竞赛数学解题研究（第3版）/高等学校教材 [Problem-Solving Research in Competitive Mathematics] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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张同君，陈传理 编

图书标签:

• 数学
• 竞赛数学
• 解题技巧
• 高等教育
• 教材
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• 问题解决
• 数学分析
• 组合数学
• 数论

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040377330

版次：3

商品编码：11304256

包装：平装

外文名称：Problem-Solving Research in Competitive Mathematics

开本：16开

出版时间：2013-07-01

用纸：胶版纸

页数：416

字数：490000

正文语种：中

内容简介

　　《竞赛数学解题研究（第3版）/高等学校教材》为《竞赛数学教程》（第三版）的配套教材，与教材的篇、章、节的编排一致。每章或节基本上是由A组和B组两部分内容组成。A组除对教材中的习题进行详细分析和解答外，还在同一水平上补充了一些题目。B组篇幅大致与A组相同，但水平、难度及技巧都有所提高。全书所选题目大都为国内外数学竞赛题。这些题目思维层次高，更富于数学创造力。
　　《竞赛数学解题研究（第3版）/高等学校教材》为各类师范院校数学教育专业本、专科生的教材和研究生的学习用书，也可作为数学奥林匹克教练员培训班教材。

内页插图

目录

第一篇 从数学竞赛到竞赛数学
第一章 数学竞赛
第二章 竞赛数学

第二篇 竞赛数学的主要内容
第三章 数论
3.1 整数的整除性
3.2 整数的奇偶性
3.3 同余
3.4 费马小定理
3.5 不定方程
3.6 高斯函数
第四章 代数
4.1 多项式与方程
4.2 数列
4.3 不等式
4.4 函数与最值
4.5 复数
4.6 函数迭代与函数方程
第五章 几何
5.1 几何证明的方法与技巧
5.2 几个重要定理
5.3 几个典型的几何问题
5.4 几何不等式
第六章 组合数学
6.1 抽屉原则
6.2 容斥原理
6.3 组合计数
6.4 组合几何及其应用
6.5 图形覆盖问题
6.6 图论问题

第三篇 竞赛数学解题的常用方法
第七章 解题思想方法
7.1 化归
7.2 构造
7.3 对应
7.4 极端原理
第八章 解题方法
8.1 数学归纳法
8.2 反证法
8.3 逐步调整法
8.4 赋值法

