實變函數與泛函分析概要（第1冊 第4版） pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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鄭維行，王聲望 編

圖書標籤:

• 實變函數
• 泛函分析
• 數學分析
• 高等數學
• 數學教材
• 理論基礎
• 科大齣版社
• 第四版
• 數學專業
• 分析學

齣版社： 高等教育齣版社

ISBN：9787040292206

版次：4

商品編碼：12274048

包裝：平裝

叢書名： “十二五”普通高等教育本科國傢級規劃教材

開本：32開

齣版時間：2010-07-01

用紙：膠版紙

頁數：284

字數：230000

正文語種：中文

內容簡介

　　《實變函數與泛函分析概要（第1冊 第4版）》除瞭盡量保持內容精選、適用性較廣外，盡力做到可讀性強，便於備課、講授及學習。修訂時吸收瞭教學中的建議，增添瞭少量重要內容與習題，一些習題還給齣提示。
　　全書分兩冊。第1冊包含集與點集、勒貝格測度、可測函數、勒貝格積分與函數空間五章，第二冊介紹距離空間、巴拿赫空間與希爾伯特空間、巴拿赫空間上的有界綫性算子，以及希爾伯特空間上的有界綫性算子四章。考慮到現行學時的安排，第二冊篇幅作瞭較大調整。
　　《實變函數與泛函分析概要（第1冊 第4版）》每章附有小結，指齣要點所在。習題較為豐富，供教學時選用。
　　《實變函數與泛函分析概要（第1冊 第4版）》可作為綜閤大學、理工大學、師範院校數學類專業的教學用書，也可作為有關研究生與自學者的參考書。學習《實變函數與泛函分析概要（第1冊 第4版）》的預備知識為數學分析、綫性代數、復變函數的主要內容。

內頁插圖

目錄

第一章 集與點集
1 集及其運算
2 映射·集的對等·可列集
3 一維開集、閉集及其性質
4 開集的構造
5 集的勢·序集
第一章習題

第二章 勒貝格測度
1 引言
2 有界點集的外、內測度·可測集
3 可測集的性質
4 關於測度的幾點評注
5 環與環上定義的測度
6 環上外測度·可測集·測度的擴張
7 廣義測度
第二章習題

第三章 可測函數
1 可測函數的基本性質
2 可測函數列的收斂性
3 可測函數的構造
第三章習題

第四章 勒貝格積分
1 勒貝格積分的引人
2 積分的性質
3 積分序列的極限
4 R積分與L積分的比較
5 乘積測度與傅比尼定理
6 微分與積分
7 勒貝格－斯蒂爾切斯積分概念
第四章習題

第五章 函數空間
1 空間·完備性
2 空間的可分性
3 傅裏葉變換概要
第五章習題

參考書目與文獻
索引

前言/序言

　　本書是普通高等教育“十一五”國傢級規劃教材，在第三版的基礎上修訂編寫而成。自2005年第三版以來，收到很多讀者提齣的寶貴意見，本校師維學、代雄平、栗付纔、鍾承奎幾位教授及南京大學2006屆數學係的同學在教學和使用過程中，都對本書提齣瞭不少有益的意見和建議。本次修訂在充分吸收這些意見和建議的基礎上，考慮到現行學時的安排，在篇幅上進行瞭較大的調整，增加瞭關於依測度基本列概念與積分列的勒貝格一維它利定理，刪去廣義函數、解析算子演算、酉算子、正常算子的譜分解定理等內容，習題量進行瞭擴充以供選用，一些要點給予特彆提示以利教學，對理論的論述、安排與例證均進行瞭推敲使其可讀性更強，便於備課、講授與學習。同時，還注意吸取國內外一些新教材的長處。
　　本書第一版時的初稿曾得到程其襄、嚴紹宗、王斯雷、張奠宙、徐榮權、俞緻壽教授等的細心審查與認真討論，曾遠榮、江澤堅、夏道行教授專門審閱瞭手稿，函數論教研室的馬吉溥、蘇維宜、任福賢、何澤霖、宋國柱、王巧玲、王崇祜、華茂芬等同誌也協助閱讀瞭手稿，並參加瞭部分修改工作。在此謹嚮所有對本書提齣意見和建議的專傢、廣大教師與讀者錶示衷心感謝，書中一絲一毫的改進均是與他們分不開的。雖然我們作瞭一定的努力，但書中的謬誤想必難免，盼望專傢與讀者們不吝指正。

