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美 鲍德 Stephen Boyd Lieven 著

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出版社： 清华大学出版社

ISBN：9787302297567

商品编码：28280441967

包装：平装

出版时间：2013-01-01

基本信息

书名：凸优化

定价：99.00元

作者：(美) 鲍德 (Stephen Boyd) Lieven Vandenbe

出版社：清华大学出版社

出版日期：2013-01-01

ISBN：9787302297567

字数：

页码：

版次：1

装帧：平装

开本：16开

商品重量：1.081kg

编辑推荐

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本书对于学习数学规划领域重要知识具有指导性的地位，可直接或间接地掌握几乎所有的理论结果。

本书几乎涵盖了凸优化的所有基本概念和主要结果。内容丰富，理论严谨，通过阅读本书，可以对凸优化理论和方法建立完整的认识。

本书每章都配有大量习题，适合作为研究生相关教材使用。

内容提要

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　　《信息技术和电气工程学科教材中译本系列：凸优化》从理论、应用和算法三个方面系统地介绍凸优化内容。
凸优化在数学规划领域具有非常重要的地位。从应用角度看，现有算法和常规计算能力已足以可靠地求解大规模凸优化问题，一旦将一个实际问题表述为凸优化问题，大体上意味着相应问题已经得到彻底解决，这是非凸的优化问题所不具有的性质。从理论角度看，用凸优化模型对一般性非线性优化模型进行局部逼近，始终是研究非线性规划问题的主要途径，因此，通过学习凸优化理论，可以直接或间接地掌握数学规划领域几乎所有重要的理论结果。由于上述原因，对于涉足优化领域的人员，无论是理论研究还是实际应用，都应该对凸优化理论和方法有一定程度的了解。
　　本书内容非常丰富。理论部分由4章构成，不仅涵盖了凸优化的所有基本概念和主要结果，还详细介绍了几类基本的凸优化问题以及将特殊的优化问题表述为凸优化问题的变换方法，这些内容对灵活运用凸优化知识解决实际问题非常有用。应用部分由3章构成，分别介绍凸优化在解决逼近与拟合、统计估计和几何关系分析这三类实际问题中的应用。算法部分也由3章构成，依次介绍求解无约束凸优化模型、等式约束凸优化模型以及包含不等式约束的凸优化模型的经典数值方法，以及如何利用凸优化理论分析这些方法的收敛性质。通过阅读本书，能够对凸优化理论和方法建立完整的认识。
　　本书对每章内容都配备了大量习题，因此也非常适合用作教科书。实际上，该书多年来已在美国多所大学用于课堂教学，近两年也在清华大学自动化系用作相关研究生课程的主要教材。

目录

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1 引言
1.1 数学优化
1.2 小二乘和线性规划
1.3 凸优化
1.4 非线性优化
1.5 本书主要内容
1.6 符号
参考文献

I 理论
2 凸集
2.1 仿射集合和凸集
2.2 重要的例子
2.3 保凸运算
2.4 广义不等式
2.5 分离与支撑超平面
2.6 对偶锥与广义不等式
参考文献
习题
3 凸函数
3.1 基本性质和例子
3.2 保凸运算
3.3 共轭函数
3.4 拟凸函数
3.5 对数-凹函数和对数-凸函数
3.6 关于广义不等式的凸性
参考文献
习题
4 凸优化问题
4.1 优化问题
4.2 凸优化
4.3 线性规划问题
4.4 二次优化问题
4.5 几何规划
4.6 广义不等式约束
4.7 向量优化
参考文献
习题
5 对偶
5.1 Lagrange对偶函数
5.2 Lagrange对偶问题
5.3 几何解释
5.4 鞍点解释
5.5 优性条件
5.6 扰动及灵敏度分析
5.7 例子
5.8 择一定理
5.9 广义不等式
参考文献
习题

