拉格朗日乘子定理：從一道2005年全國高中聯賽試題的高等數學解法談起 劉培傑數學工作室 9 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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劉培傑數學工作室 著

圖書標籤:

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齣版社： 哈爾濱工業大學齣版社

ISBN：9787560353456

商品編碼：29280401994

齣版時間：2015-08-01

書名	拉格朗日乘子定理：從一道2005年全國高中聯賽試題的高等數學解法談起
定價	28.00
ISBN	9787560353456
齣版社	哈爾濱工業大學齣版社
作者	劉培傑數學工作室
編號	1201204360
齣版日期	2015-08-01
印刷日期	2015-08-01
版次	1
字數	118.00韆字
頁數	158

D11章引言 1.1一道2005年全國高中聯賽試題的高等數學解法 1.2幾個例子 D12章經典*優化——無約束和等式約束問題 2.1無約束極值 2.2等式約束極值和拉格朗日方法 D13章約束極值的*優性條件 3.1不等式約束極值的一階必要條件 3.2二階*優性條件 3.3拉格朗日式的鞍點 D14章數學規劃的拉格朗日乘子 D15章凸規劃的拉格朗日乘子法則 D16章綫性規劃和拉格朗日乘子的經濟解釋 D17章*大原則和變分學 7.1變分學的基本問題 7.2拉格朗日問題 D18章科學中的數學化 8.1科學中的數學化 8.2數學的目標 D19章D1二次世界大戰與美國數學的發展 9.1二次大戰前美國的數學環境 9.2應用數學專門小組的建立 9.3戰時計算和戰後計算機規劃 9.4應用數學專門小組工作概述 9.5戰時研究對數學傢和統計學傢的影響 9.6數學傢的貢獻在軍事上的價值 9.7戰時工作對數學的一些影響 參考文獻

'＜數學中的小問題大定理＞叢書·拉格朗日乘子定理:從一道2005年全國高中聯賽試題的高等數學解法談起'從一道2005年全國高中聯賽試題的高等數學解法談起 詳細介紹瞭拉格朗日乘子定理的相關知識及應用 全書共9章 讀者可以較全麵地瞭解這一類問題的實質 並且還可以認識到它在其他學科中的應用。

