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王擎天 等 著

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• 微積分
• 高等數學
• 大學教材
• 學習指南
• 解題技巧
• 基礎概念
• 函數
• 極限
• 微分
• 積分

出版社： 鴻漸文化

ISBN：9789866187360

商品编码：16033046

包装：平裝

出版时间：2011-06-01

内容简介

資優數學＋高中選修數學＋大學微積分：微積分好難？我們害怕微積分，是因為抽象、難懂的概念與公式，其實，只要知道公式從何而來，便能掌握學習成效。現今國內之微積分教材難度較高且內容甚為雜亂，造成不少學生排斥學習，本書打破微積分難學的心理迷思，跳脫傳統翻譯書與教科書特重理論與証明的，是初學微積分的最佳入門書籍！
收錄豐富且多變化的題型、強調實戰演練：數學好難？各種各樣的「理論」就好像一座座高塔，其實，只要發現隱藏秘密的密道，你也可以成為數學達人。大多數人並不想成為名數學家，考不好的原因「只不過」是沒有好書指引密道罷了！而解決數學問題的密道到底在哪裡呢？所有的數學家一致公認的答案就是：做題目。本書收錄多變化的題型，解你數學疑惑，提高數學程度，讓你在數學的困境中破繭而出。
國寶級數學大師王擎天親自操刀：不要怕！有這本微積分就夠了！本書由國寶級數學大師王擎天親自操刀，按照教育部最新公布之課綱編輯而成。王博士長期深耕數學教育，強調啟發式教學，全書內容經過系統歸納，提綱挈領，讓同學得到重點式的吸收，只需花少許的時間即可了解內容。教授級的解說功力，精闢入裡，提供另解以供資優的同學精進數學實力。讀過本書，你可以大聲說：「我的微積分這堂課修得滿級分」。

目录

本書與高中數學關係圖
I 數列及其極限
1.1 無窮數列及其性質
1.2 無窮等比級數
◎觀念導向試題觀摩
◎絕對關鍵30分鐘

II 函數的極限與微分
2.1 函數及其圖形
2.2 函數的極限
2.3 導數與切線
2.4 微分公式
◎觀念導向試題觀摩
◎絕對關鍵30分鐘

III 函數的應用
3.1 函數性質的判定
3.2 函數圖形的描繪
3.3 圓錐曲線的切線與法線
◎觀念導向試題觀摩
◎絕對關鍵30分鐘

IV 積分及其應用
4.1 面積
4.2 定積分及反導函數
4.3 定積分的應用
◎觀念導向試題觀摩
◎絕對關鍵30分鐘

V 其他初等函數
5.1 三角函數
5.2 對數函數與指數函數
◎觀念導向試題觀摩
◎絕對關鍵30分鐘

VI 數值方法
6.1 方程式的近似根
6.2 一次、二次近似與泰勒展開式
6.3 平方根的近似求法
6.4 正餘弦函數值的近似求法
6.5 對數的近似求法
6.6 定積分的近似求法
◎觀念導向試題觀摩
◎絕對關鍵30分鐘
附錄
各章隨堂練習解答
學習記憶法
微積分常用公式

