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华罗庚，万哲先，万哲先 审校 著

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出版社： 科学出版社

ISBN：9787030271266

商品编码：1229154496

包装：精装

出版时间：2010-05-01

基本信息

书名:华罗庚文集 代数卷I

原价：98.00元

作者：华罗庚,万哲先 ,万哲先 审校

出版社：科学出版社

出版日期：2010-05-01

ISBN：9787030271266

字数：628000

页码：498

版次：1

装帧：精装

开本：16开

商品重量：1.062kg

编辑推荐

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内容提要

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由中国科学院华罗庚数学重点实验室、中国科学院研究生院华罗庚数学研究中心编纂的《华罗庚文集》，日前由科学出版社出版。本书为代数卷，书中不仅列举了华罗庚在这一领域中所获得的丰富而完整的结果，也充分体现了作者所创用的方法和技巧的特点。

目录

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序
第一章 体论
§1 环与体
§2 特征数及素域，由环建体
§3 多项式环
§4 同态
§5 素域与实数域的自同构
§6 线性相关与有限域
§7 代数相关与复数域的自同构
§8 超越扩张的自同构
§9 四元数体
§10 广义四元数体
§11 体的性质
第二章 一维射影几何及二级线性群
§1 射影空间及群
§2 调和点列和一维射影几何的基本定理
§3 射影对合
§4 体上的二级线性群
§5 PSL2（K）的单性
§6 SL2（K）的自同构
§7 GL2（K）的自同构
§8 SL2（K）的自同构
§9 PSL2（K），PGL2（K）及PSL±（K）的自同构
第三章 向量空间，矩阵和行列式
§1 矩阵的代数
§2 向量空间
§3 子空间的交和联
§4 子空间的矩阵表示，矩阵的行秩
§5 基变换，线性映射，矩阵的等价
§6 列空间及矩阵的秩
§7 齐次线性方程组
§8 GLn（K）的换位子群
§9 行列式
第四章 射影几何与仿射几何
§1 几何结构
§2 射影空间
§3 Pln（K）中点的线性相关性
§4 线性子空间
§5 关于射影几何的公理化处理
§6 线性子空间的方程及对偶原理
§7 标准单纯形
§8 仿射空间
§9 仿射几何的基本定理
§10 射影几何的基本定理
§11 有限几何
第五章 长方阵几何学
§1 长方阵几何学
§2 方阵几何学
§3 算术距离
§4 长方阵仿射空间中秩为l的极大集
§5 两个秩为l的极大集的交集
§6 长方阵仿射空间中秩为2的极大集
§7 长方阵仿射几何的基本定理
§8 长方阵射影几何的基本定理
第六章 线性群的构造及自同构
§1 复习
§2 在SLn（K）之下矩阵的相似
§3 PSLn（K）的单性
§4 对合
§5 SLn（K），SL±n（K）和GLn（K）的自同构（特征数≠2）
§6 射影对合（特征数≠2）
§7 PGLn（K），PSL±n（K）和PSLn（K）的自同构（特征数≠2）
§8 对合（特征数=2）
第七章 H-矩阵及酉群
§1 自反矩阵及H-矩阵
§2 H-矩阵在合同下的化简
§3 H-矩阵在合同下的化简（续）
§4 H-矩阵在合同下的化简（续）——Witt定理
§5 迷向子空间
§6 酉群
§7 当v=n/2时酉矩阵的形式
§8 当0＜v＜n/2时酉矩阵的形式
§9 酉平延及拟对称
§10 酉群的中心及射影酉群
§11 有限域上的酉群
第八章 酉群的构造（v≥1而正交群除外）
§1 引言
§2 TUn（K，H）的中心
§3 PTU2（K，H）的单性（v=1）
§4 PTU2（K，H）的单性（v≥1）
§5 群U'n（K，H）（n=2v）
§6 Un（K，H）的换位子群（n=2v）
第九章 特征数≠2的域上的正交群的构造（v≥1）
§1 复习
§2 由2平延所演成的群
§3 由双曲旋转的平方所演成的群
§4 O n（F，S）／Ωn（F，S）的构造（n=2v）
§5 O n（F，S）／Ωn（F，S）的构造（n＞2v）
§6 PΩn（F，S）是单群的证明
第十章 特征数为2的域上的二次型和无亏数的正交群
§1 二次型的合同及Witt定理的推广
§2 奇异子空间正则二次型的指数
§3 正交群
§4 On（F，G）中元素的形式
§5 正交平延
§6 由2平延所演成的群（与第九章§2相比较）
§7 由双曲旋转的平方所演成的群（与第九章§3相比较）
§8 On（F，G）的构造（v≥1）
第十一章 特征数为2的域上有亏数的正交群
§1 群On（F，G）的一些初步性质
§2 半奇异向量
§3 On（F，G）中元素的形式
§4 正交乎延
§5 由半奇异平延所演成的群
§6 On（F，G）的单性
第十二章 辛群的自同构
§1 以往结果提要
§2 辛对合（K的特征数≠2）
§3 Sp2v（K）的自同构（K的特征数≠2）
§4 射影辛对合（K的特征数≠2）
§5 射影辛对合的中心化子和Sp2v（K）的自同构（K的特征数≠2）
§6 辛对合（K的特征数=2）
§7 由一对称矩阵所定义的群（K的特征数=2）
§8 辛对合的中心化子（K的特征数=2）
§9 1对合的刻画（K的特征数=2）
§10 Spam（K）的自同构（K的特征数=2）
附记
索引

