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丘维声 著

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出版社： 清华大学

ISBN：YL12727

商品编码：27306471060

9787302446040  9787302483670  YL12727

书名：高等代数学习指导书（二版：上册）

定价：78.00元

出版社： 清华大学出版社

 ISBN：9787302483670

版次：2

包装：平装

开本：16

开出版时间：2017-12-01

本套书是大学“高等代数”课程的辅导教材，是作者多年来在北京大学从事高等代数数学工作的结晶。本套书共有11章，分上、下两册。每章节主体结构包括内容精华、典型例题、习题三部分，章末还有补充题。本书阐述了高等代数的理论，总结了高等代数中重要的典型题型及考研题型，提炼了解题的规律、方法和技巧，旨在通过对理论的阐述以及解题方法和技巧的分析，使读者能掌握理论，举一反三、触类旁通。本书可作为“高等代数”或“线性代数”课程的教学参考书，也可供从事高等代数或线性代数教学的教师参考，还可作为工学、理学、经济学、管理学等学科专业硕士生入学考试数学科目的复习用书。

高等代数学习指导书（二版:上册）

引言高等代数的内容和学习方法1

1章线性方程组4

1.1线性方程组的解法4

1.1.1内容精华4

1.1.2典型例题6

1.1.3提高10

习题1.112

1.2线性方程组的解的情况及其判别准则13

1.2.1内容精华13

1.2.2典型例题15

习题1.219

1.3数域21

1.3.1内容精华21

1.3.2典型例题22

习题1.323

补充题一23

2章行列式24

2.1n元排列25

2.1.1内容精华25

2.1.2典型例题25

习题2.127

2.2n阶行列式的定义28

2.2.1内容精华28

2.2.2典型例题30

习题2.231

2.3行列式的性质33

2.3.1内容精华33

2.3.2典型例题34

习题2.338

2.4行列式按一行（列）展开40

2.4.1内容精华40

2.4.2典型例题42

习题2.453

2.5克拉默（Cramer）法则57

2.5.1内容精华57

2.5.2典型例题59

习题2.562

2.6行列式按k行（列）展开63

2.6.1内容精华63

2.6.2典型例题66

习题2��668

补充题二69

3章n维向量空间Kn72

3.1n维向量空间Kn及其子空间73

3.1.1内容精华73

3.1.2典型例题76

习题3.179

3.2线性相关与线性无关的向量组80

3.2.1内容精华80

3.2.2典型例题83

习题3.291

3.3线性无关组，向量组的秩92

3.3.1内容精华92

3.3.2典型例题95

习题3.3100

3.4向量空间Kn及其子空间的基与维数101

3.4.1内容精华101

3.4.2典型例题103

习题3.4106

3.5矩阵的秩107

3.5.1内容精华107

3.5.2典型例题111

习题3.5118

3.6线性方程组有解的充分条件120

3.6.1内容精华120

3.6.2典型例题121

习题3.6124

3.7齐次线性方程组的解集的结构125

3.7.1内容精华125

3.7.2典型例题127

习题3.7131

