复函数论导论（英文版） [An Introduction to Complex Function Theory] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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[美] 帕克（Bruce P.Palka） 著

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• 复分析
• 复变函数
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• 高等数学
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• 数学
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• 英文教材
• 函数论

出版社： 世界图书出版公司

ISBN：9787510044069

版次：1

商品编码：11131983

包装：平装

外文名称：An Introduction to Complex Function Theory

开本：24开

出版时间：2012-06-01

用纸：胶版纸

页数：559

正文语种：英文

内容简介

　　The book at hand has its origins in and reflects the structure of a course that I have given regularly over the years at the University of Texas. The course in question is an undergraduate honors course in complex analysis. Its subscribers are for the most part math and physics majors， but a smattering of engineering students， those interested in a more substantial and more theoretically oriented introduction to the subject than our normal undergraduate complex variables course offers， can usually be found in the class. My approach to the course has been from its inception to teach it in everything save scope like a beginning graduate course in complex function theory. （To be honest， I have included some material in the book that I do not ordinarily cover in the course， this with the admitted purpose of making the book a suitable text for a first course in complex analysis at the graduate level.） Thus， the tone of the course is quite rigorous， while its pace is rather deliberate. Faced with a clientele that is bright， but mathematically less sophisticated than， say， a class of mathematics graduate students would be， I considered it imperative to give students access to a complete written record of the goings-on in my lectures， one containing full details of proofs that I might only sketch in class， the accent there being on the central idea involved in an argument rather than on the nitty-gritty technicalities of the proof. I also deemed it wise to provide the students with a generous supply of worked-out examples appropriate to the lecture material. Since none of the textbooks available when I started teaching the course had exactly the emphasis I was looking for， l began to compile my own set of lecture notes. It is these notes that have evolved into the present
　　book.

内页插图

目录

Preface
Ⅰ The Complex Number System
1 The Algebra and Geometry of Complex Numbers
1.1 The Field of Complex Numbers
1.2 Conjugate， Modulus， and Argument
2 Exponentials and Logarithms of Complex Numbers
2.1 Raising e to Complex Powers
2.2 Logarithms of Complex Numbers
2.3 Raising Complex Numbers to Complex Powers
3 Functions of a Complex Variable
3.1 Complex Functions
3.2 Combining Functions
3.3 Functions as Mappings
4 Exercises for Chapter Ⅰ

Ⅱ The Rudiments of Plane Topology
1 Basic Notation and Terminology
1.1 Disks
1.2 Interior Points， Open Sets
1.3 Closed Sets
1.4 Boundary， Closure，Interior
1.5 Sequences
1.6 Convergence of Complex Sequences
1.7 Accumulation Points of Complex Sequences
2 Continuity and Limits of Functions
2.1 Continuity
2.2 Limits of Functions
3 Connected Sets
3.1 Disconnected Sets
3.2 Connected Sets
3.3 Domains
3.4 Components of Open Sets
4 Compact Sets
4.1 Bounded Sets and Sequences
4.2 Cauchy Sequences
4.3 Compact Sets
4.4 Uniform Continuity
5 Exercises for Chapter Ⅱ

Ⅲ Analytic Functions
1 Complex Derivatives
1.1 Differentiability
1.2 Differentiation Rules
1.3 Analytic Functions
2 The Cauchy-Riemann Equations
2.1 The Cauchy-Riemann System of Equations
2.2 Consequences of the Cauchy-Riemann Relations
3 Exponential and Trigonometric Functions
3.1 Entire Functions
3.2 Trigonometric Functions
3.3 The Principal Arcsine and Arctangent Functions
4 Branches oflnverse Functions
4.1 Branches of lnverse Functions
4.2 Branches of the pth-root Function
4.3 Branches of the Logarithm Function
4.4 Branches of the A-power Function
5 Differentiability in the Real Sense
5.1 Real Differentiability
5.2 The Functions fx and fz
6 Exercises for Chapter Ⅲ

Ⅳ Complex lntegration
1 Paths in the Complex Plane
1.1 Paths
1.2 Smooth and Piecewise Smooth Paths
1.3 Parametrizing Line Segments
1.4 Reverse Paths， Path Sums
……

