实变函数与泛函分析概要（第1册 第4版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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郑维行，王声望 编

图书标签:

• 实变函数
• 泛函分析
• 数学分析
• 高等数学
• 数学教材
• 理论基础
• 科大出版社
• 第四版
• 数学专业
• 分析学

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040292206

版次：4

商品编码：12274048

包装：平装

丛书名： “十二五”普通高等教育本科国家级规划教材

开本：32开

出版时间：2010-07-01

用纸：胶版纸

页数：284

字数：230000

正文语种：中文

内容简介

　　《实变函数与泛函分析概要（第1册 第4版）》除了尽量保持内容精选、适用性较广外，尽力做到可读性强，便于备课、讲授及学习。修订时吸收了教学中的建议，增添了少量重要内容与习题，一些习题还给出提示。
　　全书分两册。第1册包含集与点集、勒贝格测度、可测函数、勒贝格积分与函数空间五章，第二册介绍距离空间、巴拿赫空间与希尔伯特空间、巴拿赫空间上的有界线性算子，以及希尔伯特空间上的有界线性算子四章。考虑到现行学时的安排，第二册篇幅作了较大调整。
　　《实变函数与泛函分析概要（第1册 第4版）》每章附有小结，指出要点所在。习题较为丰富，供教学时选用。
　　《实变函数与泛函分析概要（第1册 第4版）》可作为综合大学、理工大学、师范院校数学类专业的教学用书，也可作为有关研究生与自学者的参考书。学习《实变函数与泛函分析概要（第1册 第4版）》的预备知识为数学分析、线性代数、复变函数的主要内容。

内页插图

目录

第一章 集与点集
1 集及其运算
2 映射·集的对等·可列集
3 一维开集、闭集及其性质
4 开集的构造
5 集的势·序集
第一章习题

第二章 勒贝格测度
1 引言
2 有界点集的外、内测度·可测集
3 可测集的性质
4 关于测度的几点评注
5 环与环上定义的测度
6 环上外测度·可测集·测度的扩张
7 广义测度
第二章习题

第三章 可测函数
1 可测函数的基本性质
2 可测函数列的收敛性
3 可测函数的构造
第三章习题

第四章 勒贝格积分
1 勒贝格积分的引人
2 积分的性质
3 积分序列的极限
4 R积分与L积分的比较
5 乘积测度与傅比尼定理
6 微分与积分
7 勒贝格－斯蒂尔切斯积分概念
第四章习题

第五章 函数空间
1 空间·完备性
2 空间的可分性
3 傅里叶变换概要
第五章习题

参考书目与文献
索引

前言/序言

　　本书是普通高等教育“十一五”国家级规划教材，在第三版的基础上修订编写而成。自2005年第三版以来，收到很多读者提出的宝贵意见，本校师维学、代雄平、栗付才、钟承奎几位教授及南京大学2006届数学系的同学在教学和使用过程中，都对本书提出了不少有益的意见和建议。本次修订在充分吸收这些意见和建议的基础上，考虑到现行学时的安排，在篇幅上进行了较大的调整，增加了关于依测度基本列概念与积分列的勒贝格一维它利定理，删去广义函数、解析算子演算、酉算子、正常算子的谱分解定理等内容，习题量进行了扩充以供选用，一些要点给予特别提示以利教学，对理论的论述、安排与例证均进行了推敲使其可读性更强，便于备课、讲授与学习。同时，还注意吸取国内外一些新教材的长处。
　　本书第一版时的初稿曾得到程其襄、严绍宗、王斯雷、张奠宙、徐荣权、俞致寿教授等的细心审查与认真讨论，曾远荣、江泽坚、夏道行教授专门审阅了手稿，函数论教研室的马吉溥、苏维宜、任福贤、何泽霖、宋国柱、王巧玲、王崇祜、华茂芬等同志也协助阅读了手稿，并参加了部分修改工作。在此谨向所有对本书提出意见和建议的专家、广大教师与读者表示衷心感谢，书中一丝一毫的改进均是与他们分不开的。虽然我们作了一定的努力，但书中的谬误想必难免，盼望专家与读者们不吝指正。

