普通高等教育“十二五”规划教材：数学分析教程（上册） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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崔尚斌 著

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• 数学分析
• 高等教育
• 大学教材
• 微积分
• 函数
• 极限
• 连续性
• 微分
• 积分
• 规划教材

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030368058

版次：1

商品编码：11210300

包装：平装

开本：16开

出版时间：2013-03-01

用纸：胶版纸

页数：302

字数：382000

正文语种：中文

内容简介

　　《普通高等教育“十二五”规划教材：数学分析教程（上册）》是供综合性大学和师范院校数学类各专业本科一、二年级学生学习数学分析课程的一部教材，分上、中、下三册，本册为上册，讲授极限和一元函数的微分学，内容包括实数的性质、数列的极限、一元函数的极限和连续性、一元函数的导数及其应用、不定积分等。附录A介绍了实数的公理化定义。
　　《普通高等教育“十二五”规划教材：数学分析教程（上册）》对传统数学分析教材的编排做了一些与时俱进的改革，内容做了适当缩减和增补，除了如传统教材一样重视对基础知识和基本技巧的传授外，也增加了一些分析学的新内容。《普通高等教育“十二五”规划教材：数学分析教程（上册）》讲解十分清晰、浅显易懂，配有充足的例题和习题，并对数学分析各个组成部分的来龙去脉和历史发展有清楚并且引人入胜的介绍，不仅适合教师课堂讲授，也很适合学生自学使用。

目录

前言
第1章 实数域和初等函数
1.1 实数的运算与序
习题1.1
1.2 实数域的完备性
1.2.1 完备性的含义
1.2,2 戴德金原理
1.2.3 确界原理
习题1.2
1.3 初等函数
1.3.1 幂的定义
1.3.2 幂函数与指数函数
1.3.3 对数的存在性和对数函数
1.3.4 三角函数和反三角函数
1.3.5 初等函数
习题1.3

第2章 数列的极限
2.1 数列极限的定义
2.1.1 数列的概念
2.1.2 数列的极限及其定义
2.1.3 例题
2.1.4 用逻辑语言表述极限定义
习题2.1
2.2 数列极限的性质
习题2.2
2.3 趋于无穷的数列和三个记号
2.3.1 趋于无穷的数列
2.3.2 三个记号
习题2.3
2.4 几个重要的定理
2.4.1 单调有界原理
2.4.2 一个重要的极限
2.4.3 区间套定理
2.4.4 列紧性原理
2.4.5 柯西收敛准则
习题2.4
2.5 上极限和下极限
习题2.5

第3章 函数的极限和连续性
3.1 函数的极限
3.1.1 函数极限的定义
3.1.2 函数极限的性质与运算
3.1.3 复合函数的极限
3.1.4 与数列极限的关系
习题3.1
3.2 函数的极限（续）
3.2.1 单侧极限和x趋于无穷时的极限
3.2.2 两个重要的极限
3.2.3 无穷小量和无穷大量及其阶的比较
习题3.2
3.3 函数的连续性
3.3.1 函数连续性的定义
3.3.2 连续函数的运算
3.3.3 间断点的分类
3.3.4两个例子
习题3.3
3.4 连续函数的性质
3.4.1 闭区间上连续函数的基本性质
3.4.2 闭区间上连续函数的一致连续性。
习题3.4

