近的精度，并分析了误差的界限。这让我对级数的概念有了更深刻的理解。另外，书中还涉及了一些“复变函数”的初步内容，虽然篇幅不多，但足以让我领略到复数在数学分析中的强大威力。例如，它简单介绍了复数在积分计算中的应用，以及柯西积分定理的一些基本思想。这本书让我觉得，数学分析的学习是一个不断深入、不断拓展的过程，每掌握一个概念，就打开了一扇新的大门。它不仅仅是一本教材，更像是一位循循善诱的导师，引领我走向更广阔的数学世界。
评分这本书是我数学分析学习生涯中的一个重要转折点。在此之前，我总觉得数学分析是一门枯燥且难以掌握的学科，很多概念都显得非常抽象，缺乏实际应用。然而，《数学分析中的典型问题与方法》以一种非常独特的方式，将这些抽象的概念具象化，并展示了它们在解决各种问题时的强大威力。例如，书中在讲解“重积分”时，不仅仅是介绍了二重积分和三重积分的计算，更深入地探讨了如何通过坐标变换来简化积分计算，比如极坐标变换、柱坐标变换、球坐标变换等。并且，通过大量的例子，让我理解了这些变换的几何意义，以及如何根据被积函数和积分区域的特点来选择合适的变换。我印象最深刻的是，书中有一个关于计算不规则形状面积和体积的例子，作者通过巧妙地引入极坐标，将一个非常复杂的积分问题变得异常简单。此外，书中还花了很大的篇幅讲解“向量微积分”中的一些基本概念，比如散度、旋度，以及它们在物理场中的意义。这些内容对于我理解一些流体力学、电磁学中的现象非常有启发。这本书让我觉得，数学分析不再是冰冷的公式，而是描述和理解世界的一种语言。
评分这套书给我的感觉就像是数学分析的“内功心法”秘籍，不是那种教你“照猫画虎”的技巧书。我之前学数学分析，感觉很多时候都是在背公式、记定理，遇到题目就套用，但总觉得心里没底，好像随时都有可能出错。直到我遇到了《数学分析中的典型问题与方法（第2版）》，我才明白，原来数学分析的魅力在于它的逻辑性和严谨性，而这本书恰恰是把这种魅力展现得淋漓尽致。它不会直接给你一堆题目让你去解，而是先花大量的篇幅去剖析每一个概念的本质，比如什么是“极限”，什么是“连续”，什么是“可导”。它会告诉你，为什么这些概念需要这样定义，它们之间有什么联系，以及在实际问题中，这些抽象的概念是如何转化为具体的计算和证明的。我记得书中有一个章节专门讲“函数的单调性与凹凸性”，它不仅仅是给出单调增减和凹凸的判定定理，而是从导数的几何意义出发，一步步推导出这些定理的成立，并且通过大量的图示和例子，让我直观地理解了这些概念。在处理“函数的最值问题”时，书中会详细地讲解不同情况下寻找最值的策略，比如闭区间上的连续函数的最大最小值定理，以及在非闭区间或非常规函数的情况下如何运用导数和极限来分析。让我特别受启发的是，书中强调了“数学建模”的思想，即使在纯粹的数学分析题目中，也要学会将其转化为一个清晰的数学模型，然后运用数学分析的工具去解决。这本书让我学会了如何“思考”数学问题，而不是仅仅“做”数学问题。
评分有两句话耐琢磨：“居处必先精勤，乃能闲暇；凡事务求停妥，然后逍遥。”提心吊胆，什么都没做，就是休闲也是心里不舒服的。心里有事，未来还有大问题等着，放松意义也不大。起码当时事情做到差不多，再休息就能真放得下一些。还是要真的专注做事，知道很多事情就是躲不了的，抓紧做事才有愉快的休息。
评分哈喽，大家好。这次买的东西还没开始用，总体上我觉得还不错。啦啦啦啊，因为最近时间比较紧，所以没有开始用的啊，慢慢来，对不对。
评分此用户未及时评价，系统默认好评。
评分很好的书，考研用，加油
评分保研用书。粗看一下，感觉不错，讲得比较细
评分给小孩买的，比高等数学微积分部分要深，好好
评分很好，还没有看，书的整体都很不错的，一直信赖。
评分经典数分的书，大学数学专业必备
评分书不错，挺好的，希望做了之后提升一个层次
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