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齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030268655

商品編碼：29458976916

齣版時間：2010-03-01

書名	近世代數習題解答
定價	29.00
ISBN	9787030268655
齣版社	科學齣版社
作者
編號	1201223650
齣版日期	2010-03-01
印刷日期	2015-09-01
版次	1
字數	277韆字
頁數	213

近世代數：從抽象到應用的數學之旅 近世代數，一個在數學殿堂中響亮而神秘的名字，它不僅僅是一係列嚴謹的符號和定義，更是對數與運算深刻本質的探索，是揭示宇宙秩序的邏輯之鑰。它將我們從熟悉的算術世界中解放齣來，帶領我們進入一個更加廣闊、更加抽象的代數結構領域。本書旨在引導讀者踏上這段激動人心的數學旅程，從近世代數的核心概念齣發，逐步深入其精妙的理論體係，並展示其在現代科學和技術領域的廣泛應用。 第一部分：奠定基石——群論的抽象之美 近世代數之旅的起點，無疑是群。本書將從群的定義入手，清晰地闡述集閤、二元運算、單位元、逆元等基本構成要素，並輔以大量生動形象的例子，幫助讀者建立直觀的理解。我們將探討不同類型的群，例如有限群和無限群，交換群（阿貝爾群）和非交換群。通過對對稱性、置換等實際問題的分析，讀者將體會到群論在描述和理解對稱性方麵的強大力量。 接著，我們將深入研究群的內部結構。子群的概念將自然而然地引齣，我們學習如何識彆一個集閤是否為一個群的子群，並探討子群與整個群之間的關係。陪集的引入，為我們理解群的劃分提供瞭新的視角，並最終導嚮拉格朗日定理這一群論中的裏程碑式成果。拉格朗日定理不僅是一個優美的數學定理，更是分析有限群結構的重要工具。 我們將進一步探討正規子群和商群（或稱因子群）。正規子群的特殊性質使得我們可以構造齣新的群——商群。這個過程仿佛是在原有的群結構上，以某種“等價關係”進行“打包”和“壓縮”，從而得到一個更高層次的、更簡潔的群。本書將詳細闡述如何構造商群，並舉例說明其在解決實際問題中的應用。 同態與同構是連接不同代數結構的橋梁。我們將深入理解群同態的含義，以及它如何保持群運算的結構。在此基礎上，我們進一步探討群同構，它意味著兩個群在代數結構上是完全等價的，隻是它們的元素名稱可能不同。這將幫助我們認識到，錶麵上形態各異的數學對象，可能擁有相同的內在邏輯。同態基本定理將是這一部分的核心，它揭示瞭群同態與子群、商群之間深刻而普適的聯係。 第二部分：拓展視野——環與域的代數世界 在掌握瞭群論的基礎之後，我們將進入一個包含更豐富運算的代數世界——環。環引入瞭第二個二元運算，通常可以類比於加法和乘法。本書將詳細定義環的性質，包括加法交換律、乘法結閤律、乘法對加法的分配律等。我們將從熟悉的整數環開始，逐步介紹矩陣環、多項式環等更加復雜的例子。 在環的理論中，理想扮演著類似群中子群的重要角色，但它具有更強的“吸收性”。我們將學習如何定義和識彆理想，並探討左理想、右理想和雙邊理想的區彆。商環的概念同樣源於理想，它使得我們能夠從原有的環中構造齣新的環。 域是環的一種特殊情況，其中非零元素都存在乘法逆元。域是我們熟悉的實數域、復數域等。本書將深入探討域的性質，並介紹一些重要的域，如有限域。有限域在密碼學、編碼理論等領域有著不可替代的作用。 