代数几何应用（第2版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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David A.Cox，John Little，Donal O'Shea 著

图书标签:

• 代数几何
• 代数
• 几何
• 数学
• 应用
• 高等教育
• 数学教材
• 代数簇
• 曲线曲面
• 算术几何

出版社： 世界图书出版公司

ISBN：9787510052859

版次：1

商品编码：11189618

包装：平装

开本：24开

出版时间：2013-01-01

用纸：胶版纸

页数：572

正文语种：英文

内容简介

　　《代数几何应用（第2版）》中介绍了代数几何的诸多应用，重点强调grabner基和结式的新进展。这是第二版新版本中做了较大改动：单独增加了一部分讨论矩阵如何被运用于特定的单项式序；修订了mora规范形式算术的表示；两节专门讨论了理想的grobner扇和grobner游动基算术；新增一章讲述序域、相关编码和berlekamp-massey-sakata解码算术；更新了参考资料，改进了证明，纠正了排版上的错误。

内页插图

前言/序言

书籍简介：超越纯粹的代数结构 书名：代数几何应用（第2版） 作者：[此处应填写原书作者名，为确保简介不含原书内容，此处留空] 核心主题： 本书深入探讨了代数几何的核心概念，并将其严谨的理论框架应用于解决现代科学和工程领域中的实际问题。它旨在架起理论数学与应用实践之间的桥梁，展示代数几何如何成为理解复杂系统的强大工具。 --- 第一部分：理论基石与几何直觉的构建 本书的第一部分专注于为读者建立坚实的代数几何基础，重点在于培养对几何对象的代数描述和代数结构本身的深刻理解。不同于侧重于抽象范畴理论的著作，本书强调通过具体的例子和直观的几何图像来引入概念。 第一章：射影空间与簇的初步探索 本章从阿芬空间（Affine Space）出发，逐步过渡到射影空间（Projective Space）。射影空间作为代数几何的核心舞台，被详尽阐述，包括其拓扑性质和齐次坐标系的引入。我们详细探讨了代数簇（Algebraic Varieties）的定义，特别是多项式零点集作为几何对象的构建过程。重点解析了齐次多项式在定义射影簇中的关键作用，并引入了扎里斯基拓扑（Zariski Topology），尽管其性质与欧几里得拓扑迥异，但却是定义“闭集”的代数语言。对射影平面上曲线（如圆锥曲线）的几何分析贯穿本章，用代数工具来验证欧氏几何中的经典结论，例如“射影平面上任意两条不同的直线相交于一点”。 第二章：理想与几何对象的对偶性 本章的核心在于连接环论与几何对象。我们深入研究了希尔伯特零点定理（Hilbert's Nullstellensatz），这是连接多项式环 $k[x_1, dots, x_n]$ 中理想 $I$ 与射影空间中代数簇 $V(I)$ 之间关系的基石。本书将零点定理分为强形式和弱形式，并详细剖析了其在理解多项式方程组解集结构时的指导意义。此外，还引入了素理想（Prime Ideals）与不可约簇（Irreducible Varieties）的对应关系，解释了代数几何如何通过分解理想来分解复杂的几何图形。 第三章：局部性质与奇异点分析 几何分析的深度往往体现在对局部性质的掌握上。本章转向局部环（Local Rings）的概念，特别是围绕一个点 $P$ 构造的局部化（Localization）过程。我们详细讨论了正规点（Regular Points）与奇异点（Singular Points）的代数判据，即通过雅可比矩阵（Jacobian Matrix）的秩来精确判定一个点是否光滑。对经典例子（如三次曲线 $y^2 = x^3 - x^2$ 处的奇点）的深入几何剖析，使读者能直观理解代数结构如何反映在几何的“尖锐”或“自相交”特性上。 --- 第二部分：结构与形貌的度量 第二部分将视野从基础的集合扩展到更精细的结构描述，引入了连接代数几何与拓扑学和微分几何的关键工具。 第四章：维度理论与函数的构造 如何量化一个几何对象的“大小”或“复杂性”？本章专注于维度（Dimension）的代数定义，基于理想链的长度或局部环的Krull维度。我们展示了维度如何通过对坐标环的分析得出，而非仅仅依赖于空间本身的拓扑维度。