Ⅱ 应用
应用
6 逼近与拟合
6.1 范数逼近
6.2 小范数问题
6.3 正则化逼近
6.4 鲁棒逼近
6.5 函数拟合与插值
参考文献
习题
7 统计估计
7.1 参数分布估计
7.2 非参数分布估计
7.3 优检测器设计及假设检验
7.4 Chebyshev界和Cherno.界
7.5 实验设计
参考文献
习题
8 几何问题
8.1 向集合投影
8.2 集合间的距离
8.3 Euclid距离和角度问题
8.4 极值体积椭球
8.5 中心
8.6 分类
8.7 布局与定位
8.8 平面布置
参考文献
习题

Ⅲ 算法
9 无约束优化
9.1 无约束优化问题
9.2 下降方法
9.3 梯度下降方法
9.4 速下降方法
9.5 Newton方法
9.6 自和谐
9.7 实现
参考文献
习题
10 等式约束优化
10.1 等式约束优化问题
10.2 等式约束的Newton方法
10.3 不可行初始点的Newton方法
10.4 实现
参考文献
习题
11 内点法
11.1 不等式约束的极小化问题
11.2 对数障碍函数和中心路径
11.3 障碍方法
11.4 可行性和阶段1方法
11.5 自和谐条件下的复杂性分析
11.6 广义不等式问题
11.7 原对偶内点法
11.8 实现
参考文献
习题
附录
A 有关的数学知识
A.1 范数
A.2 分析
A.3 函数
A.4 导数
A.5 线性代数
参考文献
B 双二次函数的问题
B.1 单约束二次优化
B.2 S-程序
B.3 双对称矩阵的数值场
B.4 强对偶结果的证明
参考文献
C 有关的数值线性代数知识
C.1 矩阵结构与算法复杂性
C.2 求解已经因式分解的矩阵的线性方程组
C.3 LU，Cholesky和LDLT 因式分解
C.4 分块消元和Schur补
C.5 求解不确定线性方程组
650参考文献
参考文献
符号
索引