前言/序言

《微積分，原來這麼Easy！》 內容概述 本書旨在為初學者提供一套清晰、直觀且極具實用性的微積分學習路徑。我們深知，對於許多學生和自學者而言，微積分常被視為一門抽象、高深且充滿複雜符號的學科。因此，本書的核心目標是「解構」與「重構」，將微積分的兩大核心支柱——微分學（Calculus of Differentiation）與積分學（Calculus of Integration）——轉化為易於理解和操作的工具箱。 全書結構嚴謹，從基礎概念的鋪陳，到複雜應用的逐步深入，確保讀者能夠在紮實的數學基礎之上，建立對微積分思想的深刻洞察。 --- 第一部分：奠基與預備知識（The Foundation） 在正式進入微積分的宏大殿堂之前，我們首先花費足夠的篇幅，確保讀者對必要的代數、三角函數、函數概念以及極限思想有穩固的掌握。 第一章：函數的語言與圖形 本章回顧並深化了對函數的理解，強調函數在描述現實世界變化規律中的核心作用。我們詳細討論了多項式函數、有理函數、指數函數和對數函數的特性及其圖像特徵。特別地，我們引入了「域」與「值域」的概念，並探討了函數的組合與反函數，為後續處理變化率奠定必要的符號與代數基礎。 第二章：極限的直觀理解 極限是微積分的靈魂。本章摒棄了過於嚴苛的 $epsilon-delta$ 語言作為開場，轉而採用直觀的、基於圖形的「趨近」概念來闡釋極限。我們通過無窮數列和函數在某一點的趨近過程進行講解，解釋了如何判斷極限是否存在，以及無窮大（$infty$）與不存在的邊界情況。本章結尾將簡要介紹連續性，將極限與函數的「不中斷繪製」能力聯繫起來。 --- 第二部分：微分學——變化的度量（The Calculus of Change） 微分學專注於「瞬時變化率」的計算與應用。本書的講解思路是：從平均變化率（斜率）自然過渡到瞬時變化率（切線斜率）。 第三章：導數的定義與幾何意義 我們從割線的斜率出發，利用極限的概念，嚴格定義了導數（Derivative）——即函數在某一點的瞬時變化率。本章詳細解析了導數的幾何意義（切線的斜率）和物理意義（瞬時速度）。我們也探討了不可導的情況，例如尖點和垂直切線。 第四章：微分的運算法則 這是實用計算的基石。本章系統地介紹了所有基礎的微分法則，包括： 常數法則、冪函數法則： 最基礎的建構單元。 和差法則、常數乘法法則： 組合簡單函數的規則。 乘法法則與除法法則： 處理複合結構的關鍵工具。 鏈式法則（The Chain Rule）： 被譽為微分學中最重要的法則，本書將通過多層次函數嵌套的實例（如嵌套的三角函數或複合指數函數）來徹底解釋其應用，確保讀者能熟練駕馭任意複雜的複合函數。 第五章：超越基本函數的微分 本章將微積分應用擴展到更廣泛的函數類型： 三角函數的微分： 證明 $frac{d}{dx}(sin x) = cos x$ 等。 指數與對數函數的微分： 特別關注自然對數 $e$ 的獨特性質。 隱函數微分法： 處理無法直接解出 $y$ 的關係式（如圓的方程）的變化率問題。 相關變化率： 這是微分學最引人入勝的應用之一。通過建立物理量之間的關係方程，利用時間（或另一個變量）對其求導，解決如水箱注水、移動梯子的末端速度等實際問題。 第六章：微分的應用與分析 本章展示瞭如何利用導數來分析函數的「行為」： 增減性與極值判定： 利用一階導數的正負性判斷函數的上升與下降區間，並找出局部最大值與最小值。 凹凸性與反曲點： 引入二階導數，分析函數圖形的彎曲方向（凹向上或凹向下），並確定反曲點的位置。 繪圖與最優化問題： 綜合運用一階和二階導數的資訊，繪製精確的函數圖形。隨後，本書將大量著墨於最優化問題的建模與求解，例如如何設計成本最低的容器、如何使傳輸效率最高等實際商業與工程決策問題。 洛必達法則（L'Hôpital's Rule）： 作為處理 $frac{0}{0}$ 或 $frac{infty}{infty}$ 等不定型極限的強大工具，本章將詳細介紹其應用條件與步驟。 --- 第三部分：積分學——累積與總和（The Calculus of Accumulation） 積分學是微分學的逆過程，它關注「總量」的計算，即對變化率進行「累積」。 第七章：反導數與不定積分 本章從導數的逆運算——反導數（Antiderivative）——開始，引入不定積分的概念。我們強調了積分常數 $C$ 的必要性，並系統整理了基本積分公式，包括對應於三角函數、指數函數和對數函數的積分規則。 第八章：定積分與黎曼和 本章將讀者帶入定積分的核心概念。