曲线模 [Moduli of Curves] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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哈里斯（JoeHarris），IanMorrison 著

图书标签:

• 代数几何
• 模态空间
• 黎曼面
• 代数曲线
• 复流形
• 霍奇理论
• 层论
• 同调代数
• 代数数论
• 经典不变量

出版社： 世界图书出版公司

ISBN：9787510032974

版次：1

商品编码：10888924

包装：平装

外文名称：Moduli of Curves

开本：24开

出版时间：2011-04-01

用纸：胶版纸

页数：366

内容简介

《曲线模》是Springer数学研究生教材系列之一，全面而深入地讲述了曲线模这个科目，即代数曲线及其在族中是如何变化的。《曲线模》对曲线模的讲述，符合学习理解的规律，也是对该领域的广泛而简洁的概述，使得具有现代代数几何背景的读者很容易学习理解。书中包括了许多技巧，如Hilbert空间，变形原理，稳定约化，相交理论，几何不变理论等，曲线模型的讲述涉及从例子到应用。文中继而讨论了曲线模空间的构成，通过有限线性系列说明了Brill-Noether和Gieseker-Petri定理证明的典型应用，也讲述了一些有关不可约性，完全子变量，丰富除子和Kodaira维数的重要几何结果。书中也包括了该领域相当重要的重要定理几何开放性问题，但只是做了简明引入，并没有展开讨论。书中众多的练习和图例，使得内容更加丰富，易于理解。

目录

preface
1 parameter spaces： constructions and examples
a parameters and moduli
b construction of the hfibert scheme
c tangent space to the hilbert scheme
d extrinsic pathologies
mumford's example
other examples
e dimension of the hilbert scheme
f severi varieties
g hurwitz schemes
basic facts about moduli spaces of curves
a why do fine moduli spaces of curves not exist？
b moduli spaces we'll be concerned with
c constructions of mg
the teichmiiller approach
the hodge theory approach
the geometric invariant theory （g.i，t.） approach
d geometric and topological properties
basic properties
local properties
complete subvarieties of mg
cohomology of mg： hater's theorems
cohomology of the universal curve
cohomology of hfibert schemes
structure of the tautological ring
witten's conjectures and kontsevich's theorem
e moduli spaces of stable maps
techniques
a basic facts about nodal and stable curves
dualizing sheaves
automorphisms
b deformation theory
overview
deformations of smooth curves
variations on the basic deformation theory plan
universal deformations of stable curves
deformations of maps
c stable reduction
results
examples
d interlude： calculations on the moduli stack
divisor classes on the moduli stack
existence of tautological families
e grothendieck-riemann-roch and porteous
grothendieck-riemann-roch
chern classes of the hodge bundle
chern class of the tangent bundle
porteous' formula
the hyperelliptic locus in m3
relations amongst standard cohomology classes
divisor classes on hilbert schemes
f test curves： the hyperelliptic locus in m3 begun
g admissible covers
h the hyperelliptic locus in m3 completed
4 construction of m3
a background on geometric invariant theory
the g.i.t. strategy
finite generation of and separation by invariants
the numerical criterion
stability of plane curves
b stability of hilbert points of smooth curves
the numerical criterion for hilbert points
gieseker's criterion
stability of smooth curves
c construction of mg via the potential stability theorem
the plan of the construction and a few corollaries
the potential stability theorem
limit linear series and brill-noether theory
a introductory remarks on degenerations
b limits of line bundles
c limits of linear series： motivation and examples
d limit linear series： definitions and applications
limit linear series
smoothing limit linear series
limits of canonical series and weierstrass points
limit linear series on flag curves
inequalities on vanishing sequences
the case p = 0
proof of the gieseker-petri theorem
geometry of moduli spaces： selected results
a irreducibility of the moduli space of curves
b diaz' theorem
the idea： stratifying the moduli space
the proof
c moduli of hyperelliptic curves
fiddling around
the calculation for an （almost） arbitrary family
the picard group of the hyperelliptic locus
d ample divisors on mg
an inequality for generically hilbert stable families
proof of the theorem
an inequality for families of pointed curves
ample divisors on mg
e irreducibility of the severi varieties
initial reductions
analyzing a degeneration
an example
completing the argument
f kodaira dimension of mg
writing down general curves
basic ideas
pulling back the divisors dr
divisors on mg that miss j（m2，1 w）
divisors on mg that miss i（m0，g）
further divisor class calculations
curves defined over q
bibliography
index