《實變函數與泛函分析概要（第1冊 第4版）》內容概要 本書旨在為讀者構建一個紮實的實變函數與泛函分析理論基礎，涵蓋瞭該領域的核心概念、重要定理以及經典的應用。全書力求邏輯嚴謹，內容精煉，為進一步深入學習更高級的數學分支奠定堅實基石。 第一部分：實變函數 本部分著重於對測度論和勒貝格積分的深入探討。 集閤與測度： 引入瞭集閤論的基本概念，包括集閤、子集、並集、交集、補集等。在此基礎上，重點介紹瞭可測集和σ-代數。σ-代數是測度理論的核心結構，它定義瞭“可測”這一概念，保證瞭我們能夠對集閤進行有意義的度量。讀者將學習如何構造更復雜的 σ-代數，例如由單個集閤生成的 σ-代數，以及 Borel 集的定義。 Borel 集： 這是實數集上一個非常重要的可測集族，它由開集通過可數次交、並、差運算得到。Borel 集在數學分析、概率論等領域有著廣泛的應用。 測度： 測度的概念是對長度、麵積、體積等概念的推廣。本書將詳細介紹測度的定義，包括非負性、可數可加性等性質。 外測度與測度： 討論瞭外測度的定義及其性質，並闡述瞭如何從外測度構造齣真正的測度，這通常通過 Carathéodory 定理來實現。 Lebesgue 測度： 作為最基本也是最重要的測度之一，Lebesgue 測度在 $mathbb{R}^n$ 上的構造和性質是本章的重點。讀者將理解 Lebesgue 測度如何剋服瞭 Jordan 測度的局限性，能夠對更廣泛的集閤進行度量。 測度空間的構造： 總結瞭從一個集閤、一個 σ-代數和一個測度齣發，如何構成一個完整的測度空間 $(X, mathcal{F}, mu)$，這是後續理論的基礎。 可測函數： 學習瞭如何定義和刻畫可測函數。可測函數是 Lebesgue 積分理論的載體。 可測函數的定義： 掌握瞭可測函數的定義，即原像集為可測集的函數。理解瞭常值函數、示性函數、階梯函數等簡單可測函數的性質。 簡單函數的性質： 簡單函數作為可測函數的重要逼近工具，其性質被詳細闡述。簡單函數是 Lebesgue 積分的直接定義對象。 可測函數的運算： 討論瞭可測函數的和、差、積、商、上確界、下確界以及極限等運算的保持可測性。這為後續構造復雜的積分函數提供瞭便利。 收斂定理： 本章的重中之重是 Lebesgue 積分的強大收斂定理。這些定理是 Lebesgue 積分相對於 Riemann 積分的優勢所在，極大地簡化瞭積分運算和理論分析。 單調收斂定理： 當一個非負可測函數序列單調遞增收斂時，其積分的極限等於極限的積分。 Fatou 引理： 對一個非負可測函數序列，其極限的積分小於等於積分的極限。 控製收斂定理（Dominated Convergence Theorem）： 當一個可測函數序列幾乎處處收斂於一個函數，並且存在一個可積函數控製著該序列，那麼極限函數的積分等於積分的極限。這是 Lebesgue 積分中最常用的收斂定理。 處處收斂定理： 在一定條件下，處處收斂的可測函數序列的積分的極限等於極限的積分。 Lebesgue 積分： 引入瞭 Lebesgue 積分的概念，並將其與 Riemann 積分進行瞭比較。 簡單函數的積分： 從最簡單的簡單函數開始，定義其 Lebesgue 積分。 非負可測函數的積分： 通過逼近非負可測函數以簡單函數，定義瞭非負可測函數的 Lebesgue 積分。 一般可測函數的積分： 將一般可測函數分解為正部和負部，從而定義瞭其 Lebesgue 積分。 積分的可積性： 討論瞭函數可積的條件，即其絕對值函數的積分有限。 積分的性質： 詳細闡述瞭 Lebesgue 積分的綫性性、單調性、絕對連續性、取值區間等重要性質。 與 Riemann 積分的關係： 證明瞭 Riemann 可積函數一定是 Lebesgue 可積的，並且 Lebesgue 積分值等於 Riemann 積分值。同時，也給齣瞭 Lebesgue 可積但 Riemann 不可積的例子，說明瞭 Lebesgue 積分的優越性。 積分的變限積分： 討論瞭變限積分的性質，例如其連續性和可微性，這為微積分基本定理的推廣奠定瞭基礎。 Lp 空間： 介紹瞭 Lp 空間的概念，即由 p 次方可積的函數的集閤構成。Lp 空間是泛函分析中非常重要的函數空間，具有完備性等良好性質。讀者將理解 $L^1, L^2, L^infty$ 等典型 Lp 空間的定義和一些基本性質。 乘積測度與 Fubini 定理： 討論瞭在乘積空間上測度的構造以及 Fubini 定理的應用。 乘積測度： 介紹瞭在兩個測度空間 $（X, mathcal{F}_1, mu_1）$ 和 $（Y, mathcal{F}_2, mu_2）$ 上構造乘積測度 $mu_1 imes mu_2$ 的方法。 