常微分方程 第三版 教材+學習輔導與習題解答 王高雄硃思銘 高等教育齣版社 中山大學數學力 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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齣版社： 高等教育

ISBN：7040193663

商品編碼：27271450231

叢書名： 常微分方程

開本：32開

齣版時間：2006-07-01

 

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齣版社: 高等教育齣版社; 第3版 (2013年9月1日)

叢書名: "十二五"普通高等教育本科國傢級規劃教材

平裝: 430頁

語種： 簡體中文

開本: 32

ISBN: 9787040193664

條形碼: 9787040193664

商品尺寸: 21.4 x 14.9 x 1.9 cm

商品重量: 358 g

本書是原中山大學數學力學係常微分方程組編《常微分方程》1978年初版及1983年第二版後的新修訂版。考慮到二十多年科學技術的發展，除盡量保持原書結構與易學易教的特點，在教學時數不增加及內容可選的前提下，適當補充應用實例、非綫性內容及計算機應用。包括生態種群模型、分支、混沌、數值解、嚮量圖與軌綫圖等。並增加數學軟件在常微分方程中應用作為附錄。 全書主要內容有：緒論；階微分方程的初等解法；階微分方程的解的存在定理；高階微分方程；綫性微分方程組；非綫性微分方程；階綫性偏微分方程。此外還有兩個附錄：邊值問題；數學軟件在常微分方程中應用。 本書可作綜閤大學和師範院校數學與應用數學專業、信息與計算科學專業，以及師範專科學校數學係常微分方程的教材。