3.8非齐次线性方程组的解集的结构132

3.8.1内容精华132

3.8.2典型例题134

习题3.8138

补充题三139

4章矩阵的运算140

4.1矩阵的加法、数量乘法与乘法运算140

4.1.1内容精华140

4.1.2典型例题143

习题4.1151

4.2特殊矩阵154

4.2.1内容精华154

4.2.2典型例题160

习题4.2166

4.3矩阵乘积的秩与行列式167

4.3.1内容精华167

4.3.2典型例题172

习题4.3182

4.4可逆矩阵184

4.4.1内容精华184

4.4.2典型例题188

习题4.4201

4.5矩阵的分块203

4.5.1内容精华203

4.5.2典型例题208

习题4.5227

4.6正交矩阵·欧几里得空间Rn230

4.6.1内容精华230

4.6.2典型例题235

习题4.6248

4.7Kn到Ks的线性映射250

4.7.1内容精华250

4.7.2典型例题253

习题4.7258

《高等代数新解：理论精要与方法集锦》 引言： 高等代数，作为数学科学的基石之一，其深邃的理论体系和严谨的逻辑推理，不仅是高等教育阶段数学专业的核心课程，更是其他理工科类专业不可或缺的数学基础。它为我们打开了理解抽象数学结构的钥匙，是探索更广阔数学领域，乃至理解现代科学技术原理的起点。《高等代数新解》旨在为广大读者，尤其是正在攻读高等代数的学生，提供一套系统、全面、深入的学习辅助材料。本书并非对现有经典教材的简单重复，而是力求在保留高等代数核心精髓的基础上，进行创新性的梳理与阐释，帮助读者构建更清晰的知识框架，掌握更有效的学习方法，提升解决问题的能力。 本书特色与内容亮点： 本书最大的特色在于其“新解”二字。我们深知，高等代数的学习往往面临概念抽象、证明繁琐、联系不直观等挑战。《高等代数新解》正是针对这些痛点，通过以下几个方面，为读者带来耳目一新的学习体验： 1. 理论精要，脉络清晰： 本书精选了高等代数中最核心、最常考的知识点，并对其进行提炼和概括。我们摒弃了冗余的枝蔓，力求用最简洁、最准确的语言，将繁杂的定义、定理、性质条理化。例如，在线性空间与线性映射部分，我们不仅仅罗列定理，而是着重梳理了线性空间的基本结构、子空间运算、基与维数、线性无关与极大线性无关组之间的内在联系，以及线性映射的核与像、秩与零度定理之间的深刻关系。对于矩阵理论，我们不再孤立地讲解矩阵运算，而是将其与线性方程组、二次型、特征值与特征向量等核心概念紧密联系，揭示矩阵作为线性变换的载体，其内部结构的意义。 2. 方法集锦，解题导引： 理论学习的最终目的是解决问题。本书为读者提供了大量实用的解题方法与技巧。我们不仅给出标准解法，更深入剖析解题思路，引导读者理解“为何如此求解”。对于常见的计算和证明题型，我们总结了行之有效的策略，例如，在处理线性方程组时，详细介绍了高斯消元法、克拉默法则、以及根据系数矩阵和增广矩阵秩判断解的性质的方法；在涉及向量组的线性相关与无关判断时，我们提供了构造矩阵、利用定义、以及结合子空间维数的多种思路。对于抽象的证明题，本书提炼了常用的证明技巧，如构造性证明、反证法、数学归纳法、利用特殊性质（如对称性、正定性）等，并结合具体例题进行示范。 3. 核心概念，透彻解析： 高等代数中许多概念如向量空间、线性映射、特征值、 Jordan 标准型等，其抽象性是学习的难点。本书将这些核心概念置于显微镜下，通过多角度的阐释、形象的比喻（在不失严谨的前提下）、以及与具体数学对象的联系，帮助读者建立直观的理解。