《实变函数与泛函分析概要（第1册 第4版）》内容概要 本书旨在为读者构建一个扎实的实变函数与泛函分析理论基础，涵盖了该领域的核心概念、重要定理以及经典的应用。全书力求逻辑严谨，内容精炼，为进一步深入学习更高级的数学分支奠定坚实基石。 第一部分：实变函数 本部分着重于对测度论和勒贝格积分的深入探讨。 集合与测度： 引入了集合论的基本概念，包括集合、子集、并集、交集、补集等。在此基础上，重点介绍了可测集和σ-代数。σ-代数是测度理论的核心结构，它定义了“可测”这一概念，保证了我们能够对集合进行有意义的度量。读者将学习如何构造更复杂的 σ-代数，例如由单个集合生成的 σ-代数，以及 Borel 集的定义。 Borel 集： 这是实数集上一个非常重要的可测集族，它由开集通过可数次交、并、差运算得到。Borel 集在数学分析、概率论等领域有着广泛的应用。 测度： 测度的概念是对长度、面积、体积等概念的推广。本书将详细介绍测度的定义，包括非负性、可数可加性等性质。 外测度与测度： 讨论了外测度的定义及其性质，并阐述了如何从外测度构造出真正的测度，这通常通过 Carathéodory 定理来实现。 Lebesgue 测度： 作为最基本也是最重要的测度之一，Lebesgue 测度在 $mathbb{R}^n$ 上的构造和性质是本章的重点。读者将理解 Lebesgue 测度如何克服了 Jordan 测度的局限性，能够对更广泛的集合进行度量。 测度空间的构造： 总结了从一个集合、一个 σ-代数和一个测度出发，如何构成一个完整的测度空间 $(X, mathcal{F}, mu)$，这是后续理论的基础。 可测函数： 学习了如何定义和刻画可测函数。可测函数是 Lebesgue 积分理论的载体。 可测函数的定义： 掌握了可测函数的定义，即原像集为可测集的函数。理解了常值函数、示性函数、阶梯函数等简单可测函数的性质。 简单函数的性质： 简单函数作为可测函数的重要逼近工具，其性质被详细阐述。简单函数是 Lebesgue 积分的直接定义对象。 可测函数的运算： 讨论了可测函数的和、差、积、商、上确界、下确界以及极限等运算的保持可测性。这为后续构造复杂的积分函数提供了便利。 收敛定理： 本章的重中之重是 Lebesgue 积分的强大收敛定理。这些定理是 Lebesgue 积分相对于 Riemann 积分的优势所在，极大地简化了积分运算和理论分析。 单调收敛定理： 当一个非负可测函数序列单调递增收敛时，其积分的极限等于极限的积分。 Fatou 引理： 对一个非负可测函数序列，其极限的积分小于等于积分的极限。 控制收敛定理（Dominated Convergence Theorem）： 当一个可测函数序列几乎处处收敛于一个函数，并且存在一个可积函数控制着该序列，那么极限函数的积分等于积分的极限。这是 Lebesgue 积分中最常用的收敛定理。 处处收敛定理： 在一定条件下，处处收敛的可测函数序列的积分的极限等于极限的积分。 Lebesgue 积分： 引入了 Lebesgue 积分的概念，并将其与 Riemann 积分进行了比较。 简单函数的积分： 从最简单的简单函数开始，定义其 Lebesgue 积分。 非负可测函数的积分： 通过逼近非负可测函数以简单函数，定义了非负可测函数的 Lebesgue 积分。 一般可测函数的积分： 将一般可测函数分解为正部和负部，从而定义了其 Lebesgue 积分。 积分的可积性： 讨论了函数可积的条件，即其绝对值函数的积分有限。 积分的性质： 详细阐述了 Lebesgue 积分的线性性、单调性、绝对连续性、取值区间等重要性质。 与 Riemann 积分的关系： 证明了 Riemann 可积函数一定是 Lebesgue 可积的，并且 Lebesgue 积分值等于 Riemann 积分值。同时，也给出了 Lebesgue 可积但 Riemann 不可积的例子，说明了 Lebesgue 积分的优越性。 积分的变限积分： 讨论了变限积分的性质，例如其连续性和可微性，这为微积分基本定理的推广奠定了基础。 Lp 空间： 介绍了 Lp 空间的概念，即由 p 次方可积的函数的集合构成。Lp 空间是泛函分析中非常重要的函数空间，具有完备性等良好性质。读者将理解 $L^1, L^2, L^infty$ 等典型 Lp 空间的定义和一些基本性质。 乘积测度与 Fubini 定理： 讨论了在乘积空间上测度的构造以及 Fubini 定理的应用。 乘积测度： 介绍了在两个测度空间 $（X, mathcal{F}_1, mu_1）$ 和 $（Y, mathcal{F}_2, mu_2）$ 上构造乘积测度 $mu_1 imes mu_2$ 的方法。 Fubini 定理： 这是关于在乘积空间上积分的极其重要的定理。它允许我们将多重积分转化为累次积分，大大简化了计算。读者将深入理解 Fubini 定理的条件和结论，以及其在计算多重积分中的强大作用。 