Ⅴ Cauchy's Theorem and its Consequences
Ⅵ Harmonic Functions
Ⅶ Sequences and Series of Analytic Functions
Ⅷ Isolated Singularities of Analytic Functions
Ⅸ Conformal Mapping
Ⅹ Constructing Analytic functions
Appendix A Background on Fields
Appendix B Winding Numbers Revisited
Index

前言/序言

函数的迷人世界：探索复数的力量 本书将带领读者踏上一段引人入胜的旅程，深入探索数学中一个极其丰富且深刻的分支——复函数论。它不仅仅是介绍一组新的数字系统，更是开启了理解无数物理现象、工程技术以及纯粹数学理论的关键大门。 想象一下，我们生活在由实数构建的直观世界中。数轴上，每一个点都对应着一个我们熟悉的实数，它们能够度量长度、表达数量。然而，当我们将视野拓展到二维平面，引入虚数单位“i”（满足 i² = -1），实数世界便与一个全新的维度并行不悖。复数 z = x + iy，其中 x 和 y 是实数，x 称为实部，y 称为虚部，它们共同构成了一个复平面。在这个平面上，每一个点都对应着一个复数，为我们提供了比直线更广阔的视角来观察和分析问题。 复函数论的核心，便是研究那些接受复数为输入，并产生复数作为输出的函数。这些函数，与我们熟悉的实变函数（如 y = sin(x)）有着惊人的相似性，却又蕴含着更加奇妙和强大的性质。本书的编写目标，旨在为初学者构建一个坚实的理论基础，使他们能够理解复函数所展现出的独特魅力，并为进一步深入学习打下坚实基础。 我们将从复数的基本概念出发，逐步深入。首先，我们会仔细考察复数的代数运算，包括加法、减法、乘法和除法，以及复数的几何表示（在复平面上的点、向量）和复数的模与辐角。理解这些基础，就好比掌握了探索新大陆的地图和指南针，为后续的学习铺平道路。 接着，我们将引入复变函数的概念。什么样的函数可以被认为是“复变”的？它需要满足什么条件才能在复平面上“光滑地”变化？这里，“可微性”的概念将显得尤为重要。与实变函数不同，复变函数的可微性有着更为严格的要求，它直接导向了复函数论中最核心、最深刻的定理之一——柯西-黎曼方程。这个方程组，看似简单，却如同一个精确的“开关”，决定了一个复变函数是否在某一点具有微积分意义上的“好行为”。一旦一个函数在某个区域内处处可微，我们就称之为解析函数。解析函数是复函数论的明星，它们拥有许多令人惊叹的性质，使得复变分析比实变分析更加强大和优美。 解析函数的引入，将开启我们对积分的全新认识。在复平面上进行积分，我们不再局限于沿直线段或简单曲线，而是可以在任意的路径上进行积分。这种复变积分，将深刻地揭示出解析函数内在的结构。其中，柯西积分定理和柯西积分公式是绕不开的里程碑。柯西积分定理告诉我们，在某个区域内解析的函数，沿着闭合曲线的积分处处为零，这是多么强大的结论！它意味着在解析函数的“势力范围”内，积分的值与路径无关，只与路径的“端点”或“围住的区域”有关。而柯西积分公式，则更进一步，它允许我们利用一个解析函数在边界上的值，来计算该函数在区域内部的任意一点的值。这如同揭开了函数的“内部秘密”，其威力无穷。 从柯西积分公式出发，我们将自然而然地探讨泰勒级数和洛朗级数。实变函数可以用泰勒级数来展开，表示为多项式的无穷和。而在复函数论中，洛朗级数则将这一概念推广到了更广泛的函数，甚至包括那些在某一点“不太好”的函数。通过级数展开，我们可以更精细地理解函数的局部行为，识别函数在某一点的“奇点”，并对其进行分类。 孤立奇点的分类，是复函数论中一个充满趣味的环节。我们将认识到，函数在某一点的“怪异”程度可以被精确地衡量，从可以被“移除”的可去奇点，到导致函数值趋于无穷的极点，再到那些行为最为复杂的本质奇点。对这些奇点的分析，不仅揭示了函数的内在结构，更是为后续的留数定理奠定了基础。 留数定理是复函数论中最具实用价值的工具之一。它通过计算函数在孤立奇点上的“留数”（一个与洛朗级数展开紧密相关的系数），来计算沿着任意闭合曲线的复变积分。这个定理，极大地简化了许多复杂的积分计算，甚至能够用来计算一些难以用实变方法解决的定积分。许多在物理学和工程学中遇到的复杂积分问题，都可以巧妙地转化为留数计算。 本书还将触及解析延拓的概念，它解释了如何将一个在局部定义的解析函数，尽可能地“推展”到更大的区域。这就像是找到一个通用的“配方”，能够让函数在更广阔的空间中保持其解析性。 此外，我们还会简要介绍一些更高级的概念，为读者提供一个更广阔的视野。例如，瓦尔拉斯函数（或称为调和函数）作为解析函数的实部和虚部，它们在物理学（如静电学、热传导）中扮演着重要角色。共形映射，即保持角度不变的映射，它在几何学和物理学中有着广泛的应用，例如将一个区域变换到另一个区域，同时保持几何结构的某些重要性质。 本书的编写风格力求清晰、严谨，并且充满启发性。我们不仅仅是陈述定理和公式，更会通过大量的例子来阐释概念，帮助读者建立直观的理解。数学的魅力在于其内在的逻辑美和揭示世界规律的能力，而复函数论正是这一魅力的集中体现。 学习复函数论，不仅仅是在掌握一套数学工具，更是在培养一种解决问题的思维方式。它教会我们如何从不同的角度审视问题，如何利用抽象的数学概念来理解和描述现实世界的复杂性。无论您是数学专业的学生，还是对数学在科学和工程中的应用感兴趣的研究者，相信本书都能为您打开一扇通往复数世界奇妙景象的大门，激发您进一步探索和研究的兴趣。让我们一同开启这段精彩的数学旅程吧！