例如，在讲解特征值和特征向量时，我们将其形象地比喻为“不变方向”，解释了它们在变换下的“伸缩”性质，并说明了其在动力系统、图论等领域的应用潜力，从而激发读者的学习兴趣。对于 Jordan 标准型，我们不仅仅停留在计算公式，更着重于其作为一种“最简形式”的意义，揭示了它如何刻画一个线性算子的基本结构。 4. 专题深化，拓展视野： 在掌握基础理论和解题方法之后，本书还选取了一些重要的专题进行深入探讨，旨在拓展读者的学术视野，为进一步学习打下坚实基础。这些专题可能包括：多项式理论及其应用、外代数初步、张量代数简介、群论入门等。这些内容将帮助读者理解高等代数在更广泛数学分支中的作用，以及其在物理、计算机科学、工程等领域的应用潜力。 5. 疑难点拨，扫清障碍： 针对学习过程中常见的难点和易混淆之处，本书设置了专门的“疑难点拨”环节。例如，在区分向量组的“线性组合”与“线性生成子空间”时，我们会清晰界定它们的涵义和关系；在理解“可逆矩阵”与“满秩矩阵”的关系时，我们会从行列式、特征值、线性方程组解的唯一性等多个角度进行论证。这些细致的解析，旨在帮助读者扫清思维盲区，避免概念上的误解。 本书结构安排： 全书按照高等代数的主流教学体系进行编排，从基础概念逐步深入到复杂理论。 第一部分：基本概念与运算 第一章：多项式理论基础 多项式的定义、运算与性质 整除性、公约式与最小公倍式 根的性质与多项式方程 重点解析： 多项式作为代数对象的重要性，与线性代数联系的初步展现。 第二章：行列式 行列式的定义、性质与计算 代数余子式与行列式展开 重点解析： 行列式在判断线性方程组解的唯一性、矩阵可逆性中的核心作用。 第二部分：线性空间与线性映射 第三章：向量空间 向量空间的定义与性质 子空间的运算 线性组合、线性无关与线性相关 基与维数 重点解析： 抽象化思维的起点，理解向量空间的结构。 第四章：线性映射 线性映射的定义、性质与运算 核与像、秩与零度定理 同构与同态 重点解析： 线性变换的本质，理解函数在向量空间上的行为。 第三部分：矩阵理论与应用 第五章：矩阵 矩阵的定义、运算与性质 矩阵与线性方程组的关系 可逆矩阵与初等变换 重点解析： 矩阵作为线性映射的载体，沟通抽象理论与具体计算的桥梁。 第六章：矩阵的秩与等价 矩阵的秩及其性质 矩阵的等价与标准型 重点解析： 矩阵秩与向量组秩的联系，理解矩阵结构的重要指标。 第四部分：特征值与特征向量，二次型 第七章：特征值与特征向量 特征值与特征向量的定义与计算 特征多项式与迹、行列式的关系 相似矩阵与对角化 重点解析： 揭示变换的“本质方向”与“伸缩因子”，在应用中极为重要。 第八章：二次型 二次型的定义与矩阵表示 配方法与矩阵的合同变换 正定性及其判别 重点解析： 二次型在优化、几何等领域的作用，与对称矩阵的紧密联系。 第五部分：深入与拓展 第九章： Jordan 标准型 广义特征向量与初等因子组 Jordan 标准型的存在性与唯一性 重点解析： 刻画线性算子的最简结构，处理非对角化情况的关键。 第十章：专题选讲（例如：欧几里得空间，线性群等） 重点解析： 提升理论深度，为进一步学习和研究打下基础。 结语： 学习高等代数是一个循序渐进、不断深入的过程。《高等代数新解》致力于成为读者在这一过程中的可靠伙伴。我们希望通过本书，帮助读者不仅掌握高等代数的知识点，更能培养严谨的数学思维，提升解决复杂问题的能力，最终体会到数学的魅力与力量。无论是作为课堂学习的辅助，还是独立复习备考的工具，本书都将是您坚实的后盾。愿本书能助您在高等代数的学习之路上，拨云见日，豁然开朗。