《竞赛数学解题研究》（第3版）：通往数学奥赛的智慧之径 本书是为有志于在各类数学竞赛中取得优异成绩的学生精心打造的进阶指南。不同于基础数学教材，《竞赛数学解题研究》（第3版）聚焦于竞赛数学的核心思想、解题技巧与策略，旨在帮助读者构建坚实的数学思维框架，提升解决复杂问题的能力。本书内容涵盖了国家级、省级乃至国际级数学竞赛中常出现的关键知识点和高频考题类型，力求为每一位有抱负的数学学子提供一套系统、深入的学习方案。 核心内容概览 本书的结构设计以“精学、深练、巧思”为核心，紧密围绕竞赛数学的几个主要分支展开，并辅以大量的实战演练和解题思路剖析。 一、数论（Number Theory） 数论是竞赛数学中最为基础且极具魅力的部分之一。本书在数论章节的设置上，不仅复习了整除性、同余方程、模运算等基本概念，更深入探讨了素数分布、丢番图方程、数论函数、以及在竞赛中极其重要的威尔逊定理、费等理、欧拉定理及其推广等。 整除与同余： 从最基本的整除性质出发，逐步引入同余关系，并详细讲解线性同余方程组的求解方法，包括中国剩余定理的应用。竞赛中，这类问题常以“模”为切入点，考察对数字性质的敏锐洞察力。 数论函数： 欧拉函数 $phi(n)$、莫比乌斯函数 $mu(n)$、约数函数 $sigma_k(n)$ 等在组合计数和数论问题中扮演着重要角色。本书将详细讲解这些函数的性质，以及它们与素数分解、整除性等的关系，并提供运用它们解决实际竞赛问题的实例。 丢番图方程（Diophantine Equations）： 线性丢番图方程、二次丢番图方程，尤其是费马方程的某些特例，以及与椭圆曲线相关的初等方法，都将在本书中得到系统性的介绍。如何识别方程的可行性、寻找特解、并推导出通解，将是重点讲解的内容。 特殊数与定理： 完全平方数、完全数、梅森素数、费马数等特殊数的研究，以及著名的威尔逊定理、费马小定理、欧拉定理在简化计算、证明性质、解决模方程中的应用，将是本书的亮点。例如，如何利用费马小定理快速判断一个数是否为素数（费马素性检验的原理），或者如何利用同余性质解决复杂的排列组合问题。 数论在其他领域的应用： 数论的概念和方法常常渗透到代数、几何、组合等领域。本书将展示如何运用数论思想解决一些看似与数论无关的问题，例如涉及周期性、编码、或者具有数论结构的组合问题。 二、代数（Algebra） 代数部分在竞赛数学中占据举足轻重的地位，其内容涉及多项式、不等式、函数方程、组合代数等。本书将从基础的代数恒等式出发，逐渐深入到更具挑战性的内容。 多项式理论： 多项式的根、根与系数的关系（韦达定理）、多项式的值、多项式的因式分解、对称多项式、以及在代数几何中具有重要意义的代数簇的初步概念，都将得到详尽的阐述。尤其会强调如何在竞赛中构造辅助多项式，或者利用多项式的性质来简化问题。 不等式： 基本不等式（算术-几何平均不等式、柯西-施瓦茨不等式、闵可夫斯基不等式等）的证明、推广及其在证明中的应用是本书的重点。此外，还将介绍更高级的不等式，如詹森不等式、毛辣不等式，并讲解如何运用切线法、放缩法、构造辅助函数等技巧来证明复杂的不等式。 函数方程（Functional Equations）： 涉及各种形式的函数方程，如柯西函数方程及其推广、迭代方程、以及利用对称性、单调性、奇偶性等性质求解函数方程的技巧。本书将提供大量经典函数方程的解法，并指导读者如何通过代入特殊值、变量替换、数学归纳法等方法寻找方程的解。 组合代数（Combinatorial Algebra）： 涉及群论、环论、域论等抽象代数的初步概念，但更侧重于在竞赛中应用。例如，有限域上的多项式、伽罗瓦理论在数域扩张和多项式可解性中的应用，以及群论在对称性问题和计数问题中的应用。 复数与复平面（Complex Numbers and the Complex Plane）： 复数的运算、几何意义、复数在代数和几何问题中的应用。例如，利用复数解决几何旋转、共圆性等问题，以及复数在代数方程求解中的作用。 三、几何（Geometry） 几何部分是竞赛数学中最具视觉冲击力和创造性的领域之一。本书将引导读者穿越欧几里得几何的殿堂，并触及部分非欧几何和代数几何的思想。 欧几里得几何（Euclidean Geometry）： 从基本公理和定理出发，深入讲解相似、全等、圆的性质、三角形的特殊点（重心、内心、外心、垂心）及其性质、四边形的性质。本书特别关注利用几何变换（平移、旋转、对称、相似）来简化问题，以及利用向量、复数、坐标等代数工具来解决几何问题。 解析几何（Analytic Geometry）： 直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程与性质，以及它们在竞赛问题中的应用。如何通过坐标系的选择、变量代换等方法，将复杂的几何问题转化为代数方程进行求解。 三角学（Trigonometry）： 三角函数的基本性质、恒等式、解三角形、以及三角函数在几何问题中的应用。如何利用正弦定理、余弦定理、射影定理等来解决复杂几何图形中的长度、角度、面积问题。 立体几何（Solid Geometry）： 点、直线、平面在空间中的位置关系，多面体（棱锥、棱柱、球体）的性质，以及利用向量、坐标系解决立体几何问题的方法。 几何不等式与最值问题： 利用几何直观和代数方法证明几何不等式，以及求解几何量（长度、面积、体积）的最值问题。 四、组合数学（Combinatorics） 组合数学是竞赛数学中一个充满智慧和创造力的领域，其内容涵盖计数原理、概率、图论、博弈论等。 