作者介绍

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文摘

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序言

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数学之光：探寻代数世界的宏伟殿堂 书名：《代数之径：从基础到前沿的数学探索》 作者：[此处可填写一位虚构的、权威的数学家姓名，例如：陈景明、张立群等] 出版社：[此处可填写一家虚构的、知名的学术出版社名称，例如：东方科学出版社、高等教育学苑出版社] 引言：代数的永恒魅力 代数，这门学科，自古以来便是人类理性思维的瑰宝，是构建现代科学大厦的坚实基石。它不仅仅是关于符号和方程的运算游戏，更是对数量关系、结构本质以及变化规律的深刻洞察。从古巴比伦的泥板到文艺复兴时期的方程求解，再到如今抽象代数在密码学、拓扑学乃至理论物理中的广泛应用，代数的发展史，就是一部人类智慧不断突破边界的史诗。 《代数之径：从基础到前沿的数学探索》并非仅仅是对既有知识的简单罗列，而是一次精心策划的、跨越历史与前沿的深度旅程。本书旨在为求知者提供一个全面、严谨且富有启发性的代数知识体系，使读者能够清晰地理解代数的脉络，掌握其核心工具，并为进一步探索更高级的数学分支奠定不可动摇的基础。 第一部分：代数之源——基础与重构 (约占全书1/4篇幅) 本部分着重于奠定坚实的初等代数基础，并引导读者以更现代、更抽象的视角重新审视这些熟悉的工具。 第一章：数域的构建与拓展 本章从自然数出发，系统地构建整数集、有理数集，最终抵达实数集。重点探讨了域（Field）这一代数结构的基本概念，如封闭性、结合律、分配律等。我们将深入分析实数集的完备性，特别是通过戴德金分割或柯西序列引入无理数，这对于理解微积分和分析学至关重要。同时，本章也会适度引入复数域的几何意义，为后续的代数拓扑和函数论做铺垫。 第二章：多项式代数的核心技巧 多项式是代数中最基本、应用最广泛的对象之一。本章详尽阐述了多项式的环结构。我们将讨论多项式的带余除法，并深刻剖析因式分解的唯一性——这在数论和组合学中具有核心地位。通过对根与系数关系的深入研究（如韦达定理的推广），读者将掌握求解高次方程的代数思路。本章特别关注环论中的重要概念：理想（Ideal）在多项式环 $mathbb{K}[x]$ 中的作用，以及商环 $mathbb{K}[x]/ langle p(x) angle$ 的性质，这是构造域扩张的逻辑起点。 第三章：线性代数——向量空间的语言 线性代数是连接几何直觉与代数抽象的桥梁。本章将完全基于抽象的向量空间定义，而非局限于 $mathbb{R}^n$。我们详细探讨了子空间、线性变换（映射）的核与像。矩阵理论在本章中被置于一个更广阔的背景下：矩阵是线性映射在特定基下的表示。章节的核心在于特征值与特征向量的求解，以及对相似矩阵、对角化问题的严谨论证。对于非对角化的情况，本章会引入Jordan标准型的概念，以确保对所有线性变换的完整描述。 第二部分：结构之美——抽象代数的奠基 (约占全书1/3篇幅) 进入抽象代数的核心领域，本部分将代数的视角提升到群、环、域三个基本结构层面，这是理解现代数学分支的通用语言。 第四章：群论的精妙——对称性的探索 群（Group）是描述对称性和变换的结构。本章从群的四个公理出发，系统地研究子群、陪集和正规子群。我们将深入探讨同态与同构的概念，这是区分不同群结构的关键。拉格朗日定理、第一、第二同构定理是本章的重中之重，它们揭示了群内部结构之间的深刻联系。对于有限群，我们还将介绍Sylow定理，这是确定有限群结构的关键工具，尤其在伽罗瓦理论中发挥着不可替代的作用。 第五章：环论——代数运算的广阔天地 环（Ring）是同时拥有加法和乘法运算的代数结构。本章超越了整数环和多项式环的初级认识，重点研究交换环的性质。