第4章 函数的导数
第5章 导数的应用
第6章 不定积分

附录A 关于实数的进一步讨论
附录B 把有理真分式表示为最简分式之和
综合习题
参考文献

前言/序言

　　数学分析是大学数学系最基础和最重要的一门课程，数学专业的许多后续课程，如常微分方程、复变函数、微分几何、偏微分方程（又名数学物理方程）、实变函数、泛函分析、概率论等，都是在数学分析课程的基础上展开的，因此，学好这门课程，对于数学类各专业的每一位学生，都是十分重要的。
　　本书是作者根据多年讲授数学分析课程的经验，在对部分讲稿进行整理和扩充的基础上编写而成的。读者对象主要为综合性大学数学类各专业的本科生，也适用于师范院校、工科院校数学类各专业的本科生。此外，也可用作运用微积分知识比较多的其他专业，如力学、理论物理、气象等专业的本科生学习数学分析和高等数学课程的参考书。考虑到我国改革开放30多年来中学教育水平己大幅度提高，因而大学新生都已有相当好的中学数学知识，我们对传统数学分析教材的编排做了一些改革，内容做了适当缩减和增补。对此做以下说明：
　　对实数和极限理论，本书不像传统教材那样采取对极限理论在课程一开始仅做初步的介绍，等到学习完一元微积分的基本理论之后再详细讨论实数域的完备性进而更深入地讨论极限理论这样分两步走的方式处理，而是采取了开门见山、一步到位的方式，在课程一开始就直接讨论实数的基本性质，以学生比较容易接受的方式引出刻画实数域完备性的戴德金原理，并从这一原理出发推导出确界原理，然后在紧接着的一章全面透彻地讲述数列的极限理论。