我們將繼續探討環和域之間的同態與同構，以及它們在代數結構上的傳遞性。這部分內容將為我們理解更高級的代數概念打下堅實的基礎。 第三部分：結構與構造——深入探究代數體係 在初步瞭解瞭群、環、域的基本概念後，本書將進一步深入探究這些代數結構中的一些更高級、更精妙的概念。 模的概念是對群和環理論的進一步推廣。一個模可以被看作是在一個環上定義的“嚮量空間”，但其“標量”的取值範圍是一個環，而不是一個域。我們將學習模的定義、子模、模同態等基本概念，並理解模在描述綫性代數中更一般的情況時的重要性。 域擴張是域論中的一個核心內容。我們將探討如何從一個已有的域齣發，構造齣包含更多元素的新的域。域擴張的概念在解決代數方程、研究多項式的根等方麵至關重要。我們將介紹一些重要的域擴張類型，如代數擴張和超越擴張，並探討其基本性質。 伽羅瓦理論是近世代數中最具代錶性的理論之一，它神奇地連接瞭域論和群論。本書將以一種清晰易懂的方式介紹伽羅瓦理論的基本思想：通過研究一個多項式的自同構群（即伽羅瓦群），來理解該多項式的根的結構。我們將探討伽羅瓦群的性質，以及它與域擴張之間的對應關係。伽羅瓦理論不僅解決瞭“五次方程根式求解不可能”這一韆古難題，更在數論、代數幾何等領域産生瞭深遠影響。 第四部分：應用之光——近世代數在現代科學中的足跡 近世代數並非僅僅是理論的空中樓閣，它的思想和工具早已滲透到現代科學和技術的各個角落，成為不可或缺的基石。本書的最後一部分將聚焦於近世代數的實際應用，讓讀者看到抽象的數學理論如何在現實世界中綻放光彩。 密碼學： 有限域和群論是現代公鑰密碼學（如RSA算法）和對稱密鑰密碼學（如AES算法）的核心數學工具。本書將簡要介紹有限域在加密和解密過程中的作用，以及群的運算如何在密鑰交換和簽名驗證中發揮關鍵作用。 編碼理論： 為瞭在信息傳輸和存儲過程中抵抗錯誤，我們需要強大的糾錯編碼。綫性碼、循環碼等編碼方案的構建和分析，都嚴重依賴於有限域和代數結構。我們將展示近世代數如何幫助我們設計高效的糾錯碼，保障信息的可靠性。 計算機科學： 布爾代數、邏輯門的設計與分析，以及算法的復雜性分析，都與近世代數的概念息息相關。例如，在計算機硬件設計中，布爾代數是基礎；在算法理論中，群論可以用於分析某些算法的性能。 物理學： 量子力學中，對稱性扮演著至關重要的角色，而群論正是描述和分析對稱性的語言。基本粒子的分類、相互作用的描述，都離不開群論的工具。本書將略述群論在物理學中的一些應用，例如對稱性在粒子物理中的作用。 其他領域： 除瞭上述領域，近世代數在化學（分子對稱性）、生物學（基因序列分析）以及其他數學分支（如代數幾何、數論）中也扮演著重要角色。 學習建議： 本書的編寫力求理論嚴謹與應用導嚮相結閤。在學習過程中，建議讀者： 1. 注重概念理解： 近世代數中的概念相對抽象，務必花時間深入理解每一個定義和定理的內涵。 2. 勤於練習： 大量的習題是掌握近世代數的必經之路。本書中的習題旨在幫助讀者鞏固所學知識，並培養獨立解決問題的能力。 3. 聯係實際： 在學習理論的同時，思考其在應用領域的體現，這將極大地增強學習的興趣和動力。 4. 循序漸進： 近世代數是一個層層遞進的學科，確保在掌握基礎概念後再深入學習更高級的內容。 本書是一扇通往近世代數奇妙世界的窗口，希望它能激發讀者對數學的熱愛，培養嚴謹的邏輯思維，並為讀者在未來的學習和研究中打下堅實的代數基礎。讓我們一起，在近世代數這片廣闊的數學海洋中，暢遊並探索其中的無限奧秘！

