中科大 解析几何竞赛读本 蔡玉书 中国科学技术大学出版社 高考数学 中学生高中数学联赛解析几何题型解 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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出版社： 中国科学技术大学出版社

ISBN：9787312040603

商品编码：28301183308

丛书名： 解析几何 竞赛读本

 

 

解析几何竞赛读本

作者:蔡玉书

出版社:中国科学技术大学出版社

出版时间:2017年08月 

版 次：1

页 数：

字 数：550000

印刷时间：2017年08月01日

开 本：16开

纸 张：胶版纸

包 装：平装

ISBN：9787312040603

定价：58.00元

内容简介

全书详细介绍数学联赛中解析几何的题型和解题方法.解析几何的基本内容包括：直线和圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标、轨迹问题、圆锥曲线的切线和极线问题；基本题型包括：圆锥曲线性质的研究、圆锥曲线的值问题；解题技巧包括：平面几何性质的使用、圆锥曲线有关直径性质的使用、点差法的使用、两条直线合成技巧的使用、曲线系方程的使用.本书还对解析几何中一般圆锥曲线的性质进行了深入研究，这些可以用于命题研究和试题研究.作为本书的新亮点,第10章对平面几何竞赛试题的解析法证明进行了充分的展示.本书内容丰富,方法多样,习题充足,可作为参加全国高中数学联赛的中学生复习解析几何的用书,也可作为广大数学奥林匹克教练员进行高中数学联赛考前辅导的教材，或高等院校数学系本科生和研究生选修数学竞赛的参考书.

目录

前言

第1章直线和圆

例题选讲

练习题

第2章圆锥曲线

例题选讲

练习题

第3章圆锥曲线参数方程的应用

例题选讲

练习题

第4章圆锥曲线极坐标方程的应用

例题选讲

练习题

第5章解析几何中的轨迹问题

例题选讲

练习题

第6章解析几何中的值问题

例题选讲

练习题

第7章圆锥曲线中与切线相关的问题

例题选讲

练习题

第8章圆锥曲线统一直角坐标方程的应用

例题选讲

练习题

第9章解析几何解题技巧的研究

例题选讲

练习题

第10章平面几何问题解析法证明

例题选讲

练习题

附录习题解答

第1章

第2章

第3章

第4章

第5章

第6章

第7章

第8章

第9章

第10章

参考文献

 

 

 