数学的优雅之旅：探索分析学之美 本书旨在为广大普通高等教育的学子开启一扇通往数学分析殿堂的大门，提供一套系统、严谨且富有启发性的学习教材。本书在上册中，我们着力于构建扎实的分析学基础，为深入理解后续更为复杂的数学概念奠定坚实基石。全书内容紧扣“十二五”教育规划的教学要求，力求在科学性、前沿性和实用性之间取得平衡，帮助读者掌握分析学核心知识，培养严谨的逻辑思维和解决问题的能力。 第一章：实数及其基本性质 本章是整个数学分析的起点，我们将从最基本的概念——实数——出发，深入探讨其内在的结构与性质。我们首先会引入自然数、整数、有理数等概念，并在此基础上构造出实数集。这里的重点在于理解实数集合的完备性，即任何一个有上界（或下界）的非空数集都存在上确界（或下确界）。我们将通过戴德金分割（Dedekind cut）或柯西序列（Cauchy sequence）等方法来严格定义实数，这不仅是理论上的严谨要求，更是培养读者对数学定义深刻理解的开端。 在此基础上，我们将系统地介绍实数的各种性质，包括但不限于： 运算性质： 加法、减法、乘法、除法的基本性质，以及它们的分配律、结合律等。 序关系： “大于”、“小于”、“等于”等关系，以及它们传递性、反对称性等。 阿基米德公理（Archimedes' Axiom）： 这是一个非常重要的公理，它说明对于任意两个正实数，总存在一个正整数，使得这个整数乘以较小的数大于较大的数。这个公理是许多后续定理的基础，例如证明任何实数都可以被表示成某个整数和一个小于1的正小数之和。 区间（Intervals）： 我们将详细介绍开区间、闭区间、半开半闭区间等，以及它们在表示实数集合上的重要作用。 上界、下界、上确界、下确界（Supremum and Infimum）： 这是理解实数完备性的核心概念。我们将详细解释这些概念的定义，并给出判断一个集合是否有上确界（或下确界）的充要条件。我们将通过大量的例子来巩固这些概念，例如证明有理数集合在实数范围内无上确界。 数列（Sequences）： 数列是分析学中最基本的研究对象之一。我们将介绍数列的定义、通项公式、递推关系等。在此基础上，我们将引入数列的收敛性（Convergence）和发散性（Divergence）的概念。收敛数列是指当项数趋向无穷大时，数列的项趋近于一个固定值的数列。我们将严格定义数列的极限，并介绍与之相关的性质，例如极限的唯一性、保号性等。 收敛数列的判别方法： 本章将介绍几种重要的判别数列收敛性的方法，包括： 单调有界定理（Monotone Convergence Theorem）： 这是判断数列收敛性的一个强大工具，它指出一个单调递增且有上界的数列必收敛，一个单调递减且有下界的数列也必收敛。 柯西收敛准则（Cauchy Criterion for Sequences）： 这个准则提供了一个不需要知道极限值就能判断数列收敛性的方法，它指出一个数列收敛当且仅当它是柯西数列，即对于任意小的正数ε，存在一个正整数N，使得当m, n > N时，|a_m - a_n| < ε。 夹逼定理（Squeeze Theorem / Sandwich Theorem）： 如果数列 ${a_n}$ 和 ${b_n}$ 都收敛于同一个极限L，且从某一项开始，数列 ${c_n}$ 满足 $a_n le c_n le b_n$，那么数列 ${c_n}$ 也收敛于L。 子列（Subsequences）： 我们还将介绍子列的概念，以及它与数列收敛性的关系。例如，Bolzano-Weierstrass定理指出，有界的实数数列必存在收敛的子列。 第二章：函数极限与连续性 在掌握了实数和数列的基本性质后，本章我们将把研究对象从离散的数列扩展到连续的函数。我们将首次引入函数极限的概念，这是分析学中最重要的概念之一，它为理解函数的局部行为和全局性质提供了强大的工具。 函数极限的定义： 我们将给出函数在某一点的极限的两种严格定义：ε-δ定义（epsilon-delta definition）和序列定义（sequence definition）。ε-δ定义强调的是函数值在自变量趋近某一点时的“逼近”行为，而序列定义则将函数极限与数列极限联系起来，提供了一种直观的理解方式。 函数极限的性质： 类似于数列极限，函数极限也具有唯一性、保号性等重要性质。我们将深入探讨这些性质，并展示它们在证明其他定理中的应用。 无穷小量（Infinitesimals）与无穷大量（Infinite Quantities）： 我们将引入无穷小量和无穷大量的概念，并讨论它们之间的关系。