有理同倫論 [Rational Homotopy Theory] pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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[法] 菲利剋斯 著

圖書標籤:

• 同倫論
• 有理同倫論
• 代數拓撲
• 譜序列
• 模論
• 層論
• 範疇論
• 代數幾何
• 穩定同倫論
• 縴維化

齣版社： 世界圖書齣版公司

ISBN：9787510058349

版次：1

商品編碼：11286427

包裝：平裝

外文名稱：Rational Homotopy Theory

開本：24開

齣版時間：2013-03-01

用紙：膠版紙

頁數：535

正文語種：英文

內容簡介

　　R，ational homotopy theory has the disadvantage of discarding a considerable amount of information. For example， the homotopy groups of the sphere S'2 are non-zero in infinitelv many degrees whereas its rational homotopy groups vanish in all degrees above 3. By contrast， rational homotopy theory has the advantage of being remarkably computational. For example， there is not even a conjectural description of all the homotopy groups of any simply connect.ed finite CW complex， whereas for many of these the rational groups can be explicitly determined. And while rational homotopy theory is indeed simpler than ordinary homotopy theory， it is exactly this simplicity that makes it possible to address （if not alway-s to solve） a number of fundamental questions.

內頁插圖

目錄

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前言/序言

《有理同倫論》 是一部深刻探索代數拓撲學核心分支的著作，它以一種獨特而強大的視角，揭示瞭拓撲空間結構中的某些深層性質。本書並非對同倫論的宏觀介紹，而是聚焦於一個特定且具有高度分析性的領域——有理同倫論。這門理論的核心在於，將同倫論的某些概念和計算手段，從整數域推廣到有理數域。這種“有理化”的過程，並非簡單的數值替換，而是帶來瞭一係列深刻的理論簡化和計算上的突破，使得原本棘手的拓撲問題變得更加清晰和易於處理。 本書的敘述從最基礎的概念齣發，但很快便深入到該領域的核心技術和前沿問題。它將首先詳細闡述“有理同倫”這一概念的精確定義。這涉及到對縴維叢、上鏈復形以及某些代數結構的引入。讀者將理解，為什麼我們需要從整數同倫轉嚮有理同倫，以及這種轉變在理論上的邏輯必然性。書中的一個重要主題是“有理縴維化”（rational fibration）的概念，以及它與原始縴維化的關係。我們將會看到，當我們將同倫的整數係數轉化為有理係數時，某些復雜的縴維叢結構會發生顯著的簡化，從而暴露齣其更本質的幾何和代數特性。 隨後，本書將詳細介紹“模型範疇”（model category）及其在有理同倫論中的應用。模型範疇提供瞭一個統一的框架，用於處理同倫等價關係，尤其是在各種代數結構上。我們將深入研究“微分分次代數”（differential graded algebra, DGA）和“微分分次餘代數”（differential graded coalgebra）的性質，以及如何利用它們來錶示拓撲空間。著名的“Kadish-Sullivan代數”（Kadish-Sullivan algebra）和“自由分次代數”（free graded algebra）將成為描述空間有理同倫型的關鍵工具。本書將詳細分析這些代數的構造過程，以及它們如何編碼瞭空間的某些基本同倫不變量。 本書的另一核心內容是“最小模型”（minimal model）的概念。最小模型是Kadish-Sullivan代數的一種特殊形式，它在代數上最為簡潔，但卻能完美地“有理地”捕捉一個拓撲空間的同倫信息。本書將闡述如何從一個給定的空間構造其最小模型，以及最小模型如何提供關於空間同倫群、Hopf代數結構等深層信息。這將包括對“外微分”（exterior differential）和“代數拓撲”（algebraic topology）之間深刻聯係的探索。 此外，本書還將深入探討“有理同倫群”和“陳-萊因哈特類”（Chern-Simons class）等概念。我們將學習如何利用有理同倫論的工具來計算和理解拓撲空間的同倫群。特彆是，對於某些特定的拓撲空間，如“凱勒流形”（Kähler manifold）或“辛流形”（symplectic manifold），有理同倫論能夠提供強有力的計算手段。本書還將涉及“連通性”（connectivity）和“維數”（dimension）等概念在有理同倫論中的錶現，以及這些概念如何影響理論的計算和應用。 本書的另一個重要組成部分是“泛代數”（operad）和“高次同倫”（higher homotopy）的概念。泛代數在研究函數的組閤性和代數結構上扮演著關鍵角色，而有理同倫論則為理解泛代數在拓撲空間中的作用提供瞭新的視角。我們將看到，某些泛代數如何編碼瞭空間的“高次”同倫結構，而有理化過程可以簡化這些復雜的結構，從而更容易地進行分析。 本書的最後部分將轉嚮一些更具體的應用和高級主題。這可能包括“霍普夫代數”（Hopf algebra）在有理同倫論中的作用，以及如何利用其對偶結構來理解空間的某些代數性質。此外，我們還將探討“分層代數”（graded algebra）在描述同倫型方麵的作用，以及與“代數幾何”（algebraic geometry）的某些交叉。本書將通過一係列精心挑選的例子和習題，幫助讀者鞏固理論知識，並初步掌握應用有理同倫論解決實際問題的能力。 總而言之，《有理同倫論》是一部為那些對代數拓撲學有深入研究興趣的讀者量身打造的著作。它不僅僅是一本關於計算技巧的指南，更是一部探索抽象數學之美的哲學性作品。它將帶領讀者穿越同倫論的層層迷霧，抵達一個更加清晰、更具洞察力的領域，在那裏，拓撲空間的內在結構以一種全新的、優美的代數形式展現在眼前。本書適閤數學專業的研究生、博士後以及緻力於深入理解代數拓撲學核心理論的數學傢。它將成為該領域研究者不可或缺的參考工具。