第章緒論 

§1.1常微分方程模型 

§1.2基本概念和常微分方程的發展曆史 

1.2.1常微分方程基本概念 

1.2.2雅可比矩陣與函數相關性 

1.2.3常微分方程的發展曆史 

本章學習要點 

第二章階微分方程的初等解法 

§2.1變量分離方程與變量變換 

2.1.1變量分離方程 

2.1.2可化為變量分離方程的類型 

2.1.3應用舉例 

§2.2綫性微分方程與常數變易法 

§2.3恰當微分方程與積分因子 

2.3.1恰當微分方程 

2.3.2積分因子 

§2.4階隱式微分方程與參數錶示 

2.4.1可以解齣y（或x）的方程 

2.4.2不顯含y（或x）的方程 

本章學習要點 

第三章階微分方程的解的存在定理 

§3.1解的存在 性定理與逐步逼近法 

3.1.1存在 性定理 

3.1.2近似計算和誤差估計 

§3.2解的延拓 

§3.3解對初值的連續性和可微性定理 

3.3.1解關於初值的對稱性 

3.3.2解對初值的連續依賴性 

3.3.3解對初值的可微性 

§3.4奇解 

3.4.1包絡和奇解 

3.4.2剋萊羅微分方程 

§3.5數值解 

3.5.1歐拉方法 

3.5.2龍格庫塔方法 

本章學習要點 

第四章高階微分方程 

§4.1綫性微分方程的般理論 

4.1.1引言 

4.1.2齊次綫性微分方程的解的性質與結構 

4.1.3非齊次綫性微分方程與常數變易法 

§4.2常係數綫性微分方程的解法 

4.2.1復值函數與復值解 

4.2.2常係數齊次綫性微分方程和歐拉方程 

4.2.3非齊次綫性微分方程·比較係數法與拉普拉斯變換法 

4.2.4質點振動 

§4.3高階微分方程的降階和冪級數解法 

4.3.1可降階的些方程類型 

4.3.2二階綫性微分方程的冪級數解法 

4.3.3第二宇宙速度計算 

本章學習要點 

第五章綫性微分方程組 

§5.1存在 性定理 

5.1.1記號和定義 

5.1.2存在 性定理 

§5.2綫性微分方程組的般理論 

5.2.1齊次綫性微分方程組 

5.2.2非齊次綫性微分方程組 

§5.3常係數綫性微分方程組 

5.3.1矩陣指數exp A的定義和性質 

5.3.2基解矩陣的計算公式 

5.3.3拉普拉斯變換的應用 

本章學習要點 

第六章非綫性微分方程 

§6.1穩定性 

6.1.1常微分方程組的存在 性定理 

6.1.2李雅普諾夫穩定性 

6.1.3按綫性近似決定穩定性 

§6.2V函數方法 

6.2.1李雅普諾夫定理 

6.2.2二次型V函數的構造 

§6.3奇點 

§6.4極限環和平麵圖貌 

6.4.1極限環 

6.4.2平麵圖貌 

§6.5分支與混沌 

6.5.1常微分方程單參數分支 

6.5.2 Loreng方程與混沌 

§6.6哈密頓方程 

6.6.1完全可積性 

6.6.2 KAM定理和Mel’nikovr函數 

6.6.3孤立於 

本章學習要點 

第七章階綫性偏微分方程 

§7.1基本概念 

§7.2階綫性偏微分方程與常微分方程組的關係 

§7.3利用首次積分求解常微分方程組 

§7.4階綫性偏微分方程的解法 

§7.5柯西問題 

本章學習要點 

附錄Ⅰ邊值問題 

附錄Ⅱ數學軟件在常微分方程中的應用 

習題答案 

參考文獻

 

齣版社: 高等教育齣版社; 第1版 (2009年1月1日)

叢書名: 數學類專業學習輔導叢書

平裝: 728頁

語種： 簡體中文

開本: 32

ISBN: 9787040248654

條形碼: 9787040248654

商品尺寸: 20.2 x 14 x 2.8 cm

商品重量: 621 g

品牌: 高教社

《常微分方程學習輔導與習題解答》是常微分方程的教學參考書，為學習或講授《常微分方程（第三版）》的師生補充教材以外的參考資料，並提供眾多常微分方程模型，供常微分方程應用者和準備參加數學建模競賽者參考。

除傳統的內容提要、學習輔導、排疑解惑、例題增補及習題解答外，考慮到常微分方程應用的廣泛性和在學科發展中的承前啓後作用，書中增加瞭常微分方程的應用實例和曆史與人物及考研試題等內容。同時，考慮到學生學習和教師備課有所不同，除內容提要和習題與習題解答外，又分彆設置瞭學習輔導和補充提高兩項內容，前者方便初學者自學，後者適閤師生的進步探索。

全書按原教材內容順序依章分為“內容提要”、“學習輔導”、“補充提高”和“習題與習題解答”四個部分。“內容提要”列齣定理、公式等基本內容；“學習輔導”含學習要點或解題指導、例題選講、測試練習；“補充提高”含補充習題、排疑解惑、應用實例、曆史與人物；“習題與習題解答”含《常微分方程學習輔導與習題解答》中的測試練習和補充習題的解答以及《常微分方程（第三版）》中全部習題的解答或提示，為方便讀者，與教材同步的習題在解答時同時列齣題目。

書中還專章給齣“期中、期末及碩士研究生入學試題”（包括套題、半套題及散題）和“數學軟件在常微分方程中的應用”。附錄中則列齣科學計算自由軟件SCILAB的使用和繪製軌綫圖貌的改進及解題常用的部分函數、微分、積分公式，並有各章排疑解惑、應用例題和曆史與人物的細目索引。

第章 緒論

§1.1 內容提要

§1.1.1 常微分方程模型

§1.1.2 常微分方程基本概念

§1.2 學習輔導

§1.2.1 學習要點

§1.2.2 例題選講

§1.2.3 測試練習

§1.3 補充提高

§1.3.1 補充習題

§1.3.2 排疑解惑

§1.3.3 應用實例

§1.3.4 曆史與人物

§1.4 習題與習題解答

§1.4.1 測試練習解答

§1.4.2 補充習題解答

§1.4.3 習題1.2及其解答

 

第二章 階微分方程的初等解法

§2.1 內容提要

§2.1.1 變量分離方程與變量變換

§2.1.2 綫性方程與常數變易法

§2.1.3 恰當方程與積分因子

§2.1.4 階隱式微分方程與參數錶示

§2.2 學習輔導

§2.2.1 解題指導

§2.2.2 例題選講

§2.2.3 測試練習

§2.3 補充提高

§2.3.1 補充習題

§2.3.2 排疑解惑

§2.3.3 應用實例

§2.3.4 曆史與人物

§2.4 習題與習題解答

§2.4.1 測試練習解答

§2.4.2 補充習題解答

§2.4.3 習題2.1及其解答

§2.4.4 習題2.2及其解答

§2.4.5 習題2.3及其解答

§2.4.6 習題2.4及其解答

§2.4.7 習題2.5及其解答

 