评分☆☆☆☆☆

拿到这本《复函数论导论》，我首先想到的是这本书的“导论”二字所蕴含的意义。这意味着它应该是一本面向初学者的入门书籍，其讲解风格不应该过于高深莫测，而是应该清晰、易懂、循序渐进。我尤其看重作者的叙述方式。我希望作者能够用一种“对话式”的语调，像一位经验丰富的老师，耐心地引导我一步步走进复函数论的世界。我希望它能够从最基本、最直观的概念讲起，比如复数的几何意义，也就是在复平面上表示为点，以及复数运算在几何上的对应。然后，我希望它能平稳地过渡到复变量函数的概念，解释什么是复变量函数的定义域、值域，以及如何去理解和绘制它们的图像（如果可能的话）。我期待作者能够详细阐述“解析函数”这一核心概念，并将其与实变函数的“可微性”进行对比，突出复函数解析性的独特性和优越性。我希望它能够清晰地解释柯西-黎曼方程，并给出如何通过柯西-黎曼方程判断函数是否解析的清晰步骤和实例。我最害怕的是那些上来就抛出大量抽象定义和复杂公式的书籍，这很容易让初学者望而却步。我希望这本书能够避免这种情况，而是通过丰富的例子和图示，来帮助我建立起对抽象概念的直观理解。我期待通过这本书的学习，能够建立起对复函数论的整体框架认识，并且能够熟练掌握一些基本概念和方法，为后续更深入的学习打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

我收到这本书，第一感觉是它非常有分量，无论是指物理意义上的重量，还是指其内容深度上。我一直认为，要真正掌握一门学科，就不能仅仅停留在表面，而需要深入到其核心概念的本质。对于复函数论，我一直觉得它比实变函数论更“有趣”也更“强大”。我期待这本书能够带领我深入理解复函数论的独特魅力。我尤其希望在书中能够详细看到对“解析函数”的定义和性质的深入探讨。我明白，解析性是复函数论的灵魂所在，一个函数一旦解析，它就拥有了许多美好的性质，比如可以进行泰勒展开、洛朗展开，并且其导数也具有解析性。我希望作者能够清晰地阐述解析性的严格定义，以及它与柯西-黎曼方程之间的深刻联系，并通过实例展示如何判断一个函数是否是解析的。此外，我非常期待对“留数定理”的讲解。我听说留数定理是复函数论中一个非常强大的工具，可以用来计算复杂的积分和级数。我希望作者能够给出留数定理的完整推导过程，并且通过一系列精心设计的例子，展示它在各种积分计算中的应用。我希望这些例子能够足够丰富，涵盖各种不同的情况，让我能够熟练掌握运用留数定理解决实际问题的技巧。我相信，通过这本书的学习，我能够对复函数论有一个更深刻、更系统的认识，并且能够掌握一些处理复杂数学问题的强大工具。