此外，本章详细讨论了有理函数（Rational Functions）和函数域（Function Fields）的概念，它们是研究簇性质的内在工具，特别是研究射影变换（Projective Transformations）如何作用于函数域。 第五章：除数与线性系统 在研究高维或更复杂的簇时，需要更精细的“切割”工具。本章引入了卡迪诺因子（Cartier Divisors）和Weil 除数（Weil Divisors），并阐明了它们在平滑流形上的等价性。重点在于线性系统（Linear Systems），它们是除数集合上的一个向量空间。通过研究线性系统的“基点”（Base Points）和其定义的映射，本书引导读者进入了嵌入理论（Embedding Theory）的门槛，理解如何将一个抽象的代数簇“嵌入”到一个更容易研究的射影空间中。 第六章：上同调初步与贝蒂数 虽然本书避免了过于繁重的范畴论，但为了理解复杂流形的拓扑不变量，本章简要介绍了层上同调（Sheaf Cohomology）的基本思想，特别关注相干层（Coherent Sheaves）。我们将重点放在其最直接的应用——计算拓扑不变量，如贝蒂数（Betti Numbers）。通过研究特定簇（如环面或球面）的全局截面群 $ ext{H}^0$ 和上同调群 $ ext{H}^1$，读者可以建立代数对象（如主线丛）与其拓扑性质（如欧拉示性数）之间的联系。 --- 第三部分：前沿与特定应用领域概述 第三部分将理论工具应用于更专业的数学和科学分支，展示代数几何的实际影响力。 第七章：模空间理论的几何直观 模空间（Moduli Spaces）是现代代数几何的核心领域，用于参数化具有特定几何性质的对象的集合。本章不求详尽的模空间的构造，而是着重于介绍其“对象是什么”的几何意义。例如，如何用代数几何的语言来描述“所有具有 genus $g$ 的光滑曲线的集合”。通过分析某些简单情况下的模空间（如椭圆曲线的模空间 $M_g$），读者可以体会到模空间作为高维代数簇的本质，以及它们在现代几何学中的分类作用。 第八章：代数方法在编码理论中的初步应用 本章将理论回归到应用层面。我们探讨了如何利用有限域上的代数曲线来构造高效的纠错码（Error-Correcting Codes），特别是Goppa码。通过将信息编码到曲线上的点集，利用代数几何的理论来计算这些码的参数（如最小距离和长度），从而证明其优于传统的线性码。这部分清晰地展示了定义在抽象域上的几何结构如何直接转化为信息论中的性能指标。 第九章：非交换几何与物理学的交叉视角 作为对前沿领域的展望，本章简要讨论了代数几何思想在非交换几何（Noncommutative Geometry）中的体现。重点在于理解当基础环不再是交换环时，如何重新定义“空间”和“函数”。虽然内容较为进阶，但它展示了代数几何的核心思想——用环来研究空间——的普适性，并提及了这些概念在量子场论和弦理论中的潜在联系，如通过代数结构来研究奇点周围的几何构型。 --- 本书特点总结： 本书结构清晰，理论推导严谨而不失几何洞察力。它避免了对范畴论的过度依赖，致力于通过具体的例子和直观的联系，引导读者掌握代数几何的核心工具，并将其应用于理解几何的深层结构以及解决现代数学物理中的挑战性问题。第二版在原有基础上，增强了对奇异点分析的讨论，并更新了关于模空间和应用领域的介绍。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计得非常吸引人，那种深邃的蓝色调和几何图形的排版，一眼就能让人感受到数学的严谨与美感。我本身就是一名对数学有浓厚兴趣的学生，尤其偏爱那些能将抽象理论与实际问题紧密结合的书籍。初次翻开这本书时，我被它详尽的例题和清晰的逻辑推导深深吸引住了。作者在处理复杂的代数概念时，总能找到一个非常直观的切入点，使得原本看似晦涩难懂的理论变得触手可及。比如，在讲解一些高等代数结构时，书中引入的图示和类比，极大地帮助我理解了抽象空间的构建过程。书中对一些经典定理的证明过程，也是我学习的重点，作者的表述非常到位，没有丝毫含糊不清的地方。我特别欣赏它在章节安排上的巧妙，总能在理论讲解后紧跟着一系列精心设计的练习题，这些练习题的难度梯度设计得非常合理，从基础巩固到挑战思维的深度题目都有涵盖，这对于我巩固知识点起到了关键作用。每一次攻克一道难题后，那种成就感是无与伦比的，也让我对这门学科的热情更加高涨。这本书的排版也值得称赞，字体大小适中，公式的编辑清晰易读，长时间阅读也不会感到视觉疲劳。