我們首先從面積的計算問題出發，利用直觀的「無窮多個矩形求和」的思想，嚴謹地定義了黎曼和（Riemann Sum）。隨後，我們展示瞭如何通過取極限的方式，將黎曼和轉化為定積分的精確值。 第九章：微積分基本定理 這是連接微分學與積分學的橋樑，也是整個微積分學的基石。本章詳細闡述了微積分基本定理（The Fundamental Theorem of Calculus, FTC）的第一部分和第二部分，解釋了為何計算累積總量（定積分）可以直接通過計算反導數並代入上下限來完成，從而極大地簡化了計算過程。 第十章：積分的計算技術 本章是實用積分技巧的集中體現，是應用中的關鍵難點，本書將提供清晰的解題步驟和大量的範例： 換元積分法（Substitution Rule）： 這是積分中的「鏈式法則」，通過變量替換來簡化被積函數。 分部積分法（Integration by Parts）： 針對乘積形式的積分，基於乘法定律的逆推，強調選擇 $u$ 和 $dv$ 的策略。 三角代換與三角恆等式： 處理含有 $sqrt{a^2-x^2}$ 或 $x^2+a^2$ 結構的積分。 部分分式分解法： 專門用於有理函數的積分。 第十一章：積分的應用 定積分在幾何、物理和工程中的應用極其廣泛： 幾何應用： 計算曲線下的面積、曲線之間的面積、旋轉體體積（圓盤法、薄殼法）。 物理應用： 計算變力所做的功、質心與形心（Center of Mass）、壓力。 其他應用： 平均值定理的應用，以及對非正常積分（瑕積分，Improper Integrals）的初步探討。 --- 結語 《微積分，原來這麼Easy！》的編寫貫徹始終的理念是：不只是告訴你「如何算」，更要讓你明白「為什麼要這樣算」。本書中的每一個公式、每一個定理都有其直觀的背景和現實的意義。大量的圖解、貼近生活的範例，以及詳細的步驟推演，旨在幫助學習者真正掌握微積分作為強大分析工具的精髓，而非僅僅停留在符號運算的層面。我們相信，通過本書的引導，微積分將不再是一道難以逾越的高牆，而是一扇通往更深層次數學與科學世界的大門。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版设计本身就体现了一种对读者的尊重。很多理工科书籍为了节省成本或追求所谓的“专业感”，排版往往拥挤不堪，字体小得让人费眼，公式和文字挤在一起，阅读体验极差。然而，这本《微积分，原来这么Easy！》采用了大开本设计，行距和字间距都非常舒适，留白恰到好处，这让大脑在接收信息时拥有了必要的“呼吸空间”。这种舒适的阅读环境，对于需要长时间集中注意力的数学学习来说，至关重要。我发现自己可以更长时间地沉浸在学习中，而不会感到眼睛疲劳或心理上的抗拒。更细致的是，书中的例题和习题的区分度很高。例题的求解过程详尽到近乎啰嗦，每一步的逻辑转换都写得清清楚楚，像是在做“慢动作回放”。而随后的习题部分，则回归到更加简洁和挑战性的形态，迫使读者必须自己组织解题思路，而不是简单地模仿例题。这种循序渐进、先示范后实践的教学结构，完美地平衡了“学会”和“会做”之间的关系。这本书不仅仅是知识的载体，更是一种优质的学习体验的呈现。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计真是太抓人眼球了，那种清新又不失活力的配色，一下子就让人觉得学习微积分似乎不再是洪水猛兽。我一直对数学，尤其是高等数学这种东西抱有一种本能的敬畏，总觉得里面充满了各种深奥的符号和让人头疼的逻辑推导，大学时候选修课的噩梦挥之不去。然而，当我翻开这本书的内页时，那种预期的压抑感瞬间就被瓦解了。作者的叙述方式非常口语化，仿佛不是一位严谨的数学教授在给我们上课，而是一位经验丰富的朋友，耐心地在咖啡馆里，用最生活化的例子，把那些抽象的概念掰开了揉碎了讲给你听。比如，他讲到极限的时候，不会直接抛出ε-δ定义，而是会用“追逐游戏”或者“无限靠近但永不相遇的两个人”来打比方。这种“去公式化”的讲解思路，极大地降低了阅读门槛。特别是对于像我这样，基础知识有些薄弱，但又非常渴望真正理解微积分核心思想的“半路出家”型学习者来说，这本书简直是一剂强心针。它不仅仅是教你怎么解题，更重要的是，它在培养你对“变化率”和“累积效应”的直觉感知能力，这是死记硬背公式永远无法替代的宝贵财富。我尤其欣赏作者在每一个章节开头设置的“生活中的微积分”小板块，它们像一个个引子，将枯燥的理论与我们日常可见的现象紧密联系起来，让学习的过程充满了发现的乐趣，而不是单纯的应试压力。