數學之美的探索：從聯賽試題窺探拉格朗日乘子定理的深刻內涵 本書並非僅僅是一道高中數學聯賽試題的解法集錦，而是一次對“拉格朗日乘子定理”這一數學工具深邃奧秘的探尋之旅。我們將以一道2005年全國高中聯賽試題為引子，層層剝離，深入淺齣地展現拉格朗日乘子定理的核心思想、強大威力及其在解決各類優化問題中的廣泛應用。 一、 試題緣起：微小的問題，巨大的潛力 我們選擇的這道2005年全國高中聯賽試題，錶麵上看是一道需要巧妙構思纔能求解的組閤數學或幾何題。然而，在深究其本質時，我們會驚奇地發現，其背後蘊含著一個典型的約束優化問題。正是這種“意想不到”的聯係，為我們提供瞭絕佳的切入點，用以揭示拉格朗日乘子定理的優雅與強大。 許多看似初等或中等難度的數學問題，在經過抽象和轉化後，往往能夠映射到更高級的數學理論框架之下。這道聯賽試題恰好是一個絕佳的範例，它以一種“隱藏”的方式，巧妙地將我們引入瞭函數最優化的領域。我們將詳細分析這道試題的結構，識彆其中的目標函數和約束條件，為後續的拉格朗日乘子法鋪設基礎。我們將不迴避任何細節，力求讓讀者對題目的每一個要素都有清晰的認識，理解為何它能夠成為我們探索拉格朗日乘子定理的“鑰匙”。 二、 拉格朗日乘子法的“前世今生”與核心思想 在正式引入拉格朗日乘子定理之前，我們將簡要迴顧其發展曆史，讓讀者對這一重要數學工具的誕生背景有所瞭解。我們將探討在沒有拉格朗日乘子法之前，數學傢們是如何嘗試解決約束優化問題的，以及這些方法存在的局限性。 接著，我們將聚焦於拉格朗日乘子定理的核心思想。我們將以直觀的幾何語言和代數語言相結閤的方式，解釋其基本原理。 幾何直觀： 對於一個目標函數 $f(x, y)$，我們希望找到其在約束條件 $g(x, y) = c$ 下的最優值。在幾何上，目標函數 $f(x, y) = k$ 的等值綫描繪瞭函數的“高度”。而約束條件 $g(x, y) = c$ 則限製瞭我們隻能在一條特定的麯綫上尋找最優值。當等值綫與約束麯綫相切時，我們通常就找到瞭最優解（或局部最優解）。此時，目標函數的梯度 $ abla f$ 與約束函數的梯度 $ abla g$ 是平行的，這意味著它們指嚮相同的（或相反的）方嚮，它們之間的關係可以用一個常數 $lambda$ 來錶示，即 $ abla f = lambda abla g$。這個 $lambda$ 就是我們所說的“拉格朗日乘子”。 代數推導： 我們將通過偏導數的概念，嚴謹地推導齣拉格朗日乘子定理的必要條件。構建拉格朗日函數 $L(x, y, lambda) = f(x, y) - lambda(g(x, y) - c)$，然後求解其偏導數等於零的方程組： $frac{partial L}{partial x} = frac{partial f}{partial x} - lambda frac{partial g}{partial x} = 0$ $frac{partial L}{partial y} = frac{partial f}{partial y} - lambda frac{partial g}{partial y} = 0$ $frac{partial L}{partial lambda} = -(g(x, y) - c) = 0$ 我們將詳細解釋這三個方程的含義，以及它們如何共同作用，引導我們找到潛在的最優解。我們將強調，拉格朗日乘子法提供的是一個“必要條件”，這意味著找到的解是“潛在”的最優解，還需要進一步的分析來確定其真實的最優性（例如，通過二階條件或對函數性質的分析）。 三、 從聯賽試題看拉格朗日乘子法的應用 現在，我們將迴歸最初的2005年全國高中聯賽試題，並運用拉格朗日乘子法來求解。我們將詳細展示： 1. 識彆目標函數與約束條件： 仔細分析試題的題設，將其轉化為清晰的數學錶達式，明確我們需要最大化或最小化的目標函數 $f$，以及必須滿足的約束條件 $g = c$。 2. 構建拉格朗日函數： 根據目標函數和約束條件，構建相應的拉格朗日函數 $L$。 3. 求解偏導數方程組： 計算拉格朗日函數的各個偏導數，並令其等於零，得到一個方程組。 4. 解方程組，求得候選解： 運用代數技巧，仔細求解該方程組，得到一組或多組候選解 $(x, y, lambda)$。 5. 判斷最優性： 將候選解代迴原目標函數，並結閤約束條件，分析這些解是否為最大值或最小值。在某些情況下，可能需要結閤函數的單調性、有界性等性質進行判斷。 我們將特彆關注在解題過程中可能遇到的睏難和技巧，例如： 多元函數的偏導數計算： 確保讀者掌握正確的偏導數求法。 解非綫性方程組的策略： 探討一些常用的解法，以及如何處理方程組中可能齣現的參數。 約束條件的理解與轉化： 有時約束條件可能不是直接給齣的，需要一定的數學功底去識彆和轉化。 通過對這道聯賽試題的深入剖析，讀者將能夠直觀地感受到拉格朗日乘子法解決約束優化問題的強大能力，以及其在數學競賽中的應用潛力。 四、 拉格朗日乘子法的推廣與延伸 在掌握瞭基本用法後，我們將把視野進一步拓寬，討論拉格朗日乘子法的推廣和延伸： 多個約束條件： 當存在多個約束條件時，拉格朗日函數的形式會如何變化？我們將展示如何引入多個拉格朗日乘子來處理這種情況，並給齣相應的推導。 不等式約束： 拉格朗日乘子法主要處理等式約束。對於不等式約束，我們將簡要介紹KKT條件（Karush-Kuhn-Tucker conditions），並解釋它與拉格朗日乘子法的聯係。 高維空間中的應用： 拉格朗日乘子法不僅僅局限於二維或三維空間，它在更高維度的優化問題中同樣適用。我們將給齣一些在高維情況下應用的例子（盡管不進行詳細計算）。 拉格朗日乘子的經濟學解釋： 在經濟學領域，拉格朗日乘子通常被稱為“影子價格”，它代錶瞭在約束條件下，目標函數隨約束條件微小變化的敏感度。我們將嘗試給齣一些經濟學上的直觀解釋，幫助讀者從不同的角度理解拉格朗日乘子的意義。 五、 拉格朗日乘子法在其他領域的啓示 拉格朗日乘子法的思想觸及瞭許多數學分支，其影響深遠。我們將簡要探討： 微積分與最優化： 拉格朗日乘子法是微積分在最優化理論中的重要應用，體現瞭代數與幾何的完美結閤。 綫性代數： 在某些情況下，例如二次型優化問題，可以結閤綫性代數的方法來求解。 物理學： 在物理學中，許多重要的原理，如最小作用量原理，都可以用拉格朗日函數來錶達，拉格朗日力學就是其典型代錶。 機器學習與人工智能： 在現代機器學習算法中，約束優化問題普遍存在，拉格朗日乘子法及其擴展思想在模型訓練、參數估計等過程中扮演著重要角色。 六、 學習建議與總結 本書的最終目標是幫助讀者不僅“學會”拉格朗日乘子定理，更能“理解”它，並將其作為一種有力的數學工具，靈活應用於解決各種數學問題。我們將提供一些學習建議： 勤於練習： 通過大量的練習題來鞏固所學知識，熟練掌握拉格朗日乘子法的運用。 深入思考： 不僅要會套用公式，更要理解公式背後的原理和思想。 聯係實際： 嘗試將所學知識與現實生活中的問題聯係起來，體會數學的魅力。 總結而言，本書將帶你進行一次由淺入深的數學探索。從一道看似平常的高中聯賽試題齣發，我們將一步步揭示拉格朗日乘子定理的精妙之處，理解其強大的理論支撐，並領略它在數學乃至其他科學領域的廣泛應用。這不僅僅是一本關於拉格朗日乘子定理的書，更是一扇通往數學更深層次理解的大門，期待與你一同開啓這段精彩的數學旅程。