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经典数学著作导览：聚焦高中与竞赛的解析几何之光 本书旨在为广大高中生、数学爱好者以及准备参与各项数学竞赛（尤其是高中数学联赛）的学员，提供一份系统、深入且极具针对性的解析几何学习指南。本书的编写核心理念在于，将理论的严谨性与解题的实用性紧密结合，力求突破传统教材的深度和广度，直击竞赛对解析几何知识的考察精髓。 本书的结构规划严谨，内容覆盖面广，旨在构建一个清晰、递进的学习路径。它并非对现有中学解析几何教材的简单重复，而是立足于更高阶的数学视野，对二维和三维空间中的点、直线、圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）以及进阶的立体几何（直线、平面、二次曲面初步）进行深度剖析。 第一部分：基础的再夯实与深化——从坐标系到二次曲线的本质洞察 本书的开篇部分，将从最基础的笛卡尔坐标系入手，但视角会立即提升。我们不会停留在简单的距离公式和中点公式上，而是深入探讨坐标变换（如平移、旋转）对几何性质的内在影响。重点剖析旋转坐标系如何简化对特定曲线的方程表示，这是解决竞赛中涉及斜角或非标准定位问题的关键技巧。 直线与圆的深化处理： 直线方程的多种形式及其应用： 不仅涵盖点斜式、斜截式，更侧重于参数方程和向量形式在处理线段中点、垂直关系和角度问题时的效率优势。 圆的性质与最值问题： 强调圆的几何定义在解析法中的体现，特别是利用圆的参数方程解决与切线、弦长、范围确定的最优化问题，以及圆与圆之间的关系（公切线、相交性）。 圆锥曲线的本质揭示与标准化： 这是本书的核心内容之一。我们对待椭圆、抛物线和双曲线的态度是“超越方程，直击定义”。 1. 焦点、准线、离心率的统一视角： 深入解析圆锥曲线的几何生成过程，强调“到定点距离与到定直线距离之比为常数”这一核心定义，并推导出标准方程。 2. 共轭轴与辅助圆： 引入辅助工具，如椭圆的“辅圆”概念，用于简化切线斜率、弦的中点问题，以及判断点与曲线的位置关系。 3. 参数方程的威力： 详细介绍三种曲线的参数方程，并展示如何利用三角函数或双曲函数来统一处理曲线上的点，极大地简化了涉及角度或特定比例关系的计算。 第二部分：竞赛热点——弦、切、交、过 解析几何竞赛题目的绝大多数难点集中在处理曲线上的“弦”及其“中点”、“切线”以及“焦点弦”等问题上。本书将这一模块拆解为若干个专题，逐一攻破。 核心方法论——“设而不求”与“点差法”的精妙运用： 点差法（弦与中点）： 这是解决“已知弦中点，求弦所在的直线族”问题的利器。本书将详细阐述点差法的几何意义，并给出在不同曲线（特别是抛物线和双曲线）上应用该方法的规范步骤，避免繁琐的联立求解。 斜率存在性分析： 针对竞赛中常见的“斜率不存在”或“斜率趋于无穷”的边界情况，本书提供专门的讨论，确保解题的完备性。 焦点弦与通径问题： 焦点弦的性质： 深入探讨椭圆和双曲线中焦点弦的长度公式、中点坐标与焦点的关系。尤其关注抛物线的焦点弦与其准线的关系，这常常是快速锁定答案的捷径。 通径的特殊性： 突出抛物线通径的长度等于四个焦准距之和的结论，及其在求面积、求定值问题中的应用。 切线性质的综合考查： 本书对切线问题的处理不再局限于求导（虽然导数法是现代解析几何的重要工具），而是强调利用判别式法（联立判别式等于零）和中点弦公式（点差法推导的切线方程形式）。重点分析： 过曲线上一点的切线； 过曲线上一点的切线族（外一点引切线）； 切线的交点轨迹。 第三部分：高阶技巧与空间想象力的培养——从二维到三维的过渡 为了满足对更高难度联赛（如省赛或更高阶选拔）的要求，本书加入了对非标准解析几何工具和基础立体几何中解析方法的介绍。 1. 向量法与解析几何的融合： 解析几何的本质是几何问题代数化的体现。本书提倡将空间向量的思想引入二维平面，用向量的点乘（内积）和叉乘（外积的平面化处理）来衡量角度和垂直关系，这比纯粹的斜率运算更为直观和简洁。例如，利用向量法快速判断两条直线的垂直性，或计算点到直线的距离。 2. 极坐标与参数方程的高级应用： 在处理圆周运动或轨道问题时，极坐标往往比直角坐标系更具优势。本书会展示如何将标准圆锥曲线方程转化为极坐标形式，并利用极坐标来解决涉及角度的定值或定点问题。 3. 立体几何的解析基础（入门）： 虽然本书主攻平面解析几何，但会提供必要的桥梁章节，介绍如何在三维空间中利用坐标系表示点、直线（方向向量）和平面（法向量）。这部分内容服务于帮助读者理解，解析几何思想如何无缝扩展到立体几何，为后续学习打下坚实基础。重点讲解平面方程的构建和线面夹角、二面角的向量计算方法。 本书特色总结 本书的价值在于其“以赛促学，以题带点”的编排思路。它精选了大量历年来不同省份和全国性数学竞赛中涉及解析几何的经典和变型题目，并对每道题进行了详尽的“解题思路剖析”和“知识点提炼”。 我们致力于： 方法系统化： 将零散的解题技巧归纳为清晰的模块（如“点差法应用集锦”、“参数方程在最值中的地位”）。 思维可视化： 强调在代数运算过程中，始终保持对几何图形的想象，避免陷入纯粹的数字运算泥潭。 难度适中偏上： 内容难度设定在对现有教材知识点已经掌握，但希望在竞赛中取得突破的学生的水平之上，是提升解题速度和准确率的理想读物。 通过研习本书，读者将不仅掌握解析几何的计算技巧，更重要的是，能够领悟几何与代数相互转化的深刻哲学，从而在任何涉及平面几何分析的数学挑战中游刃有余。