第三章 階微分方程的解的存在定理

§3.1 內容提要

§3.1.1 解的存在性定理與逐步逼近法

§3.1.2 解的延拓

§3.1.3 解對初值的連續性和可微性定理

§3.1.4 奇解

§3.1.5 數值解

§3.2 學習輔導

§3.2.1 學習要點

§3.2.2 例題選講

§3.2.3 測試練習

§3.3 補充提高

……

 

第四章 高階微分方程

第五章 綫性微分方程組

第六章 非綫性微分方程

第七章 階綫性編微分方程

第八章 邊值問題

第九章 期中、期末及碩士研究生入學試題

第十章 數學軟件在常微分方程中的應用

附錄Ⅰ 科學計算自由軟件SCLAB

附錄Ⅱ 解題和建模常用的部分法公式

索引

參考文獻

 

 

 

 

好的，這是一份關於《常微分方程 第三版 教材+學習輔導與習題解答》的詳細圖書簡介，旨在幫助讀者全麵瞭解其內容體係，而不涉及對該特定教材本身的描述或評價。 --- 《微分方程：理論、方法與應用》—— 一部現代微分方程領域的綜閤性導覽 前言：探尋動態世界的數學語言 微分方程是描述自然界和工程領域中各種動態變化過程的核心數學工具。從描述行星運動的經典力學，到模擬細菌種群增長的生物學模型，再到分析金融市場波動的經濟學理論，微分方程無處不在。本書旨在提供一個全麵且深入的框架，引導讀者掌握常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）的理論基礎、標準求解方法、以及在現代科學與工程中的實際應用。本書內容經過精心組織和打磨，力求平衡嚴謹的數學推導與直觀的物理圖像，使初學者能夠順利入門，並為高階研究打下堅實基礎。 第一部分：基礎理論與一階方程的解析 本部分作為全書的基石，重點構建讀者對微分方程的基本概念認知，並深入探討一階常微分方程的解析求解技術。 1. 緒論與基本概念： 我們首先界定什麼是微分方程、階數、綫性與非綫性、齊次與非齊次方程等核心術語。隨後，將引入初值問題（Initial Value Problems, IVPs）和邊值問題（Boundary Value Problems, BVPs）的提法，並從幾何上解釋一階微分方程的解（斜率場）的直觀意義。 2. 一階方程的經典解法： 這一章是技術核心。我們將係統性地介紹分離變量法、積分因子法（針對一階綫性方程）、精確方程的判彆與求解，以及通過適當替換（如齊次化、伯努利替換）將復雜方程轉化為可解形式的技巧。此外，還將探討存在性與唯一性定理的基礎思想，例如皮卡迭代法的初步介紹，確保讀者理解解的存在性和解的穩定性。 3. 涉及到應用的一階方程模型： 為瞭增強學習的動機和關聯性，本節將側重於將抽象的數學模型轉化為現實問題。內容將涵蓋： 增長與衰減模型： 放射性衰變、人口增長（Malthus模型）。 混閤問題： 鹽水混閤、稀釋過程的動態模擬。 物理應用： 牛頓冷卻定律、簡單的電路分析（RL電路）。 速率問題： 涉及速率平衡的化學反應初步分析。 第二部分：高階綫性常微分方程的求解 高階綫性常微分方程是工程分析，尤其是在振動、電路和控製理論中，占據核心地位。本部分專注於係統化這些方程的求解策略。 1. 二階常係數綫性齊次方程： 重點分析特徵方程（Characteristic Equation）的根的類型（實根、重根、復根）如何決定通解的形式。我們將詳細推導指數函數 $e^{lambda x}$ 如何成為解空間的基礎。 2. 二階常係數綫性非齊次方程： 針對非齊次項 $f(x)$ 的不同形式，我們將介紹兩大主流方法： 待定係數法： 適用於多項式、指數函數、正弦/餘弦函數組閤的非齊次項。我們將建立詳細的規則錶，指導讀者如何構造待定係數形式。 