无穷小量是在自变量趋近某一点时趋于零的函数，而无穷大量是在自变量趋近某一点时其绝对值趋于无穷大的函数。 无穷小量的性质与运算： 我们将详细介绍无穷小量的各种性质，例如无穷小量之和、差、积的极限仍然是无穷小量，以及常数乘以无穷小量仍是无穷小量。这将为我们后续处理不定式极限打下基础。 函数连续性（Continuity）： 基于函数极限的概念，我们将严格定义函数的连续性。一个函数在某一点连续，意味着在该点函数的极限值等于函数在该点的值。我们将区分“在某一点连续”和“在某个区间上连续”。 连续函数的性质： 连续函数具有许多重要的性质，这些性质使得它们在数学和应用中都具有特别的地位： 介值定理（Intermediate Value Theorem）： 如果一个函数在闭区间 $[a, b]$ 上连续，那么它在该区间上取到从 $f(a)$ 到 $f(b)$ 之间的一切值。这是理解函数图像连接性和求解方程根的重要理论依据。 最值定理（Extreme Value Theorem）： 如果一个函数在闭区间 $[a, b]$ 上连续，那么它在该区间上一定能取到其最大值和最小值。这个定理对于优化问题至关重要。 一致连续性（Uniform Continuity）： 我们将进一步引入一致连续性的概念，并解释它与普通连续性的区别。一致连续性意味着函数在整个定义域上具有“均匀”的逼近性质，这对于分析函数的全局行为非常重要。 间断点（Discontinuities）： 我们还将讨论函数的间断点，并对不同类型的间断点进行分类（例如可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点等），并分析其成因。 第三章：导数与微分 本章我们将进入分析学中最具活力的部分之一——导数（Derivative）。导数刻画了函数在某一点的瞬时变化率，它不仅是理解函数局部变化趋势的工具，更是物理学、工程学等诸多领域中描述运动、变化等现象的数学语言。 导数的定义： 我们将严格定义函数在某一点的导数，即因变量相对于自变量的瞬时变化率。导数可以通过函数增量与自变量增量之比的极限来计算。 导数的几何意义与物理意义： 我们将详细阐述导数在几何上的意义，即函数图像在某一点的切线斜率，以及在物理学上的意义，例如速度、加速度等。 可导性与连续性的关系： 我们将证明可导必然连续，但连续不一定可导。并举例说明。 基本初等函数的导数： 我们将系统地推导和总结各种基本初等函数（如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）的导数公式。 导数的运算法则： 我们将详细介绍导数的各种运算法则，包括： 和、差、积、商的求导法则： 如何计算两个函数之和、差、积、商的导数。 复合函数的链式法则（Chain Rule）： 这是求解复合函数导数的关键法则，它使得我们可以逐层地求解复杂的函数导数。 反函数的求导法则： 如何通过已知函数的导数来求其反函数的导数。 高阶导数（Higher-order Derivatives）： 我们将引入二阶导数、三阶导数乃至n阶导数的概念，它们可以帮助我们更深入地了解函数的弯曲程度（凹凸性）和变化趋势。 微分（Differentials）： 我们将介绍微分的概念，以及微分与导数的关系。微分提供了对函数增量的一种线性近似，这在近似计算和数值方法中具有重要应用。 微分的几何意义： 微分在几何上表示切线段的长度，它近似于函数曲线的弧长增量。 洛必达法则（L'Hôpital's Rule）： 对于形如 $frac{0}{0}$ 或 $frac{infty}{infty}$ 的不定式极限，我们将学习强大的洛必达法则，它利用导数来求解这类极限。我们将详细分析洛必达法则的适用条件和应用方法。 泰勒公式（Taylor's Formula）： 泰勒公式是分析学中一个极其重要的工具，它将一个函数在某一点附近的任意高阶导数联系起来，用多项式来近似表示函数。我们将介绍泰勒公式的展开形式，以及余项的各种形式（如拉格朗日余项、佩亚诺余项）。泰勒公式在函数近似、数值计算、级数展开等方面有着广泛的应用。 本书的编写风格力求严谨、清晰，并辅以大量的例题和练习题，以帮助读者巩固所学知识，提高解题能力。我们相信，通过对本册内容的深入学习，读者将能够建立起坚实的数学分析基础，为后续更高级的数学学习和研究打下坚实的基础，并在这个过程中体会到数学分析的无穷魅力。