应用： 讨论了 Fubini 定理在计算多重 Lebesgue 积分、概率论中的联合分布积分等方面的应用。 第二部分：泛函分析 本部分将视角从实数集上的函数推广到更一般的函数空间，引入了度量空间、赋范向量空间和 Hilbert 空间等概念，并探讨了线性算子及其性质。 度量空间： 引入了度量空间的抽象概念，为研究函数的收敛性和极限提供了更广阔的框架。 度量的定义： 学习了度量（距离函数）的定义及其基本性质，如非负性、对称性、三角不等式。 开集、闭集、稠密集： 在度量空间中定义了开球、闭球、开集、闭集、稠密集等拓扑概念，理解它们在度量空间中的意义。 收敛与 Cauchy 列： 引入了序列在度量空间中收敛的概念，以及 Cauchy 列的概念。 完备性： 重点讨论了完备度量空间的概念，即所有 Cauchy 列都收敛的度量空间。读者将理解完备性对于许多重要定理成立的关键作用。$mathbb{R}^n$ 和 $L^p$ 空间等都是完备度量空间。 紧致性： 介绍了度量空间中的紧致性概念，并探讨了 Heine-Borel 定理等关于紧致集的重要性质。 赋范向量空间： 将线性代数中的向量空间概念与度量空间相结合，引入了赋范向量空间。 向量空间的性质： 回顾了向量空间的基本概念，如向量的加法和数乘，以及它们的性质。 范数的定义： 学习了范数（长度）的定义，以及它如何诱导出度量。一个赋范向量空间天然地就是一个度量空间。 常见的赋范向量空间： 介绍了 $mathbb{R}^n$ 上的各种范数（如 $L^p$ 范数），以及函数空间 $C[a,b]$（连续函数空间）上的范数。 完备赋范向量空间（Banach 空间）： 强调了完备赋范向量空间的完备性，它们是泛函分析研究的核心对象。 有限维赋范向量空间： 证明了在有限维向量空间中，所有范数都等价，并且有限维赋范向量空间一定是完备的。 Hilbert 空间： 引入了内积空间的概念，它是赋范向量空间的一个特例，并且具有更丰富的几何结构。 内积的定义： 学习了内积（点积的推广）的定义及其性质，如共轭对称性、线性性、正定性。 内积诱导的范数： 解释了内积如何自然地诱导出范数，从而使内积空间成为赋范向量空间。 Hilbert 空间的定义： 定义了完备的内积空间，即 Hilbert 空间。Hilbert 空间是泛函分析中非常重要的研究对象，其几何性质和代数性质都非常优越。 正交性与正交基： 深入探讨了 Hilbert 空间中的正交性和正交基的概念。这对于理解空间结构、逼近函数以及求解微分方程等问题至关重要。 正交补与投影定理： 介绍了正交补的概念，并重点阐述了投影定理，它给出了在闭凸子集上的最佳逼近。 Riesz 表示定理： 这是 Hilbert 空间中的一个核心定理，它建立了 Hilbert 空间与它的对偶空间之间的同构关系，表明 Hilbert 空间是自反的。 线性算子： 引入了在向量空间之间映射的线性算子概念。 线性算子的定义： 学习了线性算子的定义，即保持向量加法和数乘的映射。 有界线性算子： 重点讨论了有界线性算子，即算子作用下向量的范数不会无界增长的算子。有界线性算子在泛函分析中扮演着核心角色。 算子的范数： 定义了有界线性算子的范数，它衡量了算子对向量的“拉伸”程度。 线性算子空间： 讨论了有界线性算子构成的空间，并证明了它是一个 Banach 空间。 逆算子： 介绍了逆算子的概念，以及可逆算子的条件。 紧算子： （根据具体内容可能包含或不包含）如果一个算子将有界集映射为相对紧集，则称该算子为紧算子。紧算子在 Fredholm 积分方程等问题的研究中非常重要。 对偶空间： 讨论了向量空间的对偶空间，即由该向量空间上的连续线性函数（泛函）构成的空间。 线性泛函的定义： 学习了线性泛函的定义，它将向量映射为标量。 对偶空间的范数： 定义了对偶空间中泛函的范数。 共轭空间（对偶空间）的完备性： 证明了 Banach 空间的对偶空间也是一个 Banach 空间。 自反空间： 介绍了自反空间的概念，即一个空间与它的二阶对偶空间同构。 本书在介绍理论的同时，也穿插了大量的例题和练习题，以帮助读者巩固所学知识，并培养解决问题的能力。目标是使读者能够熟练掌握实变函数与泛函分析的基本工具和方法，为进一步深入研究相关数学领域打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，我一开始是被这本书的“第4版”这个信息所吸引的。在数学领域，一本能够不断更新迭代到第四版的书籍，本身就说明了它的生命力和影响力。这意味着它经历了时间的考验，并且根据前几版的反馈和数学界的发展不断完善。这种“成熟度”让我觉得非常可靠，它不像一些新出版的书籍那样，可能存在一些未被发现的错误或者表述不清的地方。拿到手后，我发现它的内容确实非常扎实，逻辑链条严谨，论证过程也毫不含糊。我注意到，作者在一些关键的证明中，会给出多种不同的方法，或者在推导过程中详细列出每一步的依据，这对于我这种喜欢刨根问底的读者来说，简直是如获至宝，能够帮助我从不同的角度理解同一个数学问题。