评分☆☆☆☆☆

这本书我刚拿到手，封面设计就让我眼前一亮，那种沉稳而又不失现代感的配色，预示着它是一本值得细细品读的学术著作。我平常对数学，尤其是高等数学领域并不是特别精通，但一直对复数和复函数有着强烈的好奇心。很多物理、工程问题，甚至纯数学的某些分支，都离不开复数的身影，像是信号处理、量子力学、流体力学等等，它们都像是在使用一种更“深邃”的语言来描述世界。这本书的出现，恰好填补了我在这方面的知识空白。它的标题——《复函数论导论》，听起来就很友善，暗示着它不会一开始就抛出过于艰深的理论，而是会循序渐进地引导读者进入这个奇妙的世界。我特别期待它能从最基础的概念讲起，比如复数的几何意义、代数运算，然后逐步过渡到复函数的定义、性质，再到更核心的内容，比如柯西-黎曼方程、解析函数、映射等等。我希望这本书的讲解风格是清晰明了的，能够用通俗易懂的语言来解释那些抽象的概念，同时又能保持数学的严谨性。我非常看重作者的讲解方式，如果能结合一些生动的例子，或者将数学概念与实际应用场景联系起来，那就更好了，这样可以帮助我更好地理解和记忆。我曾经翻阅过一些数学书籍，有些写得过于枯燥，让我望而却步，而有些则过于“科普”，缺乏深度。我希望这本书能找到一个完美的平衡点，既有学术的深度，又不至于让初学者感到 overwhelming。我计划花一些时间，慢慢地消化这本书的内容，希望能借此构建起扎实的复函数论基础，为将来深入学习其他相关领域打下坚实的基础。这本书的出现，让我对未来的学习充满了期待，感觉自己即将打开一扇通往更广阔数学世界的大门。

评分☆☆☆☆☆

我对这本书的期待，很大程度上源于我对复数在物理学中应用的着迷。在很多物理理论中，复数的使用是必不可少的，例如交流电路的分析、波动方程的求解、量子力学的状态描述等等。我希望这本书能够为我提供理解这些物理现象背后的数学原理的工具。我特别想了解，复函数论中的哪些概念能够直接映射到物理世界，例如，解析函数是否对应着某种物理场的“良好行为”？路径积分在物理学中是否有着更深层的解释？我希望这本书能够超越纯粹的数学理论，在适当的地方穿插一些物理学的应用背景，让我在学习数学的同时，也能感受到它强大的解释力。比如说，当讲解到复变函数的积分时，我希望作者能够举例说明它如何用于求解物理学中的势场问题，或者如何分析信号的傅里叶变换。我理想中的一本数学导论，应该能够激发读者对科学探索的兴趣，它不仅仅是一本教科书，更像是一个引路人，指引我们去发现数学与自然世界之间的奥秘。我不太喜欢那种只讲公式和定理，却不解释“为什么”的书。我希望这本书的作者能够耐心解答读者可能会产生的疑问，并且在讲解过程中，能够体现出数学思想的优雅和深刻。我希望通过阅读这本书，能够初步建立起复函数论与我所了解的物理知识之间的联系，从而为我进一步深入学习相关领域打下坚实的基础，也希望它能为我解答一些长期以来困扰我的物理问题，提供全新的数学视角。