前言/序言

《曲线模》 一、 核心概念与研究对象 《曲线模》一书深入探讨了代数几何中的一个核心概念——曲线的模空间（Moduli Space of Curves）。简单来说，模空间是一个几何对象，它“编码”了某一类几何对象的集合及其之间的关系。在本书中，研究的对象是黎曼曲面（Riemann surfaces）或者更广义地说，是代数曲线（algebraic curves）。 黎曼曲面是具有复结构的连通一维复流形。它们在拓扑学、复分析、代数几何以及理论物理等领域都扮演着至关重要的角色。一条黎曼曲面的“形状”或“结构”信息，远不止是它有多少个“洞”（即亏格g）。例如，亏格为1的黎曼曲面（即环面）有无穷多种不同的形状，它们之间的差异可以通过度量、曲率等来刻画。模空间正是试图以一种几何化的方式来捕捉和组织这些不同形状的黎曼曲面的“空间”。 对于一个给定的亏格 $g ge 0$，其黎曼曲面的模空间 $mathcal{M}_g$ 是一个光滑代数簇（smooth algebraic variety），它的点一一对应着亏格为 $g$ 的黎曼曲面，并且这种对应是“唯一的”——即不同模空间上的点代表着本质上不同的黎曼曲面。这里的“本质上不同”意味着它们不能通过“自同构”（automorphism，即保持黎曼曲面结构本身的映射）来相互转换。 本书的研究范围可以从最基本的亏格 $g=0, 1, 2$ 的模空间出发，逐步深入到任意亏格 $g$ 的模空间。对于不同的亏格，模空间的结构和性质也会发生显著的变化，展现出丰富的数学景观。 二、 模空间的构成与拓扑结构 模空间的构成是本书的一个重要部分。通常，可以通过以下几种方式来理解和构建模空间： 1. 参数化方法： 对于低亏格的情况，可以直接使用参数来描述黎曼曲面。例如，亏格为0的黎曼球面上，可以通过复平面上的线性分数变换（Möbius transformations）来描述，而亏格为1的环面则可以通过复平面上的格（lattice）来刻画。然而，这种直接参数化方法在处理高亏格时会变得非常复杂且难以系统化。 2. 商空间（Quotient Space）构造： 更通用的方法是考虑所有亏格为 $g$ 的黎曼曲面集合，然后“除以”它们的自同构群。这个过程涉及到一些技术性的细节，例如如何定义“集合”以及如何进行“除法”。这通常涉及到 Teichmüller 空间（Teichmüller space）的概念。 Teichmüller 空间 $mathcal{T}_g$： 对于亏格为 $g$ 的黎曼曲面 $S$，其 Teichmüller 空间 $mathcal{T}_g$ 是所有与 $S$ 同胚（homeomorphic）的黎曼曲面集合，其中定义了一个等价关系，使得两个黎曼曲面等价当且仅当它们之间的自同构映射是“小的”（即与恒等映射相差很小）。Teichmüller 空间本身是一个 $(3g-3)$ 维的实流形，它捕捉了黎曼曲面所有可能的“形变”。 模空间作为Teichmüller空间的商： 黎曼曲面的模空间 $mathcal{M}_g$ 可以看作是 Teichmüller 空间 $mathcal{T}_g$ 除以其对应的模群（mapping class group，也称为Teichmüller群）的商空间。模群由所有保持黎曼曲面拓扑结构的同胚映射组成。模空间 $mathcal{M}_g$ 的点就对应着 $mathcal{T}_g$ 中的一个轨道（orbit）。 3. 代数几何方法： 在代数几何的框架下，黎曼曲面被视为光滑射影代数曲线。模空间 $mathcal{M}_g$ 可以被看作是一个光滑代数簇。这种视角使得我们可以利用代数几何的强大工具来研究模空间的性质，例如它的维度、奇点（如果存在）、以及它的嵌入（embedding）到更大的空间中。 本书将详细介绍这些构造方法，并分析它们之间的联系。读者将了解到，模空间 $mathcal{M}_g$ 的拓扑和几何性质，如连通性、维度、紧化（compactification）等，都是其研究的重点。 三、 模空间的重要性质与结构 随着亏格 $g$ 的增加，模空间 $mathcal{M}_g$ 的性质也变得越来越复杂，同时也展现出越来越丰富的结构。 维度： 对于亏格 $g ge 2$，模空间 $mathcal{M}_g$ 是一个 $(3g-3)$ 维的复流形（或代数簇）。对于亏格 $g=0$（球面），模空间 $mathcal{M}_0$ 是一个点（只有一种形状的球面）。