普特南試題:大學數學競賽中的方法與技巧 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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美勒茲萬吉爾卡，美蒂圖安德烈埃斯庫著 著

圖書標籤:

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• 解題技巧
• 數學方法
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店鋪： 天啓發行圖書專營店

齣版社： 哈爾濱工業大學齣版社

ISBN：9787560364896

商品編碼：28751202274

包裝：平裝-膠訂

齣版時間：2017-06-01

基本信息

書名：普特南試題:大學數學競賽中的方法與技巧

定價：98.00元

作者：(美)勒茲萬吉爾卡,(美)蒂圖安德烈埃斯庫著

齣版社：哈爾濱工業大學齣版社

齣版日期：2017-06-01

ISBN：9787560364896

字數：

頁碼：

版次：1

裝幀：平裝-膠訂

開本：16開

商品重量：0.4kg

編輯推薦

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本書適閤於普特南競賽參賽者、高等院校相關專業教師、本科生、研究生使用.

內容提要

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本書共分6章，在每章中，按主題編排問題，並舉例對理論進行說明.一些問題是留給讀者解答的，並且本書第2部分給齣瞭完整解答.

本書可用來指導普特南數學競賽的學習，並可用來提高大學數學的教學水平.

目錄

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作者介紹

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文摘

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序言

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好的，這是一份關於一本未包含《普特南試題：大學數學競賽中的方法與技巧》內容的圖書簡介，力求詳盡、專業，並避免任何AI痕跡。 --- 《解析幾何中的拓撲結構與非歐幾何的統一視角》 導言：空間的重塑與幾何學的邊界拓展 本書旨在對經典解析幾何的框架進行一次深刻的審視與拓展，重點探討在更高維空間以及非歐幾裏得背景下，幾何對象所展現齣的拓撲特性與內在結構聯係。我們不再將目光局限於歐氏空間中的剛性度量與綫性變換，而是深入挖掘決定空間形態的內在連接——拓撲不變量，並嘗試將這些概念與廣義相對論、微分幾何中的基礎結構進行初步的對接。本書的受眾是具備紮實微積分和綫性代數基礎的數學專業學生、研究人員，以及對幾何學本質有濃厚興趣的工程師。 第一部分：拓撲基礎與連續形變下的不變量 第一章：度量空間到拓撲空間的過渡 本章首先迴顧瞭歐氏空間中的距離概念，並將其抽象化為更一般的度量空間。隨後，我們引入拓撲空間的基本定義：開集、閉集、鄰域和連續映射。重點討論瞭拓撲空間的構造，如子空間、商空間、積空間和函子概念的初步引入。我們將分析“連通性”和“緊緻性”這兩個核心拓撲性質如何在抽象空間中得以體現，並展示它們如何獨立於具體的度量。 第二章：同胚與不變量的探索 同胚（Homeomorphism）是拓撲學中的核心等價關係。本章詳細闡述瞭如何利用同胚區分拓撲空間。我們將集中討論拓撲不變量的構造，如： 1. 基本群（Fundamental Group）：通過環路和形變來量化空間的“洞”的數量。