評分☆☆☆☆☆

我購買《有理同倫論》這本書，更多的是源於一種對數學前沿探索的好奇心。雖然我不是一個純粹的數學研究者，但我一直對那些能夠連接不同數學分支的理論感到著迷。我聽說有理同倫論在代數幾何、微分幾何、甚至理論物理學中都有著廣泛的應用，我希望通過這本書能夠初步瞭解它的應用場景。我設想書中可能會提及一些關於微分分層結構、示性類以及它們與同倫論之間關係的討論。我尤其希望能夠看到一些具體的例子，展示有理同倫論如何幫助我們解決一些實際的數學問題，比如如何對一個空間進行“有理”分類，或者如何理解某些代數結構的同倫性質。我並不奢望能夠完全掌握其中的所有技術細節，但至少希望能夠建立起一個對有理同倫論基本思想和核心概念的清晰認識，為我日後更深入的學習打下基礎。

評分☆☆☆☆☆

《有理同倫論》這本書，我剛翻開幾頁就覺得耳目一新。雖然我並非數學係的專業人士，但由於工作需要，我一直對一些高深數學理論抱有濃厚的興趣。之前接觸過一些代數拓撲的基礎知識，對於同倫群、縴維叢這些概念並不陌生，但總是覺得隔著一層紗，難以深入理解其精髓。這本書的標題——“有理同倫論”，光是聽起來就充滿瞭數學的嚴謹和一種奇妙的抽象美感。我期待這本書能夠像一位經驗豐富的嚮導，帶領我穿越抽象的數學迷宮，用一種更加清晰、更有條理的方式來展現同倫論的“有理”世界。我尤其好奇它如何將“有理”這個概念融入到如此抽象的領域，是僅僅指代代數上的計算，還是有更深層次的哲學或幾何含義？書中是否會提供一些具體的例子，幫助我理解那些看似難以捉摸的同倫類，並且能夠將其與更熟悉的數學對象聯係起來？我希望它能給我帶來一種“豁然開朗”的感覺，讓我對同倫論的理解不再停留在錶麵，而是能夠觸及到其內在的邏輯和結構。

評分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀設計非常吸引人，簡約而不失專業感。我一直認為，一本好的學術著作，其內容固然重要，但恰當的排版和清晰的圖示也能極大地提升閱讀體驗。我猜想，《有理同倫論》在這一點上應該不會讓我失望。我設想書中會包含大量精心繪製的拓撲圖示，這些圖示不僅是理論的載體，更是引導讀者理解抽象概念的“視覺語言”。我希望書中能夠詳細解釋如何通過這些圖示來理解同倫群的生成元、關係以及它們的“有理”化過程。此外，我還在思考，這本書是否會涉及一些重要的定理和猜想，比如懷特海德定理、希策布魯赫引理等，並對其進行深入的證明和闡釋。我非常期待書中能夠展現齣數學傢們是如何一步步構建起有理同倫論這座宏偉的知識大廈的，那其中一定充滿瞭智慧的火花和嚴謹的邏輯推理。同時，我也希望書中不會過於強調某些過於艱深的證明細節，而是能夠抓住核心思想，讓像我這樣的“門外漢”也能窺探到其中的奧秘。

評分☆☆☆☆☆

《有理同倫論》這本書，在我看來，它不僅僅是一本關於數學理論的著作，更像是一扇通往數學深層世界的窗戶。我一直認為，數學的美麗在於它的普適性和抽象性，而同倫論恰恰是展現這種美的重要途徑。我希望這本書能夠讓我感受到數學的創造力和思想的碰撞，讓我看到數學傢們是如何用嚴謹的邏輯和非凡的想象力來構建復雜的數學體係的。我設想書中會涉及一些關於代數拓撲基本概念的“有理化”處理，這本身就充滿瞭數學的智慧。我特彆期待書中能夠展現齣有理同倫論與其他數學分支之間的聯係，比如它如何與代數幾何中的層論、代數K理論等領域相互啓發。我希望通過閱讀這本書，我能夠對數學的抽象之美有更深刻的體會，並從中獲得一種智力上的愉悅和啓迪。

評分☆☆☆☆☆

這本書的作者，我之前並未有幸接觸過他的作品，但僅憑書名和其所涉及的領域，我就能感受到其深厚的學術造詣。我猜測，這本書的內容一定經過瞭精心的組織和反復的打磨，力求做到邏輯嚴謹、條理清晰。我設想，書中可能會從一些基礎的概念入手，循序漸進地引入有理同倫論的核心思想，比如町村復形、鏈復形以及它們之間的同倫等價性。我尤其期待書中能夠詳細解釋“有理”這個概念在數學上的具體含義，以及它如何改變瞭我們對同倫群的理解。我希望這本書能夠像一個經驗豐富的老師，用一種耐心而又不失深度的方式來引導讀者。我想象中，書中會包含大量的習題，這些習題不僅能夠幫助讀者鞏固所學知識，更能激發讀者主動思考，去探索更深層次的數學世界。