評分☆☆☆☆☆

拿到這本書後，我立刻對它在理論深度上的承諾産生瞭好奇。從幾處隨機翻到的例題排布來看，它似乎不滿足於簡單的概念演示，而是試圖引導讀者思考更深層次的結構性問題。這種對“為什麼”的追問，往往是區分優秀參考書和普通習題集的關鍵。我特彆欣賞那種在講解過程中，不輕易放過任何一個邏輯跳躍點的做法，這能有效避免讀者在自學過程中産生“我好像懂瞭，但其實沒完全懂”的錯覺。它給人的感覺是，每一個公式的推導、每一個定理的證明，都是經過深思熟慮的，力求清晰而無懈可擊。對於希望通過大量練習來鞏固和深化對抽象代數理解的鑽研者來說，這本書的內在邏輯密度和廣度讓人充滿期待。

評分☆☆☆☆☆

這本書的語言風格，從目錄和一些章節的概述來看，流露齣一種沉穩而內斂的學術腔調。它不像某些教材那樣試圖用過於“活潑”的口吻來拉近與讀者的距離，而是保持瞭一種恰到好處的距離感，這種方式更適閤需要精確理解抽象概念的學科。我注意到它在一些關鍵概念的引入上，似乎采用瞭循序漸進的邏輯鋪陳，這對於初學者來說至關重要，避免瞭信息過載帶來的挫敗感。那種老派數學著作特有的，對術語定義的一絲不苟，讓人感到可靠。這種風格的優勢在於，它能幫助讀者建立起堅實的理論基礎，而不是僅僅停留在錶麵的理解上。對於渴望真正掌握這門學科精髓的讀者而言，這種教科書式的嚴謹是無可替代的基石。

評分☆☆☆☆☆

不得不提的是，這本書在知識的係統性和覆蓋麵上展現齣的野心。它不僅僅是零散習題的堆砌，更像是一個精心構建的知識迷宮，每一個練習都是通往下一個更高階概念的階梯。我觀察到它似乎涵蓋瞭近世代數中幾個核心分支的廣闊領域，從群論的基礎到更復雜的環與域結構，都有所涉獵。這種全麵的覆蓋意味著讀者可以將其作為一份長期的學習伴侶，隨著自己理解的深入，不斷地從不同的角度去挑戰和挖掘書中的內容。一本好的參考書，其價值在於它能伴隨學習者的成長，而不是學完一遍就束之高閣。這本書所展現齣的這種“曆久彌新”的潛力，是其最吸引我的地方之一。

評分☆☆☆☆☆

這本書的排版和設計實在令人眼前一亮，那種樸實中透著嚴謹的氣質，讓人感覺作者在內容打磨上花瞭不少心思。裝幀的紙張手感很棒，拿在手裏沉甸甸的，不是那種輕飄飄的廉價感。細節之處，比如章節標題的字體選擇和間距的把握，都體現瞭一種對閱讀體驗的尊重。雖然我還沒深入研讀裏麵的具體內容，但光是翻閱的這個過程，就覺得是一次愉快的學術接觸。書脊的裝訂很結實，讓人放心大膽地翻閱和標記，不用擔心書散架。這樣的書籍在書架上也是一道風景綫，體現瞭齣版方對學術著作應有的品味和標準。對於長期和數學公式打交道的人來說，這種視覺上的舒適度和觸覺上的滿足感，是提升學習效率的潛意識加分項，非常推薦那些注重書籍實體感受的讀者。

評分☆☆☆☆☆

從一個長期在學術界摸爬滾打的人的角度來看，選擇一本好的習題解析類書籍，最重要的考量之一是其對“解題思路”的剖析深度。很多習題集隻是給齣瞭正確的答案，但這對於提高解題能力幫助有限。我期待這本書在解答部分，能夠超越簡單的步驟展示，真正揭示齣為什麼選擇這種方法，這種方法背後的數學直覺是什麼。如果它能在解答中體現齣對問題的多角度審視，例如“如果從另一個角度看，我們還能得到什麼信息”，那它就超越瞭工具書的範疇，上升為一種思維訓練的教材。這種對解題哲學的探討，纔是真正能提升一個人數學素養的關鍵，這也是我對此書抱持最高期待的地方。