对于亏格 $g=1$（环面），模空间 $mathcal{M}_1$ 是一个复一维的模空间，即复平面 $mathbb{C}$ 除以一个格，这是一个光滑的黎曼曲面，可以表示为 $j$-不变量（j-invariant）的空间 $mathbb{C}/Lambda$ 的商。 紧化： 实际研究中，我们经常需要处理“退化”（degenerate）的曲线，例如由两个低亏格曲线通过一个点或一段曲线粘合而成的曲线。为了包含这些退化曲线，模空间通常需要进行“紧化”。紧化模空间 $overline{mathcal{M}}_g$ 是一个比 $mathcal{M}_g$ 更大的代数簇，它包含 $mathcal{M}_g$ 的“边界”（boundary），这个边界由光滑曲线和退化曲线组成。紧化模空间的结构对于理解模空间本身的性质至关重要。 奇点理论： 紧化模空间 $overline{mathcal{M}}_g$ 在其边界处通常会包含一些奇点，这些奇点对应着退化曲线。研究这些奇点的性质，例如它们的类型和分布，是模空间几何研究的重要组成部分。 与特征类（Characteristic Classes）的关系： 模空间上的线丛（line bundles）及其陈类（Chern classes）与弦理论、量子场论等领域中的一些重要不变量（invariants）有着深刻的联系。例如，模空间上的Mumford-Tate 猜想（现已证明）和Kontsevich 积分（Kontsevich integral）等都体现了模空间与物理学的交叉。 模空间的计数性质： 模空间的研究不仅仅局限于其几何结构，也包括其“计数”性质。例如，通过在模空间上定义一些特殊的“线丛”或“子簇”，可以计算出一些重要的代数几何不变量，这些不变量往往与特定类型的曲线的个数有关，例如Gromov-Witten 不变量。 四、 研究方法与工具 《曲线模》一书的写作将整合代数几何、微分几何、复分析、拓扑学以及理论物理等多个领域的工具和方法。 代数几何工具： 使用概形（schemes）理论、层论（sheaf theory）、簇论（varieties）、商空间理论（GIT quotient theory）等来构造和理解模空间。 微分几何工具： 利用黎曼流形理论、度量、曲率、以及 Ricci 流等来研究黎曼曲面的几何性质，并将其与模空间联系起来。 复分析工具： 运用复流形、全纯函数、调和函数等概念来刻画黎曼曲面和 Teichmüller 空间。 拓扑学工具： 利用同胚、同伦、基本群、覆叠空间等概念来理解曲线的拓扑结构和模群的性质。 物理学中的应用： 介绍模空间在弦理论（string theory）、共形场论（conformal field theory）等领域中的应用，例如二维引力（2D gravity）的量子化，以及弦振动的不同模式等。 五、 历史背景与重要猜想 模空间的研究有着悠久的历史，可以追溯到19世纪末和20世纪初。许多伟大的数学家，如黎曼（Riemann）、克莱因（Klein）、丰卡莱（Poincaré）、希尔伯特（Hilbert）、韦伊（Weil）、阿蒂亚（Atiyah）、辛格（Singer）、马瑟（Mather）、莫里（Mori）、斯梅尔（Smale）、福尔曼（Fulton）、霍奇（Hodge）等，都为这一领域做出了贡献。 书中还会介绍一些重要的猜想，例如： Kodaira 猜想： 关于亏格为2的模空间 $mathcal{M}_2$ 的结构。 Mumford 猜想： 关于模空间上的典范线丛（canonical line bundle）的性质。 Kontsevich 积分： 试图用一个单一的表达式来编码所有的 Gromov-Witten 不变量，这一猜想的实现极大地推动了模空间研究与可积系统（integrable systems）的联系。 六、 潜在读者对象 本书适合于对代数几何、复几何、微分几何、拓扑学有浓厚兴趣的本科生、研究生以及研究人员。特别是对于那些希望深入理解黎曼曲面、 Teichmüller 空间、以及它们在现代数学和物理学中扮演的角色的人来说，本书将是一份宝贵的资源。它不仅提供严谨的数学推导，还将揭示隐藏在抽象概念背后的深刻洞察力，以及它们跨学科的广泛影响力。 总结 《曲线模》一书将带领读者踏上一段探索黎曼曲面“形状空间”的数学旅程。从最基本的概念出发，逐步构建起抽象而深刻的模空间理论，揭示其丰富的几何结构、拓扑性质以及与数学物理的深刻联系。这本书将是一份全面而深入的指南，帮助读者掌握这一复杂而迷人的数学领域。