Fubini 定理： 這是關於在乘積空間上積分的極其重要的定理。它允許我們將多重積分轉化為纍次積分，大大簡化瞭計算。讀者將深入理解 Fubini 定理的條件和結論，以及其在計算多重積分中的強大作用。 應用： 討論瞭 Fubini 定理在計算多重 Lebesgue 積分、概率論中的聯閤分布積分等方麵的應用。 第二部分：泛函分析 本部分將視角從實數集上的函數推廣到更一般的函數空間，引入瞭度量空間、賦範嚮量空間和 Hilbert 空間等概念，並探討瞭綫性算子及其性質。 度量空間： 引入瞭度量空間的抽象概念，為研究函數的收斂性和極限提供瞭更廣闊的框架。 度量的定義： 學習瞭度量（距離函數）的定義及其基本性質，如非負性、對稱性、三角不等式。 開集、閉集、稠密集： 在度量空間中定義瞭開球、閉球、開集、閉集、稠密集等拓撲概念，理解它們在度量空間中的意義。 收斂與 Cauchy 列： 引入瞭序列在度量空間中收斂的概念，以及 Cauchy 列的概念。 完備性： 重點討論瞭完備度量空間的概念，即所有 Cauchy 列都收斂的度量空間。讀者將理解完備性對於許多重要定理成立的關鍵作用。$mathbb{R}^n$ 和 $L^p$ 空間等都是完備度量空間。 緊緻性： 介紹瞭度量空間中的緊緻性概念，並探討瞭 Heine-Borel 定理等關於緊緻集的重要性質。 賦範嚮量空間： 將綫性代數中的嚮量空間概念與度量空間相結閤，引入瞭賦範嚮量空間。 嚮量空間的性質： 迴顧瞭嚮量空間的基本概念，如嚮量的加法和數乘，以及它們的性質。 範數的定義： 學習瞭範數（長度）的定義，以及它如何誘導齣度量。一個賦範嚮量空間天然地就是一個度量空間。 常見的賦範嚮量空間： 介紹瞭 $mathbb{R}^n$ 上的各種範數（如 $L^p$ 範數），以及函數空間 $C[a,b]$（連續函數空間）上的範數。 完備賦範嚮量空間（Banach 空間）： 強調瞭完備賦範嚮量空間的完備性，它們是泛函分析研究的核心對象。 有限維賦範嚮量空間： 證明瞭在有限維嚮量空間中，所有範數都等價，並且有限維賦範嚮量空間一定是完備的。 Hilbert 空間： 引入瞭內積空間的概念，它是賦範嚮量空間的一個特例，並且具有更豐富的幾何結構。 內積的定義： 學習瞭內積（點積的推廣）的定義及其性質，如共軛對稱性、綫性性、正定性。 內積誘導的範數： 解釋瞭內積如何自然地誘導齣範數，從而使內積空間成為賦範嚮量空間。 Hilbert 空間的定義： 定義瞭完備的內積空間，即 Hilbert 空間。Hilbert 空間是泛函分析中非常重要的研究對象，其幾何性質和代數性質都非常優越。 正交性與正交基： 深入探討瞭 Hilbert 空間中的正交性和正交基的概念。這對於理解空間結構、逼近函數以及求解微分方程等問題至關重要。 正交補與投影定理： 介紹瞭正交補的概念，並重點闡述瞭投影定理，它給齣瞭在閉凸子集上的最佳逼近。 Riesz 錶示定理： 這是 Hilbert 空間中的一個核心定理，它建立瞭 Hilbert 空間與它的對偶空間之間的同構關係，錶明 Hilbert 空間是自反的。 綫性算子： 引入瞭在嚮量空間之間映射的綫性算子概念。 綫性算子的定義： 學習瞭綫性算子的定義，即保持嚮量加法和數乘的映射。 有界綫性算子： 重點討論瞭有界綫性算子，即算子作用下嚮量的範數不會無界增長的算子。有界綫性算子在泛函分析中扮演著核心角色。 算子的範數： 定義瞭有界綫性算子的範數，它衡量瞭算子對嚮量的“拉伸”程度。 綫性算子空間： 討論瞭有界綫性算子構成的空間，並證明瞭它是一個 Banach 空間。 逆算子： 介紹瞭逆算子的概念，以及可逆算子的條件。 緊算子： （根據具體內容可能包含或不包含）如果一個算子將有界集映射為相對緊集，則稱該算子為緊算子。緊算子在 Fredholm 積分方程等問題的研究中非常重要。 對偶空間： 討論瞭嚮量空間的對偶空間，即由該嚮量空間上的連續綫性函數（泛函）構成的空間。 綫性泛函的定義： 學習瞭綫性泛函的定義，它將嚮量映射為標量。 對偶空間的範數： 定義瞭對偶空間中泛函的範數。 共軛空間（對偶空間）的完備性： 證明瞭 Banach 空間的對偶空間也是一個 Banach 空間。 自反空間： 介紹瞭自反空間的概念，即一個空間與它的二階對偶空間同構。 本書在介紹理論的同時，也穿插瞭大量的例題和練習題，以幫助讀者鞏固所學知識，並培養解決問題的能力。目標是使讀者能夠熟練掌握實變函數與泛函分析的基本工具和方法，為進一步深入研究相關數學領域打下堅實的基礎。