计数原理： 排列、组合、重复组合、容斥原理、生成函数、递推关系等。本书将重点讲解如何识别问题中的“可区分”与“不可区分”元素，以及如何运用不同的组合方法来准确计算。 概率论基础： 离散概率、条件概率、独立事件、期望、方差等。在竞赛中，概率题往往与计数问题相结合，考察对随机事件的理解和计算能力。 图论基础： 图的定义、连通性、路径、回路、树、二分图、匹配等。图论在解决网络问题、染色问题、编码问题、以及一些抽象的组合关系问题中有着广泛的应用。 博弈论初步（Game Theory）： 尼姆游戏（Nim Game）等经典的公平游戏和非公平游戏的分析，以及如何运用博弈论思想解决一些具有策略性的数学问题。 鸽巢原理（Pigeonhole Principle）： 鸽巢原理的各种形式及其在证明存在性问题和计数问题中的巧妙应用。 五、解题方法与策略 本书不仅讲解了知识点，更注重解题思想的培养。在每一章节的最后，都会有专门的“解题方法与策略”部分，总结该章节的典型解题技巧。 转化与化归（Transformation and Reduction）： 将复杂问题转化为简单问题，或将不同领域的问题相互转化。 构造法（Construction）： 构造辅助元素、辅助图形、辅助方程、辅助函数等。 反证法（Proof by Contradiction）： 通过假设结论不成立，导出矛盾，从而证明原结论。 数学归纳法（Mathematical Induction）： 证明与自然数相关的命题。 特例法与一般化（Special Cases and Generalization）： 从特殊情况入手，寻找规律，然后推广到一般情况。 对称性与不变性（Symmetry and Invariants）： 利用问题的对称性或寻找问题的 Invariants 来简化求解。 可视化与直观（Visualization and Intuition）： 运用图形、图表等帮助理解问题，培养数学直觉。 本书特色与优势 内容全面且深入： 覆盖了竞赛数学的各个核心领域，并且对每个知识点都进行了深入的挖掘和阐述，力求做到“知其然，更知其所以然”。 例题精选且典型： 所选例题均来自各级各类数学竞赛，具有代表性、典型性和启发性，能够有效地帮助读者掌握解题技巧。 解析详尽且易懂： 对每个例题都进行了详细的解析，步骤清晰，思路明确，并常常提供多种解法，帮助读者理解不同方法之间的联系与区别。 强调思维训练： 重点在于培养读者的数学思维能力，而不是死记硬背公式。通过大量的解题示范，引导读者学会如何分析问题、寻找突破口、构建解题框架。 循序渐进的学习路径： 内容安排由浅入深，由基础到提高，适合不同水平的数学爱好者。 激发学习兴趣： 通过介绍数学竞赛的历史、名人轶事以及数学的魅力，激发读者对数学学习的浓厚兴趣。 适用读者 本书适合以下人群： 参加全国青少年数学竞赛（CMO）、中国数学奥林匹克（IMO）等高水平数学竞赛的选手。 对数学竞赛有浓厚兴趣，希望系统学习和提升数学解题能力的中学生。 大学数学专业本科生，希望拓宽数学视野，掌握更强的数学分析和解决问题的能力。 对数学竞赛感兴趣的数学教师和家长。 结语 《竞赛数学解题研究》（第3版）不仅仅是一本解题技巧的书，它更是一份通往数学奥赛智慧殿堂的地图。通过本书的学习，我们希望读者能够掌握扎实的数学知识，训练敏锐的数学思维，养成严谨的数学逻辑，最终在数学竞赛的舞台上绽放光彩。愿本书成为您追求卓越数学之路上的忠实伙伴。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计就充满了智慧的光芒，简约而又不失专业感。当我第一次拿到这本书时，就被它深沉的蓝色和银色的书名触动了，仿佛预示着一场智力的探险即将展开。这本书的排版也十分精细，每一页都经过精心设计，文字清晰，图表标注明确，阅读起来非常舒适，不会因为眼部疲劳而影响思考。我尤其喜欢书中对例题的解析方式，它不仅仅是给出答案，更是深入剖析了思考的整个过程，从最初的观察、联想到最终的推理和验证，每一个步骤都清晰可见，让我能够真正理解“为什么”这么做，而不是死记硬背。书中提供的不同解题策略更是让我大开眼界，原来一道题目可以用如此多的角度去审视和解决，这极大地拓展了我的解题思路，让我不再局限于固有的思维模式。即使是看似简单的题目，通过书中精妙的讲解，也能发现其中蕴含的深刻数学思想，这让我对数学的认识有了更深层次的提升。总而言之，这本书不仅仅是一本教材，更像是一位循循善诱的良师益友，引导我在竞赛数学的海洋中乘风破浪，不断探索。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，最初拿到这本书的时候，我对其内容并没有抱有太高的期望，毕竟“竞赛数学”这个词本身就带有一些望而却步的意味。然而，翻开第一页，我便被一种前所未有的学习体验所吸引。这本书并没有一开始就抛出高深的理论，而是从一些非常基础但又极其巧妙的例子入手，层层递进，让我感觉学习过程非常自然和流畅。我特别欣赏书中对于“思维陷阱”的揭示，作者似乎能洞察到我们学生在解题过程中常常会犯的错误，并且提前设置了“警示”，让我们能够有意识地去规避。这不仅仅是知识的传授，更是学习方法的指导。书中对于一些经典竞赛题型的解法更是细致入微，每一个公式、每一个定理的应用都解释得清清楚楚，并且还会探讨其他可能的解法，这让我觉得自己不再是孤军奋战，而是有了一个强大的智力后盾。每一次阅读，都仿佛完成了一次智力上的“按摩”，让我感到轻松之余，思维也得到了极大的锻炼。这本书让我明白了，数学不仅仅是数字和公式，更是一种解决问题的艺术。