评分☆☆☆☆☆

接触《曲线模》这本书，让我对“分类”这个数学概念有了更深层次的理解。以往我所理解的分类，多是基于一些简单的性质，而本书所展示的，则是如何将一个复杂的数学对象族，通过一种更加抽象和几何化的方式进行分类。我非常喜欢书中对于“模”这个概念的引入，它就像一个“尺子”，能够衡量不同曲线之间的“相似度”，并且将相似的曲线“聚集”在一起，形成一个“模空间”。我尤其欣赏书中对模空间的几何性质的探索，它不仅仅是一个抽象的集合，更是一个具有丰富几何结构的数学对象。书中对模空间维度的讨论，以及它如何反映了曲线族的变化，让我感到非常着迷。我曾多次尝试去理解书中关于模空间构造的证明，那些精妙的步骤和严谨的逻辑，让我对数学的严谨性有了更深刻的体会。我相信，这本书对于任何想要拓展数学视野，并学习如何进行高级数学研究的人来说，都是一份不可多得的珍贵资源。

评分☆☆☆☆☆

在我的学术探索之路上，《曲线模》这本书所提供的深度和广度，着实令我惊叹。我一直致力于理解数学对象之间内在的联系和分类体系，而本书正是这方面的杰出代表。它不仅仅是关于代数曲线本身，更是关于如何构建一个能够“容纳”和“组织”所有代数曲线的“空间”。我特别欣赏作者在阐述模空间构造时所展现出的严谨性和创新性，那些基于现代代数几何的工具，被巧妙地运用进来，使得整个理论体系更加完整和精妙。书中对模空间性质的深入剖析，比如其作为一个概形的属性，以及如何理解其上的某些泛性质，都让我对这个领域有了前所未有的认识。我曾多次重读书中关于模空间紧化的章节，这些技术性的细节虽然复杂，但作者的讲解非常有层次感，能够引导读者逐步领悟其中的精髓。我相信，对于任何希望在代数几何，特别是代数曲线分类领域有所建树的研究者来说，本书都是一份不可多得的宝贵财富。

评分☆☆☆☆☆

这部《曲线模》真是让人爱不释手，虽然我才刚开始涉猎代数几何的深邃领域，但这本书的内容之丰富、讲解之清晰，无疑为我打开了一扇通往全新世界的大门。从最初对“模”这个概念的一知半解，到逐渐理解它在几何和拓扑学中的重要地位，每一步都充满了惊喜。作者并非将抽象的概念直接抛给读者，而是循序渐进地引导，从最基础的曲线定义讲起，细致入微地剖析了不同类型曲线的性质，并巧妙地引入了模空间的概念。我尤其欣赏书中对代数曲线分类的详尽阐述，那些关于 genus 的讨论，以及如何通过模空间来“度量”和“比较”这些曲线，简直是一场智力上的盛宴。书中不乏一些经典的例子，比如黎曼曲面，它们是如何被组织在一个模空间中的，这些具象化的例子让抽象的理论变得触手可及。此外，作者在处理一些高阶概念时，比如模空间的性质，并没有回避其复杂性，而是通过一系列巧妙的类比和直观的几何解释，帮助读者克服理解上的障碍。我能感觉到作者在编写这本书时，倾注了大量的心血，力求让更多对代数几何感兴趣的读者能够领略到曲线模的迷人之处。这本书不仅仅是关于数学的，更是一场关于理解几何对象之间微妙关系的探索，每一次阅读都能有新的体会和领悟。