评分☆☆☆☆☆

说实话，对于一本数学书来说，我最看重的是它在“纠错”和“排雷”方面的能力。很多教材在讲解某个概念时，总是假设读者已经完全理解了上一个概念，但现实是，我们在学习过程中总会遗漏一些细微的环节，这些遗漏最终会导致后面的学习全面崩溃。这本书在这方面做得非常到位，它不是那种冷冰冰的知识堆砌，而更像是一个耐心的辅导老师在进行“查漏补缺”。比如，在讲解偏导数和梯度的概念时，作者特意设置了一个“常见误区警示”的小节，专门剖析了学生在混淆梯度方向与法向量时的思维定势。他没有直接批评错误，而是用一种非常具有建设性的口吻引导我们去思考：“当你站在山坡上，你的直觉会告诉你哪条路最陡峭，微积分就是在量化你的这种直觉。”这种预判式的教学，极大地减少了我在自我学习中遇到“卡壳”然后不得不回头翻阅大量旧章节寻找线索的挫败感。此外，书中对“无穷小量”的处理也相当巧妙，没有直接陷入哲学的争论，而是将其定位为一个“工具性概念”，强调其在处理实际变化问题中的实用价值，这种务实的态度让我感到非常受用。

评分☆☆☆☆☆

我手里这本厚厚的教材，坦白说，我已经拜读过好几本所谓的“入门”读物，它们大多在开篇慷慨激昂地承诺“简单易懂”，结果却是从第二章开始就陷入了无限的积分和微分公式的泥潭，让人望而却步。但《微积分，原来这么Easy！》这本书的独特之处在于它对“直觉先导”的坚持。它似乎深谙一个道理：在建立起对概念的感性认识之前，任何严谨的证明都是空中楼阁。全书的逻辑推进非常平滑，就像登山者走在修好的步道上，每走一步都有清晰的指示牌和美丽的风景（概念解释）。我特别喜欢作者处理不定积分和定积分关系的那一章。他没有急于给出微积分基本定理，而是先用“修建水库蓄水”和“水库放水”的比喻，形象地展示了求导和积分的互逆关系。这种叙事性的讲解，让那些原本需要耗费大量时间去消化的复杂定理，变得像故事一样自然而然地被接受了。而且，书中的插图质量极高，它们不是那种低分辨率、像素化的简陋图样，而是经过精心设计的几何图形和动态变化示意图，每一个图表都有效地承载了超过百字的解释信息。这对于我这种视觉学习者来说，简直是如获至宝，很多时候，一个眼神扫过那个曲线图的渐进行为，比看半页文字描述都要来得清晰透彻。

评分☆☆☆☆☆

作为一本侧重于理解而非纯粹计算的微积分教材，这本书在连接理论与应用方面做出了卓越的努力。它没有沉溺于构造一些不切实际的、纯粹为了展示计算技巧的怪异函数，而是将大量的篇幅投入到如何利用微积分工具来解决现实世界中的优化问题和累积效应问题。例如，在讲到泰勒级数展开时，作者没有直接抛出复杂的求导和求和公式，而是先用一个例子——如何用多项式来“逼近”一个复杂的曲线——来阐述级数展开的本质意义。这种“工具论”的视角，让我彻底明白了学习微积分的终极目的，它不再是大学考核的一道坎，而是理解复杂系统变化规律的底层逻辑。此外，书中对涉及物理学和经济学的应用案例选取非常具有代表性，它们既不至于过于专业化到需要额外的背景知识，又能充分展示微积分在跨学科领域的强大威力。读完这些应用实例，我感觉自己对周边世界的观察角度都变得更加锐利了，仿佛拥有了一副可以洞察事物动态趋势的“透视镜”。这本书成功地将微积分从一个高冷的数学分支，变成了一门普适性的、极具洞察力的思维科学。