作者介绍

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文摘

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序言

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《数字世界的几何语言：图解数学模型与算法解析》 简介 在这个信息爆炸的时代，我们每天都在与海量的数据和复杂的系统打交道。从智能手机的精准推荐，到自动驾驶汽车的实时决策，再到金融市场的波动预测，其背后都隐藏着一套精妙的数学语言。本书《数字世界的几何语言：图解数学模型与算法解析》旨在为你揭开这层神秘的面纱，带领你深入理解那些驱动现代科技发展的核心数学思想和算法。我们不会停留在抽象的公式推导，而是通过直观的图解和贴近实际的案例，将抽象的数学概念转化为具象的理解，让你仿佛亲手触摸数字世界的脉络。 第一章：数据之舞——从统计学到数据建模 数据是数字世界的基石，而统计学则是理解和驾驭数据的科学。在本章，我们将从最基础的描述性统计开始，学习如何通过均值、方差、中位数等指标来刻画数据的“形”与“态”。随后，我们将引入概率论的迷人世界，探索随机事件的规律性，理解概率分布的普适性，例如正态分布如何成为自然界和许多社会现象的“通用语言”。 更进一步，我们将探讨推断性统计的核心——如何从有限的样本推断出整体的规律。这里，假设检验和置信区间将成为你的有力工具，帮助你做出有理有据的判断。本书会大量运用图示来展示各种统计量的分布特征、抽样误差的来源以及假设检验的逻辑流程。想象一下，在图表中直观地看到不同分布曲线的形状，或者通过误差条来感受样本不确定性的范围，这一切将让你对数据的理解上升到一个全新的维度。 我们还将深入讲解数据建模的艺术。什么是模型？它如何帮助我们理解和预测？从简单的线性回归，到更复杂的非线性模型，我们将一步步构建数据的数学“肖像”。你将学会如何选择合适的模型，如何评估模型的优劣，以及如何利用模型去发现数据中隐藏的模式和关联。例如，通过图解线性回归的拟合过程，你会清晰地看到一条直线如何“尽可能地”贴近散点图中的数据点，理解残差的意义，以及 R² 指标如何衡量模型的解释能力。我们还会触及一些基础的分类模型，例如逻辑回归，并以图示的方式解释它如何将连续的概率值转化为离散的类别判断。 第二章：优化之眼——寻找最佳解决方案的艺术 在现实世界中，我们常常面临“如何在给定约束条件下，找到最优的资源配置、最有效的策略、或者最小的成本”的问题。这就是优化的核心所在。本章将带你领略优化问题的魅力，从最直观的几何角度理解函数的极值问题。 我们将从一维函数的最大值与最小值入手，通过绘制函数的图像，直观地理解导数在寻找极值点中的作用——切线的斜率变为零的点，往往是极值发生的“拐点”。然后，我们将扩展到多维函数，理解偏导数和梯度向量如何指示函数值增长最快的方向，而负梯度方向则指向函数值下降最快的方向。通过绘制等高线图，你会惊叹于梯度下降法如何一步步“滚落”到函数最低点，如同在大山中寻找最深的山谷。 本书将详细讲解几种经典的优化算法，并辅以丰富的图解。例如，梯度下降法将通过一系列连续的图像展示，让你看到每一步迭代如何更新参数，以及步长大小对收敛速度和稳定性的影响。我们还会介绍牛顿法，通过第二次导数（Hessian矩阵）的辅助，使其在靠近极值点时能够更快地收敛。理解这些算法的几何意义，将让你摆脱对黑箱算法的依赖，真正理解它们是如何工作的。 此外，我们还将介绍约束优化问题，即在满足某些限制条件的情况下寻找最优解。你将理解拉格朗日乘子法如何通过引入“影子变量”来处理等式约束，以及如何通过几何直观来理解其背后的原理——最优解出现在目标函数等高线与约束曲线相切的点。 第三章：网络之力——图论与连接的智慧 我们生活的世界充满了各种各样的网络：社交网络、交通网络、通信网络、生物网络等等。图论正是研究这些网络结构和属性的数学分支。本章将带你进入图的世界，理解节点与边的奥秘，以及它们如何构建起复杂的系统。 我们将从图的基本概念开始，区分有向图与无向图，带权图与无权图。