评分☆☆☆☆☆

作为一名在代数几何领域摸爬滚打多年的研究生，我一直在寻找一本能够系统性地梳理曲线模理论核心思想的著作，而《曲线模》无疑是近期我读到最令人振奋的一本。这本书的架构非常精巧，它并非简单地罗列定义和定理，而是试图构建一个清晰的逻辑脉络，让读者能够理解模空间理论是如何从研究曲线本身演变而来的。我特别欣赏书中对模空间存在的证明以及其基本性质的深入探讨，这部分内容是理解整个理论体系的关键。作者在讲解时，大量引用了现代代数几何的工具，比如概形理论，但同时也适当地回顾了古典代数几何的背景，使得这本书既具有前沿性，又不失历史的厚重感。我印象深刻的是关于模空间的紧化（compactification）的讨论，这是一个非常核心且技术性的问题，书中对此的处理既严谨又不失条理，通过对不同紧化方法的比较，让读者能够更深刻地理解模空间的几何结构。此外，书中还涉及了许多与模空间相关的应用，比如与数学物理的联系，这为理解该理论的现实意义提供了宝贵的视角。这本书的语言风格非常专业，但又不失优雅，即使是面对一些非常抽象的概念，也能感受到作者试图将它们清晰地呈现在读者面前的努力。我相信，对于任何想要深入研究代数曲线分类和模空间理论的学者来说，这本书都将是不可或缺的参考。

评分☆☆☆☆☆

《曲线模》这本书，让我对“几何”这个词有了全新的认识。我一直认为几何学是关于图形和形状的，但这本书让我明白，几何学也可以是关于“变化”和“集合”的。书中对曲线模的研究，就像是在对无数条曲线进行“普查”和“归类”，然后将它们打包进一个更大的“集合”——模空间。我非常喜欢书中对模空间的直观解释，虽然概念本身很抽象，但作者通过一些巧妙的类比，让这些抽象的概念变得触手可及。我尤其印象深刻的是关于模空间维度的讨论，它似乎在告诉我们，不同“类型”的曲线，它们的“距离”或者说“相似度”，都可以被量化在这个空间中。书中还涉及了一些关于模空间的拓扑性质，这让我觉得，原来抽象的数学对象，也拥有着丰富的几何内涵。我曾反复琢磨书中关于模空间构造的细节，那些看似繁琐的步骤，背后却蕴含着深刻的数学思想。这本书真的非常适合那些对数学有着强烈好奇心，并愿意深入探索未知领域的人。

评分☆☆☆☆☆

《曲线模》这本书，无疑是我近期阅读中最具启发性的一部著作。它所探讨的曲线模理论，不仅是代数几何的核心内容，更是理解现代数学思想的一个重要窗口。我一直对如何将离散的数学对象进行连续化的研究方式深感兴趣，而本书正是提供了这样一个绝佳的范例。书中对模空间概念的引入和构造，以及对模空间本身性质的深入分析，都给我留下了深刻的印象。我尤其欣赏作者在讲解过程中所使用的直观几何语言和严谨的数学推理，这使得那些看似抽象的概念，变得相对易于理解。我曾反复琢磨书中关于模空间的存在性证明，以及其作为概形的性质，这些内容的技术性很强，但作者的叙述方式清晰且富有条理。我相信，对于任何希望深入理解代数曲线分类，以及现代代数几何发展方向的研究者来说，本书都将是一部不可或缺的经典之作。