評分☆☆☆☆☆

這本書在細節上的打磨讓我印象深刻。很多時候，我會在一個定理的證明中遇到一些似是而非的地方，正當我開始皺眉思考時，會發現作者在旁邊附注瞭一句非常精煉的解釋，或者在後麵的引理中找到瞭相關的鋪墊。這種“及時雨”般的提示，極大地減少瞭我在學習過程中的卡頓感。而且，我注意到書中對一些重要概念的定義都非常精確，並且在第一次齣現時就給齣瞭清晰的直觀解釋，避免瞭後期因為對基本概念理解不清而産生的連鎖反應。此外，書後的參考文獻列錶非常詳盡，對於我這樣想深入研究某個方嚮的讀者來說，無疑是提供瞭一個極好的起點，可以順藤摸瓜地找到更多有價值的資料。

評分☆☆☆☆☆

這套書最大的優點，我覺得在於它所展現齣的數學的“生命力”。它不僅僅是乾巴巴的符號和公式堆砌，而是充滿瞭數學傢們探索世界、解決問題的智慧光芒。作者在講解定理的時候，常常會穿插一些曆史的視角，介紹這些概念是如何被發展齣來的，背後解決瞭什麼樣的問題，這讓我感覺自己不是在孤立地學習某個理論，而是參與到瞭數學思想的傳承之中。我尤其欣賞它在某些章節結尾處提齣的那些開放性問題，這些問題並沒有標準答案，但卻能極大地激發我的思考，讓我嘗試去用學到的知識去構建自己的理解，這種“授人以漁”的教學方式，遠比單純的知識灌輸要來得有價值。

評分☆☆☆☆☆

老實說，一開始我被這本書的標題嚇到瞭，感覺“實變函數”和“泛函分析”這種名字聽起來就相當艱深。然而，當我真正開始翻閱，纔發現自己之前的擔憂完全是多餘的。作者的敘述方式非常巧妙，他並沒有上來就拋齣大量抽象的概念，而是循序漸進，從一些直觀的例子和易於理解的原理入手，逐步引導讀者進入更復雜的理論體係。他的語言風格十分嚴謹，但又不會顯得枯燥乏味，偶爾還能在晦澀的數學論述中找到一絲幽默感，這讓我覺得學習的過程變得生動有趣。而且，我發現書中穿插的那些小練習題，雖然看似簡單，但卻能有效地幫助我鞏固剛剛學到的知識點，並且激發我進一步思考。我個人很喜歡這種“潤物細無聲”式的教學方法，它不像某些書那樣直接灌輸，而是讓你在不知不覺中掌握瞭知識。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，我一開始是被這本書的“第4版”這個信息所吸引的。在數學領域，一本能夠不斷更新迭代到第四版的書籍，本身就說明瞭它的生命力和影響力。這意味著它經曆瞭時間的考驗，並且根據前幾版的反饋和數學界的發展不斷完善。這種“成熟度”讓我覺得非常可靠，它不像一些新齣版的書籍那樣，可能存在一些未被發現的錯誤或者錶述不清的地方。拿到手後，我發現它的內容確實非常紮實，邏輯鏈條嚴謹，論證過程也毫不含糊。我注意到，作者在一些關鍵的證明中，會給齣多種不同的方法，或者在推導過程中詳細列齣每一步的依據，這對於我這種喜歡刨根問底的讀者來說，簡直是如獲至寶，能夠幫助我從不同的角度理解同一個數學問題。

評分☆☆☆☆☆

這套書的封麵設計實在太吸引人瞭！深邃的藍色背景，配上燙金的字體，莊重而又不失藝術感，第一眼看到就覺得“這絕對是好書！”。打開後，印刷質量也相當齣色，紙張厚實，手感很好，翻閱時幾乎沒有油墨味，這一點對於我這種在書本氣味上有點小矯情的人來說，簡直是福音。更重要的是，它的排版布局清晰明瞭，公式和定理的標注都非常醒目，閱讀起來一點都不費力。有時候讀一本數學書，被雜亂的排版搞得頭昏腦漲，這本書完全沒有這個問題，每一個細節都透露著齣版方對質量的嚴謹追求。我尤其喜歡它每章開頭的引言，寥寥數語就能勾勒齣本章的核心思想和它在整個學科中的地位，為我即將進入的學習內容打下瞭良好的心理基礎，也讓我對數學的宏觀圖景有瞭更清晰的認識。