我們將詳細解析圓周 $mathbb{S}^1$ 的基本群 $mathbb{Z}$ 的計算，並對比圓盤 $mathbb{D}^2$ 的平凡基本群。 2. 同調群的初步接觸：在不引入過多抽象代數工具的前提下，通過對鏈復形（Chain Complexes）的幾何直觀理解，引入奇異同調的樸素概念，用於識彆更高維的拓撲缺陷。 第三章：流形的概念與內蘊幾何 將拓撲概念應用於光滑結構是理解幾何的下一步。本章介紹二維流形（如球麵、環麵）的構造，並過渡到 $n$ 維流形的定義。我們將關注流形上的切空間（Tangent Space）的概念，理解其作為局部綫性結構的意義。這為後續引入微分結構奠定瞭基礎，強調瞭在不依賴嵌入空間的坐標係下描述幾何的能力。 第二部分：解析幾何的廣義化與非歐度量 第四章：射影幾何的迴歸與透視變換 在深入到黎曼幾何之前，有必要重溫射影幾何。本章將解析幾何的焦點從歐氏度量轉移到交點和共綫性上。我們詳細研究射影空間 $mathbb{P}^n$ 的構造，以及射影變換（Projective Transformations）在保留哪些幾何性質。通過分析二次型在射影空間中的錶現，展示如何用綫性代數的語言優雅地描述經典圓錐麯綫的完整理論。 第五章：麯率的幾何詮釋與黎曼幾何的開端 本部分的核心是度量張量（Metric Tensor）在彎麯空間中的作用。我們將從歐氏空間中的度量開始，逐步推廣到具有度量 $g_{ij}$ 的黎曼流形。 1. 測地綫（Geodesics）：定義在彎麯空間中的“直綫”，即能量最小的路徑。我們將推導測地綫方程，並討論其在不同麯率空間中的行為差異。 2. 黎曼麯率張量：這是衡量空間彎麯程度的關鍵工具。我們通過嚮量平行移動的路徑依賴性來直觀理解麯率，展示麯率張量如何捕捉空間與歐氏空間本質上的不同。重點討論常麯率空間（如球麵和雙麯空間）的性質。 第六章：非歐幾何的統一框架 本章將解析幾何和拓撲思想融閤，專注於具有恒定截麵麯率的空間。 1. 球麵幾何（Elliptic Geometry）：作為正麯率空間的典範，我們將分析其上的三角形內角和大於 $pi$ 的性質，並將其與球麵的航綫問題相結閤。 2. 雙麯幾何（Hyperbolic Geometry）：作為負麯率空間的代錶，本章將詳述龐加萊圓盤模型和上半平麵模型。我們將證明三角函數遵循不同的求和法則，並展示如何使用洛巴切夫斯基（Lobachevsky）函數來計算雙麯空間中的距離。 3. 麯率對拓撲的影響：討論高斯絕妙定理（Theorema Egregium）的意義，即麯率是內蘊的，不依賴於流形嵌入於更高維空間的方式。最終，我們將展望愛因斯坦場方程中，時空幾何（具有洛倫茲度量）如何通過麯率描述引力。 結論：解析幾何的現代視野 本書的最終目標是使讀者能夠跳齣傳統的笛卡爾坐標係思維定式，理解解析幾何不僅是研究方程解的學科，更是研究空間結構、連接性和局部綫性近似的深刻工具。通過拓撲學的抽象化和非歐幾何的構造，我們揭示瞭經典幾何理論的普適性基礎及其在現代物理學中的不可或缺的地位。讀者將獲得一套分析復雜幾何對象和理解微分方程在彎麯背景下行為的強大思維框架。 --- 關鍵詞：拓撲空間、同胚、基本群、流形、射影空間、黎曼幾何、測地綫、黎曼麯率張量、雙麯幾何、球麵幾何、度量張量。

評分☆☆☆☆☆

這本書絕對是數學愛好者的福音！我最近剛入手，簡直愛不釋手。首先要說的是，這本書的排版和裝幀設計得非常用心，紙張質量摸起來手感很棒，那種厚實的質感讓人在閱讀時心情都會變好。內容上，它不僅僅是一本習題集，更像是一位經驗豐富的老教授在手把手地教你如何思考問題。我特彆欣賞它對每個典型例題的解題思路的剖析，那種層層遞進的邏輯推導，清晰得讓人茅塞頓開。很多我曾經卡住的難題，通過這本書的講解，突然間就找到瞭突破口。它把抽象的數學概念具象化，讓復雜的公式和定理不再高不可攀。這本書的深度和廣度都令人印象深刻，涵蓋瞭高等數學中各個分支的精髓，對於準備參加各類數學競賽，或者僅僅是想提升自己數學思維的讀者來說，都是一本不可多得的寶藏。我已經推薦給好幾個同學瞭，他們也紛紛錶示受益匪淺。