评分☆☆☆☆☆

《曲线模》这本书，可以说是开启了我对代数几何理解新篇章的钥匙。我一直对“形式”和“结构”在数学中的重要性深感兴趣，而曲线模理论正是将这两者完美地结合在了一起。书中对“模”这个概念的阐释，不仅仅局限于数学上的定义，更是深入探讨了它在几何学中所扮演的“测量”和“比较”的角色。我非常喜欢书中对不同类型曲线的细致分类，以及如何通过模空间来系统地组织这些分类。这种将离散的数学对象放入一个连续的几何空间中进行研究的方法，让我感到非常震撼。书中不乏一些复杂的证明和技术性的细节，但作者的讲解方式非常巧妙，能够引导读者一步步地理解这些内容。我尤其印象深刻的是关于模空间的性质，比如它的维度是如何确定的，以及模空间本身是否是一个光滑的概形，这些问题都让我对这个理论有了更深刻的认识。书中还涉及了一些关于模空间紧化的技术，这部分内容虽然复杂，但作者的讲解非常有条理，让我能够逐步理解这些精妙的构造。我相信，这本书对于任何想要深入理解代数曲线分类理论的人来说，都是一份宝贵的财富。

评分☆☆☆☆☆

在我的学术生涯中，遇到过不少数学书籍，但《曲线模》给我的感受却是独一无二的。它不仅仅是一本教材，更像是一次与作者共同探索数学奥秘的旅程。我最初被这本书吸引，是因为我一直对“度量”和“分类”这些概念在数学中的应用非常感兴趣，而曲线模理论恰恰是这方面的典范。书中对如何构建模空间，以及模空间本身所蕴含的几何信息，有着非常独到的见解。我尤其喜欢作者在讲解过程中所采用的类比和直观解释，它们能够有效地帮助我跨越理论的鸿沟，理解那些看似难以捉摸的概念。例如，书中关于如何“打包”所有相似的曲线，形成一个能够代表这些曲线整体特征的空间，这种构思本身就充满了哲学意味。我特别欣赏书中对模空间性质的剖析，比如它的维度、它的光滑性、它的连通性等等，这些性质的讨论，让我对曲线模有了更全面、更深入的认识。书中还穿插了一些历史性的发展脉络，这让我了解到这个理论是如何一步步发展壮大的，这对于理解一个理论的深度和广度至关重要。我曾反复阅读书中关于模空间构造的章节，每一次都能发现新的理解角度。这本书真的非常适合那些对数学有强烈好奇心，并愿意深入探索其内在美的人。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对纯粹数学理论有着浓厚兴趣的研究者，《曲线模》这本书无疑满足了我对严谨性和深刻性的双重追求。它不仅仅是一部关于代数几何的著作，更是一次对数学思想深度挖掘的体验。我一直被那些能够将复杂概念抽象并赋予几何意义的理论所吸引，而曲线模理论正是这样的典范。书中对模空间构造的阐述，以及对模空间本身性质的深入分析，都给我留下了深刻的印象。我尤其欣赏作者在讲解过程中所采用的严谨的数学语言和清晰的逻辑推理，这使得即使是对于一些非常抽象的概念，也能够获得清晰的理解。我曾反复研读书中关于模空间存在的证明，以及其作为概形的性质，这些内容的技术性很强，但作者的阐述方式极具启发性。书中还涉及了一些与模空间相关的进阶话题，比如模空间的紧化以及其上的某些特定结构，这些内容进一步拓展了我对该理论的认知边界。我相信，对于那些希望在代数几何领域进行深入研究的学者来说，这本书将是一部必不可少的参考工具。

评分☆☆☆☆☆

《曲线模》这本书，给我带来的不仅仅是知识的增益，更是一种对数学研究方法论的启迪。我一直认为，伟大的数学理论，在于它能够将看似毫不相关的概念联系起来，并且能够提供一个统一的框架来研究这些概念。本书正是这样一本伟大的著作。它将复杂的代数曲线，通过“模”这个概念，巧妙地组织进一个几何空间——模空间。我非常喜欢书中对模空间的直观描述，它不仅仅是一个抽象的数学对象，更是一个承载着无数曲线信息和几何规律的“宇宙”。书中对模空间性质的深入探讨，比如它的维度、它的光滑性、以及它可能存在的奇点，都让我看到了数学研究的深度和广度。我曾反复品读书中关于模空间构造的论证过程，那些精巧的步骤和严谨的逻辑，无不体现着作者的深厚功底。我相信，对于那些渴望在数学领域有所建树，并希望学习如何进行深刻理论研究的人来说，这本书无疑是一本值得反复研读的经典之作。

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最后一本被我买了，能不能多印几本

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