评分☆☆☆☆☆

这本书在细节上的打磨让我印象深刻。很多时候，我会在一个定理的证明中遇到一些似是而非的地方，正当我开始皱眉思考时，会发现作者在旁边附注了一句非常精炼的解释，或者在后面的引理中找到了相关的铺垫。这种“及时雨”般的提示，极大地减少了我在学习过程中的卡顿感。而且，我注意到书中对一些重要概念的定义都非常精确，并且在第一次出现时就给出了清晰的直观解释，避免了后期因为对基本概念理解不清而产生的连锁反应。此外，书后的参考文献列表非常详尽，对于我这样想深入研究某个方向的读者来说，无疑是提供了一个极好的起点，可以顺藤摸瓜地找到更多有价值的资料。

评分☆☆☆☆☆

这套书的封面设计实在太吸引人了！深邃的蓝色背景，配上烫金的字体，庄重而又不失艺术感，第一眼看到就觉得“这绝对是好书！”。打开后，印刷质量也相当出色，纸张厚实，手感很好，翻阅时几乎没有油墨味，这一点对于我这种在书本气味上有点小矫情的人来说，简直是福音。更重要的是，它的排版布局清晰明了，公式和定理的标注都非常醒目，阅读起来一点都不费力。有时候读一本数学书，被杂乱的排版搞得头昏脑涨，这本书完全没有这个问题，每一个细节都透露着出版方对质量的严谨追求。我尤其喜欢它每章开头的引言，寥寥数语就能勾勒出本章的核心思想和它在整个学科中的地位，为我即将进入的学习内容打下了良好的心理基础，也让我对数学的宏观图景有了更清晰的认识。

评分☆☆☆☆☆

老实说，一开始我被这本书的标题吓到了，感觉“实变函数”和“泛函分析”这种名字听起来就相当艰深。然而，当我真正开始翻阅，才发现自己之前的担忧完全是多余的。作者的叙述方式非常巧妙，他并没有上来就抛出大量抽象的概念，而是循序渐进，从一些直观的例子和易于理解的原理入手，逐步引导读者进入更复杂的理论体系。他的语言风格十分严谨，但又不会显得枯燥乏味，偶尔还能在晦涩的数学论述中找到一丝幽默感，这让我觉得学习的过程变得生动有趣。而且，我发现书中穿插的那些小练习题，虽然看似简单，但却能有效地帮助我巩固刚刚学到的知识点，并且激发我进一步思考。我个人很喜欢这种“润物细无声”式的教学方法，它不像某些书那样直接灌输，而是让你在不知不觉中掌握了知识。

评分☆☆☆☆☆

这套书最大的优点，我觉得在于它所展现出的数学的“生命力”。它不仅仅是干巴巴的符号和公式堆砌，而是充满了数学家们探索世界、解决问题的智慧光芒。作者在讲解定理的时候，常常会穿插一些历史的视角，介绍这些概念是如何被发展出来的，背后解决了什么样的问题，这让我感觉自己不是在孤立地学习某个理论，而是参与到了数学思想的传承之中。我尤其欣赏它在某些章节结尾处提出的那些开放性问题，这些问题并没有标准答案，但却能极大地激发我的思考，让我尝试去用学到的知识去构建自己的理解，这种“授人以渔”的教学方式，远比单纯的知识灌输要来得有价值。