評分☆☆☆☆☆

從一個純粹的數學美學角度來看，拉格朗日乘子法本身就是對約束優化問題最優雅的解決方案之一。我衷心希望這本書不僅僅停留在“如何求得答案”的層麵，而是能深入挖掘其背後的數學哲學。例如，探討為什麼引入“乘子”這個虛擬變量，能夠神奇地將一個在約束麯麵上的極值問題，轉化成一個在無約束空間中求梯度交點的等價問題。這種從“被限製的舞蹈”到“自由空間的相遇”的抽象升華，是數學之美最令人著迷的部分。這本書的成功，或許不在於它教會瞭多少人解開那道特定的聯賽題，而在於它是否能點燃讀者心中那團對數學結構之和諧與統一的探究之火，讓人在閤上書本後，依然能感受到那份由嚴密邏輯帶來的精神愉悅。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計初見端倪，就透露齣一種嚴謹而又富有探索精神的氣質。裝幀的選擇和字體的排布，無不展現齣一種對數學之美的敬畏之心。我尤其欣賞它將一個看似枯燥的數學定理，通過一個具體的、有著時代烙印的競賽試題來引入，這種“以小見大”的敘事手法，極大地激發瞭讀者的好奇心。它不像那些教科書式的講解，上來就堆砌晦澀的定義和復雜的公式，而是像一位經驗豐富的導師，循循善誘，將我們帶入問題的核心。我期待書中對拉格朗日乘子法幾何意義的剖析，畢竟，理解其背後的直觀圖像，遠比死記硬背推導過程來得深刻。這種從具體實例齣發，逐步攀登到抽象理論高峰的路徑設計，無疑是對數學學習規律的深刻洞察，非常適閤那些渴望觸類旁通、而非滿足於錶麵知識的進階學習者。那種“柳暗花明又一村”的驚喜感，想必是貫穿全書的體驗。

評分☆☆☆☆☆

初翻閱目錄時，便被其結構安排所吸引。它並非簡單地羅列知識點，而是構建瞭一個知識的“探險地圖”。從那道2005年的聯賽題為引子，想必作者精心設計瞭一條邏輯清晰的“知識鏈條”。我預感書中會對傳統教材中常常被一帶而過的背景知識進行詳盡的梳理，比如對多元函數極值問題在約束條件下的幾何直觀的深度描繪。更重要的是，期望它能清晰地闡述拉格朗日乘子法背後的核心思想——即在約束麯麵上尋找與梯度嚮量平行的切平麵（或切綫），這種“垂直性”的判據，究竟是如何通過引入乘子$lambda$而實現的。如果書中能輔以豐富的圖示來展示這些在高維空間中的“相切”與“正交”關係，那將是對理解該定理的一大助力。這種對細節的打磨，往往是區分優秀教材與平庸參考書的關鍵所在。

評分☆☆☆☆☆

對於一個長期在工程和應用領域摸爬滾打的人來說，純粹的理論推導固然重要，但如何將這些工具靈活地“投放到實戰”中，纔是檢驗學習成果的試金石。因此，我非常關注書中對該方法應用邊界的探討。拉格朗日乘子法在處理等式約束問題上威風八麵，但書中是否會適度地提及不等式約束下的KKT條件（Karush-Kuhn-Tucker）的初步引介，哪怕隻是作為一種前瞻性的討論？哪怕隻是用那道競賽題的變體來暗示更廣闊的優化世界？這種對知識體係的“拓展性思考”，能夠幫助讀者建立起更完整的數學建模思維框架。我希望作者能展現齣那種“授人以漁”的境界，而非僅僅提供解題的“魚食”，讓讀者在掌握核心技巧的同時，對優化理論的未來發展方嚮有所感知。

評分☆☆☆☆☆

這本書的命名方式，尤其是“劉培傑數學工作室”的署名，帶有一種鮮明的個人印記和教學特色。這通常意味著內容會帶有強烈的個性化色彩，摒棄瞭齣版社流水綫作業的痕跡。我期待看到的是一種充滿激情和教學智慧的文字風格，可能夾雜著一些作者在多年教學實踐中總結齣的“獨門秘籍”或者“思維誤區排查”。比如，在計算$ abla f = lambda abla g$時，學生常犯的代數錯誤、對$lambda$正負號的誤解等，如果能被預見性地指齣來並提供簡潔的規避方法，那麼這本書的實用價值將立刻提升一個量級。這不再是一本冰冷的數學著作，而更像是一位耐心的老師，在你解題的每一個關鍵步驟旁駐足，幫你清除障礙，這種溫度感，是普通教材難以企及的。