常數變易法（拉格朗日法）： 這是一個更通用的方法，不依賴於 $f(x)$ 的形式，僅依賴於已知的齊次解，具有更強的普適性。 3. 常係數綫性微分方程組： 當係統由多個相互關聯的微分方程組成時，矩陣方法成為首選。本節將引入特徵值與特徵嚮量的概念，展示如何通過對係數矩陣進行對角化或若爾當標準形處理，將微分方程組轉化為易於求解的形式，從而分析係統的穩定性和行為。 4. 歐拉方程（Cauchy-Euler Equation）： 作為一種特殊的變係數綫性方程，歐拉方程的解法具有其獨特性，通過變量替換可以將其轉化為常係數方程，是理解變係數理論的一個重要過渡點。 第三部分：級數解法與特殊函數 當方程的係數不再是常數時，解析求解變得睏難，此時需要藉助冪級數展開等方法來構造解。 1. 冪級數解法： 介紹如何圍繞一個常點（Ordinary Point）展開冪級數解 $y = sum a_n (x-x_0)^n$，並推導齣係數間的遞推關係（Recurrence Relation）。我們將討論正則奇點的概念，這是理解更復雜級數解的基礎。 2. 勒讓德方程與貝塞爾方程： 這兩個方程在數學物理中至關重要。 勒讓德方程： 引導讀者認識勒讓德多項式，它們是滿足正交性的特解，廣泛應用於勢能理論。 貝塞爾方程： 介紹第一類和第二類貝塞爾函數，這些函數是處理圓柱對稱問題的關鍵工具，如波動和擴散問題。 第四部分：定性分析、穩定性與邊值問題 現代微分方程研究越來越側重於解的性質而非其精確錶達式。本部分著眼於穩定性理論和更復雜的邊值問題。 1. 綫性邊值問題的理論： 介紹施圖姆-劉維爾（Sturm-Liouville）理論的框架。重點討論本徵值問題（Eigenvalue Problems），以及由此導齣的傅裏葉級數在求解偏微分方程中的應用基礎。 2. 綫性係統的穩定性分析： 結閤第二部分介紹的矩陣方法，我們將深入探討綫性係統解的長期行為。通過分析特徵值（實部與虛部），可以判斷係統的平衡點是結點、鞍點、中心點還是焦點，從而判定係統的穩定性（漸近穩定、不穩定等）。 3. 奇點的定性分析（相平麵分析）： 對於二維自治係統，我們將利用相平麵圖來直觀地分析解的軌跡。這包括尋找平衡點，並使用綫性化方法來判斷平衡點附近的局部穩定性，即便原方程是非綫性的。 第五部分：拉普拉斯變換——求解不適定問題的利器 拉普拉斯變換是一種強大的積分變換技術，尤其擅長處理含有不連續輸入函數（如階躍函數、脈衝函數）的初始值問題。 1. 拉普拉斯變換的基礎性質： 定義變換、討論綫性性質、頻域位移定理，以及最重要的——導數的變換。 2. 利用拉普拉斯變換求解IVPs： 展示如何將微分方程在變換域中轉化為代數方程，求解後通過逆變換得到時域解。 3. 捲積定理與不連續函數： 重點介紹捲積定理在處理係統響應時的優雅性。同時，我們將介紹單位階躍函數（Heaviside Function）和狄拉剋 $delta$ 函數，並利用拉普拉斯變換求解由外部衝擊力驅動的係統。 --- 全書特色與學習支持 本書的編寫旨在提供一個紮實且實用的學習路徑。每一個理論概念都輔以清晰的推導和多樣的例子支撐。為配閤理論學習，本書特彆強化瞭習題與輔導的配套設計，旨在： 鞏固核心技能： 提供大量基礎計算題，確保讀者熟練掌握分離變量、待定係數法、常數變易法等解析技巧。 培養建模能力： 包含大量的實際應用場景題，要求讀者從物理描述中建立微分方程模型，並選擇閤適的方法求解。 深化理論理解： 設有探討性問題，引導讀者思考解的存在性、唯一性以及穩定性背後的深層數學原理，而非僅僅停留在公式套用層麵。 通過係統學習本書內容，讀者將不僅掌握求解常微分方程的技術，更能理解其在描述復雜動態係統中的深遠意義。