评分☆☆☆☆☆

我一直对数学中的“对称性”和“结构性”有着强烈的兴趣，而复函数论，在我看来，正是展现这些特质的绝佳领域。我非常期待这本书能够揭示复函数论背后隐藏的深刻数学结构。我尤其关注“复变函数映射”这一部分。我听说，复变函数能够将一个区域“变形”到另一个区域，而这种变形往往会保持某些重要的几何性质，比如角度。我希望这本书能够详细介绍共形映射的概念，解释为什么共形映射在保持角度不变的同时，又能将形状进行各种“扭曲”。我期待作者能够通过一些经典的例子，比如莫比乌斯变换，来直观地展示复变函数映射的奇妙之处。莫比乌斯变换能够将直线和圆周映射到直线和圆周，这本身就蕴含着非常深刻的几何意义。我希望作者能够清晰地阐述莫比乌斯变换的代数形式及其几何性质，并展示它在复函数论和其他领域的应用。此外，我也非常期待书中能够对“单值函数”与“多值函数”的区分进行详细的讲解，特别是像复对数函数、复幂函数等，它们的多值性如何处理，以及如何通过引入“黎曼曲面”来解决这个问题。我希望作者能够用一种生动且易于理解的方式，来解释黎曼曲面的构造和意义，让我能够领略到数学家在解决这些抽象问题时的智慧和创造力。我相信，通过这本书的学习，我能够对复函数论的几何直观和结构美学有更深入的理解。

评分☆☆☆☆☆

我一直在寻找一本能够系统性地引导我学习复函数论的书籍，而这本《复函数论导论》的出现，恰好满足了我的这一需求。我并非科班出身的数学专业人士，但我在工作和学习中，经常会遇到需要用到复数和复变函数概念的场景，尤其是在处理信号、系统或者进行数值模拟时。我希望这本书能够成为我学习复函数论的“敲门砖”，为我打下坚实的基础。我的学习偏好是，理论讲解要清晰透彻，同时要有足够的例题来辅助理解和练习。我尤其关注书中的练习题设计。我希望练习题能够覆盖到本章的重点和难点，并且难度有所区分，从简单的概念检验题，到需要一定分析和推理才能解决的应用题。我希望通过做这些练习题，能够检验我对知识的掌握程度，并且能够熟练运用所学到的工具去解决实际问题。我希望这本书在讲解理论时，能够尽量用直观的方式解释抽象概念，比如利用图形、图表等辅助工具，帮助我建立起对复数运算、复变函数图像、映射关系等的直观认识。另外，我希望这本书在后续章节中，能够涉及一些复函数论在工程领域中的实际应用，比如在通信系统中的滤波设计，或者在控制理论中的稳定性分析等等。如果书中能够提供一些简化的应用案例，并展示复函数论在其中扮演的关键角色，那对我来说将是极大的帮助，能够让我更好地理解学习这些抽象数学概念的实际意义和价值。

评分☆☆☆☆☆

拿到这本书之后，我做的第一件事就是翻阅目录，看看它的章节安排是否合理。从目录上看，它似乎涵盖了复函数论的核心主题，从最基本的复数运算和几何表示，到解析函数的概念，再到路径积分、留数定理，最后可能还会涉及一些更高级的应用。我个人对于解析函数的定义和性质特别感兴趣，因为我听说这是复函数论的基石，理解了它，才能更好地理解后续的内容。我希望作者在讲解解析函数时，能够深入剖析柯西-黎曼方程的意义，以及它与复可微性的深刻联系。同时，我也期待作者能够详细解释路径积分在复分析中的重要性，以及它如何引出留数定理等强大的工具。留数定理在计算一些复杂的定积分和级数求和时非常有用，我希望这本书能给出清晰的推导过程和丰富的应用示例。另外，我对共形映射也充满好奇。我听说共形映射在几何、物理等领域有着广泛的应用，能够将一个区域的形状“变形”到另一个区域，而保持角度不变。我希望这本书能够对共形映射的性质和构造方法进行详细的阐述，并提供一些具体的例子，比如莫比乌斯变换等。作为一本导论性质的书籍，我希望它能够引导读者理解这些概念的内在联系，而不是孤立地介绍知识点。我对它的练习题设计也抱有很高的期望，希望题目能够由浅入深，既能帮助我巩固所学知识，又能激发我的思考，甚至能让我自己去发现一些新的规律。一本好的教材，应该能够让读者在解题的过程中不断进步，而不是仅仅停留在被动接受知识的阶段。