评分☆☆☆☆☆

这本《高等代数学习指导书》的出现，真是我这段时间学习上的及时雨。我之前一直苦于找不到一个真正能帮我理解高等代数精髓的学习辅助材料。学校发的教材虽然严谨，但对我这样的初学者来说，实在是有点过于抽象和晦涩。这本指导书，完全从一个学习者的角度出发，细心地拆解了每一个概念，并且用非常清晰易懂的语言进行了阐释。它不仅仅是简单地重复教材的内容，而是对教材中的定理、定义进行了更深入的剖析，还提供了大量的例题，这些例题的难度梯度设计得非常合理，从最基础的应用到一些稍有挑战性的思考题，应有尽有。最让我惊喜的是，书中对一些容易混淆的概念，比如向量空间与仿射空间，线性映射的核与像，以及二次型的分类等，都进行了非常细致的区分和对比，这极大地避免了我走弯路。而且，它还提供了很多解题思路的引导，让我不再是被动地接受答案，而是学会如何去思考问题，如何去构建解题的框架。我感觉自己不仅仅是在学习知识，更是在学习一种解决数学问题的能力。

评分☆☆☆☆☆

我一直觉得，学习高等代数最让人头疼的就是那些抽象的符号和复杂的推导，常常让人感觉雾里看花。这本《高等代数学习指导书》在这方面做得非常到位。它并没有因为是“学习指导书”而简化内容，而是用一种更加“接地气”的方式来解释那些高深的理论。书中对很多抽象概念的引入，都采用了循序渐进的方式，从简单的例子入手，逐步过渡到一般性的定义和定理。而且，它还特别注重符号的解释和运算的规范性，这对于我这种一开始就容易在符号上栽跟头的人来说，真是太有帮助了。书中有很多小提示和注意事项，提醒我在学习过程中可能遇到的难点，让我能够提前做好准备。我尤其喜欢它在讲解向量空间和线性变换的部分，结合了非常多的几何直观的解释，让我能够形象地理解这些抽象的概念，而不是仅仅记住那些公式。这种“情境式”的学习方法，让我感觉学习过程不再枯燥，反而充满乐趣。

评分☆☆☆☆☆

我一直觉得，好的辅导书不仅要有详尽的讲解，更要有“画龙点睛”般的升华。这本《高等代数学习指导书》恰恰做到了这一点。它在讲解理论知识的同时，并没有忽视数学思想的培养。书中很多章节都穿插了作者对数学史的简要介绍，或者对某个重要定理发展历程的追溯，这让我对高等代数这门学科有了更宏观的认识，也更能体会到数学家们在探索过程中所付出的智慧和努力。更重要的是，它在讲解方法上也别具一格。作者并没有拘泥于死板的解题步骤，而是强调理解其背后的数学思想和几何直观。例如，在讲解矩阵的相似变换时，它不仅仅给出了代数上的推导，还结合了线性变换在几何空间中的意义，让我能够从不同维度去理解同一个概念，这对于我这种更偏向于形象思维的学习者来说，简直是福音。我甚至觉得，这本书本身就是一本优秀的数学思维启蒙读物，它教会我的不仅仅是高等代数的具体内容，还有如何去欣赏数学的美。

评分☆☆☆☆☆

我一直在寻找一本能够帮助我深入理解高等代数核心概念的学习资料，而这本《高等代数学习指导书》完全满足了我的需求。它不仅仅是一本习题解答集，更是一本帮助读者建立数学思维的宝典。书中对每一个重要定理的证明都进行了非常细致的推导，并辅以清晰的图示和文字解释，让我能够透彻地理解每一个证明步骤背后的逻辑。它还特别强调了定理的应用，提供了大量的例题，展示了如何将抽象的理论转化为解决实际问题的工具。我喜欢它在讲解过程中所体现的严谨性，同时也欣赏它在方法上的灵活性。书中不乏一些“巧妙”的解题方法，这些方法往往能够化繁为简，让人豁然开朗。我感觉通过这本书的学习，我不仅掌握了高等代数的基本知识，更重要的是，我学会了如何去思考数学问题，如何去欣赏数学的精妙之处。这对于我未来的学习和研究都将有深远的影响。

评分☆☆☆☆☆

拿到这本书的时候，我最大的期待就是它能在我做习题时提供一些有效的帮助。坦白说，高等代数的习题很多时候比理论知识还要难对付。而这本《高等代数学习指导书》在这方面做得相当出色。它收录了大量与教材配套的练习题，并且对每一道题都进行了非常详尽的解答。重点不是答案本身，而是解答过程中所展示的思路和技巧。作者会针对一道题，分析它可能考察到的知识点，然后循序渐进地给出解题步骤，并且在关键的地方会点出需要注意的细节或者容易出错的地方。对于一些需要创造性思维才能解决的问题，它还会提供多种解法，并对各种解法的优劣进行比较。这种“由浅入深、层层递进”的讲解方式，让我能够清晰地看到解题的逻辑链条，也学会了如何灵活运用所学的知识。我感觉每次做完练习题，对照着这本书的解析，都能学到不少新的解题技巧，也让我在面对类似的题目时，自信心大大增强。