单位元、零因子、整环（Integral Domain）是本章的基础概念。随后，我们将转向更具约束力的结构——主理想整环（PID）和唯一因子分解整环（UFD），并清晰区分它们之间的包含关系。极大理想（Maximal Ideal）和素理想（Prime Ideal）的引入，使得读者能够理解商环的构造如何服务于构建新的、更简洁的数学对象。 第六章：域的扩张与伽罗瓦理论的序曲 域（Field）是具有除法运算的环，是代数方程求解的终极舞台。本章专注于域的扩张（Field Extension）。我们将分析有理数域上的域扩张 $[mathbb{K} : mathbb{F}]$ 的次数，并详细讨论代数扩张与超越扩张的区别。对于求解多项式方程而言，伽罗瓦理论是代数皇冠上的明珠。本章将引入伽罗瓦群的概念，展示群结构如何直接编码了域扩张的性质。虽然完整的五次及以上方程求根公式的不可解性将在后续的专题中探讨，但本章将奠定理解其代数根源所需的群论和域论基础。 第三部分：应用与深化——代数在现代数学中的投影 (约占全书1/3篇幅) 本部分将前两部分的理论成果应用于更广阔的数学领域，展示代数工具的强大威力。 第七章：模论的视角与线性代数的提升 将向量空间的概念推广到模（Module）上，是代数从线性代数走向更一般结构的关键一步。本章讨论了模的定义，特别关注在非域上的系数环（如整数环 $mathbb{Z}$）上，模的性质与向量空间存在的显著差异（例如，自由模的概念）。对于有限生成阿贝尔群的结构定理，本章会以模的分解理论为基础进行严谨推导，揭示了其内在的简洁结构。 第八章：初识范畴论——数学的统一语言 范畴论（Category Theory）提供了一种超越具体对象，关注结构之间关系的方法论。本章作为选修的高级内容，适度介绍了范畴、函子（Functor）和自然变换等基本概念。其目的并非深入研究范畴论的细节，而是帮助读者建立一个更高维度的思维框架，理解不同代数结构（群、环、拓扑空间等）如何通过函子联系起来，这是现代数学研究中越来越重要的视角。 第九章：数论中的代数身影 代数与数论的结合是数学中最富有成果的领域之一。本章展示了如何利用环论和域扩张理论来解决数论问题。我们将探讨代数整数的概念，如高斯整数环 $mathbb{Z}[i]$，并分析其是否为PID或UFD。通过迪利克雷单位定理的讨论，读者将看到群论在解析数论问题中的应用潜力。本章最后会简要介绍代数K理论的初步思想，作为连接代数与拓扑的前沿桥梁。 结语：通往无限的阶梯 《代数之径》的目标是为读者铺设一条清晰、坚实且充满启发性的代数学习路径。代数不仅仅是一套工具，它更是一种思维方式，一种探究事物深层结构和不变规律的哲学。掌握了这些概念，读者便掌握了理解现代数学绝大多数领域的“钥匙”。无论是计划投身于纯数学研究，还是希望在理论物理、计算机科学或密码学领域深造，本书所提供的坚实代数基础，都将是您攀登数学高峰最可靠的阶梯。我们期待读者在翻阅完本书后，能够带着对代数结构无尽的好奇心，继续探索数学世界更深邃的领域。

评分☆☆☆☆☆

我是一名业余的数学爱好者，平时喜欢阅读一些数学普及类的读物。偶然的机会，我接触到了《华罗庚文集 代数卷I》，抱着尝试的心态翻阅了一下。这本书给我的感觉与我之前阅读过的很多数学书籍都不同。它没有刻意去迎合大众的阅读习惯，而是保持了数学本身的严谨性和深刻性。书中对代数概念的阐述，虽然有时会涉及一些我不太熟悉的符号和术语，但我能感受到华老试图通过清晰的定义和逐步的推导，来引导读者一步步走向理解的彼岸。我印象最深的是其中关于多项式代数的部分，那些关于根式展开和域扩张的讨论，让我第一次对抽象数学有了具象化的认识。虽然我无法完全消化书中的所有内容，但这本书无疑极大地激发了我对代数领域更深层次的探索欲望。我开始尝试去查找一些辅助性的资料，来帮助我更好地理解书中的概念。这本书就像一座灯塔，指引着我在浩瀚的数学海洋中前行。