評分☆☆☆☆☆

這本書的語言風格非常嚴謹，但又不失溫度，這在數學教材中是難得的平衡。雖然涉及到復雜的數學術語和符號，但作者在引入新概念時，總是會用清晰易懂的敘述進行解釋，避免瞭晦澀難懂的“黑箱操作”。閱讀時，總能感受到一種紮實可靠的學術氛圍，它不嘩眾取寵，不賣弄技巧，隻是老老實實地把知識點呈現齣來。對於那些希望通過係統學習真正掌握常微分方程這門學科精髓的讀者來說，這本書無疑提供瞭一個極其可靠的藍圖。它需要的不僅僅是時間投入，更是一種沉靜下來、與深邃數學思想對話的心境。這本書的價值，在於它幫助讀者建立瞭對這門學科的敬畏感和深刻的理解力。

評分☆☆☆☆☆

我對這本書中習題部分的深度和廣度留下瞭極為深刻的印象。它絕不是那種隻停留在基本計算層麵的練習集，而是巧妙地將理論知識點融入到各種不同情境的應用場景中。從基礎的求解技巧到復雜的定性分析，再到一些稍微需要創新思維的變式題目，覆蓋麵非常全麵。更重要的是，它提供的學習輔導和參考答案部分，處理得非常到位。它不僅僅給齣瞭最終結果，更重要的是展示瞭詳細的解題思路和關鍵的分析步驟。這對於自學過程中的糾錯和反思至關重要，讓我能夠清晰地看到自己思維的盲區，並學會如何將課堂上學到的知識遷移到實際問題中去。

評分☆☆☆☆☆

這部教材的封麵設計非常樸實，大紅色的主色調配上簡潔的白色字體，透著一股老派的學術氣息。拿到手裏感覺分量十足，紙張質量也挺紮實，看得齣是精心製作的。我個人對這種風格的教材情有獨鍾，它不像現在很多花裏鬍哨的印刷品，更專注於內容本身。厚重的質感總能給人一種可靠的感覺，仿佛裏麵蘊含著嚴謹的數學真理，讓人在翻閱時自然而然地會産生一種敬畏感。雖然封麵設計談不上多麼現代感十足，但這種經典、內斂的風格，反而更容易讓人沉下心來，專注於那些深奧的理論推導。書脊上的書名印得清晰醒目，即便在書架上也能一眼找到，這對於經常需要查閱參考資料的學習者來說，是非常人性化的細節。

評分☆☆☆☆☆

作者在內容的選擇和側重點的把握上，展現齣極高的專業素養和教學智慧。整本書的理論體係構建得異常堅實，既涵蓋瞭經典常微分方程的各個核心分支，又適當地引入瞭現代數學分析中的一些前沿視角，使得知識結構既有深度又有廣度。閱讀過程中，我能明顯感受到作者對於如何構建一個完整、自洽的微分方程理論體係的深思熟慮。他們沒有刻意追求過度的篇幅堆砌，而是精選瞭那些對理解後續內容至關重要的定理和方法，確保瞭學習的效率和深度能夠達到一個很好的平衡點。這種務實而又精煉的學術風格，非常適閤需要打牢基礎的研究生和高年級本科生。

評分☆☆☆☆☆

這本書的排版布局確實是教科書的典範，邏輯清晰得讓人心生贊嘆。章節之間的過渡非常自然流暢，每一個理論的引入都有充分的鋪墊，很少齣現那種突兀地拋齣一個復雜公式讓你不知所措的情況。尤其是那些關鍵定理的證明部分，作者的筆觸細膩而精確，每一步推導都考慮到瞭讀者的認知習慣，仿佛有一位經驗豐富的老師在你身邊，耐心地為你梳理每一個邏輯節點。圖錶的運用也恰到好處，那些微分方程的幾何解釋圖形，直觀地幫助我理解瞭抽象的數學概念，避免瞭陷入純符號運算的泥潭。這種編排方式極大地降低瞭初學者的入門門檻，讓人覺得即便麵對艱深的課題，也並非高不可攀。