评分☆☆☆☆☆

在我看来，一本优秀的数学教材，不仅仅在于其内容的深度和广度，更在于它能否激发读者的思考，并培养读者的数学直觉。这本《复函数论导论》，我希望它能成为这样一本能够“点燃”我数学热情的好书。我期待它在讲解过程中，能够穿插一些“思想实验”或者“探究性”的问题，引导我去思考，去发现，而不是仅仅被动地接受信息。我尤其希望在讲解到一些关键定理时，作者能够花时间解释“为什么”这个定理是成立的，以及这个定理的“直观意义”是什么。比如，对于柯西积分定理，我希望作者能够通过一些直观的几何解释，说明为什么封闭曲线上的路径积分等于零。对于留数定理，我希望作者能够解释“留数”的概念是如何产生的，以及它在计算积分时为什么如此有效。我希望本书的例子能够不仅仅是简单的计算题，而是一些能够体现数学思想精髓的“小故事”。我希望在阅读这本书时，能够感受到数学家们探索未知、构建理论的严谨精神和创新思维。我特别期待书中能够有一些“拓展阅读”或者“进阶思考”的内容，能够引导我进一步去探索复函数论的其他分支，或者去了解它与其他数学分支的联系。一本好的导论，应该能够在我学完之后，留给我更多的疑问和探索的动力，而不是让我觉得“学完了，就结束了”。我希望这本书能够让我对复函数论产生长久的兴趣，并为我未来更深入的学习和研究打下坚实的思想基础。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对数学“基础学科”充满敬畏的读者，我一直认为，任何一个学科的深入发展，都离不开对基本概念的深刻理解。复函数论，作为高等数学的一个重要分支，其基础概念的严谨性和清晰性至关重要。我翻阅这本书，首先关注的是它对“复数”这一基本元素的定义和运算的阐述。我希望它能从最直观的几何意义出发，比如复平面上的点，以及它们的加减乘除运算在几何上是如何体现的，这对于建立初学者的直观理解至关重要。然后，我期待它能流畅地过渡到“函数”的概念，特别是“复变量函数”。这个从实变量函数到复变量函数的跨越，本身就蕴含着很多新的挑战和有趣的性质。我希望作者能够清晰地解释什么是复函数的定义域、值域，以及如何表示和计算复函数的值。更重要的是，我希望它能详细介绍“解析函数”这一核心概念。我听说解析函数是复函数论中“非常重要”且“行为非常良好”的一类函数，它的定义离不开“可微性”。我希望作者能够详尽地讲解复变函数的“可微性”的定义，以及它与实变函数的可微性有何异同。我尤其期待它能对柯西-黎曼方程进行深入的剖析，解释它为何是复函数解析的充要条件，并举例说明如何利用柯西-黎曼方程来判断一个复函数是否是解析的，以及如何从中推导出解析函数的性质。我希望这本书的讲解风格能够层层递进，让我在理解一个概念后，能够自然而然地进入下一个概念的学习，避免知识点的跳跃，从而建立起牢固的知识体系。

评分☆☆☆☆☆

我拿到这本《复函数论导论》，内心是充满期待的。作为一名对数学理论有着浓厚兴趣的读者，我总觉得，一些抽象的数学概念背后，往往隐藏着极其深刻的逻辑和美学。复函数论，在我看来，就是这样一门既抽象又充满魅力的学科。我非常希望这本书能够展现出复函数论的“内在美”，而不仅仅是一堆公式和定理的堆砌。我期待作者能够在讲解过程中，巧妙地融入一些数学史的背景，比如复数概念的起源和发展，或者某些重要定理的发现过程。这样的叙述方式，不仅能让学习过程更加生动有趣，也能帮助我理解这些数学概念是如何在人类智慧的长河中演变和成熟的。我尤其对复变函数的积分及其相关的定理（如柯西积分定理、柯西积分公式、留数定理）感到好奇。我听说这些工具是复函数论中最强大的武器之一，它们能够解决很多实变函数积分无法解决的问题，甚至能够用于计算一些看似非常复杂的定积分。我希望这本书能够清晰地阐述这些定理的由来，并通过一些精彩的例子来展示它们的威力。我期待作者能够用严谨又不失启发性的语言，一步步引导我理解这些抽象的数学思想，比如路径积分的几何意义，以及留数在计算中的作用。我相信，一本真正优秀的数学导论，不仅要传授知识，更要启迪思想，让读者在掌握方法的同时，也能感受到数学的魅力和力量。

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