评分☆☆☆☆☆

翻开《华罗庚文集 代数卷I》，一股沉甸甸的知识分量扑面而来。我一直对数学，尤其是抽象代数领域，怀有浓厚兴趣，但苦于系统性学习的资料不多。偶然间看到这本书，便毫不犹豫地入手了。初读之下，便被华老严谨的逻辑、深刻的洞见所折服。代数，这个看似枯燥的学科，在他的笔下却变得生动而富有魅力。书中对群、环、域等基本概念的阐述，清晰而不失深度，一步步引导读者深入探索代数世界的奥秘。我尤其欣赏书中对数学史的穿插介绍，这不仅能帮助理解概念的产生背景，更能感受到数学发展的脉络，让学习过程不再是孤立的知识点堆砌，而是与人类智慧的火炬同行。对于初学者来说，书中可能存在一定的挑战，但正是这种挑战，激发了更强的求知欲。每一次攻克一个难题，每一次理解一个抽象概念，都带来了巨大的成就感，也让我对数学的理解迈上了一个新的台阶。我期待着在接下来的阅读中，能更深入地领略华老对代数理论的精辟论述，进一步提升自己的数学素养。

评分☆☆☆☆☆

当我决定要深入了解代数的世界时，《华罗庚文集 代数卷I》自然成为了我首选的书籍。这本书的价值，远远超出了我最初的预期。华老的叙述风格，可以说是独树一帜。他善于从最根本的定义出发，层层递进，将复杂的概念剥离得清晰可见。书中的逻辑推理严密至极，几乎找不到任何可以商榷的余地。我尤其欣赏书中在引入新的概念时，都会追溯其历史渊源和实际应用背景，这使得抽象的理论不再显得空洞，而是与数学发展的脉络紧密相连。例如，在讲解群论时，华老巧妙地将历史上的对称性问题引入，使得原本抽象的群公理变得生动有趣。对于我这样的读者来说，这本书不仅是学习代数理论的宝贵资料，更是一次关于数学思维方式的启蒙。它教会我如何去审视问题，如何去构建严谨的逻辑链条，如何在看似纷繁复杂的概念中找到核心的规律。这本书的价值，需要时间来沉淀，需要反复的品味，每一次重读，都会有新的感悟。

评分☆☆☆☆☆

我是一名正在攻读数学专业的学生，在导师的推荐下，我开始研读《华罗庚文集 代数卷I》。这本书在我看来，不仅仅是一本教科书，更像是一部代数思想的宝典。华老的语言凝练而富有穿透力，寥寥数语便能点破问题的核心。书中的例题设计精巧，既能巩固理论知识，又能启发新的思考。我尤其喜欢书中对一些经典代数问题的深入剖析，例如西罗群的构造、伽罗瓦理论的初步探讨等等，这些内容都极大地拓展了我的视野，让我看到了代数在解决实际问题中的强大力量。在阅读过程中，我尝试着自己动手演算书中的每一个公式，每一个证明，虽然过程艰辛，但收获颇丰。这种主动学习的方式，让我对抽象概念的理解更加深刻，也培养了我独立解决数学问题的能力。对于我这样的专业学生而言，这本书无疑是宝贵的财富，它为我打下了坚实的理论基础，也点燃了我对数学研究的热情。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计朴素而典雅，散发着一种历久弥新的学术气息。打开《华罗庚文集 代数卷I》，首先映入眼帘的是华老一丝不苟的笔迹，仿佛能感受到他在书写时的专注与严谨。我并非数学专业的科班出身，但对数学的兴趣由来已久，总想找一些能够系统性地、深入浅出地介绍数学知识的书籍。这本书恰恰满足了我的需求。它没有华丽的辞藻，没有故弄玄虚的说法，只是用最精炼的语言，最严密的逻辑，将代数的核心内容娓娓道来。我从这本书中学到了很多关于数系的构造、群的性质、矩阵的运算等等。虽然有些地方我还需要反复研读，甚至请教他人，但每一次的突破都让我感到欣喜。这本书让我认识到，数学并非遥不可及，只要用心去体会，去实践，人人都能领略到它的美妙。我非常感谢华老能够将如此珍贵的知识留给我们，让后辈能够受益无穷。