通过生动的图示，你会清晰地看到现实世界中的事物如何被抽象成图的顶点和边。例如，一张地图可以被表示成城市为节点、道路为边的图；一个社交网络可以被看作是人与人之间关系构成的图。 本章的重点将放在图的基本算法上。你将学习如何寻找两个节点之间的最短路径，理解Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法的计算过程，并配以详细的步骤图解，让你理解它们是如何一步步“扫描”和更新路径长度的。想象一下，在地图上用不同颜色标记出最短路径的探索过程，是不是比枯燥的公式更容易理解？ 我们还会探讨图的连通性问题，例如如何判断一个图是否是连通的，或者找到图的生成树（以最小的代价连接所有节点）。最小生成树算法（如Prim算法和Kruskal算法）的图解演示，将让你直观地理解它们如何逐步“生长”出覆盖所有顶点的最小权重树。 此外，你还将接触到一些更复杂的图概念，例如网络流问题，它在物流、通信带宽分配等领域有着广泛的应用。我们会以图示的方式讲解最大流最小割定理，让你理解流量如何在网络中流动，以及如何找到网络的最大承载能力。 第四章：决策之道——概率模型与机器学习基础 在信息不完全或充满不确定性的情况下，我们如何做出最佳的决策？概率模型和机器学习提供了强大的工具。本章将为你打开人工智能和数据科学的大门，让你理解机器是如何“学习”和“思考”的。 我们将从贝叶斯定理开始，理解条件概率的妙用，以及如何根据新的证据更新我们的信念。这在很多需要进行推断和分类的任务中至关重要。通过图示，你会看到贝叶斯网络如何表示变量之间的依赖关系，以及如何进行概率推理。 本书将详细介绍几种核心的机器学习模型，并强调它们的数学原理与几何解释。你会深入理解线性回归和逻辑回归的本质，不仅仅是公式，更是它们在特征空间中如何“绘制”出决策边界。我们会通过二维或三维的散点图和决策边界图，来直观地展示分类模型是如何工作的。 支持向量机（SVM）作为一种强大的分类器，其核技巧和最大间隔的思想将通过清晰的几何图形来阐释。你将看到超平面如何找到距离所有数据点最远的边界，从而提高泛化能力。 另外，决策树和随机森林将通过易于理解的“ if-then-else”规则，辅以树状结构图，让你看到模型如何一步步对数据进行划分和预测。 我们还将触及一些监督学习的基本概念，例如模型训练、过拟合与欠拟合、交叉验证等，并通过图示来展示这些概念的含义和影响。例如，学习曲线图将直观地告诉你，模型在训练集和测试集上的表现如何随着数据量的增加而变化，从而判断是否存在过拟合。 第五章：动态之美——微分方程与系统演化 自然界和工程世界中的许多现象，其演化过程都可以用微分方程来描述。从简单的物体运动，到复杂的经济模型，微分方程都是我们理解动态系统的语言。本章将带你领略微分方程的优雅与力量。 我们将从最基础的一阶微分方程开始，理解它如何描述事物随时间（或空间）变化的速率。通过绘制函数图像，你会直观地看到微分方程的解是如何“生长”出来的，以及初始条件如何决定了系统的具体轨迹。 然后，我们将介绍二阶及更高阶的微分方程，例如描述振动、阻尼等现象的方程。我们还会讨论一些常用的求解方法，例如分离变量法、积分因子法，并辅以计算步骤的图解。 本书的重点将放在微分方程的几何解释上，例如相空间分析。通过相图，你会看到系统在不同状态下的演化方向，理解稳定点、极限环等概念，从而深入理解系统的长期行为。例如，在描述生态系统捕食者与被猎物数量变化的微分方程中，相图可以清晰地展示两者数量的周期性波动，甚至出现复杂的混沌现象。 此外，我们还将简要介绍偏微分方程，以及它们在描述连续介质（如热传导、流体流动）中的应用，并通过可视化图像来展示这些方程的解如何在空间和时间上展开。 结语 《数字世界的几何语言：图解数学模型与算法解析》并非一本枯燥的数学教材，而是一本引导你用几何的视角、直观的方式去理解现代数学工具的书。我们相信，通过精妙的图解和清晰的逻辑，任何看似复杂的数学概念都能变得触手可及。希望本书能激发你对数学的兴趣，让你在面对海量数据和复杂问题时，不再感到迷茫，而是能够自信地运用数学的智慧，洞察数字世界的奥秘，构建更美好的未来。