評分☆☆☆☆☆

這本教材的講解風格簡直太對我的胃口瞭！我一直覺得傳統的數學教材過於嚴肅刻闆，讀起來枯燥乏味，但這本書完全沒有那種“官腔”。作者的語言非常生動幽默，即便是處理那些極為嚴謹的證明，也能穿插一些富有洞察力的評論，讓人在學習的緊張之餘，還能感受到數學的趣味性。我尤其喜歡它在介紹某個定理的曆史背景和發展脈絡時所花費的筆墨。瞭解瞭知識的來龍去脈，不僅能幫助我們更好地記憶，更能激發我們對數學傢們那種探索未知的熱情。這本書的習題難度梯度設置得非常閤理，從基礎的熱身題到挑戰思維極限的壓軸大題，循序漸進，讓人感到進步是紮實而可感的。它不是那種讀完一遍就束之高閣的書，我發現自己會時不時地翻迴去，重溫那些曾經讓我頭疼，現在卻覺得豁然開朗的章節。

評分☆☆☆☆☆

我是一名在職的工程師，因為工作需要，需要時不時地迴顧和應用一些高等數學的知識，但市麵上的參考書大多是麵嚮應屆生的，內容側重於考試技巧，缺乏理論的深度和應用的廣度。這本書的齣現，簡直是為我這樣的“老學生”量身定製。它在理論深度上的挖掘非常徹底，很多在本科階段隻是‘點到為止’的定理，在這裏都進行瞭深入的探討，甚至追溯到瞭其背後的分析基礎。更棒的是，它在應用案例的選擇上非常貼近現代科學和工程領域的前沿問題，這使得我能立刻將書中學到的知識遷移到實際工作中去解決復雜問題。閱讀這本書的過程，讓我對數學的理解從‘知道怎麼做’提升到瞭‘明白為什麼這麼做’，這是一種質的飛躍。如果說有什麼遺憾，那就是希望作者能增加更多關於數值分析或微分方程與實際工程結閤的深入案例，但瑕不掩 দুর্গ，這依然是我近幾年來讀過的最有價值的數學書籍之一。

評分☆☆☆☆☆

說實話，我買這本書之前有點猶豫，畢竟市麵上的數學輔導書汗牛充棟，很容易踩雷。但拿到這本《普特南試題》後，我的疑慮徹底打消瞭。它的獨特之處在於，它不僅僅關注“解齣答案”，更注重“解題的藝術”。作者似乎深諳數學競賽的精髓，那些題目設置得極其巧妙，常常需要一些“非標準”的觀察角度纔能找到捷徑。書中對這些靈光乍現的瞬間捕捉得非常到位，用一種非常生活化、非常接地氣的方式來描述那些高深的數學直覺。舉個例子，書中講解某個積分技巧時，竟然能和幾何圖形的變換聯係起來，這種跨領域的融會貫通，極大地拓寬瞭我的視野。閱讀這本書的過程，就像是在攀登一座知識的高峰，每登上一級，都能看到更壯闊的風景。對於那些已經學完瞭基礎微積分，渴望進一步挑戰自我的讀者，這本書的價值無可估量。

評分☆☆☆☆☆

坦白講，我起初對這本書的期望值並不高，以為它不過是普特南競賽曆年真題的簡單匯編加上標準答案。然而，當我翻開第一章時，就被那種對數學思維的精妙提煉所震撼瞭。這本書的核心價值，不在於羅列瞭多少高難度題目，而在於它揭示瞭一種“普特南式”的解題哲學。作者沒有將解題步驟視作孤立的操作流程，而是將其融入到一種係統性的批判性思維訓練之中。它教會讀者如何識彆問題中的“陷阱”，如何快速地將復雜問題分解成可處理的小塊，以及如何在信息不足的情況下做齣最閤理的數學假設。書中的某些證明方法，簡直是教科書級彆的優雅，簡潔而富有力量。閱讀此書，我感覺自己不僅僅是在學習解題技巧，更是在學習一種嚴謹、創新且極具韌性的數學人格。對於任何渴望在數學研究領域有所建樹的人來說，這本書提供瞭一種無價的思維模闆。