评分☆☆☆☆☆

拿到《数学分析教程（上册）》这本书，我第一眼就被它清晰的排版和规范的格式所吸引。作为一名即将进入大学的准大一新生，我对数学分析充满了好奇，也带着一丝忐忑。听学长学姐们说，数学分析是很多理工科专业的核心基础课程，学好了数学分析，对后续的学习会有很大的帮助。我希望这本教材能够提供一套循序渐进的学习路径，从最基础的概念开始，逐步深入到更复杂的定理和证明。我对书中的例子和习题的质量要求比较高，希望能有足够多的练习来巩固我的理解，并且希望这些习题能够引导我思考，而不是简单地套用公式。我更期待的是，这本书能够帮助我培养严谨的数学思维，让我学会如何去分析问题、解决问题，并且能够理解数学证明的逻辑推理过程。对于一些比较抽象的概念，如果能够有直观的解释或者类比，那就更好了。

评分☆☆☆☆☆

我是一名已经毕业一段时间的在职人员，因为工作需要，我重新拾起了数学分析。这本书的出版信息写着是“普通高等教育‘十二五’规划教材”，这让我觉得它应该具备一定的权威性和系统性，能够适应当前高等教育的需求。我拿到书后，翻阅了一下目录，感觉内容编排得很齐全，从基础的极限、连续性，到微积分的初步，感觉覆盖得相当全面。我最看重的是教材的逻辑严谨性和知识的循序渐进性。有时候，我们学习数学，容易被一些细节性的证明搞得头晕眼花，而如果教材能够提供清晰的思路引导，或者在关键步骤给出一些提示，会非常有帮助。我希望这本书能够做到这一点，让我在学习过程中，能够理解“为什么”要这么做，而不仅仅是“怎么”做。另外，我还特别留意了书中的符号规范和术语使用，希望它能够保持一致性和专业性，避免造成不必要的混淆。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计和标题让我觉得它是一本非常正统的教材，符合我的预期。我是一名数学专业的学生，目前正在为学习数学分析而做准备。我了解到，数学分析是整个数学体系的基石，它的重要性不言而喻。因此，我在选择教材时，非常谨慎。我希望这本书能够提供扎实的内容，并且在教学方法上能够有所创新。我特别关注教材对基本概念的阐释是否清晰透彻，对定理的证明是否严谨完整，以及对各种数学工具的介绍是否到位。我希望能在这本书中找到对数学分析的深刻理解，不仅仅是掌握解题技巧，更能体会到数学思维的精髓。我对于一些高级概念的引入，比如黎曼积分、级数等等，期待这本书能够给出清晰的铺垫和有条理的讲解，让我能够逐步建立起对这些概念的完整认识。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我最直观的感受是它的厚重感，无论是书本的体量还是其中蕴含的知识深度，都让人觉得这是一本值得花时间和精力去钻研的教材。我是在一个偶然的机会了解到这本书的，当时正在寻找一本能够帮助我深入理解数学分析基本原理的书籍，而这本书的定位——“数学分析教程”，恰好符合我的需求。我对于教材的要求很高，不希望它仅仅是知识点的堆砌，更希望它能够体现出数学分析的科学美感和逻辑魅力。我期望这本书能够带领我一步步走进数学分析的殿堂，让我体会到数学思维的严谨与深刻。我特别想了解它在讲解定义和定理时，是否有独到的见解，是否能够用更形象、更易懂的方式来阐释抽象的概念。我还对书中的一些历史背景介绍或者思想方法的探讨非常感兴趣，这能够帮助我从更宏观的角度去理解数学分析的发展历程和重要性。

评分☆☆☆☆☆

这本《数学分析教程（上册）》我刚拿到手，感觉包装和装帧都挺不错的，纸张的质感也比较舒服，翻起来不会觉得涩。封面设计也比较简洁大气，一看就是那种比较严谨的学术书籍。我一直对数学分析这个科目比较头疼，感觉它逻辑性太强，很多概念抽象，不容易理解。所以，我这次买这本书，主要是想通过更系统、更深入的学习，能够真正掌握数学分析的核心思想，而不是仅仅停留在做题刷题的层面。我希望这本书能够提供一些清晰的讲解，能够帮助我理清各种概念之间的联系，并且在证明定理的时候，能够有循序渐进的引导，让我看到每一步推理的逻辑依据。我对它的期待是，能够成为我攻克数学分析的一块坚实基石，让我以后在学习更高深的数学课程时，能够有更加扎实的基础。我特别关注书中的例题和习题，希望能有足够的典型性和代表性，能够覆盖到各个知识点，并且难度梯度也比较合理，这样我才能在练习中不断巩固和提升。

评分☆☆☆☆☆

9，对称多项式环、多称多项式的基本定理、待定系数法、等幂和、Newton公式、多项式的判别式、结式、复数域的代数封闭性、代数基本定理、Strum定理、多项式根的近似算法、整系数多项式的有理根。

评分☆☆☆☆☆

9，SU(2)群和SU(3)群的表示、表示的张量积、特征标环、有限群中的刚性与有理性、结合代数、商代数、中

评分☆☆☆☆☆

书的封面完好无损，送货挺快，服务态度很好。

评分☆☆☆☆☆

代数学-2

评分☆☆☆☆☆

9，对称多项式环、多称多项式的基本定理、待定系数法、等幂和、Newton公式、多项式的判别式、结式、复数域的代数封闭性、代数基本定理、Strum定理、多项式根的近似算法、整系数多项式的有理根。

评分☆☆☆☆☆

7，仿射群、Euclid空间的运动群、保距变换群、凸集、Minkowski空间、伪欧氏空间、Lorenz群、仿射空间上的二次函数、化二次函数为规范型、Euclid空间上的二次函数。

评分☆☆☆☆☆

代数学-2

评分☆☆☆☆☆

11，线性映射、线性映射的矩阵表示、像与核、线性算子、线性算子代数、极小多项式、矩阵的相似、线性算子的行列式与迹。

评分☆☆☆☆☆

6，线性算子的范数、线性群的单参数子群、谱半径、仿射空间、仿射映射、仿射空间的同构、仿射子空间、仿射坐标系、仿射同构、Euclid度量、Gram行列式、有向体积。