评分☆☆☆☆☆

我之所以对《凸优化》情有独钟，很大程度上是因为它所提供的一种“普遍适用性”的视角。书中所探讨的许多概念和方法，虽然最初是用数学的语言来描述，但其背后所蕴含的解决问题的思想，却可以延伸到各种各样看似不相关的领域。比如，书中关于“最优解”的探讨，不仅仅是针对数学模型，它也让我思考在生活中，如何去寻找最优的决策，如何去衡量各种选择的优劣。它就像一把万能钥匙，能够打开不同领域的大门。我经常在阅读的过程中，脑海中就会浮现出一些现实生活中的场景，然后尝试着用书中的理论去分析和理解。这种将抽象理论与具体实践相结合的过程，让我受益匪浅。它让我不再仅仅是作为一个被动的知识接收者，而是能够主动地去思考，去运用，去创新。

评分☆☆☆☆☆

我不得不说，这本书在引导读者进入凸优化这个领域方面，做得非常出色。它没有一开始就抛出复杂的算法，而是从最基础的概念讲起，比如集合的凸性，函数的下水平集等等。这些看似简单的定义，却为后续内容的展开打下了坚实的基础。我印象最深刻的是，书中对“凸集”和“凸函数”的几何直观解释，配合大量的图示，让我在脑海中形成了清晰的图像，不再觉得它们是纯粹的数学符号。作者在叙述时，总是非常严谨，一丝不苟，但又不会显得过于晦涩。它就像一位经验丰富的向导，带领你穿越一片迷宫般的数学森林，告诉你哪里是羊肠小道，哪里是康庄大道，确保你不会迷失方向。对于我这样一个初学者来说，这种循序渐进的教学方式至关重要，它让我能够逐步建立信心，慢慢掌握这个看似高深的领域。我曾尝试过其他一些关于优化的书籍，但总是感觉抓不住重点，而《凸优化》则让我感受到了清晰的逻辑链条，让我知道自己每一步都在往哪里走。

评分☆☆☆☆☆

这本书的精髓，在于它不仅仅是提供了一堆现成的公式和算法，更重要的是，它教会了读者如何去“思考”。在面对一个优化问题时，我不再是茫然无措，而是能够从书中的角度出发，去审视问题的本质，去分析约束条件，去寻找合适的模型。它像是一个严谨的教练，在指导我如何进行“科学的思考”。我尤其欣赏书中对一些特殊情况的讨论，例如当某些条件不满足时，算法会如何失效，或者如何去改进。这些细节的处理，让整本书的理论体系显得更加完整和健壮。我感觉自己不仅仅是在学习一门学科，更是在提升一种分析问题、解决问题的能力。这种能力，对于我未来的学习和工作，都将是宝贵的财富。这本书并非易懂，但它的价值，却远远超过了阅读它所付出的努力。

评分☆☆☆☆☆

这本《凸优化》就像一本厚重的宝藏，初翻开时，它庞大的篇幅和严谨的数学符号确实让人有些望而却步。然而，随着耐心的深入，我开始体会到其中蕴含的智慧。这本书并非是那种轻松愉快的读物，它需要你投入时间和精力去消化，去理解那些抽象的概念。我尤其喜欢它在讲解定理时，总会辅以精心设计的例子，这些例子往往能将枯燥的数学语言转化为生动的场景，让我能够更好地把握理论的精髓。它不像市面上很多速成的教程，告诉你“怎么做”，而是深入浅出地解释“为什么这么做”，这种对根基的强调，使得一旦理解了，便能举一反三。有时候，我会在深夜反复咀嚼某个公式，直到它在脑海中清晰地显现，那种豁然开朗的感觉，是其他任何经历都无法替代的。这本书不仅仅是关于数学，它更像是在训练一种解决问题的思维方式，一种将复杂问题层层剥离、找到核心规律的能力。虽然我还没有完全掌握书中的所有内容，但每一次阅读，都像是在攀登一座新的高峰，虽然艰难，但风景无限。

评分☆☆☆☆☆

坦白讲，这本书并非是那种能够让你在短时间内“速成”的读物。它的深度和广度，决定了它需要读者投入相当多的时间和精力。我经常会在某个章节停留许久，反复推敲公式的推导过程，试图理解其中每一个细节的含义。然而，正是这种“慢”和“深”，才让它显得如此与众不同。它不追求表面的光鲜，而是致力于构建一个扎实的知识体系。我特别欣赏书中对每个定理的证明，总是逻辑严谨，步步为营，让我能够清晰地看到结论是如何从前置条件推导出来的。这种严谨性，不仅仅是在传授知识，更是在培养一种严谨的学术态度。我常常在思考，即使不直接将书中的内容应用到实际问题中，光是理解这些证明的过程，就已经是一种极大的收获了。它让我学会如何去构建论证，如何去发现逻辑漏洞，这对于任何一个需要进行理性思考的领域，都具有重要的价值。