评分☆☆☆☆☆

这本书在解析几何的学习方法上给了我耳目一新的感觉。它不仅仅是罗列公式和例题，而是深入剖析了不同题型的本质，引导读者去理解几何直觉与代数运算之间的桥梁。特别是对于那些看似复杂的空间问题，作者总能用一种非常直观的方式将它们转化为易于处理的代数模型。我记得有一次我在一个关于椭圆焦点问题的卡壳了很久，按照传统的解法总是绕不出来，但翻阅这本书的相应章节后，我豁然开朗，原来可以用向量法来巧妙地避开繁琐的坐标计算。这种思维上的启迪远比单纯掌握一道题目的解法要宝贵得多。它教会了我如何去构建数学模型，如何灵活运用不同的工具箱来解决同一个问题，这对于我后续准备更高级的数学竞赛非常有帮助。这本书的编排逻辑也非常严谨，从基础概念的铺垫到复杂定理的深入探讨，层层递进，让人感到扎实和自信。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，这本书的难度是偏高的，它显然是为那些有一定基础、目标是冲击更高层次数学竞赛的同学准备的。它没有刻意去“迎合”初学者，而是直面了解析几何中最具挑战性的那部分内容。书中对于某些高级定理的引入和推导过程，展现了作者深厚的学术功底。这对我来说既是挑战也是动力，每攻克一个难点，成就感都特别强。它更像是一本“进阶手册”而非“入门指南”。通过这本书的训练，我发现自己对数学的理解不再停留在公式的表面，而是开始触及到更深层次的几何构型与代数表达的对偶关系。这对于培养一种成熟的数学家思维，是至关重要的。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对高中数学竞赛，尤其是解析几何板块有浓厚兴趣的学生，我发现这本书的深度和广度都远超出了普通教材的要求。它真正做到了“竞赛”级别，很多在学校课堂上老师都很少提及的技巧和陷阱，这本书都一一揭示了。例如，关于圆锥曲线的判定定理和特殊性质的挖掘，书里提供了非常多巧妙的视角，让我对这些经典图形的内在联系有了更深刻的认识。我特别欣赏它在处理那些“边缘情况”时所展现出的严谨性，这些往往是区分普通选手和优秀选手的关键。读完这本书，我感觉自己看问题的角度变刁钻了，不再满足于表面的计算，而是去探究背后的几何结构。这对于提高解题速度和准确率，无疑是一剂强心针。

评分☆☆☆☆☆

这本书的阅读体验非常流畅，即便是一些相对抽象的概念，作者也能通过生动的语言和精选的配图来阐释清楚。很多时候，教材的文字会显得干巴巴、枯燥乏味，让人难以投入，但这本书的行文风格充满了对数学美的追求，读起来更像是在欣赏一场精心编排的数学魔术。对于我这种偏好通过实例来巩固理论的学习者来说，书中的例题选择非常具有代表性，它们不仅涵盖了历年经典赛事的题型，还对解题步骤进行了详尽的分析和批注，指出了每一步推理的逻辑依据。我感觉自己不是在被动地接受知识，而是在与一位经验丰富的导师进行深入的交流和探讨，这种沉浸式的学习过程，极大地提升了我的学习效率。

评分☆☆☆☆☆

我必须强调这本书在系统性上的优势。解析几何的学习，最怕的就是东一榔头西一棒子，知识点散乱不成体系。然而，这本书的章节划分非常清晰，它构建了一个完整的知识框架，从二维到三维，从直线到圆锥曲线，每一步都紧密相连，逻辑链条完整无缺。特别是对于如何将复杂的空间解析几何问题降维处理的技巧，这本书提供了非常系统的训练。它没有回避那些计算量大的题目，而是教会你如何“化繁为简”，如何预见计算中的难点并提前布局。我之前在学习空间向量与立体几何的交叉部分时总感到吃力，但读了这本书后，感觉像是打通了任督二脉，所有的知识点都串联起来，形成了一个坚固的知识网络。