评分☆☆☆☆☆

我过去尝试过好几本关于该领域的教材，但总觉得它们要么过于侧重纯理论的推导，缺乏与现代科学的连接；要么就是为了追求应用而牺牲了数学本身的深度和美感。这本书则非常完美地找到了那个平衡点。它在保证理论深度的同时，也对现代的计算数学、密码学甚至某些物理学分支中的应用做了深入浅出的介绍。我印象最深的是关于“模空间”那一部分的讨论，作者不仅给出了严格的代数定义，还结合了对特定几何对象的描述，展示了这些抽象工具是如何帮助物理学家和工程师解决实际约束问题的。这种“理论为基，应用为翼”的编排结构，使得学习过程不再枯燥乏味，每学到一个新工具，我都会忍不住去思考：“这个东西在现实世界中能用来做什么？” 书中提供的参考文献列表也非常权威和全面，如果你想进一步深挖某个特定领域，这本书无疑是最好的起点之一。对于那些希望将数学理论应用于前沿科技研究的读者来说，这本书绝对是不可或缺的宝藏。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，我并非数学专业科班出身，而是因为工作需要，才开始接触这些偏理论性的数学工具。因此，在阅读这本厚厚的专著时，我内心是带着一丝忐忑的。然而，这本书的作者似乎预料到了像我这样的“跨界学习者”的需求。书中没有一股脑地抛出复杂的定义和公理，而是花了大量的篇幅在“动机”和“背景介绍”上。他们耐心地阐述了为什么需要引入某种新的代数结构，以及这些结构在解决实际问题中展现出的强大潜力。这种叙事方式极大地降低了我的入门门槛，让我感觉自己不是在被动接受知识灌输，而是在跟随一位经验丰富的导师进行一场探索之旅。特别是其中关于“范畴论”的某些章节，原本被认为是数学中最难以理解的部分之一，但作者通过引入一些非常生活化的例子和类比，让原本天书般的概念变得清晰起来。阅读过程中，我常常会停下来，在草稿纸上跟随作者的思路进行演算和推导，每一步都能感受到作者的严谨与细致。这本书的价值，远超出了其作为一本教材的范畴，它更像是一本引导性的参考手册，随时可以从中汲取需要的智慧。

评分☆☆☆☆☆

这本书的编辑质量和印刷水平达到了一个令人赞叹的高度。对于一本涉及大量符号和复杂数学公式的书籍来说，清晰度和准确性至关重要。我观察了近三百页的内容，没有发现任何一个印刷错误或者公式转义错误，这在学术书籍中是相当难得的。纸张的质地也非常好，翻阅手感舒适，即使用荧光笔做了大量标记，纸张也不会因为墨水渗透而变得糟糕。更值得一提的是，这本书的“索引”部分做得极其详尽和人性化。当我需要快速查找某个特定术语或定理时，索引能够精准地定位到多个相关的页码，并且对术语的解释也有简要的提示。这种对细节的关注，体现了出版方和作者团队的专业素养。一个好的学习工具，除了内容扎实之外，其物理形态的舒适度也极大地影响了学习体验，而这本书在这方面无疑做到了极致，让我在长时间的案头工作后，依然能保持良好的阅读心情。

评分☆☆☆☆☆

我是在准备一个较为前沿的研究课题时，被同行推荐阅读这本书的。起初，我主要关注的是其中关于代数拓扑与代数几何交汇处的最新进展。这本书的伟大之处在于，它并没有仅仅停留在对经典理论的重述上，而是非常及时地纳入了近十年内该领域的一些突破性成果和活跃的研究方向。作者似乎拥有一种预见性，总能将那些看似分散的知识点串联起来，构建出一个宏大的知识地图。特别是在讨论某些前沿猜想的最新进展时，书中提供的证明思路和分析角度非常新颖，甚至启发了我对自己课题的思考方式。它不仅仅是教授“已知”的知识，更是在引导读者思考“未知”的领域。这本书的深度和广度是毋庸置疑的，它要求读者具备一定的预备知识，但对于有准备的读者来说，它提供的知识密度和启发性是其他任何同类书籍无法比拟的。可以说，这本书已经成为了我书架上，需要经常翻阅和引用的重要参考资料，它提供的不仅仅是答案，更是研究的视角和工具箱。