评分☆☆☆☆☆

不得不说，这是一本极具“深度”的书。它并没有简单地罗列解题技巧，而是着力于培养读者对数学问题的“洞察力”和“创造力”。书中对每一个题目的分析都极其透彻，从问题的背景、可能的解题方向，到每一步的逻辑推导，都交代得清清楚楚。我尤其欣赏书中对“数学思想”的强调，它教会我们不仅仅是掌握具体的解题方法，更要去理解这些方法背后的数学原理和思想精髓。这就像是学习武功，不仅仅是记住招式，更重要的是领悟内功心法。书中通过大量的例题，展示了如何将抽象的数学概念与具体的解题实践相结合，让我看到了数学的强大力量。我曾经一度认为自己的数学思维已经比较成熟，但在阅读了这本书之后，我才意识到自己还有很大的提升空间。这本书让我对数学产生了全新的认识，也让我对未来的学习充满了信心和期待。它绝对是提升数学解题能力和思维层次的绝佳选择。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我最大的感受就是其“人性化”的教学设计。它并没有像一些传统教材那样，一开始就用密集的公式和晦涩的定义来“劝退”读者。相反，它以一种循序渐进、引人入胜的方式，将复杂的数学概念分解成易于理解的组成部分。我特别欣赏书中在讲解一个新概念时，会立刻结合一个生动有趣的例子，让我能够迅速建立起感性认识，然后再深入到理论的层面。这种“知行合一”的学习方式，极大地降低了学习难度，也让学习过程充满了乐趣。书中对于学生在解题过程中可能遇到的困难和困惑，都有着非常细致的预判和解答，仿佛作者本人就是一位经验丰富的教练，时刻关注着我的进步。我曾经在解一道题目时卡住了很久，但当我翻阅到书中相关的部分时，茅塞顿开，原来是思路方向出了偏差。这本书不仅仅是知识的搬运工，更是学习方法的启蒙者，让我学会如何更有效地学习数学。

评分☆☆☆☆☆

对于我这样在数学领域摸爬滚打多年的学生来说，市面上充斥着各种算法和技巧的书籍，但真正能够触及“解题研究”本质的却屈指可数。这本书，恰恰填补了这一空白。它不仅仅停留在“如何解题”的层面，更深入地探讨了“如何思考解题”。书中对数学思维的培养有着独到的见解，它鼓励读者从问题本身出发，去发掘其内在的数学结构，而不是急于套用现成的公式。我尤其喜欢书中关于“数学建模”的探讨，如何将现实世界的问题抽象成数学模型，再通过数学方法进行求解，这是一种非常强大的能力，也是竞赛数学的核心所在。书中的案例分析也非常具有代表性，涵盖了各类竞赛中常出现的题型，并且提供了多种解题思路，甚至会引导读者去发现更优化的解法。每一次阅读，都让我对数学的理解更加深刻，也更加热爱这项充满挑战的学科。这本书绝对是每一个有志于在竞赛数学领域取得突破的学生不可或缺的宝藏。

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一． 位于中间数学。这种中间性也是综合**叉性和桥梁性，表现在三个方面：（1） 中学数学与大学数学之间（2） 学校数学与研究数学之间（3） 严肃数学与趣味数学之间。

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二． 邻接研究数学 （1） 内容的新颖性（2） 方法的创造性数学竞赛题代表了活的数学。解竞赛题虽离不开一般的思维规律，离不开数学知识，也有一些使用频率较大的方法和技巧，但大都没有常规模式可套，也无万能范本可循。且赛题内容不断更新，重要的是整体全局上的洞察力、敏锐的直觉和独创性的构思。

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四． 构成教育数学 由于竞赛数学本能地展示了数学思想，生动地普及了数学文化，因而具有一定的教育价值，表现为选拔功能，激励功能和导向功能。如： 1. 发现人才、选拔人才和培养人才 2. 激励青少年学习数学的兴趣 3. 为中学数学教材改革进行过度 4. 强化能力培养的教学导向 5. 促进中学数学教师的知识更新 6. 为“第二课堂”增添活数学的内容 7. 为初等数学研究开拓新的领域 8. 为数学方法论的研究注入新鲜活力。

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《竞赛数学解题研究（第3版）/高等学校教材》为各类师范院校数学教育专业本、专科生的教材和研究生的学习用书，也可作为数学奥林匹克教练员培训班教材。

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综上所述，竞赛数学是一种教育数学，它具有教育的功能，并表现出中间性和艺术性。

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四． 构成教育数学 由于竞赛数学本能地展示了数学思想，生动地普及了数学文化，因而具有一定的教育价值，表现为选拔功能，激励功能和导向功能。如： 1. 发现人才、选拔人才和培养人才 2. 激励青少年学习数学的兴趣 3. 为中学数学教材改革进行过度 4. 强化能力培养的教学导向 5. 促进中学数学教师的知识更新 6. 为“第二课堂”增添活数学的内容 7. 为初等数学研究开拓新的领域 8. 为数学方法论的研究注入新鲜活力。

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竞赛数学的璀璨宝典啊。

评分☆☆☆☆☆

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